Appunti di calcolo integrale

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1 prte II Integrle definito Liceo Scientifico A. Volt - Milno 23 mrzo 2017

2 Integrle definito Si y = f (x) un funzione continu in I = [, b]. Si chim trpezoide l figur curviline pin delimitt: dl grfico dell funzione y = f (x) dll immgine di I sull sse x dlle rette di equzioni: x = e x = b.

3 Integrle definito Voglimo clcolre l re A del trpezoide di un funzione y = f (x), continu e non-negtiv in I = [, b].

4 Integrle definito L stim elementre è: m (b ) A M (b )

5 Integrle definito Con un punto di divisione si ottiene:

6 Integrle definito Con 2 punti di divisione si ottiene:

7 Integrle definito Con 3 punti di divisione si ottiene:

8 Integrle definito Con 4 punti di divisione si ottiene:

9 Integrle definito Con 5 punti di divisione si ottiene:

10 Integrle definito Con 10 punti di divisione si ottiene:

11 Integrle definito Con 20 punti di divisione si ottiene:

12 Integrle definito Con 50 punti di divisione si ottiene:

13 Integrle definito Al crescere del numero n dei punti di divisione: l mpiezz di ogni sub-intervllo diminuisce l somm delle ree dei rettngoli zzurri diminuisce l somm delle ree dei rettngoli rossi ument.

14 Integrle definito Se: lim Adif. = lim Aecc. = A R, n + n + si dice che f (x) è integrbile in [, b].

15 Integrle definito Si scrive: A = dove f (x) dx f (x) dx è l integrle definito di f (x) su [, b].

16 Integrle definito e re Se f (x) 0 x [, b], l re A del trpezoide coincide con il vlore dell integrle definito: A = f (x) dx.

17 Integrle definito e re Esempio: π 0 sin x dx = A = 2

18 Integrle definito: clcolo Il vlore di un integrle definito è ugule ll vrizione di un primitiv dell funzione integrnd sull intervllo di integrzione.

19 Integrle definito: clcolo Il vlore di un integrle definito è ugule ll vrizione di un primitiv dell funzione integrnd sull intervllo di integrzione. Mostrimo che: π 0 sin x dx = 2.

20 Integrle definito: clcolo Il vlore di un integrle definito è ugule ll vrizione di un primitiv dell funzione integrnd sull intervllo di integrzione. Mostrimo che: π 0 sin x dx = 2. F (x) = cos x è un primitiv di sin x

21 Integrle definito: clcolo Il vlore di un integrle definito è ugule ll vrizione di un primitiv dell funzione integrnd sull intervllo di integrzione. Mostrimo che: π 0 sin x dx = 2. F (x) = cos x è un primitiv di sin x l su vrizione su [0, π] è: F (π) F (0), cioè: ( cos π) ( cos 0) = ( 1) ( 1) = +2,

22 Integrle definito: clcolo Il vlore di un integrle definito è ugule ll vrizione di un primitiv dell funzione integrnd sull intervllo di integrzione. Mostrimo che: π 0 sin x dx = 2. F (x) = cos x è un primitiv di sin x l su vrizione su [0, π] è: F (π) F (0), cioè: ( cos π) ( cos 0) = ( 1) ( 1) = +2, dunque: π 0 sin x dx = 2.

23 Integrle definito: clcolo In generle: formul di Newton-Leibniz. Se F (x) è un primitiv di f (x): f (x) dx = F (b) F ().

24 Integrle definito e re Se f (x) 0 x [, b], l integrle definito è l opposto dell re A del trpezoide: f (x) dx = A.

25 Integrle definito e re Esempio: 2π π sin x dx = 2

26 Integrle definito e re Se l funzione cmbi segno sull intervllo d integrzione, questo v suddiviso in modo d ricondursi lle situzioni precedenti.

27 Integrle definito e re Esempio: l re del trpezoide di figur vle A = 3. Inftti: π ( 2π ) A = sin x dx + sin x dx = = 3. π/2 π

28 Integrle definito e re Esempio: l integrle: 2π π/2 trpezoide di figur. Inftti: sin x dx non è ugule ll re del 2π π/2 sin x dx = cos 2π + cos π 2 = = 1.

