CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE
|
|
- Bartolommeo Pala
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ). Determinare e studiare la curva che si ottiene intersecando tale cilindro con il piano. Esercizio. Data la curva γ dell Esercizio, calcolare l equazione del cono per γ con vertice V (0, 0, ). Studiare la curva intersezione del cono con il piano. Esercizio. Calcolare l equazione del cilindro avente la circonferenza x + y + z = 5 z = 0 come direttrice e generatrici parallele all asse z. Studiare la curva intersezione di tale cilindro col piano. Esercizio 4. Data la circonferenza γ dell Esercizio, calcolare l equazione del cono avente γ come direttrice e vertice in V (0, 5, ). Studiare la curva intersezione di tale cono col piano y = 0. Esercizio 5. Data la circonferenza γ dell Esercizio, calcolare l equazione del cono avente γ come direttrice e vertice in V (0,, ). Studiare l intersezione di tale cono col piano y = 0. Esercizio 6. Data la retta r : x = + t y = t z = + t calcolare l equazione della superficie che si ottiene ruotando r intorno all asse z, e quella della superficie che si ottiene ruotando r intorno all asse x. Esercizio 7. Calcolare il luogo geometrico dei punti equidistanti dal punto F (0, 0, ) e del piano α : x + y + z + = 0. Esercizio 8. Calcolare il luogo geometrico dei punti equidistanti da F (,, 0) e dalla x = + t retta r : y = t. z = t Esercizio 9. Data la sfera σ di centro C(,, ) e passante per A(, 0, ) determinare il cono delle rette tangenti a σ passanti per il punto V (0, 0, 0). Esercizio 0. Data la sfera σ dell Esercizio 9, determinare l equazione del cilindro formato dalle rette tangenti a σ parallele al vettore u = (,, ). Esercizio. Dato il cilindro ellittico x +y =, determinare un piano che lo intersechi lungo una circonferenza.
2 CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE Esercizio. Determinare l equazione della superficie che si ottiene ruotando la curva intorno all asse z. yz = Esercizio. Determinare il cono delle rette per V (,, ) che incidono il piano α : x + z = 0 secondo un angolo di π/6. Esercizio 4. Nello spazio, con coordinate x, y, z, l equazione x + y x + y = 0 rappresenta () una sfera di centro (, /, 0); () una circonferenza di centro (, /); () un cono; (4) un cilindro. Esercizio 5. Nello spazio, con coordinate x, y, z, l equazione x +y z = 0 rappresenta () una sfera di centro (0, 0, 0); () due rette; () un cono; (4) un cilindro. Esercizio 6. Dati il cilindro x + y = e la retta r : x = y = 0 si ha che: () hanno due punti di intersezione; () la retta è esterna al cilindro; () la retta è l intersezione del cilindro col piano tangente al cilindro in (0,, ); (4) la retta è l intersezione del cilindro col piano tangente al cilindro in (, 0, ). Esercizio 7. I punti che sono centri di sfere tangenti esternamente alla sfera σ di equazione x +y +z = 4 ed aventi raggio formano una sfera di raggio 5. (V ) (F ). Soluzione di alcuni esercizi Soluzione dell Esercizio. Il cilindro cercato è la superficie unione delle rette parallele al vettore v = (, 0, ) passanti per punti della curva γ. Sia allora (x 0, y 0, z 0 ) γ, ossia x 0 + z 0 =, x 0 y 0 = 0. La retta per tale punto parallela a v ha equazione parametrica r : x = x 0 + t, y = y 0, z = z 0 + t. Quindi, l equazione del cilindro si ottiene eliminando i parametri x 0, y 0, z 0, t dal sistema x = x 0 + t y = y 0 z = z 0 + t x 0 + z 0 = x 0 y 0 = 0. Dalle prime tre equazioni otteniamo x 0 = x t, y = y 0, z 0 = z t. Sostituendole nella quarta, otteniamo x + z t =, da cui t = x+z. Sostituendo nell ultima equazione, otteniamo l equazione del cilindro cercato. Pertanto abbiamo ( x x + z ) y = 0
3 CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE e sviluppando i calcoli si ottiene C : x xz + z + x 4y z + = 0. L intersezione tra il cilindro C ed il piano [yz] è la curva z 4y z + = 0 che rappresenta una parabola. Soluzione dell Esercizio. Il cono cercato è l unione delle rette per il vertice, incidenti la curva γ, ossia delle rette per V parallele al vettore V P dove P (x 0, y 0, z 0 ) γ. Eliminando i parametri x 0, y 0, z 0, t dal sistema x = tx 0 y = ty 0 z = + t(z 0 ) x 0 + z 0 = x 0 y 0 = 0 otteniamo l equazione del cono cercato. Dalle prime tre equazioni ricaviamo x 0 = x, y t 0 = y, z t 0 = + z, avendo supposto t t 0. Osserviamo che per t = 0 si ottiene il vertice V. Sostituendo nella quarta, ricaviamo t : x + + z = da cui t = x z. t t Sostituendo infine nella quinta equazione, si ha ( ) x x z y = 0 che equivale a x z C : x + xy + yz y = 0. Intersecando con il piano [yz] otteniamo la curva y(z ) = 0 che rappresenta l unione delle due rette di equazioni r :, y = 0, ed r :, z =. Soluzione dell Esercizio. Poiché le generatrici del cilindro sono parallele all asse z l equazione che rappresenta il cilindro si ottiene eliminando la z dall equazione che rappresenta la sfera, usando l equazione del piano. Poiché il piano ha equazione z = 0, basta sostituire e si ottiene C : x + y = 5. Intersecando il cilindro con il piano, che è parallelo alle generatrici, si ottengono due rette. La loro unione ha equazione y = 5 e quindi le rette hanno equazioni r :, y = 5, ed r :, y = 5. Soluzione dell Esercizio 4. Procediamo al calcolo dell equazione del cono usando un diverso metodo di calcolo. Per prima cosa operiamo una traslazione in modo da avere V come origine del nuovo sistema di riferimento: x = X y = Y + 5 z = Z +. Scriviamo ora la circonferenza γ nel nuovo sistema di riferimento, sostituendo nelle sue equazioni: Z = X + Y + Z + 0Y + 4Z + 4 = 0.
