Indice. 1 Introduzione ai numeri indici

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1 INSEGNAMENTO DI STATISTICA ECONOMICA LEZIONE II I NUMERI INDICE PROF. EMANUELE CORLETO

2 Indice 1 Introduzione ai numeri indici Numeri indici semplici e numeri indici complessi La costruzione dei numeri indici Le formule più usate Proprietà delle formule Gli indici a catena Indici statistici e indici economici I numeri indici ufficiali di 30

3 1 Introduzione ai numeri indici L alternarsi nell attività economica di periodi di prosperità e di depressione è un fenomeno osservato fin dal XVIII secolo. Ma è soprattutto dalla grande crisi degli anni trenta che le osservazioni sulle fluttuazioni dell attività economica nei paesi industrializzati si moltiplicano, talché analisi e previsioni a breve termine dell andamento dei sistemi economici divengono esse stesse un settore importante dell attività e della ricerca economica. Indispensabili strumenti di indagine nello studio delle fluttuazioni della produzione, della disoccupazione, dei prezzi e, più in generale, delle macrovariabili in cui si riflette il comportamento di un sistema economico nel suo complesso sono i numeri indici e le tecniche di analisi delle serie temporali. I numeri indici tendono a risolvere un esigenza ricorrente nell analisi quantitativa di breve periodo dei fenomeni economici come il confronto fra misure o gruppi di misure riferite a tempi, luoghi.o situazioni diverse. Poiché il confronto può riguardare di volta in volta prezzi (al consumo, alla produzione, di importazione; ecc.), grandezze fisiche (quantità prodotte, scambiate, consumate, ecc.) o valori (reddito nazionale, investimenti, ecc.), in pratica il problema da risolvere è quello di trovare una misura sintetica che consenta di confrontare grandezze eterogenee. Uno specifico impiego di particolari numeri indici di prezzi, ad esempio, è la misura dell inflazione. 3 di 30

4 2 Numeri indici semplici e numeri indici complessi1 I numeri indici complessi, o semplicemente numeri indici, sono particolari rapporti statistici che misurano simultaneamente e sinteticamente le variazioni di n grandezze osservate in due o più situazioni di tempo, di luogo o altro rispetto ad una situazione base: ad esempio, i prezzi unitari di n beni in alcune città o nella stessa città in epoche diverse. Vengono denominati, a loro volta, numeri indici semplici o numeri relativi i rapporti che mettono a confronto le intensità di uno stesso fenomeno in due o più situazioni diverse: ad esempio, il prezzo del pane di un particolare tipo nel corso di vari anni, oppure i prezzi attuali di due o più marche, etc. I numeri indici semplici e i numeri indici complessi misurano variazioni relative, sono sempre positivi e si configurano come puri numeri, nel senso che risultano indipendenti dalle unità di misura in cui sono espresse le grandezze considerate. Se le componenti del numero indice sono tutte della stessa specie (ad esempio, prezzi di varie merci o servizi, produzioni di vari beni), la combinazione degli indici semplici dà luogo ad un numero indice sintetico. In questo senso sono considerati sintetici gli indici dei prezzi, della produzione industriale e via dicendo. Se, invece, le componenti sono grandezze di specie differenti la sintesi dà luogo ad un numero indice composito, che, di norma, risulta dalla fusione di più indici sintetici e viene quindi costruito in fasi successive. Un indice composito è, ad esempio, un indice dell attività industriale ottenuto in base alla combinazione di grandezze non omogenee quali il numero degli addetti, le ore di lavoro, le quantità di materie prime impiegate, il fatturato, ecc. Il problema statistico dei numeri indici consiste in sostanza nel rappresentare in modo semplice un fenomeno di per sé complesso, fondendone opportunamente le componenti. 1 Alla luce delle conoscenze attuali il confronto fra misure o gruppi di misure come prezzi o produzioni riferite a tempi, a luoghi e, più in generale, a situazioni diverse è una operazione che presenta un certo grado di complessità e che ammette soltanto soluzioni di natura convenzionale. Ciò significa che gli strumenti utilizzabili per risolvere questo tipo di problemi denominati numeri indici non sono esenti da difetti e, di conseguenza, da critiche sia di ordine logico che formale. 4 di 30

5 3 La costruzione dei numeri indici I problemi da affrontare per costruire un numero indice o una serie di numeri indici si possono riassumere nei punti seguenti: a) scelta delle grandezze/variabili (beni e/o servizi); b) scelta della situazione-base (o scelta della base); c) scelta del criterio di aggregazione (o scelta della media); d) scelta di un sistema di ponderazione. In questo capitolo vengono considerati soltanto numeri indici di prezzi e di quantità. In tale contesto le operazioni necessarie possono essere illustrate facendo riferimento ad un gruppo di n beni e/o servizi osservati in k situazioni diverse (si pensi, ad esempio, ai prezzi del pane, del latte e della pasta rilevati in città diverse). Indichiamo, per semplicità, con p e q i prezzi unitari (o medie di prezzi) e le quantità, espresse in termini fisici, degli n beni (e/o servizi) nelle k diverse situazioni di tempo, di luogo o altro. Schema di rappresentazione dei prezzi unitari di n beni in k situazioni Situazioni B eni e servizi 1 2 r s k 1 2 p p p p p 11q 11 12q 12 1rq 1r 1sq 1s 1kq 1k p p p p p 21q 21 22q 22 2rq 2r 2sq 2s 2kq 2k i p p p p p i1q i1 i2q i2 irq ir isq is ikq ik n p p p p p n1q n1 n2q n2 nrq nr nsq ns nkq nk 5 di 30

