IL MIBO 30: VERIFICA DI ALCUNE RELAZIONI DI ARBITRAGGIO E SCOMPOSIZIONE DEL PREMIO

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1 IL MIBO 30: VERIFICA DI ALCUNE RELAZIONI DI ARBITRAGGIO E SCOMPOSIZIONE DEL PREMIO PELIZZARI CRISTIAN Sommario. Questo articolo analizza il funzionamento del mercato delle opzioni sull indice MIB 30 durante i suoi primi anni di esistenza in Italia; in particolare, vengono utilizzate alcune relazioni di arbitraggio per verificare se l opzione sull indice MIB 30 negoziata presso la Borsa Italiana S.p.A. le rispetti oppure no. Ciò che si può notare è l esistenza di una zona grigia entro cui i prezzi delle opzioni si muovono senza che sia possibile realizzare degli arbitraggi a causa della difficoltà di replica dell indice MIB 30 e dei costi di transazione; pur tenendo conto di tali difficoltà, si riscontrano comunque delle violazioni (che chiameremo violazioni significative) ed è molto probabile che queste siano causate dalla bassa intensità delle contrattazioni che porta con sè una inefficienza nella determinazione dei prezzi. 1. INTRODUZIONE Per quanto riguarda gli studi condotti sull argomento, possiamo citare quello di Evnine e Rudd in cui gli autori affermano che le opzioni su indici azionari da loro prese in esame (opzioni sull indice S&P 100 e sull indice MMI) mostrano una chiara violazione dei limiti inferiori e della relazione di parità put-call, nonostante la sofisticazione e il volume giornaliero delle contrattazioni; essi spiegano queste violazioni in parte con l estrema difficoltà di replicare l indice costruendo un portafoglio ad hoc da parte degli operatori e in parte con l incidenza dei costi di transazione, ma avvertono che comunque residua un elemento di inefficienza nel processo di contrattazione; essi ammettono pure che il set di dati a loro disposizione (addirittura dati in tempo reale e non semplici dati di chiusura) possa essere stato affetto da non sincronicità tra i prezzi dei contratti di opzione e il valore dell indice sottostante nel momento di conclusione dei contratti stessi soprattutto in situazioni di intensa contrattazione, quando è probabile che i sistemi di rilevazione (non necessariamente telematici) siano stati sovraccaricati di flussi informativi. Per aversi efficienza nei mercati finanziari, è necessario che i prezzi riflettano l informazione a disposizione degli operatori e che i costi di transazione siano minimizzati. Il concetto di efficienza dei prezzi e di efficienza delle transazioni è stato sviluppato per riflettere queste due condizioni necessarie. Per quanto riguarda l efficienza dei prezzi, il lavoro pionieristico in argomento è dovuto a Fama; questi suddivide l efficienza in diversi tipi a seconda dell informazione riflessa nei prezzi. L informazione può essere sfruttata per ottenere dei profitti e quindi l esistenza di opportunità di profitto non sfruttate è segno di inefficienza dei prezzi. La difficoltà maggiore nel verificare l esistenza o meno di queste opportunità di profitto consiste nell accertare se i profitti potenziali siano sufficienti per coprire i costi di transazione e i rischi sopportati dall arbitraggista. 1

2 2 PELIZZARI CRISTIAN L efficienza delle transazioni concerne il bid/ask spread (la differenza tra prezzi offerti e prezzi domandati), le commissioni e la pressione sui prezzi determinata dalle transazioni. In questo caso si tratta di verificare se chi guadagna da questi costi di transazione sopporti a sua volta costi e rischi adeguati o realizzi al contrario extra-profitti. Tornando all efficienza dei prezzi, il modo più semplice per verificarla è quello di basarsi su un arbitraggio, in quanto quest ultimo ha il vantaggio di essere non rischioso. Nel caso delle opzioni, gli arbitraggi più interessanti si riferiscono ai limiti inferiori e alla parità put-call. Il lavoro che abbiamo effettuatohavolutotestarel efficienza dei prezzi del MIBO 30 basandosi sulla verifica dell esistenza o meno di opportunità di profitto non sfruttate e quindi sulla verifica del rispetto dei limiti inferiori e della parità put-call. 2. IDATIESAMINATI Le opzioni considerate hanno, all emissione, una vita complessiva di nove mesi (a gennaio viene emessa la scadenza di settembre, ad aprile la scadenza di dicembre, a luglio la scadenza di marzo e a ottobre la scadenza di giugno), ma le quotazioni esaminate hanno riguardato solo gli ultimi tre mesi di vita delle opzioni stesse. I dati presi in considerazione hanno riguardato i prezzi di chiusura dei seguenti contratti: call scadente a marzo 1996 per il periodo e relativamente a tutti i prezzi d esercizio quotati (da a con incrementi di 500 punti-indice); call scadente a giugno 1996 per il periodo e relativamente a tutti i prezzi d esercizio quotati (da a con incrementi di 500 punti-indice); call scadente a marzo 1997 per il periodo e relativamente a tutti i prezzi d esercizio quotati (da a con incrementi di 500 punti-indice); call scadente a giugno 1997 per il periodo e relativamente a tutti i prezzi d esercizio quotati (da a21.000conincrementidi500 punti-indice); call scadente a marzo 1998perilperiodo e relativamente a tutti i prezzi d esercizio quotati (da a31.000conincrementidi500 punti indice). Ovviamente abbiamo considerato anche l altro tipo di contratto, cioè la put, per le stesse scadenze, gli stessi periodi e gli stessi prezzi d esercizio. Il numero di quotazioni esaminate è quindi pari teoricamente a µ tipi opzione n. prezzi. es. scad. marzo 1996 n. giorni contrattaz. esaminati µ n. prezzi. es. scad. giugno 1996 n. giorni contrattaz. esaminati µ n. prezzi. es. scad. marzo 1997 n. giorni contrattaz. esaminati

3 MIBO 30, RELAZIONI DI ARBITRAGGIO E SCOMPOSIZIONE DEL PREMIO 3 µ n. prezzi. es. scad. giugno 1997 n. giorni contrattaz. esaminati µ = n. prezzi. es. scad. marzo 1998 n. giorni contrattaz. esaminati Dal risultato precedente bisogna togliere: 1. le quotazioni del giorno di scadenza delle prime quattro scadenze analizzate, poichè il giorno di scadenza non si è avuta attività di contrattazione; 2. le quotazioni del , del , dell , del e del per le put e del per le call, in quanto non sono state fornite nei dati trasmessi dalla Borsa Italiana S.p.A.; 3. le quotazioni dei prezzi d esercizio relative ai giorni di contrattazione in cui tali prezzi non erano ancora quotati, in quanto sono stati introdotti dopo l inizio del nostro periodo di osservazione. Il numero di quotazioni esaminate effettivamente è quindi pari a Per ognuno di questi dati sono stati generati altrettanti dati relativi al limite inferiore, alla relazione di parità put-call (solo per la metà) e alla scomposizione del premio in valore intrinseco e valore temporale (per il doppio). 3. LERELAZIONIDIARBITRAGGIO 3.1. LA SCELTA DELLE RELAZIONI DA VERIFICARE. Per quanto riguarda le relazioni di arbitraggio, come anticipato, abbiamo fatto riferimento ai limiti inferiori e alla parità put-call. Il prezzo dell opzione sarà indicato con c(s(0),t; K) o p(s(0),t; K), intendendo in tal modo il premio rispettivamente di una opzione call o put sul MIB 30 con prezzo d esercizio pari a K punti-indice, vita residua di T anni e per cui il valore dell indice nel momento 0 della valutazione ammonta a S(0) punti-indice. Una particolarità consiste nella considerazione dei dividendi staccati dalle azioni componenti l indice; i dividendi determinano una riduzione del valore dell indice tanto più marcata quanto più grande è il loro valore e il peso che occupa l azione nell indice; il fenomeno dei dividendi, che ha influenzato l indice MIB 30 durante il nostro periodo di osservazione, ha comportato una modifica delle usuali relazioni di arbitraggio valide per le opzioni su beni che non distribuiscono frutti durante la vita residua dell opzione stessa. E bene ricordare che le relazioni di arbitraggio che stiamo considerando sono state ottenute sulla base dell ipotesi: che esista la possibilità di acquistare e vendere le azioni dell indice nello stesso istante, ai prezzi e con i pesi indicati dall indice e con costi di transazione proporzionali al peso 1 delle azioni nell indice; che si possa riscuotere il dividendo staccato da parte delle azioni dell indice sottostante. Per come è costruito, l indice è assimilabile a un portafoglio virtuale. La possibilità di replicare un indice con un portafoglio di azioni è essenziale nelle strategie 1 I pesi a cui si fa riferimento non sono pesi veri e propri, poichè non danno l unità come somma e sono ottenuti da una particolare scomposizione della formula per il calcolo del MIB 30 riportata a pagina 18.