4 4 CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE L equazione di un cono quadrico con vertice nell origine è un polinomio di secondo grado omogeneo che si ottiene, in questo caso, rendendo omogenea l equazione della sfera usando l equazione del piano. L equazione del piano può essere riscritta come = Z. D altra parte, l equazione dela sfera può essere riscritta come X +Y +Z +(0Y +4Z) +4 = 0. Sostituendo, otteniamo ( X + Y + Z + (0Y + 4Z) Z ) ( + 4 Z ) = 0 che sostituendo diventa X + Y 5Y Z = 0. Operando il cambio inverso di coordinate, otteniamo l equazione x +(y 5) 5(y 5)(z ) = 0 ossia C : x +y 5yz+5z 5 = 0. Intersecando il cono con il piano [xz] si ottiene la curva di equazione y = 0 x + 5z 5 = 0 che è una parabola. Soluzione dell Esercizio 5. Operiamo come nel precedente Esercizio 4. La traslazione ha equazione x = X y = Y + z = Z + e la circonferenza γ ha equazione Z + = 0 X + (Y + ) + (Z + ) = 5. Rendendo omogenea l equazione della sfera, si ottiene l equazione ( X + Y + 4Y Z ) ( Z ) = 0 che semplificata diventa 4X + 4Y 8Y Z Z = 0. Effettuando il cambio inverso di coordinate, si ottiene l equazione C : 4x + 4y 8yz z + 00z 00 = 0. L intersezione del cono con il piano [xz] è la curva di equazione y = 0 4x z + 00z 00 = 0 che rappresenta un iperbole. Soluzione dell Esercizio 6. Poichè la retta r è sghemba sia con l asse z, sia con l asse x, entrambe le superfici di rotazione sono degli iperboloidi ad falda, ovvero iperboloidi iperbolici. Calcoliamo la prima delle due superfici. Essa è data dall unione delle circonferenze che i punti della retta r descrivono ruotando intorno all asse z. Detto P ( + t, t, + t) un punto generico della retta, la circonferenza descritta da P si trova nel piano per P ortogonale al asse z. Tale piano ha equazione z = +t. Una sfera che taglia la circonferenza ha il centro sull asse z e raggio uguale alla distanza tra P ed il centro. Un punto dell asse che rende i calcoli pi facili è l origine delle coordinate. Quindi la sfera che usiamo ha equazione x + y + z = ( + t) + ( t) + ( + t). L equazione della superficie cercata si ottiene eliminando la t dal sistema z = + t x + y + z = t + 6
5 CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE 5 e quindi otteniamo la superficie di equazione S : x + y z + 6z 9 = 0. L equazione della seconda superficie si ottiene in maniera analoga, eliminando la t dal sistema x = + t x + y + z = t + 6 ed ha equazione S : x + y + z + 6x 9 = 0. Soluzione dell Esercizio 7. Sia P (x, y, z) un punto qualsiasi dello spazio. La distanza tra P ed F vale F P = x + y + (z ), mentre la distanza tra P ed α vale d(p, α) =. Il luogo cercato è formato dai punti le cui coordinate verificano l uguaglianza x+y+z+ x + y + (z ) = x + y + z +. Elevando al quadrato e semplificando, otteniamo l equazione del luogo σ : x + y + z xy xz yz x y 4z + = 0. σ rappresenta un paraboloide ellittico rotondo. Soluzione dell Esercizio 8. Sia P (x, y, z) un punto qualsiasi dello spazio. La distanza tra P ed F è F P = (x ) + (y ) + z. Un vettore parallelo alla retta r è v = (,, ), mentre un punto di r è A(,, 0). La distanza di P da r è uguale a d(p, r) = (,,) (x,y,z) v. I punti del luogo cercato sono tutti e soli quelli per cui le due distanze sono uguali. Uguagliando le due distanze, e semplificando l equazione ottenuta si ottiene l equazione della superficie = (y+z, x+z+, x y+) S : x xy + y + xz yz + z + x + 4y + z 8 = 0 che rappresenta un cilindro parabolico. Soluzione dell Esercizio 9. Procediamo al calcolo in due modi diversi. Prima soluzione: Il raggio della sfera è uguale alla distanza tra C ed A e vale. La distanza tra C e V è e quindi il cono esiste. Consideriamo un piano contenente la retta V C : tale piano interseca la sfera lungo una circonferenza equatoriale γ, perché il piano contiene il centro della sfera, ed il cono che cerchiamo lungo due rette t, t che risultano tangenti alla circonferenza γ. Sia T il punto di tangenza di t e γ. Il triangolo V T C è un triangolo rettangolo in T. Il cono è allora formato dai punti P (x, y, z) dello spazio per cui l angolo tra V P e V C è uguale all angolo T Vˆ C. Abbiamo che V T = 6, e quindi cos T Vˆ C = 6. D altra parte, cos T Vˆ C = quindi otteniamo 6. x y + z x + y + z = V P V C V P V C Elevando al quadrato, e semplificando, otteniamo l equazione C : x +4xy +5y 8xz + 4yz + z = 0. Seconda soluzione: La sfera ha equazione σ : x + y + z 4x + y 4z + 6 = 0. La circonferenza formata dai punti di contatto tra le rette tangenti a σ per V è la circonferenza e