6 Quando si costruiscono numeri indici dei prezzi si presuppone che la qualità dei beni e/o servizi resti invariata, ed è quindi indispensabile operare in modo tale che la condizione sia rispettata. In pratica i prezzi dei singoli beni e le corrispondenti quantità potranno variare da una situazione all altra per direzione (cioè in aumento o in diminuzione) e intensità. Di conseguenza il problema da risolvere è quello di sintetizzare le variazioni relative dei prezzi in un solo indicatore che possa essere interpretato come misura della variazione relativa del livello dei prezzi dei beni considerati; oppure, nel caso delle quantità quando, ad esempio, si faccia riferimento ai consumi di un campione di famiglie rappresentativo dell intera popolazione, come misura della variazione delle condizioni di vita o del benessere collettivo. Disponendo dei dati riportati in simboli nella tabella precedente si possono calcolare variazioni dei prezzi, delle quantità e dei valori fra le situazioni r e s (o viceversa), o anche fra altre due o più situazioni. Nel caso in cui sia k = 2 i confronti fra le situazioni r e s sono denominati binari; se invece è k > 2 si hanno confronti rnultilaterali. Consideriamo più da vicino le singole fasi di costruzione dei numeri indici. a) La scelta dei beni e/o servizi può essere campionaria (come in generale si verifica) o esaustiva, e viene effettuata tenendo presenti soprattutto gli obiettivi conoscitivi da perseguire e la possibilità concreta di reperire le informazioni necessarie. Nelle due situazioni l indice sarà rispettivamente rappresentativo o completo. Quanto alla rappresentatività, un indice dei prezzi dovrebbe risultare tanto più adeguato ai suoi scopi quanto maggiore è il numero dei beni sui quali viene calcolato. Ma, essendo praticamente impossibile seguire i prezzi di tutti i beni (e in tutte le transazioni a cui essi danno luogo) è necessario scegliere solo alcuni beni, e cioè quelli i cui prezzi possono fornire con le loro variazioni una indicazione fedele delle variazioni di tutti i beni scambiati in un dato mercato 2. b) Il denominatore del rapporto che definisce il numero indice ne identifica la base. Nel caso di indici che misurano variazioni temporali, la scelta della base è riferita di solito ad una unità di tempo in cui le grandezze considerate assumono valori abbastanza 2 Del resto, che la validità di un. indice dipenda non tanto dal numero elevato di beni che si considerano quanto dal tipo di scelta è stato da tempo messo in luce da Irving Fisher, che, partendo da un indice basato su 200 merci, attraverso successive eliminazioni di quelle via via meno importanti per il mercato americano, costruì indici basati prima su 100, poi su 50, 25, 12, 6 e infine soltanto 3 merci, ponendo in evidenza che le differenze fra gli indici via via calcolati, riferite ad uno stesso istante, non superavano mai il 5%. 6 di 30

7 normali, vale a dire non particolarmente alti o bassi. In una serie di numeri indici la base può essere fissa quando tutte le variazioni sono calcolate rispetto allo stesso denominatore, oppure mobile o variabile, quando ciascun termine della serie viene rapportato al precedente. c) Quanto al criterio di aggregazione, le alternative sono sostanzialmente due. Si può procedere calcolando l indice: 1. come rapporto di medie; 2. come media di rapporti (o di indici elementari), dopo aver scelto il tipo di media più conveniente. Le medie di più frequente impiego sono la media aritmetica, la media geometrica e la media armonica. Notevoli vantaggi si ottengono dall impiego della media geometrica che gode di particolari proprietà 3. d) Un problema particolarmente delicato nella costruzione dei numeri indici è la scelta delle ponderazioni. Il sistema dei pesi contrassegna il cosiddetto tipo dell indice e deve essere suggerito dallo scopo per il quale si procede al calcolo degli indici stessi. Le ponderazioni possono essere fisse o variabili, con o senza concatenamento. Nel caso di indici di prezzi o di produzioni si adotta generalmente un sistema di ponderazioni che rifletta l importanza dei singoli beni sul mercato. I pesi possono quindi corrispondere al valore delle quantità prodotte, consumate o importate. 3 Tenuto conto che il reciproco della media geometrica di n grandezze è uguale alla media geometrica dei loro reciproci, ne consegue che ricorrendo a tale valore medio per la sintesi degli indici elementari, il reciproco dell indice dei prezzi è una misura delle variazioni del potere di acquisto della moneta rispetto all insieme di prodotti considerati (il potere d acquisto della moneta rappresenta la quantità di beni e servizi che può essere acquistata da una unità monetaria). L impiego della media geometrica consente inoltre lo slittamento della base di una serie di numeri indici dividendo semplicemente ciascun indice della serie originaria per l indice relativo alla situazione che si vuole assumere come nuova base. La media geometrica soddisfa anche la condizione di reversibilità delle situazioni di tempo o di luogo. 7 di 30

8 4 Le formule più usate Le formule più frequentemente utilizzate nella costruzione dei numeri indici dei prezzi e delle quantità sono state proposte nel secolo scorso da Etienne Laspeyres e Herman Paasche. Si tratta di formule rispettivamente a ponderazione fissa e a ponderazione variabile. Una terza espressione di analoga notorietà è quella di Irving Fisher, a ponderazione incrociata. Quest ultima è nota anche come formula ideale per le proprietà formali di cui gode. Il numero indice dei prezzi di Laspeyres è configurabile come rapporto tra le medie aritmetiche 4 dei prezzi degli n beni e/o servizi nelle due situazioni considerate, ponderati con le rispettive quantità del periodo base, oppure come media aritmetica ponderata 5 degli indici elementari di prezzo per gli n beni e/o servizi, con pesi pari ai valori del periodo base. Il numero indice dei prezzi di Paasche equivale, a sua volta, sia al rapporto tra le medie aritmetiche degli n prezzi nelle due situazioni, ponderati con le quantità del periodo corrente, sia alla media armonica degli indici semplici di prezzo ponderati con i valori del periodo corrente. Una lettura analoga vale per i numeri indici di quantità. Il numero indice di Fisher è la media geometrica 6 degli indici di Laspeyres e di Paasche. 4 La media aritmetica semplice è la media, così come viene intesa comunemente. Viene usata per riassumere con un solo numero un insieme di dati su un fenomeno misurabile (per esempio, l'altezza media di una popolazione). Viene calcolata sommando i diversi valori a disposizione, i quali vengono divisi con il numero complessivo di valori. 5 Nella media ponderata (media pesata), i singoli valori, prima di essere sommati vengono moltiplicati con il peso (ponderazione) a loro assegnato. Il peso di ciascun valore è in genere rappresentato dal numero di volte in cui i valori figurano (frequenza), ma può significare anche l'importanza (oggettiva o soggettiva) che il singolo valore riveste nella distribuzione. La divisione di conseguenza non viene fatta con il numero di valori, ma con la somma dei pesi. 6 La media geometrica (semplice) è la radice N-esima del prodotto di tutti gli N valori. La media geometrica viene usata soprattutto quando i diversi valori vengono per loro natura moltiplicati tra di loro e non sommati. Esempio tipico sono i tassi di crescita (anche i tassi d'interesse o i tassi d'inflazione), adeguatamente modificati. In questi casi è più corretto usare questo tipo di media al posto di quella aritmetica, perché ha caratteristiche utili in quelle situazioni. 8 di 30