4 4 PELIZZARI CRISTIAN di investimento che impiegano opzioni su indici azionari; pertanto, in un modello teorico devono essere introdotte ipotesi che rendano possibile questa replica e devono essere studiati modi per conseguire questo risultato anche nella realtà. La costruzione di un portafoglio che replichi un indice azionario nel concreto presenta tuttavia parecchie difficoltà tecniche. In primo luogo non è facile reperire i titoli che compongono l indice, specialmente quando questo è calcolato su un numero molto elevato di azioni; non tutte infatti sono titoli liquidi che possono essere acquistati immediatamente. Inoltre, bisogna combinare le azioni esattamente nelle stesse proporzioni con cui esse sono presenti nell indice; ciò può rivelarsi difficile e spesso impossibile, a causa dell indivisibilità dei titoli e del fatto che le azioni possono essere trattate solo in lotti fissi, mentre l indice è un portafoglio virtuale composto da titoli infinitamente divisibili. Non bisogna poi dimenticare i costi di transazione che si devono sopportare e che sono invece assenti nel portafoglio virtuale rappresentato dall indice. L indice rappresenta un portafoglio in cui tutta la ricchezza in ogni istante è investita, mentre in un portafoglio reale sarà sempre presente in qualche misura del contante. Un portafoglio reale non può accogliere nuove azioni ai prezzi a cui sono incluse nell indice e le azioni sospese dalle contrattazioni vengono rimosse durante il calcolo dell indice mentre questo non accade nel portafoglio reale. L indice poi tratta i dividendi in modo difforme rispetto al portafoglio reale; infatti l indice assume che i dividendi siano disponibili appena l azione diviene ex-dividendo, mentre occorrono alcune settimane a chi detiene azioni di una società affinchè ne incassi i dividendi. Nell indice sono poi assenti le complicazioni fiscali che invece deve affrontare chi detiene un portafoglio reale di azioni. Le supposizioni (in alcuni casi un po forti) precedentemente indicate comportano l assimilazione di un indice a un portafoglio di azioni; ciò consente che le relazioni di arbitraggio che sono valide essenzialmente per le azioni possano essere trasferite nell ambito delle opzioni su indici azionari. Nel caso di opzioni sugli indici azionari le cui azioni non staccano dividendi durante la vita residua, faremo riferimento alle relazioni seguenti che valgono rispettivamente per le call e le put di stile europeo: (3.1) (3.2) c(s(0),t; K) max(0,s(0)e rt K)) p(s(0),t; K) max(0,ke rt S(0)), dove e rt è il fattore di attualizzazione in regime continuo caratterizzato da un tasso di interesse r e relativo ad una durata residua T. In base a quanto verrà spiegato più approfonditamente nell appendice, abbiamo consideratoilcasodidividendicertiinammontareedata;perleopzionieuropee, come il MIBO 30, basta sostituire nelle relazioni precedenti S(0) con l espressione (3.3) S (0) = S(0) JX j=1 i=1 IX D i,j e rti,j, dove D i,j è il dividendo versato alla data t i dalla società j; t i,j è la vita residua fino al versamento del dividendo della società j alla data t i.

5 MIBO 30, RELAZIONI DI ARBITRAGGIO E SCOMPOSIZIONE DEL PREMIO 5 Per quanto riguarda la relazione di parità put-call senza dividendi, si fa riferimentoallaseguente: (3.4) p(s(0),t; K) =c(s(0),t; K)+Ke rt S(0). Per tenere conto di dividendi certi in data e ammontare, si fa riferimento alla stessa relazione, aggiustata però come è stato appena indicato relativamente ai limiti inferiori. I limiti inferiori e la relazione di parità put-call senza dividendi sono stati utilizzati per le opzioni scadenti a marzo 1996, marzo 1997 e marzo 1998, mentre per le scadenze di giugno 1996 e giugno 1997sièfattoriferimentoarelazionidi abritraggio con dividendi di ammontare e data certi I RISULTATI OTTENUTI PER I LIMITI INFERIORI. Il calcolo dei limiti inferiori ha mostrato violazioni degli stessi da parte dei prezzi di chiusura delle opzioni. Nella considerazione di queste violazioni abbiamo adottato un criterio discriminatorio: se la differenza tra il valore del limite inferiore e il prezzo di chiusura è stata minore di 20 punti-indice, non abbiamo ritenuto significativa la violazione; se invece la differenza ha superato i 20 punti-indice, abbiamo ritenuto significativa la violazione. Perchè si è adottata questa distinzione? Il motivo è semplice: un puntoindice valeva in quegli anni lire e quindi 20 punti-indice valevano lire. Sfruttare una violazione dei limiti inferiori per un guadagno lordo teorico per opzione di lire è praticamente una perdita: infatti, bisogna innanzitutto tenere presente che il prezzo effettivo a cui verrebbe eseguito l arbitraggio è quasi sicuramente diverso dal prezzo di chiusura utilizzato come confronto 2 einaggiunta a ciò vanno considerati i costi di transazione. I risultati numerici sono riassunti nella tabella successiva. (3.5) Giorni Scadenza di contrattazione marzo giugno marzo giugno Violazione non signifi cativa Call Violazione signifi cativa Put Violazione non signifi cativa = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, = 0, 014 marzo Il numeratore delle frazioni indicate nella tabella precedente rappresenta le violazioni riscontrate, mentre il denominatore rappresenta il numero di quotazioni disponibili per una medesima scadenza relative a tutti i giorni di contrattazione indicati e a tutti i prezzi d esercizio contemporaneamente negoziati per quella scadenza. Notiamo che sia le put che le call registrano violazioni non significative (la percentuale di violazioni non significative risulta in generale più bassa per le put), mentre soltanto le call registrano violazioni significative. Prendiamo quindi in considerazione le violazioni significative (cioè quelle superiori ai 20 punti-indice). 2 Se anche si utilizzasse un prezzo diverso da quello di chiusura, come per esempio l ultimo prezzo fatto durante una seduta borsistica, si verificherebbe quasi sicuramente una discrepanza anche tra questo prezzo di confronto e quello reale a cui verrebbe concluso il contratto sul mercato.

