PROGRAMMA SVOLTO fino al Fine del corso

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1 PROGRAMMA SVOLTO fino al Fine del corso Prof. Bruno Picasso LEZIONI: Introduzione al corso. Introduzione ai sistemi dinamici. I sistemi dinamici come sistemi di equazioni differenziali; variabili di ingresso, variabili di stato, variabili di uscita. Esempi di modelli di sistemi dinamici e di problemi di studio (il sistema serbatoio, numerosità degli impiegati in un azienda). Classificazione dei sistemi dinamici: ordine, sistemi SISO/MIMO, strettamente propri/propri non strettamente, lineari/nonlineari. Rappresentazione matriciale dei sistemi lineari. Legge di controllo, movimento dello stato e dell uscita, traiettoria nello spazio di stato. Le equazioni differenziali di ordine n interpretate come sistemi dinamici di ordine n. Altri esempi di modelli di sistemi dinamici: la dinamica del moto di un auto, la dinamica del pendolo, la dinamica di una porta a spinta. I sistemi statici e confronto fra proprierà e caratteristiche dei sistemi statici versus i sistemi dinamici (ad esempio, la legge di Ohm vs la dinamica di un forno). Cenno ai concetti di comportamento nel transitorio e a regime. Stati di equilibrio e teoria della stabilità. Stati e coppie di equilibrio: definizione, metodo di calcolo ed esempi (sistemi scalari, sistemi lineari - nozione di guadagno statico, pendolo). Definizione di stabilità (semplice e asintotica) e instabilità degli equilibri; bacino di attrazione per equilibri asintoticamente stabili. Analisi di stabilità per sistemi scalari: metodo grafico per mezzo dello studio del quadro delle traiettorie. Analisi di stabilità per sistemi lineari scalari ed esempi. La stabilità del movimento: definizione, motivazioni ed esempi qualitativi. Il movimento dello stato e dell uscita nei sistemi lineari di ordine n. Definizione di movimento libero e forzato dello stato e dell uscita. Definizione dell esponenziale di una matrice quadrata e calcolo del movimento libero. Formula di Lagrange e calcolo del movimento forzato. Principio di sovrapposizione degli effetti. Calcolo della matrice esponenziale: matrici diagonali, matrici diagonalizzabili con autovalori Reali, i modi propri di un sistema lineare. Il Teorema fondamentale dei modi: dimostrazione nel caso di matrice A diagonalizzabile. I modi associati ad una coppia di autovalori Complessi coniugati (caso diagonalizzabile). I modi per matrici non diagonalizzabili. L impulso: definizione e significato intuitivo. La risposta all impulso: definizione, formula analitica, relazione con i modi propri del sistema e sua importanza. Analisi di stabilità dei sistemi lineari. Andamento dei modi propri (convergenza a 0 - limitatezza - illimitatezza) e loro relazione con le caratteritiche del movimento libero dei sistemi lineari. L analisi di stabilità dei sistemi lineari (equilibri e movimenti). Condizioni necessarie di asintotica stabilità ( basate su traccia, determinante e segno dei coefficienti di p A (s) ), condizioni sufficienti di instabilità, condizioni necessarie-e-sufficienti di asintotica stabilità (criterio di Routh-Hurwitz). Proprietà fondamentali dei sistemi lineari asintoticamente stabili: il tempo di assestamento a 0 1

2 del movimento libero (nozione di autovalori dominanti); il comportamento di regime e nel transitorio; comportamento di regime in risposta ad un ingresso costante; limitatezza dell andamento dell uscita a fronte di ingressi limitati (BIBO-stabilità). Analisi di stabilità di equilibri in sistemi nonlineari. Il sistema linearizzato e il suo impiego per l analisi di stabilità degli equilibri in sistemi nonlineari. Esempi e limiti di validità dello studio basato sul sistema linearizzato. La trasformata di Laplace. Motivazioni per il suo studio, definizione, principali proprietà, trasformata dei modi naturali associati ad un sistema lineare, le funzioni razionali (poli, zeri, singolarità, ordine, grado relativo, funzioni strettamente proprie, proprie non strettamente, improprie), teoremi del valore iniziale e finale. La scomposizione di Heaviside e l antitrasformata di