03. Trasformate di Laplace

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1 Controlli Automatici 03. Trasformate di Laplace Prof. Cesare Fantuzzi Ing. Cristian Secchi Ing. Federica Ferraguti ARSControl - DISMI - Università di Modena e Reggio Emilia {nome.cognome}@unimore.it

2 L evoluzione nel tempo dei sistemi dinamici può essere rappresentata da modelli matematici lineari stazionari del tipo d n a n dt n + a d n 1 n 1 dt n a d m 0 = b m dt m + b d m 1 m 1 dt m b 0 (1) equazioni differenziali lineari ordinarie di ordine n Trasformate di Laplace Per lo studio di tali sistemi è quindi necessario essere in grado di risolvere un equazione di questo tipo, cioè di saper calcolare una funzione (t) che la verifichi. E indispensabile quindi la conoscenza delle proprietà e dei procedimenti di soluzione delle equazioni differenziali lineari, in particolare delle equazioni differenziali ordinarie a coefficienti costanti. PROCEDIMENTO «DIFFICILE» Controlli Automatici Trasformate di Laplace 2

3 Trasformate di Laplace Un modo più semplice per risolvere equazioni differenziali è quello di fare ricorso all utilizzo delle Trasformate di Laplace, per le quali peraltro si deve introdurre l uso dei numeri complessi e delle funzioni di variabile complessa. Le trasformate di Laplace, oltre a permettere di risolvere in modo relativamente semplice equazioni differenziali ordinarie come la (1), permettono di porre in stretta connessione la soluzione delle equazioni differenziali con tecniche di analisi armonica, altro strumento molto importante per l analisi dei sistemi dinamici. TRASFORMATE DI LAPLACE Risoluzione di equazioni differenziali Funzioni di trasferimento Risposta all impulso Risposta al gradino Comportamento dinamico dei sistemi lineari (anche non lineari) Controlli Automatici Trasformate di Laplace 3

4 Funzioni di variabili complesse Nello studio delle trasformate di Laplace si utilizzano variabili s C I numeri complessi si possono rappresentare come punti di un piano piano di Gauss/complesso i cui assi coordinati si dicono asse reale ed asse immaginario Un numero complesso s si può esprimere come: s = σ + jω s = ρe jφ forma cartesiana forma polare Controlli Automatici Trasformate di Laplace 4

5 Forma cartesiana σ = Re{s} ω = Im{s} Forma polare ρ = s φ = arg{s} parte reale parte immaginaria modulo argomento Funzioni di variabili complesse Dalla relazione e jφ = cosφ + j senφ si deducono le seguenti formule per il passaggio dalla forma polare alla forma cartesiana e viceversa σ = ρ cosφ ω = ρ senφ ρ = σ 2 + ω 2 φ = arctan ω σ = arcsen ω σ 2 + ω 2 Controlli Automatici Trasformate di Laplace 5

6 Una funzione di variabile complessa w = f s = u σ, ω + j v(σ, ω) Funzioni di variabili complesse viene assegnata specificando le due funzioni di variabili reali u σ, ω e v σ, ω, che ne rappresentano la parte reale (u) e la parte immaginaria (v), e stabilisce una corrispondenza biunivoca tra i punti di due piani: il piano di Gauss della variabile indipendente s e quello della variabile dipendente w. Corrispondenza stabilita da una funzione di variabile complessa w 1 = f(s 1 ) Controlli Automatici Trasformate di Laplace 6

7 Trasformate di Laplace Per la soluzione di equazioni differenziali sono di notevole utilità le trasformazioni funzionali, cioè le trasformazioni che associano funzioni a funzioni, in particolare la trasformazione di Laplace. Le trasformazioni funzionali stabiliscono una corrispondenza biunivoca tra funzioni oggetto, normalmente funzioni del tempo, e funzioni immagine di diversa natura. Operazioni eseguite sulle funzioni oggetto, come ad esempio la derivazione, corrispondono ad operazioni più semplici sulle funzioni immagine e al problema oggetto viene ad essere associato un problema immagine di più facile soluzione. Dalla soluzione immagine si passa poi alla soluzione oggetto eseguendo sulle funzioni immagine l operazione di antitrasformazione o trasformazione inversa. Trasformazione funzionale Problema Problema immagine Soluzione Soluzione immagine Trasformazione inversa Esempio: mediante la trasformazione di Laplace un'equazione differenziale o integro-differenziale nelle funzioni oggetto si trasforma in un'equazione algebrica, di più semplice soluzione, nelle funzioni immagine. Controlli Automatici Trasformate di Laplace 7