6 6 PELIZZARI CRISTIAN Nel caso della call scadente a marzo 1997, le 7 violazioni significative sono state registrate in un solo giorno di contrattazione (il 20 marzo 1997, cioè il giorno prima della scadenza dell opzione e praticamente l ultimo giorno di contrattazione per quella scadenza) e si riferiscono ovviamente a 7 contratti con prezzi d esercizio differenti; il valore della differenza si attesta intorno ai -69,7 punti-indice per i primi cinque contratti interessati (con prezzi d esercizio da a ), è di -68 punti-indice per il prezzo d esercizio e di -67 punti-indice per il prezzo d esercizio Le 7 violazioni precedenti sono analizzate congiuntamente ai risultati riguardanti il valore temporale calcolato per le stesse opzioni nello stesso giorno e quindi rimandiamo a pagina 13 per un approfondimento. Nel caso della call scadente a marzo 1996, le 63 violazioni significative sono diffuse durante un arco temporale che va dal al , anche se si sono concentrate in particolar modo nel periodo , cioè nel periodo in cui il MIB 30 ha subìto un forte aumento che lo ha portato da quota il aquota l per poi scendere ancora più bruscamente a quota il ; in compenso, degli 8 prezzi d esercizio contrattati per questa scadenza, le violazioni riguardano soltanto i primi 4, cioè , , e In questo periodo, il valore di chiusura del MIB 30 non è mai stato inferiore a e quindi i contratti con i primi tre prezzi d esercizio sono sempre stati in-the-money (valore dell indice superiore al prezzo d esercizio); anche per il contratto con prezzo d esercizio le violazioni si sono verificate quando l opzione era in-the-money. I contratti con prezzo d esercizio e sono risultati fortemente inthe-money durante tutto il periodo di osservazione e le contrattazioni sono state assolutamente ridotte (i contratti conclusi hanno superato le 100 unità giornaliere soltanto una volta per ogni prezzo d esercizio in tutto il periodo di negoziazione). La situazione migliora per gli altri due prezzi d esercizio per i quali le contrattazioni sono state più intense soprattutto a partire dal , anche se si sono avute con una certa continuità soltanto per il prezzo d esercizio Se osserviamo le violazioni per ognuno dei contratti in questione, notiamo che il terzo e il quarto non hanno più subito violazioni significativeproprioapartiredal14 febbraio 1996, cioè quando le contrattazioni che li hanno riguardati hanno registrato un aumento della loro intensità. In base a quanto affermato, sembra che lo spessore e la continuità delle contrattazioni influiscano sulla violazione dei limiti inferiori. Per avere una conferma o meno di questo fatto, osserviamo cosa succede amarzo1997eamarzo1998(cioèperlestessescadenzema1 e 2 anni dopo); possiamo notare che la percentuale di violazioni significative del limite inferiore si riduce drasticamente allo 0,9% nel 1997 (le 7 violazioni di cui si è detto all inizio) ed è nulla nel Se però proviamo a scorrere le serie relative al numero di contratti conclusi per ogni prezzo d esercizio esclusivamente o prevalentemente in-the-money in relazione alle scadenze di marzo 1997 e marzo 1998, notiamo che, in media, il numero di contratti conclusi per i prezzi d esercizio in-the-money della scadenza di marzo 1996 è stato più alto di quello relativo ai prezzi d esercizio in-the-money delle

7 MIBO 30, RELAZIONI DI ARBITRAGGIO E SCOMPOSIZIONE DEL PREMIO 7 scadenze di marzo 1997 e marzo 1998, come si può notare dalla tabella seguente. Scadenza N. di prezzi d esercizio esclusivamente o prevalentemente Media dei contratti conclusi durante il periodo di osservazione per tutti i prezzi d esercizio (3.6) in-the-money durante il periodo di osservazione esclusivamente o prevalentemente in-the-money Marzo , Marzo , Marzo , Questo dovrebbe farci riflettere, in quanto un maggior rispetto dei limiti inferiori è stato ottenuto per scadenze le cui contrattazioni sono risultate simili o addirittura inferiori per intensità e continuità alle contrattazioni della scadenza con i risultati peggiori in termini di limiti inferiori. Per quanto riguarda la scadenza di giugno 1997, le 66 violazioni significative che sono state osservate si riferiscono essenzialmente al periodo e al giorno ; esse riguardano soltanto i primi 6 contratti (con prezzo d esercizio da a ) che sono risultati esclusivamente in-the-money per tutto il periodo considerato ai fini dell analisi; le contrattazioni per i 6 prezzi d esercizio considerati sono state pressoché inesistenti durante tutto il periodo. Se osserviamo cosa succede a giugno 1996 (cioè per la stessa scadenza ma 1 anno prima), possiamo notare che la percentuale di violazioni significative dello stesso limite è nulla. Passando quindi da giugno 1996 a giugno 1997, notiamo un peggioramento nel rispetto dei limiti inferiori. Se proviamo a fare un altra verifica e scorriamo le serie relative al numero di contratti conclusi per ogni prezzo d esercizio esclusivamente in-the-money riferite alle scadenze di giugno 1996 e giugno 1997, notiamo che, in media, il numero di contratti conclusi per i prezzi d esercizio esclusivamente in-the-money della scadenza di giugno 1996 è stato 2, , mentre quello relativo ai prezzi d esercizio esclusivamente in-the-money della scadenza di giugno 1997 è stato 3, ; ancora una volta lo spessore e la continuità delle contrattazioni sembrano essere stati leggermente superiori per la scadenza interessata dalle violazioni e quindi sembrano non essere la causa principale delle violazioni stesse. In base ai risultati ottenuti e alle spiegazioni proposte a giustificazione delle violazioni riscontrate, sembrerebbe che la violazione del limite inferiore non dipenda dall intensità delle contrattazioni: è ammissibile infatti che i pochi contratti di una seduta borsistica siano conclusi verso la fine della stessa e quindi il prezzo di chiusura delle opzioni sia in linea col valore di chiusura dell indice; tuttavia, non conosciamo l orario di stipula dei vari contratti e il valore dell indice in quell istante e quindi non possiamo stabilire in maniera più precisa il legame tra violazione del limite e intensità delle contrattazioni. Aggiungiamo però che quando le contrattazioni hanno avuto una maggiore intensità non abbiamo più riscontrato violazioni significative del limite inferiore. Un ulteriore punto in accordo con quanto appena detto riguarda le violazioni notate il 20 marzo 1997 per i contratti con prezzo d esercizio e (per l esame delle 7 violazioni del 20 marzo 1997, bisogna fare riferimento a quanto indicato a pagina 13). Questo apre la strada a diverse possibilità:

8 8 PELIZZARI CRISTIAN che in effetti il limite inferiore possa non essere stato rispettato, ma questo non dipenda dalla bassa intensità delle negoziazioni (può darsi che, ad esempio, gli orari di chiusura dei mercati sono diversi e pertanto le violazioni riscontrate sono dovute puramente ad un fatto tecnico); che le violazioni siano causate dalla bassa intensità delle contrattazioni che portano con sè una inefficienza nella determinazione dei prezzi. Dopo aver analizzato anche i risultati relativi alla parità put-call, avremo più conoscenze per poter affermare quale delle due alternative è più probabile. L analisi dei limiti inferiori può essere utilimente condotta anche sotto altri aspetti. La relazione tra limiti inferiori per put e call è abbastanza immediata: quando il prezzo dell indice rende positivo il limite inferiore per la call (in quanto S(t) è maggiore rispetto a Ke r(t t) ), allora il limite inferiore per la put è 0 (in quanto Ke r(t t) S(t) < 0) e viceversa; quindi, ogni giorno di osservazione i limiti inferiori possono essere rappresentati come nella figura 1 dove il punto d incontro sull asse S(t) è rappresentato da Ke r(t t) ; abbiamo detto ogni giorno, in quanto lo stesso grafico subisce uno spostamento verso destra sull asse delle S(t) a causa della quantità Ke r(t t) che aumenta col passare del tempo fino a diventare K alla scadenza dell opzione c(s(t), T-t; K), p(s(t), T-t; K) S(t) Figura 1. Questa figura rappresenta, in un certo momento t della vita residua, i limiti inferiori di un opzione call e di un opzione put aventi la stessa scadenza e lo stesso prezzo d esercizio. Per ogni giorno di contrattazione osservato, i prezzi di chiusura delle opzioni call e put con lo stesso prezzo d esercizio possono essere posizionati nel relativo grafico in corrispondenza dello stesso prezzo del sottostante e, a seconda del valore di chiusura dell indice, potranno essere uno maggiore dell altro o viceversa. Abbiamo voluto confrontare gli scostamenti dei prezzi di chiusura dal relativo limite inferiore nel caso in cui il limite inferiore fosse stato positivo; abbiamo quindi calcolato la media, la deviazione standard e la varianza di queste differenze sia per