29 Integrle definito e re Quindi: f (x) dx coincide con l re del trpezoide solo se f (x) è non-negtiv in [, b].

30 Integrle definito: proprietà Additività (rispetto ll funzione integrnd) Omogeneità [f (x) + g(x)] dx = f (x) dx + g(x) dx. k f (x) dx = k f (x) dx.

31 Integrle definito: proprietà Additività (rispetto ll intervllo d integrzione) c [, b] f (x) dx = c f (x) dx + f (x) dx. c Un integrle definito con gli estremi uguli è nullo: f (x) dx = 0.

32 Integrle definito: proprietà Invertendo l ordine degli estremi, l integrle cmbi segno: f (x) dx = b f (x) dx. Formul di Newton-Leibniz. Se F (x) è un primitiv di f (x): f (x) dx = F (b) F ().

33 Integrle definito: proprietà Monotoni I. Se x I = [, b] risult: f (x) g(x) e queste sono mbedue integrbili in I, llor: f (x) dx g(x) dx. Monotoni II. Se f (x) è integrbile in I, llor lo è nche f (x) e risult: f (x) dx f (x) dx. N.B.: vle l ugule qundo f (x) h segno costnte in I.

34 Vlore medio di un funzione Definizione. Si chim vlore medio (o medi integrle) di un funzione f (x), continu nell intervllo I = [, b], l quntità: con x 0 [, b]. f (x 0 ) = 1 f (x) dx b

35 Teorem dell medi integrle (o del vlore medio) Teorem Si y = f (x) un funzione continu in I = [, b]. Allor esiste lmeno un punto x 0 I tle che: f (x) dx = (b ) f (x 0 ) dove f (x 0 ) è l medi integrle di f in I.

36 Il teorem dell medi integrle Il teorem dell medi integrle grntisce l esistenz di un rettngolo con: bse ugule b ltezz ugule ll medi integrle f (x 0 ) equivlente l trpezoide.

37 Il teorem dell medi integrle Ad esempio: l medi integrle di f (x) = sin x in [0, π] è dt d: d cui: f (x 0 ) = sin x 0 = π 0 sin x dx π x 0 = rcsin(2/π) 39, 5. = 2 π,

38 Il teorem dell medi integrle

39 Il teorem dell medi integrle Il teorem di Lgrnge per un funzione y = ϕ(x) in I fferm che: x 0 [, b] ϕ (x 0 ) = ϕ(b) ϕ(). b Se ϕ(x) è un primitiv di f (x), llor ϕ (x) = f (x) e risult: x 0 [, b] f (x 0 ) = che è l tesi del teorem dell medi integrle. f (x) dx, b

40 Funzione integrle Definizione. Si f (x) integrbile in I = [, b]. L funzione Φ(x) che, d ogni x I ssoci l integrle di f d x, è dett funzione integrle: Φ(x) = x f (t) dt. N.B.: l dipendenz d x è contenut nell estremo superiore.

41 Teorem di Torricelli-Brrow Teorem Si f (x) continu in I = [, b] e si x un punto interno d esso. Allor l funzione integrle: Φ(x) = x f (t) dt. è derivbile in I ed è un primitiv di f (x), cioè: Φ (x) = f (x).

42 Teorem di Torricelli-Brrow Il teorem h grnde rilievo per due motivi: 1 stbilisce il legme tr integrle definito e indefinito 2 permette di clcolre l integrle definito.

43 Teorem di Torricelli-Brrow 1. Poichè: f (x) dx = F (x) + k, dl teorem di Torricelli-Brrow segue subito: f (x) dx = x f (t) dt + k.

44 Teorem di Torricelli-Brrow 2. L generic primitiv di f (x) h l form: pertnto: F (x) = x f (t) dt + k, F () = f (t) dt + k, F (b) = f (t) dt + k;

45 Teorem di Torricelli-Brrow Si ottiene llor: F (b) = cioè l formul di Newton-Leibniz: f (t) dt + F (), f (t) dt = F (b) F (). N.B.: il vlore di un integrle definito è indipendente dll vribile d integrzione: f (t) dt = f (x) dx = f (z) dz =