8 Trasformate di Laplace La trasformazione di Laplace associa in modo biunivoco a una generica funzione del tempo f(t) a valori reali o complessi una funzione F(s) a valori in genere complessi e definita per valori di s pure complessi. f t F s s C F s C Si usa la notazione F s = L f(t) che ha il significato di «F(s) è la trasformata di Laplace di f(t)» Per la biunivocità della corrispondenza, si può scrivere f t = L 1 F(s) che ha il significato di «f(t) è l antitrasformata di Laplace di F(s)» Controlli Automatici Trasformate di Laplace 8

9 La trasformata di Laplace è data dalla relazione F s = 0 + f(t)e st dt Trasformate di Laplace L antitrasformata di Laplace è data dalla relazione σ+j 1 F(s)e st ds 2πj σ j Le condizioni sotto le quali una data funzione f(t) è trasformabile secondo Laplace sono abbastanza estensive: in pratica risultano soddisfatte da qualunque funzione del tempo che rivesta interesse nell ambito dell analisi dei sistemi. Controlli Automatici Trasformate di Laplace 9

10 Proprietà delle trasformate In corrispondenza di valori coniugati della variabile complessa s una generica trasformata di Laplace F s assume valori coniugati, cioè vale la relazione F s = F (s) Linearità Dette c 1 e c 2 due costanti complesse arbitrarie, f 1 (t) ed f 2 (t) due funzioni del tempo le cui trasformate siano rispettivamente F 1 (s) e F 2 (s), vale la relazione L c 1 f 1 t + c 2 f 2 (t) = c 1 F 1 s + c 2 F 2 (s) Traslazione nel tempo L f(t t 0 ) = e t 0s F(s) Controlli Automatici Trasformate di Laplace 10

11 Traslazione nella frequenza Derivazione L e s 0t f(t) = F(s s 0 ) Proprietà delle trasformate L dn f(t) dt n = s n F s s n 1 f 0 s n 2 f 1 0 s n 3 f 2 0 f n 1 0 Si noti che se le condizioni iniziali (per t = 0 ) di f(t) e delle sue derivate sono nulle, allora L dn f(t) dt n = s n F s Integrazione L 0 t f τ dτ = 1 s F s Controlli Automatici Trasformate di Laplace 11

12 Teorema del valore iniziale f 0 + Proprietà delle trasformate = lim s sf(s) Teorema del valore finale lim f t = lim sf(s) t s 0 Il teorema del valore finale vale sotto ipotesi poco stringenti anche se F non è razionale, purchè esista il lim t f t Controlli Automatici Trasformate di Laplace 12

13 Trasformate di Laplace dei segnali canonici IMPULSO δ(t) t f t = δ t = t = 0 0 t > 0 F s = L δ(t) = 0 δ t e st dt = 1 GRADINO UNITARIO u(t) 1 t F s = L u(t) = f t = u t = 0 t < 0 1 t 0 0 1e st dt = 1 s e st 0 = 1 s RAMPA UNITARIA t t f t = 0 t < 0 t t 0 F s = L t = 0 te st dt = 1 s 2 Controlli Automatici Trasformate di Laplace 13

14 Trasformate di Laplace dei segnali canonici PARABOLA UNITARIA ESPONENZIALE SINUSOIDE t 2 2 e at senωt t a > 0 a = 0 a < 0 t t F s = L f t = 0 t < 0 t 2 2 t 0 t 2 2 = F s = L e at = F s = L senωt = 0 f t = 0 t < 0 e at t 0 0 t 2 2 e st dt = 1 s 3 e at e st dt = 1 f t = 0 t < 0 senωt t 0 0 senωt e st dt = s a ω s 2 + ω 2 Controlli Automatici Trasformate di Laplace 14

15 Trasformate di Laplace dei segnali canonici COSINUSOIDE cosωt t F s = L cosωt = f t = 0 t < 0 cosωt t 0 0 cosωt e st dt = s s 2 + ω 2 La quasi totalità delle trasformate di Laplace di uso più corrente nell analisi dei sistemi lineari si può dedurre dalla relazione fondamentale L t n e at n! = (s a) n+1 dove n è un generico numero intero positivo a è una costante reale o complessa La funzione da trasformare è identicamente nulla per valori di tempo negativi. Di conseguenza può essere presente una discontinuità nell istante t = 0 Controlli Automatici Trasformate di Laplace 15

16 Tabella delle trasformate di Laplace Controlli Automatici Trasformate di Laplace 16

17 Trasformate di Laplace - Esempi 1. Si consideri la funzione f t = 5te 2t + 7e 3t cos4t t 0 Ricordando la proprietà di linearità, e utilizzando la tabella, è immediato ottenere 5 7(s + 3) F s = + (s + 2) 2 (s + 3) Sia dato il segnale in figura f(t) f 1 (t) f 2 (t) t t t Il segnale può essere pensato come la somma di un gradino ritardato e di una rampa (ritardati di 5 secondi) f t = f 1 t + f 2 t = u t 5 + u t 5 t 5 F s = F 1 s + F 2 s = e 5s s + e 5s s 2 = s + 1 e 5s s 2 Controlli Automatici Trasformate di Laplace 17