9 MIBO 30, RELAZIONI DI ARBITRAGGIO E SCOMPOSIZIONE DEL PREMIO 9 le put che per le call e i risultati sono presentati nella tabella seguente. (3.7) Scadenza Media (A) Call Dev. standard Varianza Media Put Dev. standard Varianza marzo ,48 143, ,95 192,21 159, ,74 giugno ,29 143, ,87 233,83 147, ,99 marzo ,57 150, ,24 234,25 187, ,33 giugno , ,19 293,58 226, ,34 marzo ,7 312, ,06 648,09 307, ,58 Per ogni scadenza, la deviazione standard di put e call è piuttosto simile e si discosta di 40 punti-indice circa soltanto per i contratti del Per quanto riguarda la media, notiamo che le put hanno una media doppia rispetto alle call, tranne che per la scadenza di giugno 1997doveloscostamentoèdi24punti-indice circa. Ovviamente una media elevata delle differenze tra prezzi di chiusura e limiti inferiori corrispondenti significa che i prezzi di chiusura non sono molto prossimi ai limiti inferiori. Cerchiamo di capire perchè i premi delle put abbiano generato in media differenze dai limiti inferiori così ampie rispetto ai premi delle call. Abbiamo considerato la media dei limiti inferiori positivi per ogni scadenza. I risultati sono esposti nella tabella seguente. (3.8) Media dei limiti inferiori positivi Media dei premi corrispondenti a limiti inferiori positivi Scadenza Call (B) Put Call (C) Put Marzo ,65 798, ,13 990,90 Giugno ,09 737, ,38 971,69 Marzo ,20 947, , ,38 Giugno ,36 990, , ,04 Marzo , , , ,48 Se sommiamo la media dei limiti inferiori positivi alla corrispondente media degli scostamenti dei premi da questi limiti, otteniamo la media dei premi nel caso in cui i limiti inferiori sono positivi; osservando le due tabelle precedenti, questo significa, ad esempio, che (3.9) colonna (A) di tabella colonna (B) di tabella 3.8 = = colonna (C) di tabella 3.8. Nel caso in cui sia valso un limite inferiore positivo, possiamo notare che i prezzi delle put sono stati mediamente inferiori a quelli delle call e questo è la causa più immediata che può giustificare limiti inferiori positivi più piccoli e differenze dei premi da questi limiti più grandi rispetto al caso delle call; infatti, all aumentare del premio di un opzione, la differenza col limite inferiore si assottiglia in quanto il premio cresce ad un tasso sempre più ridotto rispetto al tasso costante di crescita del limite inferiore. A conclusione dell analisi dei limiti inferiori, possiamo affermare che, mentre in alcuni casi la violazione significativa dei limiti inferiori da parte delle call suscita perplessità, nulla possiamo dire per le put, visto cheessenonviolanoilorolimitiinferiori,anchesemediamenteleput hanno avuto premi che si sono discostati in misura maggiore dai loro limiti inferiori rispetto alle call.

10 10 PELIZZARI CRISTIAN 3.3. I RISULTATI OTTENUTI PER LA PARITA PUT-CALL. La relazione di parità valevole per le opzioni di tipo europeo 3.4 è stata trasformata in maniera da ottenere la seguente uguaglianza: (3.10) c(s(0),t; K) p(s(0),t; K)+Ke rt S(0) = 0. Sulla base di questa equazione, abbiamo verificato di quanto il primo membro si è allontanato dallo zero. In linea con le considerazioni fatte all inizio del precedente paragrafo sui risultati relativi ai limiti inferiori, escludiamo dall esame i dati compresi in un intervallo attorno allo zero che stabiliamo in [ 20, 20] punti-indice. Dall osservazione dei grafici relativi alla parità, possiamo dedurre innanzitutto la presenza di valori estremamente altalenanti in sequenza; infatti, è frequente che dopo un determinato valore si noti un valore molto più basso o molto più alto e questo per molte osservazioni in sequenza appunto. Vogliamo verificare se la media degli scarti sia vicina allo zero in maniera significativa o meno. La statistica inferenziale ci fornisce gli strumenti per effettuare questa verifica. Ipotizzando che gli scarti si distribuiscano secondo una variabile casuale normale di cui non conosciamo la varianza, possiamo condurre una verifica d ipotesi riguardante la media di tali scarti. La struttura del test è così riassumibile: ipotesi nulla (H 0 ): µ =0; ipotesi alternativa (H 1 ): µ 6= 0. La statistica test utilizzata è una sorta di media campionaria standardizzata che, sotto l ipotesi nulla, si distribuisce come una variabile casuale t di Student con (n 1) gradi di libertà: (3.11) t = X 0, S 0 n dove X è la media campionaria degli scarti; 0 è la media della popolazione sotto l ipotesi nulla; n è lar numerosità del campione di scarti; P S 0 n i=1(x i X) 2 = (n 1) è uno stimatore della deviazione standard ignota σ della popolazione 3. La regione di rifiuto dell ipotesi nulla è R = ª (3.12) t : t t α 2, 3 S 0 è uno stimatore distorto della deviazione standard della popolazione. Se volessimo utilizzare uno stimatore non distorto, dovremmo adottare il seguente: 1 2 n n 3 v 2! u t P n i=1 Xi X n 1! (n 1) dove (x)! rappresenta il valore della funzione gamma in corrispondenza di x; lafunzionegammaè Z x 0 e v v x dv. L utilizzo dello stimatore non distorto conduce in generale a miglioramenti dei risultati sempre meno evidenti quanto più ampio è il campione di dati considerati. Vedi Cox e Rubinstein alla nota 2 di pag. 256.

11 MIBO 30, RELAZIONI DI ARBITRAGGIO E SCOMPOSIZIONE DEL PREMIO 11 dove t α ètalecheprob(t t α )= α α è chiamato livello di significatività e, per il test in oggetto, abbiamo scelto questo parametro pari a 0, 05; avremmo potuto scegliere un livello di significatività più ridotto e quanto più piccolo fosse stato tale valore tanto più credibile sarebbe stato il rifiuto dell ipotesi nulla; tuttavia, per valori bassi del parametro, la regione di accettazione sarebbe aumentata e, nel caso di accettazione dell ipotesi nulla, sarebbe aumentata anche la probabilità che questa in effetti non fosse stata vera. I calcoli che abbiamo eseguito mostrano che in generale l ipotesi di nullità della media degli scarti viene rifiutata. Nelle tabelle seguenti sono riassunti invece i casi di accettazione dell ipotesi nulla. (3.13) (3.14) Opzioni scadenti a marzo 1997 Prezzi d es. ±t α 2 t ,0032 1, ,0106-0, ,0117 0, ,0141 0, ,0141-0, ,0195-1,3711 Opzioni scadenti a marzo 1998 Prezzi d es. ±t α 2 t Prezzi d es. ±t α 2 t ,0141 1, ,0423 0, ,0141 1, ,0739 1, ,0141 1, ,0860 1, ,0227 1, ,1199 0, ,0244 1, ,1604 0, ,0281 1,0615 Oltre ai casi presenti nella tabella precedente, abbiamo accettato l ipotesi nulla anche per la parità relativa ai contratti scadenti a giugno 1997 con prezzo d esercizio ; poichè però il campione degli scarti dallo zero è estremamente ridotto (soltanto tre valori), non possiamo considerare degno di nota il risultato del test che lo riguarda. E evidente come i rifiuti dell ipotesi di nullità degli scarti con un livello di significatività del test al 5% siano troppi (su 72 test 56 rigetti, cioè il 77,7%); possiamo quindi pensare che questi valori possano indicare una violazione della relazione di parità dovuta a una bassa intensità nelle contrattazioni che ha portato a inefficienze nella determinazione dei prezzi; possiamo anche pensare che i prezzi di chiusura delle opzioni e dell indice siano stati determinati in momenti diversi della seduta borsistica e questa mancanza di sincronicità nei dati sia quindi la causa più immediata delle violazioni così frequenti che abbiamo notato. La tendenza generale che si nota in tutti i grafici è quella di un avvicinamento allo zero in corrispondenza alle osservazioni finali del periodo per tutti i contratti analizzati; spesso poi l avvicinamento è tale per cui la forte oscillazione degli scarti stessi termina o si attenua, in quanto gli scarti si stabilizzano all interno della banda di oscillazione attorno allo zero indicata all inizio. Il fatto che vi sia una tendenza generale verso un determinato comportamento non esclude le eccezioni a questo comportamento,