funzioni razionali (poli Reali semplici o multipli, poli Complessi semplici, il metodo dei residui). Rappresentazione dei sistemi lineari nel dominio delle trasformate. Trasformata di Laplace dei movimenti libero e forzato dello stato e dell uscita, definizione della funzione di trasferimento G(s), la trasformata dell esponenziale di matrice e della risposta all impulso. Esempi di calcolo dei movimenti, della risposta all impulso e dell esponenziale di matrice mediante antitrasformata di Laplace. Struttura della funzione di trasferimento, relazione tra poli/ordine di G(s) e autovalori/ordine di A: cancellazioni e parti nascoste. Analisi di stabilità per i sistemi lineari SISO a partire dalla sola conoscenza di G(s): cancellazioni e stabilità, l analisi per sistemi lineari senza parti nascoste. Cenno al problema della realizzazione di funzioni razionali ed esempi di ordine 1 (tra cui l integratore). La funzione di trasferimento di sistemi lineari statici. Il sistema ritardo di tempo e la sua funzione di trasferimento. I parametri della funzione di trasferimento: pulsazione naturale e smorzamento di poli e zeri Complessi, costante di trasferimento ρ G, guadagno µ G della funzione di trasferimento, tipo, costanti di tempo. Relazione fra µ G e guadagno statico. Costanti di tempo e poli dominanti. Gli schemi a blocchi. Connessione in serie, in parallelo e in retroazione di sistemi SISO: ordine, funzione di trasferimento, polinomio caratteristico, autovalori e poli del sistema complessivo risultante. Cancellazioni ed analisi di stabilità. Per sistemi retroazionati: la funzione di anello L(s) associata ad un sistema retroazionato: relazione fra L(s) e il polinomio caratteristico del sistema retroazionato, algoritmo di analisi di asintotica stabilità di sistemi retroazionati. Esempi: serbatoi in cascata, induttanze in parallelo, controllo in retroazione di un serbatoio. La risposta dei sistemi lineari asintoticamente stabili. La risposta di regime. La risposta allo scalino. Comportamento di regime in risposta ad un ingresso a scalino: calcolo del valore asintotico a partire dalla funzione di trasferimento, coincidenza fra G(0) e la matrice dei guadagni statici (anche per sistemi non asintoticamente stabili). La risposta esponenziale. Comportamento di regime in risposta ad un ingresso esponenziale e la proprietà bloccante degli zeri Reali. La risposta sinusoidale. Comportamento di regime in risposta ad un ingresso sinusoidale: il Teorema della risposta armonica, la proprietà bloccante degli zeri Immaginari e il fenomeno della risonanza. Definizione della funzione risposta in frequenza. La risposta nel transitorio. La risposta allo scalino. Valore di regime, tempo di assestamento e comportamento in un intorno di zero. Comportamento nel transitorio per sistemi strettamente propri con: 1 o 2 poli Reali e senza zeri; poli Complessi e senza zeri (sovraelongazione e periodo delle oscillazioni); poli Reali e uno zero (quasi cancellazione polo/zero, sovraelongazione, risposta 2

3 inversa, zero in 0); poli Complessi e uno zero (eventuale accentuazione della sovraelongazione, risposta inversa); per sistemi di ordine qualsiasi (poli dominanti). Comportamento nel transitorio per sistemi propri non strettamente. L approssimazione a poli dominanti di G(s). La risposta esponenziale (e, più in genrale, a segnali qualsiasi). Caratteristiche macroscopiche del comportamento nel transitorio in relazione ai poli dominanti del sistema. La risposta in frequenza. Definizione e sua importanza. La rappresentazione della risposta in frequenza mediante i diagrammi di Bode. Tracciamento dei diagrammi di Bode del modulo: i decibel, la scomposizione come somma dei diagrammi di termini elementari e la scala logaritmica dell asse delle ω, nozione di decade ; il diagramma di G 1 (s) = µ G ( e di G) 2 (s) = 1/s, la pendenza del diagramma, il diagramma di una generica G b (s) = µg s g 0 ; il diagramma di G3 (s) = 1/(1+Ts) (polo g Reale) e di 1/G 3 (s) (zero Reale), diagramma asintotico e diagramma reale; il diagramma asintotico e reale di G 4 (s) = 1/ ( s 2 ω 2 n + 2ξ ω n s+1 ) (poli Complessi coniugati), ruolo dello smorzamento, possibile esistenza di un picco di risonanza, il caso di 1/G 4 (s) (zeri Complessi coniugati), il picco di antirisonanza e la proprietà bloccante degli zeri Immaginari puri. Esempi e metodi di tracciamento dei diagrammi di Bode del modulo (asintotici e, qualitativamente, reali) ed istruzioni per l uso della carta semilogaritmica. Tracciamento dei diagrammi di Bode della fase: il contrubuto alla fase del guadagno e il contributo dei poli e degli zeri in zero, il diagramma di una generica G b (s) = µg s g ( g 0 ) ; il contributo di poli e zeri Reali, dipendenza dal segno di poli e zeri, il diagramma asintotico e quello reale; il contributo di poli e zeri Complessi, dipendenza dal segno di poli e zeri (ossia dal segno dello smorzamento), il diagramma asintotico e quello reale in funzione dello smorzamento, la discontinuità del diagramma nel caso in cui lo smorzamento è nullo. Esempi e metodi di tracciamento dei diagrammi di Bode della fase (asintotici e, qualitativamente, reali) ed istruzioni per l uso del regolo delle fasi. La rappresentazione della risposta in frequenza mediante i diagrammi polari. Regole essenziali per il tracciamento dei diagrammi polari a partire dal diagramma di Bode: l orientamento del diagramma, il punto di partenza G(0) e di arrivo G( ), rispettare l andamento del modulo, rispettare l andamento della fase ed individuare i quadranti attraversati, la fase iniziale e finale nel caso in cui G(0) = 0 o G( ) = 0. I diagrammi polari per sistemi con poli sull asse Immaginario. La risposta in frequenza del sistema ritardo di tempo e i corrispondenti diagrammi di Bode e polare. Diagrammi di Bode e polare di funzioni della forma G(s) = N(s) D(s) e τs. Definizione di sistema a sfasamento minimo e relazione fra pendenza del diagramma asintotico del modulo e diagramma asintotico della fase. Spettro di segnali e filtri. Lo spettro di ampiezza dei segnali, segnali a banda limitata, relazioni fra la banda di un segnale e le caratteristiche macroscopiche del suo andamento nel tempo. Spettro discreto di segnali periodici. Proprietà filtranti dei sistemi dinamici lineari asintoticamente stabili: estensione del Teorema della risposta armonica; filtri, banda passante e significato fisico della banda passante (filtri passa basso, passa alto, passa banda, passa tutto, filtri notch); esempi di filtraggio di segnali e di applicazioni della teoria del filtraggio. Sistemi di controllo. Introduzione al problema del controllo: formulazione, architetture principali dei sistemi di controllo (controllo in anello aperto e controllo in anello chiuso) e requisiti di un sistema di controllo (stabilità e robustezza, prestazioni statiche e dinamiche, moderazione della variabile di controllo). Impostazione di un problema di controllo e confronto fra prestazioni ottenibili mediante sistemi di controllo in anello aperto o in anello chiuso (esempio del cruise control ). 3

4 Nuovi metodi ( control oriented ) per l analisi di asintotica stabilità dei sistemi retroazionati. Il Criterio di Nyquist: definizione e tracciamento dei diagrammi di Nyquist, enunciato del Criterio di Nyquist, estensioni al caso di presenza di ritardi di tempo e al caso di guadagno di anello parametrico, esempi. Il margine di guadagno come indice di robustezza della stabilità rispetto all incertezza sul guadagno di anello. Il Criterio di Bode: ipotesi di applicabilità e loro interpretazione in termini dei diagrammi di Bode e dei diagrammi polari, enunciato del Criterio di Bode, l indice di robustezza della stabilità rispetto ai ritardi di tempo in funzione del margine di fase e della pulsazione critica, esempi. Analisi statica e dinamica dei sistemi retroazionati. Introduzione: schema generale per lo studio delle prestazioni dei sistemi retroazionati; le variabili d ingresso (il segnale di riferimento y o, il disturbo di misura n, il disturbo sul controllo d u, il disturbo di processo d) e le variabili di uscita (l uscita controllata y, l errore del sistema di controllo e, la variabile di controllo u); calcolo delle funzioni di