9 Formule dei numeri indici Formule di Laspeyres Formule di Paasche Formule di Fisher Nel corso del tempo i numeri indici di Laspeyres tendono inevitabilmente a perdere di rappresentatività per i mutamenti che intervengono nelle quantità (prodotte, scambiate, consumate, ecc.). Per superare il dualismo delle formule di Laspeyres e di Paasche si può ricorrere ad altri criteri di sintesi. Nella tabella successiva vengono riportate alcune formule, fra le più note in letteratura, legate ai nomi di Lowe (1822), Walsh (1901), Edgeworth (1920), Divisia (1925), Tornqvist (1936). Fra i contributi più recenti si possono ricordare quelli di Theil (1960) e Vartia (1976). 9 di 30

10 Formule dei numeri indici dei prezzi Indice di Lowe Indice di Walsh Indice di Edgeworth Indice di Divisia Indice di Tonqvist Le differenze fra le varie formule riguardano soprattutto i sistemi di ponderazione. Lowe, ad esempio, adotta pesi compresi fra q, e q,. Nella formula di Edgeworth (nota anche come formula di Edgeworth-Marshall-Bowley) i pesi sono pari alla media aritmetica delle quantità reali delle due situazioni poste a confronto. La formula di Tornqvist utilizza la media geometrica dei rapporti elementari di prezzo, ponderati con la media aritmetica delle quote relative di ciascun bene e/o servizio sul valore complessivo. A scopo esemplificativo illustriamo le modalità di costruzione e di lettura degli indici di Laspeyres, Paasche e Fisher. Si supponga di conoscere le quotazioni in due giorni diversi dello stesso anno di quattro titoli azionari (ricavabili dai listini di borsa). Il problema che si pone è di stabilire in che direzione sono variate (se cioè sono diminuite o aumentate) e di quanto sono variate nell intervallo considerato le quotazioni dei titoli assicurativi. 10 di 30

11 Quotazioni di un gruppo di titoli azionari Tempi Assitalia Generali RAS Unipol Quotazioni 29/09/ /11/ Variazioni (%) 0,6855 0,8513 0,8745 0,8275 Titoli trattati 29/09/ /11/ Variazioni (%) 1,157 0,772 0,810 0,398 A tale fine si calcolano per i quattro titoli le grandezze seguenti: Calcoli per la costruzione degli indici (valori in milioni arrotondati ) Valori effettivi Valori teorici Assitalia Generali RAS Unipol Totali di 30

12 I quattro totali considerati assumono, nell ordine in cui compaiono nella tabella, il seguente significato: valore effettivo delle contrattazioni al tempo 1; valore effettivo delle contrattazioni al tempo 2; valore (teorico o virtuale) delle contrattazioni che si sarebbe verificato al tempo 2 se le quotazioni del tempo 1 fossero rimaste invariate o anche valore teorico delle contrattazioni al tempo 1 se il numero dei titoli contrattati fosse quello del tempo 2; valore (teorico) delle contrattazioni che si sarebbe verificato al tempo 2 se il numero dei titoli contrattati fosse rimasto costante o anche valore (teorico) delle contrattazioni al tempo 1 con quotazioni pari a quelle del tempo 2. In base a questi quattro aggregati è possibile calcolare, oltre all indice dei valori: V = = : = 0,680 gli indici di prezzo con le formule di: Laspeyres P L = = = : = 0,817 Paasche P P = = = : = 0,701 e, analogamente, gli indici di quantità con le formule di: Laspeyres Q L = = = : = 0,970 Paasche Q P = = = : = 0,833 Utilizzando la formula di Fisher si ottiene, rispettivamente per gli indici di prezzo e quantità: 12 di 30

13 P F = = = = = 0,757 Q F = = = = = 0,899 La lettura dei risutati è: a) il valore delle contrattazioni al 03/11è risultato inferiore del 32% 7 (cioè di quasi un terzo) rispetto a quello del 29/09 dello stesso anno. Su tale diminuzione hanno influito sia le variazioni delle quotazioni sia le variazioni del numero dei titoli trattati; b) gli indici di prezzo mettono in evidenza una contrazione dell insieme delle quotazioni pari al 18,3% se calcolata con riferimento al numero dei titoli contrattati il 29/09 (formula di Laspeyres), e del 29,9% con riferimento ai titoli contrattati il 03/11 (formula di Paasche). Nel primo caso è stata registrata la diminuzione che si sarebbe verificata nel valore complessivo delle quotazioni se il numero dei titoli di ogni tipo trattati fosse rimasto invariato. Nel secondo caso si ragiona mutatis mutandis in modo analogo; c) gli indici di quantità indicano una diminuzione delle contrattazioni pari al 3% e al 16,7% nel caso che si assumano rispettivamente costanti le quotazioni del primo o del secondo giorno. Da notare come, in entrambi i casi, l impiego della formula di Paasche fornisce variazioni di maggiore intensità. Le ipotesi implicite nei calcoli indicati al punto b) e c) consistono nell assumere che le variazioni delle quotazioni dei singoli titoli (rispettivamente delle quantità contrattate) siano indipendenti dal numero di titoli trattati (e rispettivamente dalle quotazioni). Più in generale questo significa sostanzialmente separare l influenza delle due cause eliminando l effetto che una delle due esercita sulle variazioni dell altra. Come già indicato in precedenza gli indici a base fissa tendono a logorarsi e a perdere di significato man mano che si prolunga l intervallo temporale durante il quale si continua ad adottare lo stesso sistema di ponderazione. Ora, se è utile mantenere ponderazioni costanti per qualche tempo, nondimeno conviene riesaminare periodicamente il sistema di ponderazione per evitare un 7 Il valore è calcolato sottraendo ad 1 il valore ottenuto calcolando l indice, 0,680. Il risultato, 0,32, può essere anche indicato in percentuale moltiplicandolo per 100 ed accostandovi il simbolo di percentuale. 13 di 30