12 12 PELIZZARI CRISTIAN cioè non è sempre vero che l oscillazione si attenua nella parte finale del periodo di osservazione e non è sempre vero che nella parte iniziale del periodo si hanno soltanto oscillazioni fuori dalla banda; basta osservare, come esempio per entrambe le eccezioni indicate, il sesto ed il settimo prezzo d esercizio relativi ai contratti scadenti a giugno 1996: per le prime 21 osservazioni, la parità viene rispettata, mentre dalla trentottesima osservazione in poi l oscillazione degli scarti attorno allo zero non accenna a diminuire ed anzi sembra aumentare. Figura 2 qui nel testo Figura 3 qui nel testo La parità è violata nei modi più diversi: in alcuni casi prevalgono gli scarti positivi e quindi, quando è presente un trend di avvicinamento allo zero, questo avviene da valori positivi; in altri casi gli scarti sono negativi e l eventuale avvicinamento allo zero avviene quindi da valori prevalentemente negativi; in altri casi ancora, si può dire che gli scarti positivi e quelli negativi si controbilanciano e il trend che ne risulta è assimilabile ad una retta orizzontale (non necessariamente coincidente con l asse orizzontale); in altri casi ancora, e sono quelli più numerosi, il trend può essere scomposto in diversi sottoperiodi all interno di ognuno dei quali prevale una delle tre tendenze appena viste. Pur avendo affermato che la non sincronicità dei dati è la causa principale dell andamento così irregolare delle serie degli scarti della relazione di parità, dobbiamo notare che, per certi contratti, sembra prevalere un trend che fa pensare ad una non casualità della successione degli scarti; in particolare, tutti i prezzi d esercizio per i contratti scadenti a marzo 1996 e a giugno 1997, ad esempio, mostrano chiaramente un avvicinamento allo zero da valori negativi e per queste scadenze abbiamo riscontrato violazioni significative dei limiti inferiori da parte delle call e la percentuale di violazioni non significative più alta, sia per le call che per le put, rispetto alle altre scadenze 4. E ovvio che le violazioni significative dei limiti inferiori da parte delle call influiscano sulla parità e facciano prevalere gli scarti negativi su quelli positivi, ma, mentre le violazioni significative sono relative ad alcuni prezzi d esercizio e ad alcune osservazioni, i grafici della parità per le stesse scadenze in cui si sono avute le violazioni mostrano una tendenza generalizzata (cioè relativa a tutti i prezzi d esercizio e a tutte le scadenze) che le violazioni dei limiti inferiori non sono in grado di evidenziare. Oltre a ciò, i grafici della parità mostrano tendenze degli scarti che fanno pensare ad una loro non casualità anche in casi in cui non si sono registrate violazioni significative dei limiti inferiori. Se escludiamo i sottoperiodi in cui la parità sembra rispettata, non è detto che rimangano periodi in cui essa sia sempre violata: quello che noteremo è un andamento molto irregolare, ma i valori che lo compongono possono cadere all interno della banda di oscillazione; il motivo per cui non vengono considerati i sottoperiodi con andamenti così irregolari è dato dalla mancanza di continuità, cioè dal fatto che questi valori si posizionano spesso fuori dalla banda di oscillazione. 4 Vedi la tabella 3.5.

13 MIBO 30, RELAZIONI DI ARBITRAGGIO E SCOMPOSIZIONE DEL PREMIO SCOMPOSIZIONE DEL PREMIO IN VALORE INTRINSECO E VALORE TEMPORALE In questo paragrafo analizziamo la scomposizione del premio dell opzione nelle due componenti principali: valore intrinseco, che è max(0,s(0) K) per le call e max(0,k S(0)) per le put; valore temporale, che è la differenza tra premio e valore intrinseco dell opzione. Il valore temporale raggiunge il suo massimo livello quando l opzione è at-themoney e tende a diminuire quando l opzione diventa out-of-the-money o in-themoney. Quando l opzione è out-of-the-money o at-the-money, l intero premio è equivalente al valore temporale perchè il valore intrinseco dell opzione è nullo. Il valore temporale rappresenta il premio aggiuntivo rispetto al valore intrinseco che il venditore di un opzione intende ricevere per cautelarsi da movimenti futuri del sottostante in senso a lui sfavorevole; esso riflette, infatti, la probabilità che il valore intrinseco aumenti nel tempo e che il titolare dell opzione ne trovi conveniente l esercizio; è quindi evidente che tale premio aggiuntivo è tanto più elevato quanto maggiore è il tempo a scadenza e quanto più elevata è la variabilità attesa del prezzo del sottostante. Un opzione di tipo europeo su un sottostante che non distribuisce flussi durante la vita residua dell opzione stessa deve rispettare limiti inferiori che sono più alti rispetto a quelli che sussistono per le corrispondenti opzioni americane nel caso delle call e limiti inferiori che sono più bassi rispetto a quelli delle corrispondenti opzioni americane nel caso delle put; poichè il limite inferiore per le opzioni americane è proprio il valore intrinseco, le put europee possono essere quotate ad un valore inferiore al loro valore intrinseco e conseguentemente il valore temporale può essere negativo. Nel caso in cui il sottostante distribuisca flussi, i limiti inferiori sia delle call che delle put subiscono delle variazioni ed è possibile che sia le put che le call europee siano quotate ad un valore inferiore al valore intrinseco 5. Possiamo quindi affermare che: 1. tutte le opzioni americane da una parte e le opzioni call europee su un sottostante che non distribuisce flussi dall altra non possono avere premi inferiori al loro valore intrinseco; 2. le opzioni call europee su un sottostante che distribuisce flussi e tutte le opzioni put europee possono avere premi inferiori al loro valore intrinseco. Poichè il MIBO 30 è un opzione europea e, per le scadenze di giugno 1996 e giugno 1997, è stata influenzata dalla distribuzione di dividendi da parte delle azioni componenti l indice, è ammissibile, in base a quanto indicato al punto 1., che il valore temporale sia negativo. Abbiamo quindi condotto un analisi per verificare se il valore temporale negativo si sia presentato nei casi non consentiti per le opzioni europee e cioè quando il sottostante delle call non abbia distribuito flussi. Un solo valore temporale significativamente (cioè superiore ai 20 punti-indice) negativo si è verificato il 29 febbraio 1996 relativamente al contratto con scadenza marzo 1996; il valore temporale è stato di -36 punti-indice e ha riguardato il prezzo d esercizio più basso (12.500) che è risultato deep-in-the-money e per il quale le contrattazioni sono state molto deboli durante tutto il periodo di osservazione. 5 Vedi Dubofsky alle pagine 94 e 95 per le call e alle pagine 109 e 110 per le put.