6 6 CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE in cui il piano polare a σ per V incontra la sfera. L equazione di tale piano è data da α : ( ) 0 0 x 0 0 y 0 0 z = 0 6 e quindi è il piano α : x + y z + 6 = 0. La circonferenza direttrice del cono ha allora equazione x + y z + 6 = 0 x + y + z 4x + y 4z + 6 = 0. Il calcolo dell equazione del cono può essere fatto allora come negli Esercizi, 4, 5, e si ottiene ovviamente la stessa equazione. Soluzione dell Esercizio 0. La direttrice del cilindro è la circonferenza che si ottiene intersecando la sfera σ con il piano per C ortogonale al vettore v = (,, ). Quindi è la circonferenza x + y + z = 0 x + y + z 4x + y 4z + 6 = 0. L equazione del cilindro si ottiene allora come negli Esercizi e, eliminando i parametri x 0, y 0, z 0, t dal sistema x = x 0 + t y = y 0 + t z = z 0 + t x 0 + y 0 + z 0 = 0 x 0 + y 0 + z 0 4x 0 + y 0 4z = 0 e si ottiene l equazione del cilindro C : 5x 4xy + y xz 4yz + 5z 0x + 0y 0z + = 0. Soluzione dell Esercizio. Il cilindro ellittico taglia il piano [xy] lungo un ellisse di semiassi a =, b =. Uno dei vertici del semiasse minore è il punto B(0,, 0). Se tagliamo il cilindro con un piano che contiene l asse x, otteniamo un ellisse avente un semiasse di lunghezza fissato. L altro semiasse è individuato dai punti (0, 0, 0) centro dell ellisse, e (0,, z 0 ) vertice dell ellisse. L ellisse è una circonferenza se i semiassi hanno la stessa lunghezza. Otteniamo allora = + z 0 da cui z 0 = ±. Scelto il punto ), abbiamo che il piano per tale punto e l asse x ha equazione z = y. L (0,, intersezione è una circonferenza. Infatti, l intersezione ha equazione z = y x + y =. Riscrivendo l equazione del cilindro come x + y + y = e sostituendo l equazione del piano, abbiamo x + y + z = e quindi γ può anche scriversi come intersezione di z = y x + y + z = ed è quindi una circonferenza, essendo intersezione di una sfera con un piano.
7 CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE 7 Soluzione dell Esercizio. Poiché ruotiamo la curva intorno all asse z, il suo punto generico di coordinate (0, y 0, z 0 ) descrive una circonferenza nel piano z = z 0 che è tagliata dalla sfera di centro (0, 0, 0) e raggio y 0 + z 0. L equazione della superficie si ottiene allora eliminando i parametri y 0, z 0 dal sistema z = z 0 x + y + z = y 0 + z 0 y 0 z 0 =. Svolgendo i calcoli si ottiene la superficie S di equazione z (x + y ) =. Soluzione dell Esercizio. Questo Esercizio, anche se apparentemente diverso dall Esercizio 9, ha una soluzione molto simile. Infatti, un punto P è sul cono se, e solo se, l angolo formato tra il vettore V P ed il vettore v = (, 0, ) ortogonale al piano α è uguale a π/. Detto P (x, y, z) un punto qualsiasi dello spazio, la condizione sugli angoli si riscrive tramite l equazione V P (, 0, ) V P = cos π =. Sviluppando i calcoli, si ottiene allora il cono di equazione C : x y + 4xz + z 6x + y 6z + 6 = 0. Soluzione dell Esercizio 4. Poiché abbiamo una sola equazione, il luogo delle sue soluzioni rappresenta una superficie. Tale superficie non è una sfera perché i coefficienti di x, y, z non sono tutti ugugali. Poiché manca l incognita z, è un cilindro con generatrici parallele all asse z. Quindi, l unica affermazione vera è la (4). Soluzione dell Esercizio 5. Poiché abbiamo una sola equazione, il luogo dei punti che la risolvono è una superficie, e quindi () è falsa. La () è falsa perché i coefficienti di x, y, z non sono tutti uguali. Inoltre, l equazione è omogenea, e quindi rappresenta un cono con vertice nell origine, ossia la () è vera, e la (4) è falsa. Soluzione dell Esercizio 6. La retta r è tutta contenuta nel cilindro, e quindi () e () sono false. Inoltre, è noto che le rette di un cilindro quadrico sono l intersezione del cilindro con il piano tangente al cilindro in un suo punto. L intersezione del punto () è la retta s :, y =, avendo il piano tangente equazione y =, e quindi () è falsa, mentre (4) è vera perché il piano tangente ha equazione x =. Soluzione dell Esercizio 7. Vero, perché la sfera σ ha centro nell origine e raggio, e la condizione di tangenza esterna è equivalente a chiedere che la distanza tra i centri sia pari alla somma dei raggi. Quindi, tutti e soli i centri delle sfere cercate hanno distanza 5 da (0, 0, 0).
RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE
RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,
DettagliCORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA.
CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA. FOGLIO DI ESERCIZI 4 GEOMETRIA E ALGEBRA LINEARE 2010/11 Esercizio 4.1 (2.2). Determinare l equazione parametrica e Cartesiana della retta dello spazio (a) Passante per i
DettagliDOMINIO E LIMITI. Esercizio 3 Studiare gli insiemi di livello della funzione f, nei seguenti casi: 1) f(x,y) = y2 x 2 + y 2.
FUNZIONI DI DUE VARIABILI 1 DOMINIO E LIMITI Domini e disequazioni in due variabili. Insiemi di livello. Elementi di topologia (insiemi aperti, chiusi, limitati, convessi, connessi per archi; punti di
DettagliEsercizi svolti sui numeri complessi
Francesco Daddi - ottobre 009 Esercizio 1 Risolvere l equazione z 1 + i = 1. Soluzione. Moltiplichiamo entrambi i membri per 1 + i in definitiva la soluzione è z 1 + i 1 + i = 1 1 + i z = 1 1 i. : z =
DettagliFASCI DI RETTE. scrivere la retta in forma esplicita: 2y = 3x + 4 y = 3 2 x 2. scrivere l equazione del fascio di rette:
FASCI DI RETTE DEFINIZIONE: Si chiama fascio di rette parallele o fascio improprio [erroneamente data la somiglianza effettiva con un fascio!] un insieme di rette che hanno tutte lo stesso coefficiente
DettagliProiezioni Grafica 3d
Proiezioni Grafica 3d Giancarlo RINALDO rinaldo@dipmat.unime.it Dipartimento di Matematica Università di Messina ProiezioniGrafica 3d p. 1 Introduzione Il processo di visualizzazione in 3D è intrinsecamente
DettagliTeoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26
Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo
DettagliEsempi di funzione. Scheda Tre
Scheda Tre Funzioni Consideriamo una legge f che associa ad un elemento di un insieme X al più un elemento di un insieme Y; diciamo che f è una funzione, X è l insieme di partenza e X l insieme di arrivo.
DettagliAndrea Pagano, Laura Tedeschini Lalli
3.5 Il toro 3.5.1 Modelli di toro Modelli di carta Esempio 3.5.1 Toro 1 Il modello di toro finito che ciascuno può costruire è ottenuto incollando a due a due i lati opposti di un foglio rettangolare.
Dettagli2 Argomenti introduttivi e generali
1 Note Oltre agli esercizi di questa lista si consiglia di svolgere quelli segnalati o assegnati sul registro e genericamente quelli presentati dal libro come esercizio o come esempio sugli argomenti svolti
Dettagli15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...
15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura
DettagliLa spirale iperbolica: Fu descritta per la prima volta da Pierre Varignon (1654-1722). L equazione, espressa in coordinate polari, è del tipo:
Esistono delle forme geometriche che sono in grado, per complessi fattori psicologici non del tutto chiariti, di comunicarci un senso d equilibrio, di gradimento e di benessere. Tra queste analizzeremo
DettagliVERIFICA DI MATEMATICA. CLASSI TERZE (3AS, 3BS, 3CS, 3DS, 3ES) 2 settembre 2013 COGNOME E NOME.. CLASSE.
VERIFIC DI MTEMTIC CLSSI TERZE (S, BS, CS, DS, ES) settembre COGNOME E NOME.. CLSSE. Esercizio In un piano cartesiano ortogonale determinare: a) l equazione della parabola con asse parallelo all asse,
DettagliLA RETTA. Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali
Retta per l'origine, rette orizzontali e verticali LA RETTA Abbiamo visto che l'equazione generica di una retta è del tipo Y = mx + q, dove m ne rappresenta la pendenza e q il punto in cui la retta incrocia
DettagliLE FUNZIONI A DUE VARIABILI
Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre
Dettagli6) f(x, y) = xy 1 log(5 2x 2y) x + y. 2x x 2 y 2 z 2 x 2 + y 2 + z 2 x Esercizio 2. Studiare gli insiemi di livello delle seguenti funzioni:
FUNZIONI IN PIÙ VARIABILI 1. Esercizi Esercizio 1. Determinare il dominio delle seguenti funzioni, specificando se si tratta di un insieme aperto o chiuso: 1) f(x, ) = log(x x ) ) f(x, ) = x + 3) f(x,
DettagliMatteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci. Fasci. N.B.: Questo argomento si trova sull eserciziario. Fasci di rette nel piano
Fasci N.B.: Questo argomento si trova sull eserciziario Fasci di rette nel piano 1 Fasci di piani nello spazio 2 Matteo Moda Geometria e algebra lineare Fasci Date due rette r ed r di equazione: : 0 :
DettagliLICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 2006/2007 SIMULAZIONE DI II PROVA - A
LICEO SCIENTIFICO STATALE G.GALILEI CATANIA A.S. 6/7 SIMULAZIONE DI II PROVA - A Tempo a disposizione: cinque ore E consentito l uso della calcolatrice non programmabile. Non è consentito uscire dall aula
DettagliIntegrali doppi - Esercizi svolti
Integrali doppi - Esercizi svolti Integrali doppi senza cambiamento di variabili Si disegni il dominio e quindi si calcolino gli integrali multipli seguenti:... xy dx dy, con (x, y R x, y x x }; x + y
DettagliCONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)
CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare
DettagliMATEMATICA. { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un numero x ed un numero y che risolvano entrambe le equazioni.