14 eccessivo logoramento dell indice. Nelle fasi in cui i prezzi aumentano, un numero indice calcolato con la formula di Laspeyres risulta generalmente più elevato di un numero indice dei prezzi di Paasche, per cui si parla dell esistenza di un errore sistematico verso l alto per il primo e verso il basso per il secondo. Tanto maggiore è la distanza tra i due periodi di tempo messi a confronto, tanto più rilevante è la differenza fra i risultati che si ottengono applicando le due formule per il probabile accrescersi nel tempo delle differenze tra la composizione relativa delle quantità e quella dei prezzi. La costruzione dei numeri indici può essere posta, in termini generali, come il problema della ricerca di funzioni empiriche P e Q, rispettivamente dei prezzi e delle quantità, che soddisfino la condizione: in cui V è una funzione del valore monetario corrente dell aggregato. A questa impostazione si giunge osservando che l insieme delle transazioni di un singolo prodotto o servizio, in un dato mercato e in un dato intervallo di tempo, si può esprimere mediante due grandezze, di cui una è una funzione rappresentativa dei prezzi e l altra delle quantità. Nell analisi economica è spesso essenziale poter distinguere ed in qualche modo misurare la parte delle variazioni dei valori determinata dalle variazioni delle quantità prodotte, scambiate o consumate, e la parte attribuibile alle variazioni dei prezzi. Tuttavia il problema della ricerca e della determinazione quantitativa dell influenza dei prezzi e delle quantità sull andamento di un aggregato espresso in termini di valori correnti non è teoricamente suscettibile di un unica soluzione, nel senso che non è possibile individuare una ed una sola misura dell influenza di tali componenti sull andamento dell aggregato. Le soluzioni possono essere ricercate attraverso procedimenti empirici, derivati da considerazioni formali nelle quali trae sostanza la cosiddetta teoria statistica dei numeri indici. La distinzione tra gli indici di Laspeyres e di Paasche è determinata unicamente dalle differenti combinazioni dei dati attraverso cui si perviene al computo degli indici sintetici. Come è già stato ripetutamente osservato, nel caso degli indici di Laspeyres i prezzi o gli indici elementari sono ponderati con le quantità o i valori dell anno base e, analogamente, le quantità o i relativi indici elementari lo sono con i prezzi o i valori delle transazioni dell anno base: ci si trova in presenza, come si dice, di indici a ponderazione fissa. Gli indici di prezzo di Paasche sono, di 14 di 30

15 converso, indici a ponderazione corrente (e quindi variabile) ottenuti, cioè, ricorrendo a pesi corrispondenti alle quantità o ai valori dell unità di tempo corrente. Lo stesso vale evidentemente per gli indici di quantità calcolati sia con la formula di Laspeyres che con quella di Paasche. Tali indici soddisfano simultaneamente le due relazioni fondamentali: e Esistono, quindi, due equazioni che rispettano contemporaneamente il requisito della scomposizione di un aggregato di valori correnti nelle due componenti rappresentate dalle quantità e dai prezzi. Per arrivare ad un risultato formalmente univoco si possono moltiplicare membro a membro le suddette equazioni. Si ha pertanto: o anche Ponendo e si ottiene: e quindi che è, come si è visto, la formula che fornisce la scomposizione di un aggregato di valori risultante dal prodotto di prezzi per le relative quantità. Dalle relazioni che definiscono P e Q è agevole constatare che queste grandezze non sono altro che le medie geometriche, rispettivamente, delle coppie di indici di Laspeyres e di Paasche dei prezzi e delle quantità costruiti nel modo in precedenza indicato. Tali indici corrispondono alla formula ideale di Fisher, ideale in quanto risponde al problema dell univoca scomposizione di un aggregato di valori nelle due componenti rappresentate dai prezzi e dalle quantità. 15 di 30

16 L impiego corrente degli indici di Laspeyres e Paasche è però soggetto a due limitazioni, rispettivamente di ordine concettuale e pratico. La prima deriva dal fatto che l uso combinato di questi indici vale per i confronti tra due prefissate unità di tempo. Ora, proprio perché i confronti valgono tra l unità di tempo corrente e l unità di tempo base, gli indici non possono essere utilizzati per confronti tra due o più unità di tempo correnti. Infatti, sia gli indici di quantità che di prezzo relativi a due unità di tempo correnti dipendono non soltanto dai prezzi, ma anche dalle quantità (e viceversa), differenti in ciascuna delle due unità di tempo considerate. La seconda limitazione dipende dal fatto che soltanto per pochi aggregati le rilevazioni statistiche forniscono le serie dei prezzi e delle quantità necessarie per il calcolo dei rispettivi valori medi. In considerazione di questa difficoltà, ci si limita alla costruzione dei numeri indici mediante la formula di Laspeyres, che presenta il vantaggio di applicare ai prezzi dei vari periodi quantità costanti e, analogamente, alle quantità correnti prezzi costanti. 16 di 30