14 14 PELIZZARI CRISTIAN I sette valori temporali negativi della call scadente a marzo 1997sisonoverificati tutti nella stessa seduta borsistica (il 20 marzo, cioè il giorno prima della scadenza dell opzione e praticamente l ultimo giorno di contrattazione), hanno riguardato gli stessi prezzi d esercizio per i quali abbiamo rilevato in precedenza una violazione del limite inferiore e sono stati mediamente di -66 punti-indice (leggermente più bassi quindi in valore assoluto all entità della violazione dei limiti inferiori 6 ). Per i primi cinque contratti coinvolti, quelli con prezzi d esercizio da a , le contrattazioni che li hanno riguardati sono state ridotte, se non addirittura inesistenti, per tutto il periodo di osservazione e possiamo spiegare le contrattazioni ridotte per il fatto che questi prezzi d esercizio sono risultati deep-in-the-money. Per gli altri due contratti, quelli con prezzo d esercizio e , la contrattazione ha avuto un certo spessore e una certa continuità proprio nelle sei sedute borsistiche che terminano col giorno in cui si è notato il valore temporale negativo. Possiamo affermare che non sembra che l intensità delle contrattazioni sia stato il motivo principale di queste violazioni; tuttavia non possiamo nemmeno stabilire se la violazione abbia generato possibilità di arbitraggio per motivi diversi dalla bassa intensità delle contrattazioni come, ad esempio, fatti puramente tecnici dovuti ai diversi momenti di chiusura dei mercati delle opzioni e del loro sottostante; infatti, l analisi richiederebbe di avere a disposizione, per ogni contratto concluso nel giorno della violazione, il prezzo fatto, l orario di negoziazione e il valore dell indice in quel momento. Anche altre scadenze analizzate hanno presentato valori temporali negativi, ma questi sono consentiti dall apparato teorico di relazioni che abbiamo richiamato prima e quindi non possiamo affermare alcunchè circa l inefficienza dei premi cui sono associati questi valori temporali negativi. Sempre a proposito del valore temporale, in via teorica si afferma che esso dovrebbe diventare nullo man mano che la scadenza dell opzione si avvicina e l andamento di questo elemento nel corso del periodo di osservazione conferma la teoria, anche se l avvicinamento allo zero è piuttosto irregolare. 5. CONCLUSIONE Riassumiamo i risultati del nostro studio, facendo alcune considerazioni. Possiamo affermare che, mentre in alcuni casi la violazione significativa dei limiti inferiori da parte delle call suscita perplessità, nulla possiamo dire per le put, visto che esse non violano i loro limiti inferiori, anche se mediamente le put hanno avuto premi che si sono discostati in misura maggiore dai loro limiti inferiori rispetto alle call. E ovvio che le violazioni significative dei limiti inferiori da parte delle call influiscano sulla parità e facciano prevalere gli scarti negativi su quelli positivi, ma, mentre le violazioni significative sono relative ad alcuni prezzi d esercizio e ad alcune osservazioni, i grafici della parità per le stesse scadenze in cui si sono avute le violazioni mostrano una tendenza generalizzata (cioè relativa a tutti i prezzi d esercizio e a tutte le scadenze) che i limiti inferiori non sono in grado di evidenziare. Oltre 6 L entità della violazione dei limiti inferiori e quella dei valori temporali sono simili, in quanto il giorno che stiamo considerando precede immediatamente il giorno di scadenza e il limite inferiore per la call europea è praticamente uguale al valore intrinseco; quindi lo scostamento che il premio ha avuto rispetto al limite inferiore è quasi uguale a quello che ha avuto rispetto al valore intrinseco.

15 MIBO 30, RELAZIONI DI ARBITRAGGIO E SCOMPOSIZIONE DEL PREMIO 15 a ciò,i grafici della parità mostrano tendenze degli scarti che fanno pensare ad una loro non casualità anche in casi in cui non si sono registrate violazioni significative dei limiti inferiori. Tutto ciò depone a favore della seconda ipotesi indicata a pagina 7, cioè che le violazioni siano causate dalla bassa intensità delle contrattazioni le quali portano con sè una inefficienza nella determinazione dei prezzi. L ipotesi alternativa che il limite inferiore possa non essere stato rispettato, ma questo non dipenda dalla bassa intensità delle negoziazioni, bensì dai diversi orari di chiusura dei mercati e pertanto da un fatto puramente tecnico, è da verificare: non disponendo infatti di dati relativi all orario di chiusura dei mercati, non possiamo stabilire se vi sia stata sincronicità o meno nei prezzi di chiusura in maniera più precisa. 6. APPENDICE In questa appendice spieghiamo come abbiamo scelto gli input per il calcolo delle formule relative ai limiti inferiori, alla relazione di parità put-call e per la scomposizione del premio delle opzioni in valore intrinseco e valore temporale TASSO DI INTERESSE SENZA RISCHIO. Per la scelta del tasso di interesse senza rischio, abbiamo considerato i Buoni Ordinari del Tesoro; si tratta di titoli di Stato che presentano in condizioni normali un rischio minore rispetto agli altri strumenti finanziari e il loro tasso di rendimento può essere assimilato al tasso di interesse senza rischio; il loro interesse è misurato, all emissione, dalla differenza tra il prezzo di emissione e il prezzo di rimborso. Poichè nel caso dei BOT viene quotato il prezzo, è necessario ricavare il tasso di interesse implicato dal prezzo stesso: se il prezzo di emissione è P e i giorni alla scadenza del BOT sono g, allora il tasso di rendimento annuo R in regime composto è esprimibile con la seguente formula: (6.1) " µ100 R = P 365 g # rappresenta il valore di rimborso del titolo che, nel caso dei BOT, è pari al valore nominale e viene espresso così per via della convenzione di quotare i prezzi dei BOT in termini percentuali rispetto a un valore nominale di 100 unità monetarie e non in temini unitari (cioè per singolo titolo) come avviene per le azioni o per i derivati stessi. Poichè abbiamo bisogno di un tasso espresso in regime finanziario continuo, basta semplicemente applicare la seguente relazione di equivalenza tra tassi in regimi diversi per ottenere ciò che desideriamo: (6.2) r =ln(1+r) dove r rappresenta il tasso di interesse corrispondente a R ma espresso in regime continuo. La formula 6.1 presuppone che il calcolo sia effettuato all emissione del BOT, mentre noi abbiamo bisogno di poter effettuare il calcolo anche in momenti successivi; quindi, nel caso di BOT acquistati sul mercato dopo la loro emissione, i calcoli vanno modificati. L interesse prodotto negli ultimi giorni di vita del titolo (indicati con u) è (100 P ), dove P rappresenta il prezzo d acquisto; poichè tale interesse è riferito alla durata effettiva dell investimento, ossia ad u, l interesse corrispondente

16 16 PELIZZARI CRISTIAN rapportato all intera durata g dei BOT risulta dalla proporzione: (6.3) (100 P ):u = x : g, da cui otteniamo (6.4) x = g (100 P ). u Il capitale investito è pari al montante finale rappresentato da lire 100 diminuito di tale interesse, quindi corrisponde a (6.5) 100 g (100 P ). u Sostituendo questo valore al prezzo d emissione dei BOT che figura nella precedente formula, otteniamo la formula per il calcolo del tasso annuo di rendimento in regime composto dei BOT acquistati sul mercato (cioè dopo la loro emissione): " µ 365 # g 100 (6.6) R = 100 g u (100 P ) Ovviamente anche in questo caso R va trasformato in r come si è visto prima. Le due formule presentate valgono solo nel caso in cui si ipotizzi che i titoli vengano conservati fino alla scadenza e che quindi il valore di disinvestimento sia pari al valore di rimborso (che, nel caso dei BOT, è il valore nominale), altrimenti bisognerebbe considerare il prezzo al quale il titolo viene venduto prima della scadenza. L osservazione non ci interessa in quanto il tasso viene calcolato come se il titolo rimanesse in nostro possesso fino alla scadenza e quindi nelle formule inseriamo il valore di rimborso e possiamo determinare con anticipo il tasso di rendimento dell investimento in BOT. Quest ultima ipotesi tuttavia genera un altro problema: il tasso di rendimento dei BOT è relativo a scadenze fisse che possono non coincidere con la scadenza dell opzione. Si rende quindi necessario considerare scadenze dei BOT che siano prossime a quelle delle opzioni. Poichè i BOT scadono regolarmente ogni metà e fine mese nel periodo di tempo da noi considerato (metà dicembre 1995-metà marzo 1998), abbiamo considerato i BOT le cui scadenze erano alla metà o alla fine di marzo 1996, 1997 e 1998 e di giugno 1996 e Da una verifica, è risultato che la scadenza delle opzioni in questi mesi è stata sempre anteriore alla scadenza dei BOT di fine mese, mentre in alcuni casi essa è stata superiore a quella dei BOT di metà mese. La precedenza è stata data ai BOT con scadenza alla fine del mese quando erano presenti le quotazioni sia di BOT scadenti alla fine che di BOT scadenti alla metà del mese. Dalla serie delle quotazioni dei BOT trimestrali con scadenza nel mese di scadenza delle opzioni analizzate, abbiamo ricavato la serie dei tassi annuali di rendimento composto sulla base della formula 6.6; questi tassi sono stati trasformati nei corrispondenti tassi in regime continuo e sono stati utilizzati come input per il calcolo. Una particolarità riguarda il fatto che le opzioni con scadenze a marzo e giugno 1996 hanno richiesto un calcolo del tasso di interesse senza rischio più grossolano, non essendo presente un mercato ufficiale secondario al dettaglio per i BOT che potesse fornire quotazioni a cui fare riferimento 7 ; in questo caso si è utilizzato il 7 Il Ministero del Tesoro, con decreto del 28 dicembre 1995 e con nota del 3 gennaio 1996 per i BOT annuali e del 27 marzo 1996 per i BOT semestrali e trimestrali, ha consentito alla CONSOB di ammettere alla quotazione in borsa i BOT annuali (da gennaio 1996) e infra-annuali (da aprile 1996).