18 Funzione di trasferimento Un modello matematico di un sistema dinamico lineare e stazionario può essere espresso mediante una equazione differenziale del tipo a n d n dt n + a n 1 d n 1 dt n a d m u 0 = b m dt m + b m 1 d m 1 u dt m b 0u Dato un segnale f(t), la trasformata di Laplace per la sua generica derivata i- esima è data da L D i f(t) = s i F s j=0 i 1 s j D i j 1 f(t) t=0 notazione compatta: D i = di dt i Si prende in esame la trasformazione dell equazione differenziale, riscritta come n m a i D i (t) = b i D i u(t) i=0 i=0 Controlli Automatici Trasformate di Laplace 18

19 Funzione di trasferimento Sostituendo alle funzioni e alle loro derivate le rispettive trasformate si ottiene i 1 L D i (t) = s i Y s s j D i j 1 (t) L D i u(t) = s i U s j=0 i 1 j=0 s j D i j 1 u(t) t=0 t=0 = 0, u t = 0, t < 0 da cui n m n i 1 a i s i Y(s) = b i s i U(s) + a i s j D i j 1 (t) i=0 i=0 i=1 j=0 t=0 Controlli Automatici Trasformate di Laplace 19

20 Funzione di trasferimento Da questa risulta che la trasformata di Laplace Y(s) della soluzione dell equazione differenziale è data dalla somma delle due funzioni Y s = Y 0 s + Y 1 s con Y 0 s = Y 1 s = n i=1 m i=0 a i i 1 j=0 b i s i s j D i j 1 (t) n i=0 a i s i U(s) t=0 n i=0 a i s i trasformate dell evoluzione libera e dell evoluzione forzata Y s = i=1 n a i j=0 i 1 s j D i j 1 (t) t=0 i=0 n a i s i + i=0 m b i s i n a i s i U(s) i=0 Controlli Automatici Trasformate di Laplace 20

21 Funzione di trasferimento Spesso nell ambito dei controlli automatici si fa riferimento a sistemi inizialmente in quiete, cioè con condizioni iniziali nulle. Y 0 s = 0 La trasformata di Laplace del segnale di uscita si ottiene semplicemente moltiplicando quella del segnale di ingresso per la «funzione di trasferimento» del sistema G s = Y 1 s U(s) = m i=0 La funzione di trasferimento di un sistema è una funzione G(s) della variabile s moltiplicando la quale per la trasformata di Laplace della funzione di ingresso si ottiene la trasformata di Laplace dell evoluzione forzata (uscita) b i s i n i=0 a i s i Y 1 s = G s U(s) U(s) G(s) Y(s) Controlli Automatici Trasformate di Laplace 21

22 Funzione di trasferimento - Esempio Dato il seguente circuito Si può scrivere l equazione (legge di Kirchhoff): v i t = v L t + v R t + v C t v i t = L di(t) dt da cui + Ri t + 1 C i t dt dv i (t) dt = L d2 i(t) dt 2 + R di(t) dt + 1 dv u (t) i t =C C i t dt v i t = LC d2 v u (t) dt 2 + RC dv u(t) + v dt u (t) Controlli Automatici Trasformate di Laplace 22

23 Funzione di trasferimento - Esempio Si considerano le condizioni iniziali: i 0 + = i 0 v u 0 + = e 0 e si applica all ingresso un gradino di tensione di ampiezza V 0. Trasformando ambo i membri si ottiene V i s = LC s 2 V u s sv u 0 v u 0 + RC sv u s v u 0 + V u (s) Notando che è v u 0 + = e 0 v u 0 = 1 C i 0 si deduce poi V u s = Nel caso in esame 1 LCs 2 + RCs + 1 V i s + Li 0 + LCse 0 + RCe 0 LCs 2 + RCs + 1 V i s = V 0 s Controlli Automatici Trasformate di Laplace 23

24 Funzione di trasferimento - Esempio Per la soluzione completa dell equazione differenziale occorre naturalmente antitrasformare l espressione ottenuta. In questo caso, l antitrasformazione non presenta alcuna difficoltà: ciascuno dei due termini a secondo membro è un rapporto di polinomi in s, facilmente antitrasformabile con il procedimento che verrà descritto in seguito. Da V u s = 1 LCs 2 + RCs + 1 V i s + Li 0 + LCse 0 + RCe 0 LCs 2 + RCs + 1 Considerando nulle le condizioni iniziali: i 0 = 0 e 0 = 0 si ottiene V u s = 1 LCs 2 + RCs + 1 V i s Funzione di trasferimento: G s = 1 LCs 2 +RCs+1 V u s = G(s)V i s Controlli Automatici Trasformate di Laplace 24

