La trasformata di Laplace e un OPERATORE funzionale

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1 FA-es Parte 1L 1 Trasformate di Laplace Importanza dei modelli dinamici Risolvere equazioni differenziali (lineari a coefficienti costanti) Metodi per risolverle???

2 FA-es Parte 1L 2 La trasformata di Laplace e un OPERATORE funzionale Tempo t Dominio complesso s

3 FA-es Parte 1L 3 Definizione : si considerano funzioni non nulle solo per continue a tratti, senza comportamento impulsivo per t = 0 (ed altre ipotesi sempre verificate dalle funzioni considerate in questo corso) L [f(t)] = Z +1 0 f(t) e st dt= F (s) Funzioni del tempo Funzioni complesse

4 FA-es Parte 1L 4 Perche queste trasformate sono utili? 1. Hanno molte proprieta che aiutano a risolvere le equazioni differenziali 2. Le trasformate si calcolano facilmente con delle trasformate notevoli

5 FA-es Parte 1L 5 Proprieta 1. Linearita : 2. Trasformata dell integrale:

6 FA-es Parte 1L 6 Proprieta 3. Trasformata della derivata: Derivate di ordine n

7 FA-es Parte 1L 7 Proprieta 4. Traslazione in frequenza: se 5. Traslazione nel tempo:

8 FA-es Parte 1L 8 Proprieta 6. Cambiamento di scala nei tempi 7. Moltiplicazione per :

9 FA-es Parte 1L 9 Proprieta Def: integrale di convoluzione non nulle per 8. Si dimostra che:

10 FA-es Parte 1L 10 Trasformate notevoli 1. Trasformata del gradino unitario:

11 FA-es Parte 1L 11 Definizione: di Dirach Si puo vedere come il di una successione di funzioni tali che:

12 FA-es Parte 1L 12 Proprietà ed utilizzo integrale unitario (per definizione) proprietà di estrazione (sifting property ) Utilizzo nello studio dei sistemi dinamici a tempo continuo: condizioni iniziali; comportamento ingresso/uscita del sistema (risposta all impulso)

13 FA-es Parte 1L 13 Trasformata di Laplace: espressione generale Ammettendo che la funzione abbia comportamento impulsivo a t = 0 (le altre condizioni su f(t) sono verificate)

14 FA-es Parte 1L 14 Trasformata della derivata: espressione generale Ammettendo che la funzione abbia comportamento impulsivo a t= 0 (le altre condizioni su f(t) sono verificate) Trasformata della derivata: Derivate di ordine n

15 FA-es Parte 1L 15 Trasformate notevoli 2. Trasformata della di Dirach

16 FA-es Parte 1L 16 Trasformate notevoli 3. Trasformata dell esponenziale :

17 FA-es Parte 1L 17 Trasformate notevoli 4. Trasformata di :...basta applicare la proprieta di moltiplicazione per...

18 FA-es Parte 1L 18 Trasformate notevoli 5. Trasformata di :...basta ricordare le proprieta di moltiplicazione per traslazione in frequenza... e di

19 FA-es Parte 1L 19 Trasformate notevoli Trasformata di e di...ricordiamo le formule di Eulero...

20 FA-es Parte 1L 20 Trasformate notevoli 6. Trasformata di :

21 FA-es Parte 1L 21 Trasformate notevoli 7. Trasformata di :

22 FA-es Parte 1L 22 Applicazione: Vogliamo risolvere l'equazione: Con condizioni iniziali:

23 FA-es Parte 1L 23 Se e un gradino unitario ed applichiamo le proprieta viste:

24 FA-es Parte 1L 24 Si e ottenuta un equazione algebrica da cui esplicitare : Da questa equazione si puo tornare nel dominio del tempo, ANTITRASFORMANDO