17 MIBO 30, RELAZIONI DI ARBITRAGGIO E SCOMPOSIZIONE DEL PREMIO 17 tasso di rendimento composto all emissione per i BOT trimestrali che è stato del 10,23% per i BOT emessi a metà dicembre 1995 e scadenti a metà marzo 1996 e del 9,60% per i BOT emessi a metà marzo e scadenti a metà giugno 1996; ovviamente questi due tassi, come tutti gli altri, sono stati trasformati nel loro equivalente in regime finanziario continuo. I dati relativi ai rendimenti all emissione dei BOT sono stati ricavati dalle statistiche mensili della Banca d Italia, mentre i dati relativi alle quotazioni dei BOT nel mercato obbligazionario telematico sono stati ottenuti presso la Borsa Italiana S.p.A EFFETTO DEI DIVIDENDI SUGLI INDICI AZIONARI. Per quanto riguarda il trattamento dei dividendi, la maggior parte degli indici azionari (tra cui anche il MIB 30) è calcolata in base ai corsi tel quel dei titoli, cosicché nei giorni di stacco dei dividendi si verifica, a parità di altre condizioni, una riduzione dell indice causata dalla riduzione del valore di mercato dei titoli componenti l indice. Una minoranza di indici tiene invece conto dello stacco dei dividendi o con l aggiunta del dividendo già pagato al valore dei titoli inclusi, o con la valutazione dei titoli al corso secco presunto. Se l indice è sufficientemente ampio e se le distribuzioni di dividendi sono ripartite regolarmente durante l anno, è allora legittimo supporre in prima approssimazione che i dividendi delle azioni componenti l indice siano versati in continuo e ad un tasso costante q. Tuttavia questo approccio può tradursi in errori importanti nella valutazione, perchè i dividendi possono avere una forte influenza negativa (positiva) sul prezzo delle call (put) quanto più le opzioni siano prossime alla scadenza, quanto più gli stacchi siano concentrati durante la vita residua dell opzione e quanto più le azioni che distribuiscono i dividendi abbiano un grosso peso nell indice. Se si desidera valutare un indice quando si sa che le condizioni per poter applicare l approssimazione di cui si è parlato non sono presenti, sarebbe preferibile tenere conto dei dividendi che saranno realmente versati dalle società durante la vita residua dell opzione; ciò implica tuttavia che si conosca l ammontare e la data di stacco dei dividendi con certezza; questo non crea grossi problemi quando l opzione ha una vita residua breve, in quanto le società solitamente annunciano la data di stacco e l ammontare del dividendo con largo anticipo. I maggiori rischi si hanno, anche su scadenze brevi, in possibili riduzioni dell ammontare del dividendo fino alla sua completa sospensione, mentre possibili aumenti dell ammontare sono meno frequenti e più prevedibili. Un ulteriore rischio sorge quando si prevede che azioni componenti l indice stacchino un dividendo di ammontare significativo in prossimità della data di scadenza dell opzione; in questo caso, non si è sicuri se considerare o meno il dividendo, poichè non si conosce con esattezza se la data di stacco cadrà prima o dopo la data di scadenza dell opzione. Il MIB 30 non è soggetto ad una erosione continua e costante del suo valore a causa dei dividendi staccati dalle azioni dell indice stesso. Basta scorrere le tabelle seguenti sugli stacchi di dividendo delle azioni che hanno fatto parte del MIB 30 durante il 1996 e il 1997 per notare che la quasi totalità delle società stacca il proprio dividendo una volta all anno nei mesi di maggio, giugno o luglio 8. Figura 4 qui nel testo 8 Questi dati sono stati ottenuti dai numeri del mensile La Borsa Valori - Rapporto mensile del mercato relativi agli anni 1996 e 1997.

18 18 PELIZZARI CRISTIAN Poichè, come abbiamo detto, le società annunciano con un certo anticipo lo stacco del dividendo, questo implica che le date di stacco e anche gli importi siano prevedibili. Ciò ha un ulteriore conseguenza nel nostro caso sul calcolo delle formule relative alle opzioni scadenti a marzo 1996, a marzo 1997eamarzo1998: per le stesse non si rende necessario alcun aggiustamento dell indice per tenere conto dei dividendi, visto che il valutatore avrebbe potuto prevedere che nel periodo dicembremarzo preso in considerazione non si sarebbe avuto alcun stacco di dividendo. In conseguenza di ciò, sono state applicate due diverse serie di formule: quelle classiche (per le opzioni da dicembre a marzo) e quelle aggiustate per tenere conto dello stacco dei dividendi (per le opzioni da marzo a giugno). Mentre nel caso di distribuzione continua e costante dei dividendi si tratta in pratica di rettificare il prezzo dell indice S(0) attraverso un fattore di sconto in regime continuo ad un tasso appropriato q e per il tempo residuo alla scadenza T (6.7) S(0) S(0)e qt, nel caso di distribuzione reale di dividendi, l aggiustamento si ottiene in pratica sottraendo dal prezzo dell indice il valore dei dividendi attualizzato per il tempo intercorrente fino alla data di stacco, come è stato già indicato nella formula 3.3. Vediamo, nel caso dell indice MIB 30, come si possono effettuare i calcoli necessari. Sia data la formula per il calcolo dell indice (6.8) I(t) = P n i=1 p(t,i) p(0,i) p(0,i)q(0,i) P n i=1 p(0,i)q(0,i) , dove p(0,i) e q(0,i) sono rispettivamente il prezzo-base e il numero-base delle azioni in circolazione della generica azione i-esima e p(t, i) è l ultimo prezzo fatto registrare da ciascuna azione inclusa nel paniere alla scadenza di un intervallo di tempo prestabilito (fixing). Modifichiamo la formula 6.8 in modo da evidenziare p(t, i) e otteniamo nx µ q(0,i) nx (6.9) I(t) = p(t, i) P n i=1 p(0,i)q(0,i) = p(t, i)g(i), avendo definito (6.10) i=1 µ q(0,i) P n i=1 p(0,i)q(0,i) = g(i). Notiamo che i g(i) non sono pesi veri e propri in quanto la loro somma non necessariamente è pari a 1: infatti nx P n (6.11) i=1 g(i) = P q(0,i) n i=1 p(0,i)q(0,i)10.000, i=1 cioè otteniamo una frazione, moltiplicata per , con il denominatore pari alla capitalizzazione base del paniere e il numeratore pari alla somma di tutte le azioni nel periodo base. Gli pseudo-pesi sono i veri moltiplicatori dei prezzi delle azioni nel calcolo del valore dell indice e quindi sono quelli che devono essere utilizzati per pesare i dividendi in modo da tenere conto della capitalizzazione borsistica delle azioni che li distribuiscono e da trasformare il valore in unità monetarie del dividendo così pesato in un valore in punti-indice, che quindi può essere detratto (dopoesserestatoattualizzatoperilperiodointercorrentetraladatadivalutazione e quella di stacco) dal valore dell indice. i=1