trasferimento coinvolte ( le sensitività F(s), S(s), M(s), Q(s) ). Analisi delle prestazioni statiche: andamento di regime delle uscite a fronte di ingressi a scalino, condizione necessaria e sufficiente per avere errore nullo a transitorio esaurito a fronte di un riferimento y o a scalino; errore di regime a fronte di un riferimento a rampa. Ampiezza delle uscite di regime a fronte di ingressi sinusoidali: approssimazione della risposta in frequenza delle funzioni di sensitività; proprietà filtranti di F(s) ed S(s) nel caso in cui è applicabile il Criterio di Bode, la pulsazione critica ω c come indice di prestazioni statiche. Analisi delle prestazioni dinamiche (nel caso di applicabilità del Criterio di Bode): regola empirica per la stima dei poli dominanti di F(s) e del conseguente tempo di assestamento; gli zeri del sistema retroazionato; la pulsazione critica e il margine di fase come indici di prestazioni dinamiche; tracciamento qualitativo della risposta allo scalino per sistemi retroazionati. Sintesi del regolatore per il controllo in retroazione. Introduzione: la sintesi sotto l ipotesi di applicabilità del Criterio di Bode mediante l approccio loop-shaping ( sagomaturadi L(s) ) ; traduzionedei requisiti inerenti le prestazioni statiche e dinamiche del sistema di controllo in proprietà e vincoli a cui deve soddisfare L(s) e loro interpretazione grafica (sui diagrammi di Bode), vincolo di realizzabilità fisica del regolatore ( reldeg ( R(s) ) 0 ) ed interpretazione grafica corrispondente. Metodologie di sintesi del regolatore: progetto statico e dinamico; principali reti stabilizzatrici (rete ritardatrice, anticipatrice, a sella) e indicazioni al loro impiego. Esempi. Regolatori PID: definizione dei regolatori Proporzionali-Integrali-Derivativi e loro funzione di trasferimento; PID ideali vs PID reali; il PID come particolare rete a sella; controllori P, PI, PD. Realizzazione e taratura dei regolatori PID: limitazione dell azione derivativa, problema della saturazione dell integratore (cenno), metodo di Ziegler e Nichols per la taratura automatica. Rilevanza dei PID in ambito industriale. Compensatori in anello aperto: prefiltraggio del segnale di riferimento (compensazione statica, filtraggio passa-basso o passa-alto); compensazione statica in feedforward del segnale di riferimento; compensatori dinamici del disturbo di processo misurabile. Sistemi dinamici a tempo discreto. Definizione, classificazione, esempi. Coppie di equilibrio: definizione, calcolo. Metodo grafico per lo studio dei movimenti e per l individuazione degli stati di equilibrio nei sistemi scalari. Definizione delle proprietà di stabilità. Principali differenze tra sistemi dinamici a tempo continuo e a tempo discreto. Sistemi dinamici lineari: Calcolo degli equilibri e matrice dei guadagni statici; formula di Lagrange per il calcolo del movimento e principio di sovrapposizione degli effetti; studio del mo- 4

5 vimento libero e dei modi propri del sistema (con tutti i dettagli solo nel caso diagonalizzabile con autovalori Reali); analisi di stabilità (in particolare, condizione necessaria-e-sufficiente di asintotica stabilità, condizione sufficiente di instabilità, regione di asintotica stabilità nel piano Complesso); analisi di asintotica stabilità mediante trasformazione bilineare. Proprietà dei sistemi lineari asintoticamente stabili: tempo di assestamento e modulo degli autovalori, andamento di regime, valore di regime in risposta ad uno scalino, definizione e proprietà dei sistemi FIR. Discretizzazione dei sistemi lineari a tempo continuo: il sistema a segnali campionati. Analisi di stabilità di equilibri in sistemi nonlineari: Linearizzazione e relativi teoremi per l analisi di stabilità di equilibri in sistemi nonlineari. Esempi: studio della convergenza del metodo delle tangenti di Newton per la risoluzione di un equazione nonlineare h(x) = 0 e struttura frattale del bacino di attrazione; cenno alla teoria del caos deterministico e all impredicibilità dei movimenti instabili. ESERCITAZIONI: Richiami e ripasso sui numeri Complessi. Rappresentazione in forma