17 5 Proprietà delle formule Le formule di Laspeyres, di Paasche e di Fisher godono di alcune proprietà formali, che risultano di notevole aiuto quando si deve operare una scelta tra formule diverse. Si tratta delle cosiddette proprietà di: a) identità, secondo la quale il numero indice relativo al periodo base è uguale a 1 o ad una potenza di 10; b) commensurabilità, vale a dire che l indice è indipendente dall unità di misura delle quantità, e quindi non varia se cambia l ordine di grandezza dell unità di misura impiegata per esprimere la quantità di beni su cui si commisura il prezzo unitario; c) determinatezza, nel senso che l indice non si annulla, né tende ad infinito o diventa indeterminato se si annulla un termine compreso nella formula; d) proporzionalità, che significa che se tutti i prezzi (o tutte le quantità) variano nella stessa proporzione passando da 1 a r l indice varia secondo lo stesso coefficiente di proporzionalità. In aggiunta a queste, la formula di Fisher soddisfa anche le proprietà di: e) reversibilità (o di inversione) delle basi, secondo la quale l indice calcolato per la situazione r con base 1 coincide con il reciproco dell indice calcolato rispetto alla situazione 1 con base r, cioè ; f) reversibilità dei fattori (o di decomposizione delle cause). Secondo tale proprietà l indice del valore o della spesa è uguale al prodotto dell indice dei prezzi e di quello delle quantità. Tali proprietà, pur di grande utilità per valutare la convenienza di un numero indice in una data applicazione, non forniscono in realtà procedimenti per derivare formule, ma consentono più semplicemente di rifiutare quelle formule che mancano di un requisito importante ai fini di una applicazione specifica, come ad esempio il requisito della transitività. Nessuna delle tre formule soddisfa la proprietà di circolarità (o transitività), di grande importanza, quando si devono effettuare confronti multilaterali. La proprietà di circolarità è espressa dall uguaglianza: 17 di 30

18 Ciò significa che, dati due numeri indici e, sotto tale condizione è possibile portare la base del secondo da s a 0 moltiplicando i due indici fra di loro. Grazie a questa proprietà è possibile passare dagli indici a base mobile a quelli a base fissa e viceversa. Poiché nessuna delle formule considerate soddisfa contemporaneamente tutte le proprietà indicate, a seconda delle circostanze e dei fini conviene ricorrere a formule e a sistemi di ponderazioni differenti. 18 di 30

19 6 Gli indici a catena Gli indici a catena, il cui impiego è stato raccomandato dal nuovo sistema di conti economici nazionali, si basano sull ipotesi che le variazioni di prezzo e di quantità (o meglio di volume) tengono conto non soltanto dei valori assunti dalle variabili considerate in due tempi precisi (il tempo base 0 e il tempo corrente t), ma anche dei movimenti dei prezzi e delle quantità all interno dell intervallo. In altri termini, l indice dipende dal sentiero percorso da prezzi e quantità nell arco temporale (0, t). Indicando un indice a catena al tempo t a base 0 con, esso si ottiene dal prodotto dei successivi indici 0 I 1, 1 I 2,, t-1 I t riferiti ai sub-intervalli (0,1), (1,2),...(t-1, t): Il vantaggio di una rappresentazione a catena degli indici risiede principalmente nel fatto che essa incorpora tutte le variazioni economiche verificatesi nel periodo in esame. Nel periodo compreso tra il tempo base e il tempo corrente, infatti, avvengono numerose modifiche, ad esempio nell offerta dei prodotti (vengono introdotti sul mercato nuovi beni e servizi e ne scompaiono altri), nella loro qualità e nella loro distribuzione, nelle preferenze dei consumatori. Per tutti questi motivi, il «paniere» di beni di riferimento perde di rappresentatività. Negli indici a base fissa questo problema viene risolto cambiando base e sistema di ponderazione, e quindi rinnovando il paniere, periodicamente. L indice a catena, invece, rinnova il paniere ad ogni sub-intervallo, garantendo in questo modo un soddisfacente grado di attendibilità alle ipotesi di invarianza dell offerta di beni e della struttura dei consumi. Un altro aspetto positivo connesso all impiego degli indici a catena è rappresentato dal fatto che, dato che i concatenamenti si riferiscono generalmente ad intervalli temporali brevi, la scelta della formula di sintesi (Paasche, Laspeyres, Fisher) diventa meno decisiva. Il procedimento di costruzione dei numeri indici a catena non è esente da inconvenienti. In primo luogo richiede una notevole quantità di informazioni, ed è anche da ricordare che l indice non ritorna al livello iniziale se prezzi e quantità assumono di nuovo i valori originari. Inoltre, l indice a 19 di 30

20 catena non gode della proprietà della additività: la condizione di additività viene rispettata se il valore reale di un aggregato si ottiene sommando i valori reali delle sue componenti elementari. Fra i vari numeri indici a catena dei prezzi merita attenta considerazione la formula proposta dal francese François Divisia. Punto di partenza è la cosiddetta equazione quantitativa degli scambi, secondo la quale la variazione relativa del valore di tutti i beni e servizi scambiati in un dato mercato in qualsiasi periodo di tempo è uguale alla variazione relativa del livello dei prezzi moltiplicata per la variazione relativa del livello delle quantità. Esprimendo i termini dell equazione in funzione del tempo si può scrivere: V(t) = P(t)Q(t), dove V(t) è la variazione relativa del valore aggregato misurata da una origine arbitraria, mentre P(t) e Q(t) sono rispettivamente numeri indici dei prezzi e delle quantità con base nella stessa origine. Attraverso alcuni passaggi matematici si perviene al numero indice dei prezzi di Divisia, rappresentato da una equazione differenziale la cui soluzione è. un integrale curvilineo. L indice è una costruzione teorica che soddisfa l assunzione di base ad ogni istante, ma che non può essere calcolato in quanto richiede dati continui di prezzo e quantità per tutti i beni. Per gli usi pratici si possono utilizzare formule approssimate cioè sviluppate frazionando l intervallo in un numero finito di subintervalli (l approssimazione sarà tanto migliore quanto maggiore è il numero degli intervalli) e calcolando su ciascuno di essi la media geometrica ponderata degli indici elementari corrispondenti. 20 di 30

