Lezioni di Meccanica del Volo 2 - Modello dell atmosfera. L. Trainelli

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1 Lezioni di Meccanica del Volo 2 - Modello dell atmosfera L. Trainelli 1

2 2 Indice 1 INTRODUZIONE Caratteristiche dell atmosfera Regioni dell atmosfera Variazione della pressione e della densità con la quota ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA) Definizione Distribuzione della pressione e della densità Distribuzione della viscosità Atmosfere non standard marzo 2008 (Versione 1)

3 1 INTRODUZIONE 3 Problem: Flight attendant cold at altitude. Action: Ground checks OK. one of the QUANTAS squawks (from the Internet). 1 INTRODUZIONE In questa sezione consideriamo l analisi del modello adottato nella Meccanica del Volo per l atmosfera terrestre. Si tratta di un argomento di importanza fondamentale, dato che la porzione d atmosfera in cui è immerso il velivolo è caratterizzata da valori di pressione, temperatura, densità, viscosità, etc. da cui dipendono in modo estremamente significativo tanto le forze aerodinamiche, quanto le forze propulsive agenti su velivolo stesso. 1.1 Caratteristiche dell atmosfera L atmosfera è una regione gassosa che circonda interamente la Terra. L aria che la compone, per la porzione che interessa il volo (troposfera e stratosfera, si veda oltre) è una miscela di gas (78% N 2, 21% O 2, 1% Ar 2, etc.) che si comporta con buona approssimazione secondo il modello teorico del gas perfetto. Tale modello implica che le grandezze di stato pressione p, densità ρ e temperatura ϑ siano legate dalla legge p = R ρ ϑ, (1) dove R = m 2 /K s 2. Mediante tale legge, è possibile, date due grandezze di stato qualsiasi scelte tra (p, ρ, ϑ), determinare la terza. Uno scostamento da questo comportamento si ha quando l aria è umida, ossia quando è presente del vapore acqueo in quantità non trascurabile. Nell atmosfera l acqua risulta presente anche allo stato liquido (gocce) e solido (aghi di ghiaccio), concentrata nei diversi tipi di nube e durante le precipitazioni meteorologiche. 1.2 Regioni dell atmosfera I parametri caratteristici dell aria circostante un velivolo, come le grandezze di stato citate, la velocità del suono a, la viscosità µ, etc. dipendono in modo rilevante dalla quota geometrica h. Dall osservazione sperimentale degli andamenti medi di tali grandezze con la quota si deduce una classificazione delle diverse porzioni dell atmosfera: troposfera dal livello del suolo ad una quota variabile tra gli 8000 m ai poli e i m all equatore; si tratta di una zona caratterizzata da una progressiva diminuzione della temperatura;

4 1 INTRODUZIONE 4 stratosfera dalla tropopausa (il confine superiore della troposfera) ad una quota di circa m; si tratta di una zona caratterizzata da una temperatura pressochè costante; mesosfera dalla stratopausa (il confine superiore della stratosfera) ad una quota di circa m; si tratta di una zona caratterizzata da una temperatura monotonicamente crescente fino alla quota di m e poi monotonicamente decrescente fino a toccare la temperatura minima che si registri nell atmosfera terrestre; termosfera dalla mesopausa (il confine superiore della mesosfera) verso lo spazio esterno; si tratta di una zona caratterizzata da una temperatura monotonicamente crescente il cui valore, anche superiore a 200 C, dipende fortemente dall attività solare. 1.3 Variazione della pressione e della densità con la quota Si assume che l aria in quiete si comporti come un gas perfetto in equilibrio statico sotto l effetto delle sole forze dovute alla pressione p ed al campo di gravità uniforme 1 di intensità g 0 = m/s 2, per cui dp dh = ρ g 0. (2) In tal caso, è possibile esprimere la dipendenza della pressione al variare della quota secondo la relazione dp dh = p R ϑ g 0, (3) ossia secondo l equazione differenziale dp p = g 0 dh, (4) R ϑ Questa, integrata tra una quota di riferimento ed una quota generica h, risulta h dp h p = g 0 dh R ϑ (5) ossia ln p(h) = g h 0 p ref R dh ϑ(h), (6) essendo p ref := p( ). Pertanto, se si conosce la distribuzione ϑ(h) della temperatura con la quota, è possibile valutare la pressione. Per la densità, data l equazione 1, si ha ln ρ(h) ρ ref = ln ϑ ref ϑ(h) g 0 R h dh ϑ(h), (7) 1 In queste note manterremo il pedice 0 per il valore dell accelerazione di gravità allo scopo di sottolineare che, per motivi convenzionali, tale valore ( m/s 2 ) è leggermente diverso da quello usato in ogni altra occasione (9.810 m/s 2 ).