25 Schemi a blocchi Un sistema viene rappresentato graficamente con un blocco e le sue variabili mediante collegamenti con l ambiente esterno o con altri sistemi. S S 1 S 2 Controlli Automatici Trasformate di Laplace 25

26 Schemi a blocchi Un sistema orientato è un sistema in cui le variabili sono suddivise in Variabili di ingresso (cause) Variabili di uscita (effetti) ingressi u 1 (t) u 2 (t) S u 3 (t) (t) uscita Non sempre la suddivisione tra ingressi ed uscite (cause ed effetti) è univoca ia (t) R a L a c t, ω(t) i e (t) v a (t) v e (t) L e Controlli Automatici Trasformate di Laplace 26

27 Schemi a blocchi I sistemi (sottosistemi) possono essere connessi tra loro mediante le variabili di ingresso/uscita. Le variabili sono indicate con frecce, e in uno schema oltre ai blocchi che descrivono i sistemi vi possono essere nodi sommatori e punti di diramazione. u 1 (t) + 1 (t) u 2 (t) + (t) u(t) 2 (t) u 3 (t) 3 (t) Controlli Automatici Trasformate di Laplace 27

28 Schemi a blocchi Connessione in cascata (serie) L uscita del primo blocco costituisce l ingresso del secondo blocco u t = u 1 (t) S 1 t = u 2 (t) 1 S 2 2 t = (t) Connessione in parallelo I due blocchi hanno lo stesso ingresso u(t) u 1 (t) S 1 1 (t) u 2 (t) S 2 2 (t) Controlli Automatici Trasformate di Laplace 28

29 Schemi a blocchi Connessione in retroazione I sistemi sono collegati ad anello e si influenzano reciprocamente u 1 (t) S 1 1 (t) 2 (t) S 2 u 2 (t) Controlli Automatici Trasformate di Laplace 29

30 Riduzione di schemi a blocchi Spesso i sistemi complessi vengono rappresentati con schemi a blocchi, i cui elementi hanno ciascuno un solo ingresso ed una sola uscita. Blocchi elementari per la rappresentazione di sistemi puramente algebrici sono K elemento nonlineare, la cui caratteristica ingressouscita è tracciata schematicamente entro il blocco stesso elemento lineare, caratterizzato dalla costante di proporzionalità K che lega l uscita all ingresso t = K(t), specificata di regola entro il blocco stesso La seconda rappresentazione può essere estesa anche ai sistemi dinamici lineari stazionari, introducendo, al posto della costante di proporzionalità, la funzione di trasferimento, che comprende ogni informazione relativa al comportamento dinamico ingresso-uscita (a partire da una condizione iniziale di quiete). Controlli Automatici Trasformate di Laplace 30

31 Riduzione di blocchi in cascata Riduzione di schemi a blocchi - Regole K z 1 K 2 K 1 K 2 Riduzione di blocchi in parallelo K 1 1 K 1 + K 2 K 2 2 Controlli Automatici Trasformate di Laplace 31

32 Scambio di giunzioni sommanti Riduzione di schemi a blocchi - Regole w + + z w + + z Spostamento di un punto di prelievo a monte di un blocco K K K Controlli Automatici Trasformate di Laplace 32

33 Riduzione di schemi a blocchi - Regole Spostamento di un punto di prelievo a valle di un blocco K K 1/K Spostamento di una giunzione sommante a monte di un blocco K + + z 1/K z + + K Controlli Automatici Trasformate di Laplace 33

34 Riduzione di schemi a blocchi - Regole Spostamento di una giunzione sommante a valle di un blocco z + + K z K K + + Eliminazione di un anello + e K 1 K K 1 K 2 K 2 Controlli Automatici Trasformate di Laplace 34

35 Mediante queste otto regole fondamentali si possono ridurre schemi a blocchi comunque complessi fino a giungere ad una forma minima che consiste: Riduzione di schemi a blocchi Sistemi con un solo ingresso ed una sola uscita: un solo blocco K 1 K 2 K 3 K 4 K 5 Sistemi con più ingressi e più uscite: numero di blocchi pari al prodotto del numero degli ingressi per il numero delle uscite K 4 K 5 1 K K = K 1K 5 (1 K 4 + K 2 K 2 K 4 + K 3 K 4 ) 1 K 4 2 K 11 K K 1 K 2 K K 12 K Controlli Automatici Trasformate di Laplace 35

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