21 7 Indici statistici e indici economici I criteri di costruzione dei numeri indici dei prezzi prescindono dalle relazioni funzionali fra prezzi e quantità e tra le stesse quantità. Nel calcolo dei numeri indici con la formula di Laspeyres, ad esempio, si ipotizza che il «paniere» delle quantità (consumate, prodotte, ecc.) rispetto al quale si misura la variazione dei prezzi rimanga costante nell intervallo considerato, e quindi che la variazione dei prezzi non influenzi le quantità. Sotto il profilo economico tale ipotesi è certamente debole, non trovando alcun riscontro nella teoria economica, la quale presuppone che il soggetto economico reagisca di norma ad una variazione dei prezzi modificando le quantità e la composizione dei beni acquistati, consumati o prodotti. In pratica tuttavia l ipotesi può risultare accettabile per intervalli di tempo brevi. Nell ambito di questa impostazione, nota in letteratura come approccio statistico, si distinguono due situazioni che corrispondono rispettivamente all esigenza, a) di confrontare nel tempo o nello spazio i prezzi unitari, per cui è sufficiente calcolare semplici rapporti, oppure b) di confrontare (e questa è la situazione che ricorre con maggior frequenza) grandezze formate in pratica da un insieme di componenti elementari, e pertanto di rappresentare con un solo numero fenomeni complessi come, ad esempio, il livello generale dei prezzi (al consumo o all ingrosso), la produzione industriale o quella agricola, l andamento della borsa valori e via dicendo. Nella prima eventualità si procede alla costruzione dell indice sintetico calcolando un valore medio degli indici elementari. Nella seconda si calcolano aggregati effettivi e virtuali mediante l applicazione agli indici elementari, ponderati secondo la loro importanza, di un opportuna funzione di aggregazione. La constatazione che l impiego della diverse formule di calcolo conduce a risultati diversi e, a volte, apparentemente contraddittori, e soprattutto l esigenza di dare agli indici dei prezzi un solido inquadramento teorico, hanno indirizzato le ricerche fin dagli anni venti in una diversa direzione. È sostanzialmente uno studioso russo, A. A. Konus, che apre un nuovo filone di studi pubblicando nel 1924 un saggio 8 nel quale si sofferma in particolare sul modo di misurare le 8 Nel 1939 il saggio è stato ripubblicato sulla rivista «Econometrica» con il titolo The Problem of the True Index of the Cost of Living. 21 di 30

22 variazioni della spesa necessarie per mantenere inalterato nel tempo il livello di soddisfazione della persona o del gruppo demografico a cui vien fatto riferimento. L impostazione di Konus, che rappresenta una direttrice lungo la quale si sono mossi successivamente altri studiosi, è nota come approccio economico o funzionale dei numeri indici dei prezzi ed affronta in particolare i problemi della loro elaborazione richiamandosi ai concetti della teoria economica neoclassica, vale a dire ammettendo l esistenza di legami fra prezzi e quantità. Secondo tale approccio l indice dei prezzi si configura come rapporto tra le spese sostenute in situazioni (di prezzi) diverse, ma riferite allo stesso livello di soddisfazione. L espressione dell indice è pertanto la seguente: dove C indica una funzione di costo e U il livello di soddisfazione o di utilità. Nell ambito della teoria del comportamento razionale del consumatore è possibile definire gli elementi atti a determinare indici dei prezzi e delle quantità del tipo indicato nell espressione precedente. Per calcolare l indice dei prezzi si considera un consumatore ipotetico per il quale, ai tempi 1 e t, siano noti una funzione di preferenza o di utilità U = u (q i, q n ), i prezzi (p i, p n ) degli n beni e/o servizi che costituiscono il suo bilancio e il reddito R disponibile per il consumo (spesa). La scelta da parte del consumatore delle quantità da consumare (q 1, q k ) potrà essere effettuata puntando a rendere massima l utilità U, tenuto conto del livello di reddito disponibile, oppure a minimizzare la spesa R, dato un certo livello di utilità: U = u (q i,, q n ) = h = costante. Stabilito il livello di soddisfazione a cui fare riferimento, è possibile valutare le spese da inserire al numeratore e al denominatore dell espressione indicata, e quindi calcolare un indice del costo della vita ad utilità costante (o a livello di soddisfazione immutato). Naturalmente ad ogni livello di U corrisponde un diverso indice. Se si fa riferimento al grado di soddisfazione raggiunto dal consumatore al tempo 1 (massimizzando l utilità e spendendo tutto il reddito R 1 ), si ottiene l indice di Konus-Laspeyres: 22 di 30

23 dove i termini q t (U 1 ) indicano le quantità che al tempo t forniscono al consumatore la stessa soddisfazione del tempo 1 con la minima spesa. Se invece ci si riferisce al livello di soddisfazione raggiunto dal consumatore al tempo t (dato il reddito R t, si ottiene l indice di Konus-Paasche: dove le q 1 (U t ) indicano le quantità che al tempo 1 forniscono al consumatore la stessa soddisfazione del tempo t, con la minima spesa. Tale impostazione non è esente da limiti interpretativi, che sono riconducibili 9 al fatto che lo schema teorico si riferisce ad un singolo consumatore e ad un prefissato livello di soddisfazione. Ciò significa che occorre accettare le ipotesi semplificatrici di invarianza nel tempo dei gusti e del reddito reale (dal momento che una loro variazione provoca una modificazione del livello di soddisfazione); Il significato degli indici del costo della vita sembra più chiaro se limitato a brevi intervalli di tempo e/o a gruppi di famiglie a reddito basso e relativamente stabile, per le quali è più verosimile ipotizzare una omogeneità di comportamento. D altra parte, la base teorica di questa impostazione può servire da guida per le verifiche empiriche, consentendo di valutare se le ipotesi assunte sul comportamento del consumatore, dopo aver specificato convenienti funzioni di utilità, si adattano bene a spiegare l effettivo comportamento registrato a livello aggregato in un certo periodo storico. 9 Cfr. L. Biggeri, Recenti sviluppi nel campo dei numeri indici, in Isco, Rassegna della letteratura sui cicli economici. I numeri indici nella teoria e nella pratica, vol. I, Roma, di 30