25 Applicazione: FA-es Parte 1L 25 sistema massa-molla (parte1, 32)

26 FA-es Parte 1L 26 Risposta libera dipende dalle condizioni iniziali? Risposta forzata dipende dall ingresso

27 FA-es Parte 1L 27 Applicazione: controllo di livello (parte 2, 1) Ipotesi: -serbatoio infinito -no disturbo -controllore proporzionale

28 FA-es Parte 1L 28 controllo di livello Trasformiamo con Laplace, con C.I. nulle ( e il RIFERIMENTO!):?

29 FA-es Parte 1L 29 Antitrasformate A partire da si risale - sotto opportune ipotesi - ad calcolando : Che vale per CAUSALE, cioe non nulla solo per, lascissa di convergenza. Tutte le singolarità di F(s) sono a sinistra della retta individuata da.... non ne faremo uso

30 FA-es Parte 1L 30 Ci interessa antitrasformare funzioni razionali fratte Antitrasformate Non applicheremo mai la definizione di antitrasformata!

31 FA-es Parte 1L 31 Antitrasformate Deve essere n>m Se e causale, questa condizione e sempre verificata. Altrimenti la teoria delle trasformate ricorre alle funzioni generalizzate...che non vedremo

32 FA-es Parte 1L 32 Antitrasformate (bis) Come si opera nel caso in cui fosse? Nel caso in cui, (funzioni razionali non strettamente proprie) nel segnale ottenuto come antitrasformata comparirà un impulso di Dirac.

33 FA-es Parte 1L 33 Espansione in fratti semplici avremo r zeri: di molteplicita avremo q poli: di molteplicita

34 FA-es Parte 1L 34 Espansione in fratti semplici Vogliamo scrivere come:

35 FA-es Parte 1L 35 Espansione in fratti semplici Per la proprieta di linearita la sua antitrasformata si potra calcolare cosi : Risulta facile antitrasformare il singolo termine di questa sommatoria.

36 FA-es Parte 1L 36 Espansione in fratti semplici Infatti si ha che: Ancora per le proprieta di linearita, traslazione in frequenza e moltiplicazione per.

37 FA-es Parte 1L 37 Espansione in fratti semplici Se sappiamo calcolare i coefficienti abbiamo automaticamente la Metodo 1: basato sul principio di identita dei polinomi -àva bene per poli a molteplicita unitaria Metodo 2: basato sul calcolo dei residui -à va bene per poli multipli

38 FA-es Parte 1L 38 Espansione in fratti semplici Risolviamo l esercizio (parte2, 23) lasciato in sospeso, con entrambi i metodi a. Risposta libera Per analogia col caso massamolla! b. Risposta forzata a. Metodo 1 - qui conviene perche ci sono poli a molteplicita unitaria

39 FA-es Parte 1L 39 Espansione in fratti semplici

40 FA-es Parte 1L 40 Espansione in fratti semplici b. Metodo 2?

41 FA-es Parte 1L 41 Espansione in fratti semplici Per calcolare i coefficienti si applica questa formula: Per poli di molteplicita unitaria: Detta formula di Heaviside Derivata prima del denominatore!

42 FA-es Parte 1L 42 Espansione in fratti semplici Dunque finiamo l esercizio:

43 FA-es Parte 1L 43 Espansione in fratti semplici Espressione finale di : Antitrasformando: Soluzione dell equazione differenziale:

44 FA-es Parte 1L 44 Applicazione: sistema massa-molla Se e un gradino

45 FA-es Parte 1L 45 Espandendo in fratti semplici: Vedi (parte 1,34) Si e gia visto l andamento della a seconda che le radici siano reali o complesse.