19 MIBO 30, RELAZIONI DI ARBITRAGGIO E SCOMPOSIZIONE DEL PREMIO 19 Nelle due tabelle seguenti, riportiamo i dati relativi agli pseudo-pesi per le azioni dei panieri interessati dagli stacchi di dividendi che si sono avuti durante i periodi di osservazione. A titolo esemplificativo, notiamo che in entrambi i panieri coinvolti dalla distribuzione di dividendi erano presenti le azioni della Telecom Italia S.p.A. e della Telecom Italia Mobile S.p.A.; mentre i loro pesi canonici sono diversi, gli pseudo-pesi sono invece uguali: infatti, il numero delle azioni emesse dalle due società è uguale. Figura 5 qui nel testo Gli pseudo-pesi sono variati da un periodo all altro a causa della variazione della capitalizzazione base complessiva, mentre i pesi sono già diversi per uno stesso periodo tra un azione e l altra a causa della diversa capitalizzazione delle azioni. Per quanto riguarda le opzioni sul MIB 30, si è trattato di detrarre dal valore dell indice, per tutti i giorni precedenti lo stacco dei dividendi, il valore attuale dei dividendi pesati con gli pseudo-pesi; il tasso di attualizzazione è ovviamente il tasso di interesse senza rischio del quale abbiamo già detto (si veda la formula 3.3). I dati raccolti presso la Borsa Italiana S.p.A. hanno riguardato il paniere del MIB 30 in vigore nei periodi marzo 1996-giugno 1996 e marzo 1997-giugno 1997; abbiamo notato che durante tali due periodi la composizione non ha subito variazioni e ciò ovviamente è vantaggioso in quanto rende i risultati più omogenei PREZZO DELL INDICE. Per quanto riguarda questo dato, vi sono varie possibilità circa la sua scelta: infatti, il prezzo di un indice calcolato continuamente come il MIB 30 non è unico durante una seduta borsistica. Una particolatità degli indici calcolati continuamente poi è quella di esprimere valori già vecchi nonostante la elevatissima frequenza di calcolo, in quanto i prezzi delle azioni del paniere che non vengono contrattate da un certo periodo di tempo continuano ad entrare nel calcolo del valore dell indice fino a quando un nuovo prezzo fatto relativo ad un contratto concluso su quella azione non sia disponibile; tutto ciò avviene nonostante l evoluzione dei prezzi bid e ask dell azione stessa. Se si vogliono effettuare dei calcoli giornalieri è necessario scegliere un momento durante la seduta borsistica in cui osservare il prezzo dell indice. Nel caso delle opzioni sul MIB 30, si è preso in considerazione il prezzo di chiusura dell indice stesso, ossia il prezzo rilevato alla chiusura delle contrattazioni sul mercato telematico delle azioni. Per ottenere questo dato, si è fatto riferimento alla banca dati on-line Datastream VITA RESIDUA DELL OPZIONE. Poichè l unità di misura del tempo adottata è stata l anno di 365 giorni, la vita residua dell opzione è stata espressa in anni e quindi si è proceduto al calcolo dei giorni intercorrenti tra la data di calcolo (esclusa) e la data di scadenza dell opzione (inclusa) che, per regolamento, è fissata il terzo venerdì del mese di scadenza e si è diviso il risultato per 365. Il fatto di escludere la data iniziale concorda con la scelta di considerare come prezzo dell indice il valore di chiusura, in quanto è come se ci si chiedesse alla fine della seduta borsistica quale valore potrebbe avere una determinata opzione sull indice MIB 30 avendo a disposizione il prezzo di chiusura dell indice e considerando che i giorni alla scadenza vanno calcolati da quello relativo alla prossima seduta borsistica. Gli operatori di solito si basano su questo calcolo verso la fine della seduta borsistica, mentre durante la stessa calcolano la vita residua come se la prossima seduta borsistica fosse fissata per il giorno successivo; in realtà, a causa dei gioni di chiusura della borsa, non sempre la seduta borsistica successiva è fissata per il

20 20 PELIZZARI CRISTIAN giorno successivo a quello in corso e quindi nel nostro caso avremmo dovuto considerare se il giorno successivo fosse stato di borsa aperta o chiusa, ma questo avrebbe appesantito i calcoli senza portare grossi benefici e quindi la strada che abbiamo scelto è stata quella di considerare la prossima seduta borsistica fissata sempre per il giorno successivo anche se in realta il giorno successivo la borsa è rimasta chiusa. Riferimenti bibliografici [1] Consiglio di Borsa, MANUALE DI BORSA, IlSole24OreMediaeImpresa,1997. [2] M.Gabbrielli,S.DeBruno,CAPIRE LA FINANZA, IlSole24OreMediaeImpresa,1997. [3] R. J. Fuller, J. L. Farrell Jr., ANALISI DEGLI INVESTIMENTI FINANZIARI, McGraw- Hill Libri Italia, [4] P. Manca, TITOLI E MERCATI FINANZIARI, Etas,1993. [5] F. Caparrelli, IL MERCATO AZIONARIO, McGraw-HillLibriItalia,1995. [6] F.M.Paris,M.Zuanon,ELEMENTI DI FINANZA MATEMATICA, Edizioni Club, [7] J.C.Cox,M.Rubinstein,OPTIONS MARKETS, Prentice-Hall,1985. [8] H.R.Stoll,R.E.Whaley,FUTURES AND OPTIONS, South-Western Publishing Company, [9] N.A.Chriss,BLACK-SCHOLES AND BEYOND, Richard D. Irwin, [10] P. Wilmott, J. Dewynne, S. Howison, OPTION PRICING, Oxford Financial Press, [11] A. Beltratti, TEORIA DELLA FINANZA, Gius.Laterza&Figli,1996. [12] E. Castagnoli, ASPETTI INTRODUTTIVI DELLE OPZIONI FINANZIARIE, Cooperativa di Cultura Lorenzo Milani, [13] P. Pianca, ELEMENTI DI TEORIA DELLE OPZIONI FINANZIARIE, G.Giappichelli Editore, [14] K. Garbade, TEORIA DEI MERCATI FINANZIARI, Società editrice il Mulino, [15] F. Galimberti, R. Sabbatini, G. L. Simone (a cura di), COME SI LEGGE IL SOLE 24 ORE, IlSole24OreMediaeImpresa,1997. [16] L. Izzi, OPZIONI, Bnl Edizioni, [17] D. A. Dubofsky, OPTIONS AND FINANCIAL FUTURES, McGraw-Hill, [18] R. W. Kolb, FUTURES, OPTIONS, AND SWAPS, Blackwell Business, [19] J. C. Hull, OPZIONI, FUTURES E ALTRI DERIVATI, IlSole24Ore,1997. [20] R. A. Jarrow, S. Turnbull, DERIVATIVE SECURITIES, South-Western College Publishing, [21] R.T.Daigler,ADVANCED OPTIONS TRADING, Probus Publishing Company, [22] F. R. Edwards, C. W. Ma, FUTURES AND OPTIONS, McGraw-Hill,1992. [23] S. Figlewski, W. L. Silber, M. G. Subrahmanyam, FINANCIAL OPTIONS, New York University, [24] M. D. Fitzgerald, FINANCIAL OPTIONS, Euromoney Pubblications, [25] S. Natenberg, OPTION VOLATILITY & PRICING, Probus Publishing Company, [26] G. Gemmill, OPTIONS PRICING, McGraw-Hill International, [27] R. Gibson, L EVALUATION DES OPTIONS, Presses Universitaires de France, [28] D. L. Luskin, INDEX OPTIONS & FUTURES, JohnWiley&Sons,1987. [29] P. Gorby, LES INDICES BOURSIERS, Presses Universitaires de France, [30] F. Aftalion, E. Briys, M. Crouhy, J. Werren, OPTIONS ET FUTURES SUR INDICES BOURSIERS, Presses Universitaires de France, [31] R. Binnewies, THE OPTIONS COURSE, Richard D. Irwin, [32] M. Onorato, GLI STRUMENTI DERIVATI, RcsLibri,1998. [33] R.A.Jarrow,A.Rudd,OPTION PRICING, Richard D. Irwin, [34] G. Cicchitelli, PROBABILITA E STATISTICA, Maggioli Editore, [35] J. Evnine, A. Rudd, INDEX OPTIONS: THE EARLY EVIDENCE, The Journal of Finance, vol. XL, luglio [36] M. Brenner, G. Courtadon, M. Subrahmanyam, THE VALUATION OF STOCK INDEX OPTIONS, Salomon Brothers Center for the Study of Financial Institutions and Graduate School of Business Administration, working paper n. 414, marzo [37] E. F. Fama, EFFICIENT CAPITAL MARKETS: A REVIEW OF THEORY AND EMPIRICAL WORK, The Journal of Finance, vol. XXV, maggio 1970.