5 2 ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA) 5 K C F Tab. 1: Corrispondenze tra le scale di temperatura assoluta (kelvin), Celsius (centigradi) e Farenheit. essendo ρ ref := ρ( ) e quindi vale la stessa considerazione. Unità di misura L unità di misura della pressione, nel Sistema Internazionale, è il pascal (Pa), pari a un newton per metro quadrato. Tra le varie unità tecniche in uso nella pratica aeronautica vanno citate il millibar (mb), l atmosfera (atm), il millimetro di mercurio (mm Hg ) ed il pollice di mercurio (in Hg ). 2 Per quanto riguarda la densità, l unita di misura SI è il kilogrammo per metro cubo (kg/m 3 ), mentre nella pratica aeronautica si può incontrare il grammo per centimetro cubo (g/cm 3 ), la libbra per piede cubico (pound cubic foot, lb/ft 3 ) oppure lo slug per piede cubico (slug cubic foot, slug/ft 3 ). 3 Per la temperatura, l unità di misura SI è il kelvin (K). Tra le unità in uso nella pratica aeronautica si trovano il grado centigrado (degree centigrade, C) e il grado Farenheit (degree Farenheit, F). 4 2 ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA) In generale, l atmosfera terrestre è caratterizzata da parametri (temperatura, pressione, densità, viscosità, umidità, etc.) dipendenti dal tempo e dalla posizione. Data l importanza di questi parametri per la dinamica dei velivoli, è necessario adottare un modello per l atmosfera che permetta di confrontare dati e calcoli in modo univoco. 2.1 Definizione L Atmosfera Standard Internazionale (International Standard Athmosphere, o ISA), anche detta Aria Tipo Internazionale, è un modello matematico dell atmosfera stabilito per convenzione dall ICAO (International Civil Aviation Organization) nel 1964 e adottato in tutto il mondo per le studio dei fenomeni di interesse aeronautico. Nell ISA, l aria è considerata un gas perfetto, privo di umidità, di composizione chimica costante. Si assume che l atmosfera sia composta da una troposfera che si estende dall altezza del livello del mare medio, ossia dalla quota h 0 = 0 m, 2 1 mb = Pa, 1 atm = Pa, 1 mm Hg = Pa, 1 in Hg = Pa. 3 1 lb/ft 3 = kg/m 3, 1 slug/ft 3 = kg/m C = 1 K, 1 F = 1.8 K. La corrispondenza tra le scale di temperatura è riportata nella tabella 1.

6 2 ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA) 6 quota (m) K C Tab. 2: Temperatura ISA al livello medio del mare, alla tropopausa, e ad alcune quote intermedie. quota (m) m/s km/h kts Tab. 3: Velocità del suono ISA al livello medio del mare, alla tropopausa, e ad alcune quote intermedie. alla quota h S = m; da una stratosfera che si estende dall altezza h S della tropopausa alla quota h M = m; da una atmosfera esterna (di interesse soltanto per il volo extra-atmosferico) che si estende dall altezza h M della stratopausa in poi. Inoltre, si assume una variazione ben precisa del gradiente di temperatura λ, definito da λ := dϑ dh, (8) in ognuna delle porzioni di interesse: nella troposfera il gradiente di temperatura ha un valore costante pari a λ ISA = K/m; nella stratosfera è nullo, λ ISA = 0 K/m. In sintesi, pertanto, λ ISA := { K/m, h [h0, h S ) 0 K/m, h [h S, h M ). (9) La dipendenza della temperatura al variare della quota nella tropopausa è dunque data da ϑ ISA (h) = ϑ 0 + λ ISA h, h [h 0, h S ). (10) dove ϑ 0 := ϑ ISA (h 0 ) = K. Il valore ottenuto alla quota di m è ϑ S := ϑ ISA (h S ) = K. Tale valore si mantiene costante nella stratosfera,

7 2 ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA) 7 essendo la temperatura data da ϑ ISA (h) = ϑ S, h [h S, h M ). (11) L andamento della temperatura secondo le leggi 10 e 11 è data nella figura 1. La tabella 2 riporta alcuni valori della temperatura a diverse quote. L ipotesi di una variazione data della temperatura con la quota, unita a quella di gas perfetto, rende ogni grandezza di stato funzione della sola quota. Ad esempio, essendo la velocità del suono (sound speed) a in un gas perfetto funzione della sola temperatura tramite l equazione a = γ R ϑ, (12) dove γ = 1.4, la definizione dell ISA implica una dipendenza della velocità del suono con la quota data da nella troposfera, e da a ISA (h) = γ R (ϑ 0 + λ ISA h), (13) a ISA (h) = γ R ϑ S = a S, (14) nella stratosfera. I valori alla quota del livello del mare medio e alla tropopausa sono a 0 := a ISA (0) = m/s e a S := a ISA (h S ) = m/s. La tabella 3 riporta alcuni valori della velocità del suono a diverse quote. 2.2 Distribuzione della pressione e della densità Assumendo la distribuzione di temperatura dell ISA, dalle equazioni 6 e 7 si ottengono le distribuzioni della pressione e della densità al variare della quota. Infatti, nella troposfera si ha h dh ϑ(h) = 1 λ ISA ϑ ϑ ref dϑ ϑ = 1 λ ISA ln ϑ(h) ϑ ref, (15) per cui ln p(h) p ref = g 0 ln ρ(h) ρ ref = ln ϑ(h), ϑ ref ) R λ ( ISA 1 + g 0 R λ ISA ln ϑ(h) ϑ ref (16) e quindi p(h) p ref = ρ(h) ρ ref = ( ϑ(h) ϑ ref ( ϑ(h) ϑ ref ) g 0 R λ ISA, ) ) (1+ g 0 R λ ISA. (17)