MATEMATICA. Sistemi lineari in due equazioni due incognite. Date due equazioni lineari nelle due incognite x, y come ad esempio { 2 x =12 y 3 y +8 x =0, si pone il problema di trovare, se esistono, un
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004
ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f
DettagliMassimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili
Massimi e minimi vincolati di funzioni in due variabili I risultati principali della teoria dell ottimizzazione, il Teorema di Fermat in due variabili e il Test dell hessiana, si applicano esclusivamente
DettagliGIROSCOPIO. Scopo dell esperienza: Teoria fisica. Verificare la relazione: ω p = bmg/iω
GIROSCOPIO Scopo dell esperienza: Verificare la relazione: ω p = bmg/iω dove ω p è la velocità angolare di precessione, ω è la velocità angolare di rotazione, I il momento principale d inerzia assiale,
DettagliGEOMETRIA DELLE MASSE
1 DISPENSA N 2 GEOMETRIA DELLE MASSE Si prende in considerazione un sistema piano, ossia giacente nel pian x-y. Un insieme di masse posizionato nel piano X-Y, rappresentato da punti individuati dalle loro
DettagliProva scritta di Geometria 2 Prof. M. Boratynski
10/9/2008 Es. 1: Si consideri la forma bilineare simmetrica b su R 3 associata, rispetto alla base canonica {e 1, e 2, e 3 } alla matrice 3 2 1 A = 2 3 0. 1 0 1 1) Provare che (R 3, b) è uno spazio vettoriale
DettagliELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.
ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper
DettagliUniversita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica
Universita degli Studi di Roma Tor Vergata Facolta di Ingegneria Elettronica Terzo Appello del corso di Geometria e Algebra II Parte - Docente F. Flamini, Roma, 7/09/2007 SVOLGIMENTO COMPITO III APPELLO
Dettagli3. Sia g(x) = 4. Si calcoli l area del triangolo mistilineo ROS, ove l arco RS appartiene al grafico di f(x) o, indifferentemente, di g(x).
Esame liceo Scientifico : ordinamento Il candidato risolva uno dei due problemi e risponda a 5 quesiti del questionario. PROBLEMI Problema. Sia ABCD un quadrato di lato, P un punto di AB e γ la circonferenza
DettagliFUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI
FUNZIONI ELEMENTARI - ESERCIZI SVOLTI 1) Determinare il dominio delle seguenti funzioni di variabile reale: (a) f(x) = x 4 (c) f(x) = 4 x x + (b) f(x) = log( x + x) (d) f(x) = 1 4 x 5 x + 6 ) Data la funzione
DettagliProposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 2014
Proposta di soluzione della prova di matematica Liceo scientifico di Ordinamento - 14 Problema 1 Punto a) Osserviamo che g (x) = f(x) e pertanto g () = f() = in quanto Γ è tangente all asse delle ascisse,
Dettagli2) Sul piano coordinato z = 0 studiare il fascio Φ di coniche di equazione. determinando in particolare le sue coniche spezzate ed i suoi punti base.
DPARTMENTO D MATEMATCA E NFORMATCA Corso di Laurea in ngegneria Telematica Prova scritta di Elementi di Algebra e Geometria assegnata il 18/7/02 È assegnato l endomorfismo f : R 3 R 3 definito dalle relazioni
DettagliLIVELLO STUDENT S1. S2. S3. S4. S5. S6.
LIVELLO STUDENT S1. (5 punti ) La figura mostra due quadrati uguali che hanno in comune esattamente un vertice. È possibile precisare la misura dell'angolo ABC? S2. (7 punti ) Negli usuali fogli (rettangolari)
Dettaglia. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d.
1) Il valore di 5 10 20 è: a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 2) Il valore del rapporto (2,8 10-4 ) / (6,4 10 2 ) è: a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori 3) La quantità
DettagliForze come grandezze vettoriali
Forze come grandezze vettoriali L. Paolucci 23 novembre 2010 Sommario Esercizi e problemi risolti. Per la classe prima. Anno Scolastico 2010/11 Parte 1 / versione 2 Si ricordi che la risultante di due
DettagliDefinisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione:
Verso l'esame di Stato Definisci il Campo di Esistenza ( Dominio) di una funzione reale di variabile reale e, quindi, determinalo per la funzione: y ln 5 6 7 8 9 0 Rappresenta il campo di esistenza determinato
DettagliAlgebra Lineare e Geometria
Algebra Lineare e Geometria Corso di Laurea in Ingegneria Elettronica A.A. 2013-2014 Prova d esame del 16/06/2014. 1) a) Determinare la matrice associata all applicazione lineare T : R 3 R 4 definita da
DettagliELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura
Cognome Nome Matricola ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE E GEOMETRIA Corso di Laurea Ingegneria Edile-Architettura (Primo appello/ii prova parziale 15/6/15 - Chiarellotto-Urbinati) Per la II prova: solo esercizi
Dettagli09 - Funzioni reali di due variabili reali
Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014
DettagliIGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 22 novembre 2006
PROGETTO OLIMPII I MTEMTI U.M.I. UNIONE MTEMTI ITLIN SUOL NORMLE SUPERIORE IGiochidirchimede-Soluzioniiennio novembre 006 Griglia delle risposte corrette Problema Risposta corretta E 4 5 6 7 8 9 E 0 Problema
DettagliSIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO
SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina
DettagliAPPLICAZIONI LINEARI
APPLICAZIONI LINEARI 1. Esercizi Esercizio 1. Date le seguenti applicazioni lineari (1) f : R 2 R 3 definita da f(x, y) = (x 2y, x + y, x + y); (2) g : R 3 R 2 definita da g(x, y, z) = (x + y, x y); (3)
Dettaglib) Il luogo degli estremanti in forma cartesiana è:
Soluzione della simulazione di prova del 9/5/ PROBLEMA È data la funzione di equazione: k f( ). a) Determinare i valori di k per cui la funzione ammette punti di massimo e minimo relativi. b) Scrivere
DettagliMatematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica
Matematica 1 - Corso di Laurea in Ingegneria Meccanica Esercitazione su massimi e minimi vincolati 9 dicembre 005 Esercizio 1. Considerare l insieme C = {(x,y) R : (x + y ) = x } e dire se è una curva
DettagliIniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora:
Iniziamo con un esercizio sul massimo comun divisore: Esercizio 1. Sia d = G.C.D.(a, b), allora: G.C.D.( a d, b d ) = 1 Sono state introdotte a lezione due definizioni importanti che ricordiamo: Definizione
DettagliMOMENTI DI INERZIA. m i. i=1
MOMENTI DI INEZIA Massa Ad ogni punto materiale si associa uno scalare positivo m che rappresenta la quantità di materia di cui è costituito il punto. m, la massa, è costante nel tempo. Dato un sistema
DettagliIL CALCOLO VETTORIALE (SUPPLEMENTO AL LIBRO)
IL CALCOLO VETTORIALE SUPPLEMENTO AL LIBRO CLAUDIO BONANNO Contents. Campi di vettori e operatori 2. Il lavoro di un campo di vettori 5 2.. Lavoro e campi conservativi 6 2.2. Lavoro e campi irrotazionali:
DettagliEquazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta
Equazione della Circonferenza - Grafico di una Circonferenza - Intersezione tra Circonferenza e Retta Francesco Zumbo www.francescozumbo.it http://it.geocities.com/zumbof/ Questi appunti vogliono essere
DettagliESAME DI STATO 2002 SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO
ARCHIMEDE 4/ 97 ESAME DI STATO SECONDA PROVA SCRITTA PER IL LICEO SCIENTIFICO DI ORDINAMENTO Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA In un
DettagliPercorsi di matematica per il ripasso e il recupero
Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Sistemi di primo grado
DettagliEQUAZIONI DIFFERENZIALI. 1. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x 2 log t (d) x = e t x log x (e) y = y2 5y+6
EQUAZIONI DIFFERENZIALI.. Trovare tutte le soluzioni delle equazioni differenziali: (a) x = x log t (d) x = e t x log x (e) y = y 5y+6 (f) y = ty +t t +y (g) y = y (h) xy = y (i) y y y = 0 (j) x = x (k)
DettagliEQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE
EQUAZIONI E DISEQUAZIONI POLINOMIALI E COLLEGAMENTI CON LA GEOMETRIA ELEMENTARE 1. EQUAZIONI Definizione: un equazione è un uguaglianza tra due espressioni letterali (cioè in cui compaiono numeri, lettere
DettagliEsercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli
Esercizi svolti e assegnati su integrali doppi e tripli Esercizio. ove R R xy x + y + x + y dxdy } x, y R : x, y, x x + y x Svolgimento. Passo : per disegnare R, studiamo C : x + y x, C : x + y x Completando
DettagliEsponenziali elogaritmi
Esponenziali elogaritmi Potenze ad esponente reale Ricordiamo che per un qualsiasi numero razionale m n prendere n>0) si pone a m n = n a m (in cui si può sempre a patto che a sia un numero reale positivo.
DettagliAmministrazione, finanza e marketing - Turismo Ministero dell Istruzione, dell Università e della Ricerca PROGRAMMAZIONE DISCIPLINARE PER U. di A.
UdA n. 1 Titolo: Disequazioni algebriche Saper esprimere in linguaggio matematico disuguaglianze e disequazioni Risolvere problemi mediante l uso di disequazioni algebriche Le disequazioni I principi delle
DettagliRette e piani con le matrici e i determinanti
CAPITOLO Rette e piani con le matrici e i determinanti Esercizio.. Stabilire se i punti A(, ), B(, ) e C(, ) sono allineati. Esercizio.. Stabilire se i punti A(,,), B(,,), C(,, ) e D(4,,0) sono complanari.
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004
ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e
Dettaglia) Il campo di esistenza di f(x) è dato da 2x 0, ovvero x 0. Il grafico di f(x) è quello di una iperbole -1 1
LE FUNZIONI EALI DI VAIABILE EALE Soluzioni di quesiti e problemi estratti dal Corso Base Blu di Matematica volume 5 Q[] Sono date le due funzioni: ) = e g() = - se - se = - Determina il campo di esistenza
DettagliDefinizione DEFINIZIONE
Definizione Funzione reale di due variabili reali Indichiamo con R 2 l insieme di tutti i vettori bidimensionali. Dato un sottoinsiemed R 2, una funzione f: D R è una legge che assegna a ogni punto (x,
DettagliIl valore assoluto. F. Battelli Università Politecnica delle Marche, Ancona. Pesaro, Precorso di Analisi 1, 22-28 Settembre 2005 p.
Il valore assoluto F Battelli Università Politecnica delle Marche Ancona Pesaro Precorso di Analisi 1 22-28 Settembre 2005 p1/23 Il valore assoluto Si definisce il valore assoluto di un numero reale l
DettagliProgetto Pilota Valutazione della scuola italiana. Anno Scolastico 2002 2003 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria Superiore.