di stato di sistemi dinamici originati dall interconnessione di sottosistemi e calcolo di equilibri di un sistema dinamico nonlineare. Calcolo di movimenti in sistemi dinamici lineari scalari(rete elettrica) e applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti. Calcolo dell esponenziale di una matrice di ordine 2 diagonalizzabile (con richiami di algebra lineare). Quadro qualitativo delle traiettorie ed analisi di stabilità dell equilibrio x = 0 per sistemi lineari diagonali di ordine 2 (applicazione del Principio di sovrapposizione degli effetti). Esempio di impiego della Formula di Lagrange in sistemi lineari di ordine 2. Calcolo di movimenti in sistemi lineari con matrice A triangolare: integrazione in cascata (dinamica del sistema fornopizza). Calcolo ed analisi di stabilità di equilibri in sistemi lineari: calcolo del guadagno statico, regola di Cartesio (per sistemi di ordine 2) e criterio di Routh-Hurwitz (per sistemi di ordine superiore), analisi dei modi. Proprietà dei sistemi lineari asintoticamente stabili: andamento asintotico in presenza di ingressi definitivamente nulli o definitivamente costanti. Modelli di popolazione (equazione logistica) - sistema nonlineare di ordine 1: calcolo degli equilibri, calcolo dei corrispondenti sistemi linearizzati e loro impiego per l analisi di stabilità degli equilibri. Significato geometrico della matrice A del sistema linearizzato e confronto dei risultati ottenibili mediante il metodo grafico. Analisi di stabilità di sistemi lineari: condizioni basate su traccia e determinante, analisi dei modi. Calcolo ed analisi di stabilità di equilibri in sistemi nonlineari per mezzo della linearizzazione (tra cui, analisi di stabilità degli equilibri del pendolo). Studio di simulazioni del modelllo di una sospensione (sistema lineare asintoticamente stabile di ordine 4): caratteritiche del segnale di uscita in relazione ai modi propri del sistema, tempo di assestamento, andamento nel transitorio e a regime. Analisi di stabilità di equilibri in sistemi nonlineari con il metodo grafico: limiti di applicabilità della linearizzazione, grafico qualitativo dei movimenti dello stato. Esempi numerici di scomposizione di Heaviside e di calcolo dell anti-trasformata di Laplace di funzioni razionali con poli Reali e distinti o con poli multipli: applicazione del metodo dei residui. Calcolo di funzioni/matrici di trasferimento e di movimenti di sistemi lineari mediante anti-trasformata di Laplace, tra cui: la risposta corrispondente ad un segnale d ingresso ritardato o dervivato, calcolo della risposta all impulso (caso SISO e MIMO), applicazione al modello di una rete idrica. Calcolo dell esponenziale di matrice mediante anti-trasformata di (si A) 1 e analisi di stabilità conseguente. Applicazione e applicabilità dei Teoremi del valore iniziale e finale. 5

6 Esercizio sul calcolo della funzione di trasferimento e dei movimenti per un sistema descritto attraverso un equazione differenziale lineare di ordine n e anti-trasformata di Laplace di funzioni razionali con poli Complessi (calcolo della risposta allo scalino nella porta a spinta). Studio quantitativo del sistema serbatoio controllato in retroazione: analisi di stabilità, poli e tempo di assestamento al variare del controllore. Esercizi su rielaborazione e analisi di stabilità per sistemi descritti mediante uno schema a blocchi. Calcolo del guadagno statico a partire dalla funzione di trasferimento. Esempi numerici di applicazione dei teoremi della risposta esponenziale ed armonica, applicazione del teorema del valore iniziale per il tracciamento del grafico qualitativo delle risposte. Esercizi sull analisi di stabilità e sulle regole di rielaborazione dei sistemi descritti mediante schemi a blocchi. Esercizi sui vari metodi di rielaborazione dei sistemi descritti mediante schemi a blocchi e sulla loro analisi di stabilità. Passaggio dalla descrizione in spazio di stato di un sistema alla scomposizione in sottosistemi interagenti e alla rappresentazione mediante schemi a blocchi. Esercizi di ripasso sul calcolo della risposta armonica e sull