24 8 I numeri indici ufficiali L elaborazione di numeri indici complessi che documentino l andamento nel tempo degli aspetti più significativi della vita economica italiana rientra fra i compiti principali dell Istituto Nazionale di Statistica (ISTAT). Rispetto al campo di osservazione, l intensa attività dell ISTAT in questo ambito è raggruppabile in quattro grandi classi che riguardano rispettivamente prezzi, produzioni, scambi commerciali e lavoro. a) Prezzi. Gli indici dei prezzi sono essenzialmente di due tipi: gli indici dei prezzi all ingrosso e alla produzione e quelli dei prezzi al consumo. I numeri indici dei prezzi all ingrosso e alla produzione riguardano: i prezzi praticati dai grossisti, i prezzi alla produzione dei prodotti industriali, i prezzi dei prodotti venduti e dei beni acquistati dagli agricoltori, il costo di costruzione di un fabbricato residenziale, di un capannone tipo per uso industriale e di un tronco stradale. Fra gli indici di prezzo rientrano anche quelli relativi alle importazioni e alle esportazioni. I principali indici dei prezzi al consumo sono due, gli indici dei prezzi al consumo per l intera collettività nazionale e gli indici dei prezzi al consumo per le famiglie di operai e impiegati. I due indici utilizzano gli stessi prezzi, pur includendo, in relazione alle diverse esigenze per cui sono costruiti, beni e servizi diversi. Rapportando le serie statistiche di contabilità nazionale a prezzi correnti alle corrispondenti serie a prezzi costanti si ottengono numeri indici dei prezzi denominati deflatori impliciti. Tali indici sono relativi ai seguenti aggregati; valore aggiunto al costo dei fattori e ai prezzi di mercato; prodotto interno lordo ai prezzi di mercato; imposte indirette nette; ammortamenti; consumi finali interni; importazioni ed esportazioni; investimenti fissi lordi; variazioni delle scorte; produzione lorda vendibile dell agricoltura; consumi intermedi degli agricoltori. b) Produzioni. Di questo gruppo fanno parte i numeri indici della produzione agraria e forestale; della produzione industriale; del fatturato; degli ordinativi e della consistenza degli ordinativi dell industria. c) Scambi commerciali. Si tratta degli indici delle vendite del commercio fisso al dettaglio della media e della grande distribuzione, nonché di quelli di quantità e valore delle importazioni e delle esportazioni. d) Lavoro. Rientrano in questo raggruppamento gli indici delle retribuzioni contrattuali e 24 di 30

25 orarie per dipendente e quelli dei guadagni lordi, delle retribuzioni lorde e del costo del lavoro. I criteri seguiti dall ISTAT per la rilevazione dei dati di base e la costruzione degli indici sono illustrati in dettaglio in appositi volumi della serie «Metodi e Norme» e in calce all «Annuario Statistico Italiano». Di seguito ci limitiamo pertanto a riassumere i criteri di costruzione e a richiamare le caratteristiche principali degli indici più frequentemente utilizzati. Ai numeri indici predisposti dall ISTAT, che per le specifiche competenze dell Istituto rivestono carattere di ufficialità, si aggiungono quelli elaborati o rielaborati da altri organismi. Segnaliamo, in particolare: i) i numeri indici del corso delle azioni (in particolare MIB e COMIT), calcolati con riferimento alle quotazioni della Borsa Valori di Milano; ii) i numeri indici dei prezzi controllati, riguardanti tariffe pubbliche, beni amministrati, affitti e beni sorvegliati, e dei prezzi liberi, calcolati dalla Banca d Italia mediante la rielaborazione degli indici ISTAT dei prezzi al consumo; iii) gli indicatori sintetici del sistema economico italiano, calcolati dall Istituto Nazionale per lo Studio della Congiuntura (ISCO), che rappresentano un esempio tipico di indici composti; iv) i numeri indici delle materie prime aventi mercato internazionale e dei noli marittimi, calcolati da CONFINDUSTRIA e da altri organismi stranieri e pubblicati dall ISCO. I numeri indici dei prezzi praticati dai grossisti misurano la tendenza e l intensità delle variazioni dei prezzi delle transazioni di merci in cui il venditore è un grossista. Alla costruzione di tale indice concorrono più dí 650 prodotti, per i quali vengono rilevate a cadenza mensile le quotazioni (al netto dell IVA). L impianto dell indice prevede la classificazione dei singoli prodotti sia secondo schemi riconducibili alla Nomenclatura generale delle Attività economiche nella Comunità Europea (NACE) adottata dai paesi della Comunità per la contabilità nazionale, sia secondo la destinazione economica dei prodotti medesimi. La rilevazione dei prezzi è effettuata dagli Uffici di Statistica operanti presso le Camere di Commercio. Per ciascuna quotazione (che fa riferimento a varietà, marche e qualità singole) vengono calcolati ogni mese gli indici semplici di prezzo rispetto alla media dei prezzi dell anno base e quindi la loro media aritmetica semplice, che genera l indice elementare di prodotto. Gli indici di prodotto vengono aggregati, a loro volta, per gruppo e per branca e, da ultimo, in un indice generale 25 di 30

26 calcolato con la formula di Laspeyres e con pesi proporzionali al valore del fatturato delle imprese commerciali all ingrosso relativo all anno base. I numeri indici dei prezzi al consumo per l intera collettività nazionale misurano le variazioni nel tempo dei prezzi dei beni e dei servizi effettivamente consumati all interno dei confini nazionali, vale a dire dei prezzi che si formano nelle transazioni relative a merci e servizi scambiati tra operatori economici e consumatori finali. L indice generale è utilizzabile come indicatore dell inflazione. La rilevazione dei prezzi al consumo riguarda, per ragioni pratiche, un numero limitato di beni e servizi, corrispondente ad un campione ragionato di quelli che più frequentemente ricorrono nelle spese della maggior parte delle famiglie. L implicito presupposto di questa scelta è che alle variazioni di questi prezzi si adeguino, per effetto delle interazioni fra i prezzi, quelli delle merci e dei servizi non rappresentati. La periodicità delle rilevazioni è diversa per le varie categorie di prodotti e servizi. È decadale, in considerazione della sensibile variabilità dei prezzi, quella riguardante i generi alimentari; mensile quella dei prezzi dell abbigliamento e di alcuni servizi personali; trimestrale, data la minore variabilità dei prezzi, quella dei canoni di affitto delle abitazioni e di molti altri servizi, tra i quali alcuni servizi pubblici. Nei capoluoghi di provincia interessati alla rilevazione si è proceduto alla formazione di campioni di negozi scelti in relazione alle principali caratteristiche dell organizzazione locale del commercio al dettaglio e alla distribuzione degli esercizi stessi nelle diverse zone della città, con particolare riguardo a quelli più frequentati dai consumatori. La preferenza è comunque accordata a quegli esercizi commerciali che risultano maggiormente riforniti, in quanto i prezzi che praticano sono considerati più rappresentativi e di più agevole rilevazione. Gli Uffici comunali di statistica hanno il compito di rilevare i prezzi, di valutare criticamente í dati raccolti, di calcolare i prezzi medi e di trasmetterli all ISTAT. La rilevazione viene realizzata mediante interviste dirette presso i gestori dei negozi inclusi nel piano di rilevazione e si riferisce ai prezzi effettivamente praticati alle date di accertamento, che devono essere tassativamente rispettate. La rilevazione del prezzo è completata con l indicazione della specie, varietà e qualità del genere considerato. Complessivamente si rilevano i prezzi di oltre 900 prodotti e servizi, distinti in 11 classi, suddivise a loro volta in numerose categorie. Le classi sono raggruppate a seconda che riguardino 26 di 30