Gruppo di lavoro per la predisposizione degli indirizzi per l attuazione delle disposizioni concernenti la valutazione del servizio scolastico Progetto Pilota Valutazione della scuola italiana Anno Scolastico
DettagliProgrammazione per competenze del corso Matematica, Secondo biennio
Programmazione per del corso Matematica, Secondo biennio Competenze di area Traguardi per lo sviluppo delle degli elementi del calcolo algebrico algebriche di primo e secondo grado di grado superiore al
DettagliLE FUNZIONI MATEMATICHE
ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante
DettagliLEZIONI N 24 E 25 UNIONI SALDATE
LEZIONI N 24 E 25 UNIONI SALDATE Le saldature si realizzano prevalentemente con il metodo dell arco elettrico, utilizzando elettrodi rivestiti, che forniscono il materiale di apporto. Il collegamento è
DettagliAnalisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 2011/2012
Analisi Matematica 2 per Matematica Esempi di compiti, primo semestre 211/212 Ricordare: una funzione lipschitziana tra spazi metrici manda insiemi limitati in insiemi limitati; se il dominio di una funzione
DettagliSpline Nurbs. IUAV Disegno Digitale. Camillo Trevisan
Spline Nurbs IUAV Disegno Digitale Camillo Trevisan Spline e Nurbs Negli anni 70 e 80 del secolo scorso nelle aziende si è iniziata a sentire l esigenza di concentrare in un unica rappresentazione gestita
Dettagli4. Proiezioni del piano e dello spazio
4. Proiezioni del piano e dello spazio La visualizzazione di oggetti tridimensionali richiede di ottenere una vista piana dell'oggetto. Questo avviene mediante una sequenza di operazioni. Innanzitutto,
DettagliEsercitazione del 16-11-11 Analisi I
Esercitazione del 6-- Analisi I Dott.ssa Silvia Saoncella silvia.saoncella 3[at]studenti.univr.it a.a. 00-0 Esercizio. Determinare se la funzione f() è continua nel suo dominio sin se 0 f() = 0 se = 0
DettagliCORSO DI LAUREA IN FISICA ANNO ACCADEMICO 2013-14 PROVA DI INGRESSO
CORSO DI LAUREA IN FISICA ANNO ACCADEMICO 2013-14 PROVA DI INGRESSO 20 Settembre 2013 Fisica 1. La figura è una vista dall alto di quattro scatole identiche, S 1, S 2, S 3, S 4, appoggiate su un piano
DettagliParte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli
Parte 3. Rango e teorema di Rouché-Capelli A. Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Rango di una matrice, 2 Teorema degli orlati, 3 3 Calcolo con l algoritmo di Gauss, 6 4 Matrici
DettagliFunzioni in più variabili
Funzioni in più variabili Corso di Analisi 1 di Andrea Centomo 27 gennaio 2011 Indichiamo con R n, n 1, l insieme delle n-uple ordinate di numeri reali R n4{(x 1, x 2,,x n ), x i R, i =1,,n}. Dato X R
Dettaglia) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π
PROBLEMA Il triangolo rettangolo ABC ha l ipotenusa AB = a e l angolo CAB =. a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio, l arco di circonferenza di estremi P e Q rispettivamente
DettagliMaturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 2000-2001
Matematica per la nuova maturità scientifica A. Bernardo M. Pedone Maturità Scientifica PNI, sessione ordinaria 000-00 Problema Sia AB un segmento di lunghezza a e il suo punto medio. Fissato un conveniente
DettagliEsercizi su lineare indipendenza e generatori
Esercizi su lineare indipendenza e generatori Per tutto il seguito, se non specificato esplicitamente K indicherà un campo e V uno spazio vettoriale su K Cose da ricordare Definizione Dei vettori v,,v
DettagliAPPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI
APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................
DettagliLezione del 28-11-2006. Teoria dei vettori ordinari
Lezione del 8--006 Teoria dei vettori ordinari. Esercizio Sia B = {i, j, k} una base ortonormale fissata. ) Determinare le coordinate dei vettori v V 3 complanari a v =,, 0) e v =, 0, ), aventi lunghezza
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2001 Sessione suppletiva
ESME DI STT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINMENT 1 Sessione suppletiva Il candidato risolva uno dei due problemi e dei 1 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEM 1 Si consideri la funzione reale
DettagliCLASSE TERZA - COMPITI DELLE VACANZE A.S. 2014/15 MATEMATICA
Risolvere le seguenti disequazioni: 0 ) x x ) x x x 0 CLASSE TERZA - COMPITI DELLE VACANZE A.S. 04/ MATEMATICA x 6 x x x x 4) x x x x x 4 ) 6) x x x ( x) 0 x x x x x x 6 0 7) x x x EQUAZIONI CON I MODULI
DettagliLiceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti. Equazioni e Disequazioni
Liceo Scientifico F. Lussana Bergamo Programma di MATEMATICA A.S. 2014/2015 Classe 3 A C Prof. Matteo Bonetti Equazioni e Disequazioni Ripasso generale relativo alla risoluzione di equazioni, disequazioni,
DettagliTrasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011
1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni
DettagliTRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO. Parte 1
TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Parte 1 La geometria è la scienza che studia la forma e l estensione dei corpi e le trasformazioni che questi possono subire. In generale per trasformazione geometrica
DettagliLe funzioni elementari. Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 2010-2011 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p.