applicazione del Teorema del valore finale. Esercizi sul tracciamento qualitativo della risposta allo scalino (tra cui, lo scalino di ampiezza non unitaria e con ritardo di tempo). Esempio di calcolo dell approssimazione ai poli dominanti di una G(s). Esempio di calcolo della funzione risposta in frequenza. Esempi di tracciamento dei diagrammi di Bode del modulo e della fase, e dei diagrammi polari. Calcolo delle intersezioni del diagramma polare con il semi-asse Reale negativo e con la circonferenza unitaria. Impiego dei diagrammi di Bode per l applicazione del Teorema della risposta armonica. Altri esercizi sulla risposta allo scalino e sui diagrammi di Bode. Esempi di tracciamento dei diagrammi di Nyquist e di applicazione del relativo criterio. Diagrammi polari e di Nyquist per funzioni di trasferimento aventi poli sull asse Immaginario, calcolo dell asintoto nel caso di funzioni di trasferimento aventi un polo in zero. Applicazione del Criterio di Nyquist per valutare la robustezza della stabilità rispetto ai ritardi di tempo. Esempi di applicazione del Criterio di Bode. Metodi per il calcolo o la stima di ω c e di ω π (anche per mezzo del regolo delle fasi). Calcolo del margine di guadagno e sua derivazione dai diagrammi di Bode. Esercizi sull analisi statica e dinamica dei sistemi retroazionati (diagrammi di Bode delle funzioni di sensitività e loro impiego per il calcolo di andamenti di regime in risposta a diversi segnali d ingresso, tracciamento qualitativo della risposta allo scalino in sistemi retroazionati). Discussione sulla relazione fra velocità di risposta dei sistemi retroazionati e la robustezza dell asintotica stabilità rispetto ai ritardi di tempo, e sulla relazione fra margine di fase e prestazioni dinamiche dei sistemi di controllo. Applicazione del Criterio di Bode e confronto fra le prestazioni garantite da diversi regolatori per il controllo di una rete idrica. Altri esercizi sull analisi statica e dinamica dei sistemi retroazionati: studio della moderazione della variabile di controllo e criticità da evitare; la quasi-cancellazione degli zeri sovraelonganti. Esempi di sintesi dei sistemi di controllo e di interpretazione fisica delle specifiche di progetto: il controllo di una rete idrica per garantire prestazioni dinamiche prestabilite; progetto di regolatori per sistemi a sfasamento minimo, in presenza di un ritardo di tempo o in presenza di zeri a destra ; segnali di riferimento da inseguire o disturbi da attenuare di tipo scalino, rampa o sinusoide; progetto di compensatori statici o dinamici. Esercizi sui controllori PID e sul metodo di Ziegler e Nichols per la taratura del regolatore. Esercizio di ripasso: la gestione degli Exchange Traded Funds (ETF); sintesi del regolatore per l inseguimento di un segnale di riferimento non canonico (l indice MIB) mediante analisi 6

7 spettrale del segnale e imposizione di un adeguata banda passante per il sistema retroazionato (ω c > ω); prefiltraggio passa-alto del riferimento per allargare la banda passante del sistema di controllo; cancellazioni zero/polo in R(s)G(s) e implicazioni sul diverso tempo di assestamento del movimento libero e del movimento forzato del sistema retroazionato; analisi delle simulazioni. Esercizi sui sistemi dinamici a tempo discreto: calcolo di equilibri e loro analisi di stabilità in sistemi non lineari mediante linearizzazione; calcolo dei modi propri in sistemi lineari con matrice A diagonalizzabile; analisi di asintotica stabilità di sistemi lineari con parametri mediante trasformazione bilineare. Risposta allo scalino di sistemi lineari a tempo discreto asintoticamente stabili: calcolo del guadagno statico e del valore di regime, andamento nel transitorio per sistemi di ordine 1 e, mediante approssimazione ai poli dominanti, per sistemi di ordine due. Esempi: dinamica dei prezzi di un bene; studio della successione di Fibonacci e della dinamica di popolazioni, applicazione del principio di sovrapposizione degli effetti. Esercizio di ripasso su spettri e filtri. Bruno Picasso 7

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