46 FA-es Parte 1L 46 Applicazione: controllo di livello µ H(s) = As +(k + µ) L 2 H(s) = 6 4 s + h(t) = µh0 k + µ C 1 (k + µ) A + C 2 s h0 (t) (k + e A t A 1(t) dopo qualche passaggio vedi (parte 2, 4)

47 FA-es Parte 1L 47 Studio qualitativo delle soluzioni CASI :

48 FA-es Parte 1L 48

49 FA-es Parte 1L 49 Studio qualitativo delle soluzioni Osservazioni: Per l andamento della funzione converge SEMPRE a zero Per l andamento e divergente, con velocita crescente con la molteplicita del polo; e limitata sse la molteplicita del polo e unitaria Per l andamento e SEMPRE divergente

50 FA-es Parte 1L 50 se e una radice del denominatore di, allora lo sara anche il suo complesso e coniugato Nella scomposizione troveremo come coefficienti legati a i coefficienti : dunque dovremo antitrasformare

51 FA-es Parte 1L 51 Sviluppando si ottiene:

52 FA-es Parte 1L 52

53 FA-es Parte 1L 53 Studio qualitativo delle soluzioni Osservazioni: Per l andamento della funzione converge SEMPRE a zero Per la funzione e limitata sse la molteplicita di p e unitaria Per l andamento e SEMPRE divergente

54 Proprieta FA-es Parte 1L 54 Vediamo ancora due proprieta molto importanti: Teorema del valore iniziale IPOTESI: F(s) strettamente propria, cioe n>m. solo per chi e curioso: se ha impusi - - nell origine il teorema non vale in questa forma... riflettere sul perche!

55 Proprieta FA-es Parte 1L 55 Teorema del valor finale IPOTESI: Tutti poli sono nel semipiano sinistro, con al piu un polo di molteplicita unitaria nell origine. E un teorema molto utile: si trova subito il valore regime della senza fare troppi calcoli!

56 FA-es Parte 1L 56 Teorema del valor finale: esempi Applicazione corretta: lim t!+1 e t =0=lims s!0 1 s +1 C e un solo polo a parte reale negativa Applicazione scorretta: lim t!+1 sin (! t) lim? s! s!0 s 2 +! =1 69 lim t!+1 sin (! t) Ci sono due poli immaginari puri!

57 Esercizi FA-es Parte 1L Antitrasformare la funzione :

58 FA-es Parte 1L 58 Antitrasformiamo : fine!

59 FA-es Parte 1L Carica e scarica di un circuito RC parallelo: Equazioni di stato Per il secondo principio di Kirchhoff (al nodo A): A R C

60 FA-es Parte 1L 60 a) Ingresso nullo, ma con condizioni iniziali diverse da zero : il circuito si scarica. Applichiamo Laplace:

61 FA-es Parte 1L 61 b) Soluzione ad ingresso diverso da zero, ma condizioni iniziali nulle : il circuito si carica. Se l ingresso e un gradino in corrente: Allora espandiamo in fratti semplici...

62 FA-es Parte 1L 62 Se R=10, C=1 si ha RC=10 e dunque:

63 FA-es Parte 1L 63 fine!

64 FA-es Parte 1L Antitrasformare la funzione: Innanzitutto troviamo i poli: Poi espandiamo in fratti semplici:

65 FA-es Parte 1L 65 Applichiamo la formula dei residui : Che non e molto agevole perche presenta coefficienti complessi...

66 FA-es Parte 1L 66 Semplifichiamola sfruttando le formule di Eulero: Ma si poteva anche accoppiare i poli complessi e coniugati: Antitrasformando > ricordare la proprieta di traslazione in frequenza: fine!

67 FA-es Parte 1L 67 Quello appena visto si dice metodo del COMPLETAMENTO DEI QUADRATI: a. Si accoppiano i poli complessi e coniugati: b. Si aggiustano le costanti al numeratore per avere:

68 FA-es Parte 1L Antitrasformare la funzione : Abbiamo gia i poli...stavolta facciamo attenzione agli zeri!! Infatti ci sono delle semplificazioni fra numeratore e denominatore: un fattore si elimina... Magari non ce ne siamo accorti... Ma facendo i conti nell espansione in fratti semplici il coefficiente legato ad risultera nullo! Se nell espansione un coefficiente risulta NULLO significa che ci sono delle semplificazioni di cui non ci si e accorti. fine!