Le funzioni elementari Corsi di Laurea in Tecniche di Radiologia... A.A. 200-20 - Analisi Matematica - Le funzioni elementari - p. /43 Funzioni lineari e affini Potenze ad esponente naturale Confronto
DettagliSEZIONI. Introduzione
SEIONI 128 Introduzione Sezionare un solido significa tagliarlo secondo una superficie ideale in modo da mostrare il volume interno del solido stesso. Nella maggior parte dei casi l elemento secante è
DettagliAnna Montemurro. 2Geometria. e misura
Anna Montemurro Destinazione Matematica 2Geometria e misura GEOMETRIA E MISURA UNITÀ 11 Le aree dei poligoni apprendo... 11. 1 FIGURE PIANE EQUIVALENTI Consideriamo la figura A. A Le figure B e C
DettagliDERIVATE DELLE FUNZIONI. esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia
DERIVATE DELLE FUNZIONI esercizi proposti dal Prof. Gianluigi Trivia Incremento della variabile indipendente e della funzione. Se, sono due valori della variabile indipendente, y f ) e y f ) le corrispondenti
DettagliEsempio di test di ingresso per i Corsi di Laurea della classe L-31 Scienze e tecnologie informatiche
Esempio di test di ingresso per i Corsi di Laurea della classe L-31 Scienze e tecnologie informatiche Il tempo a disposizione per la risoluzione dei quesiti è di 90 minuti. Il test si ritiene superato
DettagliIL SISTEMA CARTOGRAFICO NAZIONALE
IL SISTEMA CARTOGRAFICO NAZIONALE La Il paragrafo è intitolato La Carta di Gauss poiché, delle infinite formule che si possono adottare per mettere in corrispondenza i punti dell'ellissoide con quelli
DettagliLiceo G.B. Vico Corsico
Liceo G.B. Vico Corsico Classe: 3A Materia: MATEMATICA Insegnante: Nicola Moriello Testo utilizzato: Bergamini Trifone Barozzi: Manuale blu.0 di Matematica Moduli S, L, O, Q, Beta ed. Zanichelli 1) Programma
DettagliEsercizi svolti. 1. Si consideri la funzione f(x) = 4 x 2. a) Verificare che la funzione F(x) = x 2 4 x2 + 2 arcsin x è una primitiva di
Esercizi svolti. Si consideri la funzione f() 4. a) Verificare che la funzione F() 4 + arcsin è una primitiva di f() sull intervallo (, ). b) Verificare che la funzione G() 4 + arcsin π è la primitiva
DettagliFUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE
FUNZIONE REALE DI UNA VARIABILE Funzione: legge che ad ogni elemento di un insieme D (Dominio) tale che D R, fa corrispondere un elemento y R ( R = Codominio ). f : D R : f () = y ; La funzione f(): A
DettagliCorso di Matematica per CTF Appello 15/12/2010
Appello 15/12/2010 Svolgere i seguenti esercizi: 1) Calcolare entrambi i limiti: a) lim(1 x) 1 e x 1 ; x 0 x log 2 x b) lim x 1 1 cos(x 1). 2) Data la funzione: f(x) = x log x determinarne dominio, eventuali
DettagliMATEMATICA 5 PERIODI
BAC EUROPEO 2008 MATEMATICA 5 PERIODI DATA 5 giugno 2008 DURATA DELL ESAME : 4 ore (240 minuti) MATERIALE AUTORIZZATO Formulario delle scuole europee Calcolatrice non grafica e non programmabile AVVERTENZE
Dettagli+ t v. v 3. x = p + tv, t R. + t. 3 2 e passante per il punto p =
5. Rette e piani in R 3 ; sfere. In questo paragrafo studiamo le rette, i piani e le sfere in R 3. Ci sono due modi per desrivere piani e rette in R 3 : mediante equazioni artesiane oppure mediante equazioni
DettagliMATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).
MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica
DettagliFUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI
ANALISI MATEMATICA I - A.A. 0/0 FUNZIONI / ESERCIZI SVOLTI ESERCIZIO. Data la funzione f () = determinare l insieme f (( +)). Svolgimento. Poiché f (( +)) = { dom f : f () ( +)} = { dom f : f () > } si
Dettaglibensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo
Momento di una forza Nella figura 1 è illustrato come forze uguali e contrarie possono non produrre equilibrio, bensì una tendenza a ruotare quando vengono applicate in punti diversi di un corpo esteso.
Dettagli(V) (FX) Z 6 è un campo rispetto alle usuali operazioni di somma e prodotto.
29 giugno 2009 - PROVA D ESAME - Geometria e Algebra T NOME: MATRICOLA: a=, b=, c= Sostituire ai parametri a, b, c rispettivamente la terzultima, penultima e ultima cifra del proprio numero di matricola
Dettagli( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali
Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza
Dettagli4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI
119 4 Dispense di Matematica per il biennio dell Istituto I.S.I.S. Gaetano Filangieri di Frattamaggiore EQUAZIONI FRATTE E SISTEMI DI EQUAZIONI Indice degli Argomenti: TEMA N. 1 : INSIEMI NUMERICI E CALCOLO
Dettagli0. Piano cartesiano 1
0. Piano cartesiano Per piano cartesiano si intende un piano dotato di due assi (che per ragioni pratiche possiamo scegliere ortogonali). Il punto in comune ai due assi è detto origine, e funziona da origine
Dettagli