8 2 ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA) 8 Nella stratosfera invece si ha per cui h dh ϑ(h) = 1 ϑ S h dh = h ϑ S, (18) ln p(h) p ref = g 0 R ϑ S (h ), ln ρ(h) ρ ref = g 0 R ϑ S (h ). Le leggi di distribuzione della pressione risultano quindi date da p ISA (h) = p 0 ( 1 + λ ISA p ISA (h) = p S exp e quelle della densità da ϑ 0 ρ ISA (h) = ρ 0 ( 1 + λ ISA ρ ISA (h) = ρ S exp (19) ) g 0 R λ ISA h, h [h 0, h S ), (20) ) ( g 0 R ϑ S (h h S ) ϑ 0 ) ) (1+ g0 R λ ISA h ) ( g 0 R ϑ S (h h S ), h [h S, h M ), (21), h [h 0, h S ), (22). h [h S, h M ), (23) I valori di pressione e temperatura di riferimento per la quota del livello medio del mare e per la tropopausa sono p 0 := p ISA (h 0 ) = Pa, ρ 0 := ρ ISA (h 0 ) = kg/m 3, p S := p ISA (h S ) = Pa, ρ S := ρ ISA (h S ) = kg/m 3. L andamento della pressione e della densità secondo le leggi 20, 21,22 e 23 sono date nelle figure 2 e 3. La figura 4 mostra gli andamenti dei rapporti adimensionali T/T 0, p/p 0 e ρ/ρ 0 con h. 2.3 Distribuzione della viscosità Nell ISA si assume che la viscosità µ, che ha rilievo nella valutazione della resistenza dei velivoli, vari con la quota secondo l equazione seguente: ϑisa(h) µ ISA (h) = β 3 ϑ ISA (h) + S, (24) dove le costanti β e S valgono rispettivamente β = kg/s m K 1/2 e S = K. Risulta pertanto µ 0 := µ ISA (0) = kg/m s e µ S := µ ISA (h S ) = kg/m s. Di conseguenza, µ ISA (h) = µ 0 ϑ 0 + S ϑ ISA (h) + S ) 3 (ϑisa(h) (25) ϑ 0

9 2 ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA) 9 quota (m) Pa atm mb mm Hg in Hg Tab. 4: Pressione ISA al livello medio del mare, alla tropopausa, alla stratopausa e ad alcune quote intermedie. quota (m) kg/m 3 lb/ft 3 slug/ft Tab. 5: Densità ISA al livello medio del mare, alla tropopausa, alla stratopausa e ad alcune quote intermedie. nella troposfera e nella stratosfera. µ ISA (h) = µ S (26) 2.4 Atmosfere non standard Per tenere conto della differenza tra l atmosfera del giorno dall ISA si definisce un modello d atmosfera non standard (off-isa atmosphere) attraverso una diversa distribuzione di temperatura ϑ(h) ϑ ISA (h). Questa viene fornita attraverso un incremento ϑ costante con h rispetto alla legge 10: ϑ(h) = ϑ ISA (h) + ϑ = (ϑ 0 + ϑ) + λ ISA h. (27) Nella pratica aeronautica, le condizioni non standard vengono descritte indicando la temperatura ad una data quota come ISA + ϑ. Questa correzione ha particolare importanza nelle zone inferiori della troposfera. Infatti, ai fini della condotta del volo, a quote elevate il riferimento convenzionale all atmosfera standard è di norma accettabile.

10 2 ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA) 10 2 x 104 ISA temperature distribution altitude [m] temperature [K] Fig. 1: Distribuzione della temperatura nell Atmosfera Standard Internazionale (ISA). 2 x 104 ISA pressure distribution altitude [m] pressure [Pa] x 10 4 Fig. 2: Distribuzione della pressione nell Atmosfera Standard Internazionale (ISA).

11 2 ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA) 11 2 x 104 ISA density distribution altitude [m] density [kg/m 3 ] Fig. 3: Distribuzione della densità nell Atmosfera Standard Internazionale (ISA). 2 x 104 ISA adimensional temperature, pressure and density distribution temperature ratio pressure ratio density ratio altitude [m] adimensional ratios Fig. 4: Distribuzione dei rapporti della temperatura, della pressione e della densità rispetto ai loro valori a quota 0 nell Atmosfera Standard Internazionale (ISA).

12 2 ATMOSFERA STANDARD INTERNAZIONALE (ISA) 12 Avvertenza Questo testo è fornito per uso personale degli studenti. Viene reso disponibile in forma preliminare, a supporto per la preparazione dell esame di Meccanica del Volo. È gradita la segnalazione di errori e refusi. Copyright Dipartimento di Ingegneria Aerospaziale Politecnico di Milano (Legge italiana sul Copyright n. 633)

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