27 servizi o prodotti alimentari e non alimentari. Di quando in quando l ISTAT procede all aggiornamento della serie mediante sostituzioni e introduzione di nuove voci. Per ottenere misure valide ed attendibili degli andamenti effettivi dei prezzi riveste particolare importanza l accuratezza delle procedure seguite dagli organi di rilevazione. Ai fini della ponderazione degli indici elementari dei prezzi sono utilizzati i dati relativi ai valori dei consumi desumibili dalla contabilità nazionale, al netto dei valori di quei beni e servizi che non passano per il mercato, e cioè gli autoconsumi e i fitti figurativi. Gli indici elementari nazionali vengono calcolati procedendo dapprima alla determinazione dell indice elementare di ogni bene e servizio per ciascun capoluogo di provincia. Da tali indici, ponderati secondo l ammontare della popolazione residente dell anno base, si passa a quelli relativi alle quattro ripartizioni (nord-occidentale, nord-orientale, centrale, meridione e isole) e da ultimo a quelli elementari nazionali, utilizzando come pesi i valori dei consumi privati relativi a ciascun bene e servizio, desunti per ognuna delle quattro ripartizioni dai conti economici territoriali. Le sintesi di ordine superiore (gruppi di prodotti, categorie e classi di consumi) vengono effettuate attraverso il calcolo della media aritmetica ponderata dagli indici di ordine inferiore, riconducibile anche in questo caso alla formula di Laspeyres. I numeri indici dei prezzi al consumo per le famiglie di operai e di impiegati, che in passato venivano denominati impropriamente indici del costo della vita, si configurano sostanzialmente come particolari numeri indici dei prezzi al consumo riferiti non all universo dei consumatori, ma soltanto alle famiglie del ceto operaio-impiegatizio dei settori non agricoli. L esigenza di costruire numeri indici del costo della vita risale in Italia all epoca immediatamente successiva alla prima guerra mondiale quando le perturbazioni economiche causate appunto dalla guerra determinano i primi squilibri tra prezzi e salari e pongono l esigenza di. disporre di uno strumento che permetta di adeguare i salari agli aumenti dei prezzi. Nel 1926 viene affidato per legge all ISTAT il compito di elaborare indici del costo della vita per i comuni più importanti. Tali indici, riferiti alla struttura dei consumi dell anno base, non sono idonei, tuttavia, a misurare le variazioni effettive del costo della vita, determinate non soltanto dalle variazioni dei prezzi, ma anche dai mutamenti che si verificano nella composizione dei consumi per le modificazioni della loro qualità e dei gusti dei consumatori. Gli indici dei prezzi al consumo delle famiglie di operai e di impiegati sono costruiti in modo essenzialmente analogo agli indici dei prezzi al consumo dell intera collettività nazionale. La differenza essenziale consiste nel fatto che il procedimento è applicato a due distinti aggregati di 27 di 30

28 consumatori, nel primo caso alle famiglie con a capo un lavoratore dipendente non agricolo e nel secondo alla popolazione complessiva. Dal gennaio 1996, le voci comprese negli indici sono circa 290 e. oltre 550 specifici beni e servizi, raggruppati in dieci capitoli di spesa: 1) alimentazione, 2) abbigliamento, 3) abitazione, 4) acqua, energia e combustibili, articoli di uso domestico e servizi per la casa, 5) servizi sanitari e spese per la salute, 6) trasporti, 7) istruzione, 8) alberghi, caffè e ristoranti, 9) ricreazione spettacoli e cultura, 10) altri beni e servizi. Il calcolo degli indici viene eseguito mediante la formula di Laspeyres. Gli indici elementari dei prezzi sono calcolati per i singoli prodotti e servizi e per ciascun capoluogo di provincia. Quali coefficienti di ponderazione degli indici elementari dei prezzi vengono assunti i valori dei consumi privati risultanti dalla contabilità nazionale relativi alle famiglie degli operai e degli impiegati dei settori extra-agricoli. Conseguentemente gli indici forniscono una misura delle variazioni nel tempo dei prezzi al consumo dei beni e dei servizi correntemente acquistati dalle famiglie dei lavoratori dipendenti non agricoli. Va anche precisato che gli indici calcolati per i singoli capoluoghi di provincia possono essere utilizzati per confrontare le variazioni da un mese all altro dei prezzi al consumo per le famiglie di operai e di impiegati nelle diverse città, ma non per valutare comparativamente il livello generale dei prezzi al consumo tra città e città. I numeri indici della produzione industriale sono misure delle variazioni mensili del volume fisico dei beni prodotti dalle industrie manifatturiere, estrattive e dell energia (la cosiddetta Industria in senso stretto), calcolate con la formula di Laspeyres. Tenuto conto sia del numero e dell importanza dei prodotti considerati, sia della natura dei coefficienti di ponderazione, basati sul valore aggiunto unitario dei singoli prodotti, esso fornisce anche con buona approssimazione una misura delle variazioni del valore aggiunto in termini reali. 28 di 30