CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE

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1 CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE. Esercizi x + z = Esercizio. Data la curva x, calcolare l equazione del cilindro avente γ y = 0 come direttrice e con generatrici parallele al vettore v = (, 0, ). Determinare e studiare la curva che si ottiene intersecando tale cilindro con il piano. Esercizio. Data la curva γ dell Esercizio, calcolare l equazione del cono per γ con vertice V (0, 0, ). Studiare la curva intersezione del cono con il piano. Esercizio. Calcolare l equazione del cilindro avente la circonferenza x + y + z = 5 z = 0 come direttrice e generatrici parallele all asse z. Studiare la curva intersezione di tale cilindro col piano. Esercizio 4. Data la circonferenza γ dell Esercizio, calcolare l equazione del cono avente γ come direttrice e vertice in V (0, 5, ). Studiare la curva intersezione di tale cono col piano y = 0. Esercizio 5. Data la circonferenza γ dell Esercizio, calcolare l equazione del cono avente γ come direttrice e vertice in V (0,, ). Studiare l intersezione di tale cono col piano y = 0. Esercizio 6. Data la retta r : x = + t y = t z = + t calcolare l equazione della superficie che si ottiene ruotando r intorno all asse z, e quella della superficie che si ottiene ruotando r intorno all asse x. Esercizio 7. Calcolare il luogo geometrico dei punti equidistanti dal punto F (0, 0, ) e del piano α : x + y + z + = 0. Esercizio 8. Calcolare il luogo geometrico dei punti equidistanti da F (,, 0) e dalla x = + t retta r : y = t. z = t Esercizio 9. Data la sfera σ di centro C(,, ) e passante per A(, 0, ) determinare il cono delle rette tangenti a σ passanti per il punto V (0, 0, 0). Esercizio 0. Data la sfera σ dell Esercizio 9, determinare l equazione del cilindro formato dalle rette tangenti a σ parallele al vettore u = (,, ). Esercizio. Dato il cilindro ellittico x +y =, determinare un piano che lo intersechi lungo una circonferenza.

2 CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE Esercizio. Determinare l equazione della superficie che si ottiene ruotando la curva intorno all asse z. yz = Esercizio. Determinare il cono delle rette per V (,, ) che incidono il piano α : x + z = 0 secondo un angolo di π/6. Esercizio 4. Nello spazio, con coordinate x, y, z, l equazione x + y x + y = 0 rappresenta () una sfera di centro (, /, 0); () una circonferenza di centro (, /); () un cono; (4) un cilindro. Esercizio 5. Nello spazio, con coordinate x, y, z, l equazione x +y z = 0 rappresenta () una sfera di centro (0, 0, 0); () due rette; () un cono; (4) un cilindro. Esercizio 6. Dati il cilindro x + y = e la retta r : x = y = 0 si ha che: () hanno due punti di intersezione; () la retta è esterna al cilindro; () la retta è l intersezione del cilindro col piano tangente al cilindro in (0,, ); (4) la retta è l intersezione del cilindro col piano tangente al cilindro in (, 0, ). Esercizio 7. I punti che sono centri di sfere tangenti esternamente alla sfera σ di equazione x +y +z = 4 ed aventi raggio formano una sfera di raggio 5. (V ) (F ). Soluzione di alcuni esercizi Soluzione dell Esercizio. Il cilindro cercato è la superficie unione delle rette parallele al vettore v = (, 0, ) passanti per punti della curva γ. Sia allora (x 0, y 0, z 0 ) γ, ossia x 0 + z 0 =, x 0 y 0 = 0. La retta per tale punto parallela a v ha equazione parametrica r : x = x 0 + t, y = y 0, z = z 0 + t. Quindi, l equazione del cilindro si ottiene eliminando i parametri x 0, y 0, z 0, t dal sistema x = x 0 + t y = y 0 z = z 0 + t x 0 + z 0 = x 0 y 0 = 0. Dalle prime tre equazioni otteniamo x 0 = x t, y = y 0, z 0 = z t. Sostituendole nella quarta, otteniamo x + z t =, da cui t = x+z. Sostituendo nell ultima equazione, otteniamo l equazione del cilindro cercato. Pertanto abbiamo ( x x + z ) y = 0

3 CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE e sviluppando i calcoli si ottiene C : x xz + z + x 4y z + = 0. L intersezione tra il cilindro C ed il piano [yz] è la curva z 4y z + = 0 che rappresenta una parabola. Soluzione dell Esercizio. Il cono cercato è l unione delle rette per il vertice, incidenti la curva γ, ossia delle rette per V parallele al vettore V P dove P (x 0, y 0, z 0 ) γ. Eliminando i parametri x 0, y 0, z 0, t dal sistema x = tx 0 y = ty 0 z = + t(z 0 ) x 0 + z 0 = x 0 y 0 = 0 otteniamo l equazione del cono cercato. Dalle prime tre equazioni ricaviamo x 0 = x, y t 0 = y, z t 0 = + z, avendo supposto t t 0. Osserviamo che per t = 0 si ottiene il vertice V. Sostituendo nella quarta, ricaviamo t : x + + z = da cui t = x z. t t Sostituendo infine nella quinta equazione, si ha ( ) x x z y = 0 che equivale a x z C : x + xy + yz y = 0. Intersecando con il piano [yz] otteniamo la curva y(z ) = 0 che rappresenta l unione delle due rette di equazioni r :, y = 0, ed r :, z =. Soluzione dell Esercizio. Poiché le generatrici del cilindro sono parallele all asse z l equazione che rappresenta il cilindro si ottiene eliminando la z dall equazione che rappresenta la sfera, usando l equazione del piano. Poiché il piano ha equazione z = 0, basta sostituire e si ottiene C : x + y = 5. Intersecando il cilindro con il piano, che è parallelo alle generatrici, si ottengono due rette. La loro unione ha equazione y = 5 e quindi le rette hanno equazioni r :, y = 5, ed r :, y = 5. Soluzione dell Esercizio 4. Procediamo al calcolo dell equazione del cono usando un diverso metodo di calcolo. Per prima cosa operiamo una traslazione in modo da avere V come origine del nuovo sistema di riferimento: x = X y = Y + 5 z = Z +. Scriviamo ora la circonferenza γ nel nuovo sistema di riferimento, sostituendo nelle sue equazioni: Z = X + Y + Z + 0Y + 4Z + 4 = 0.

4 4 CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE L equazione di un cono quadrico con vertice nell origine è un polinomio di secondo grado omogeneo che si ottiene, in questo caso, rendendo omogenea l equazione della sfera usando l equazione del piano. L equazione del piano può essere riscritta come = Z. D altra parte, l equazione dela sfera può essere riscritta come X +Y +Z +(0Y +4Z) +4 = 0. Sostituendo, otteniamo ( X + Y + Z + (0Y + 4Z) Z ) ( + 4 Z ) = 0 che sostituendo diventa X + Y 5Y Z = 0. Operando il cambio inverso di coordinate, otteniamo l equazione x +(y 5) 5(y 5)(z ) = 0 ossia C : x +y 5yz+5z 5 = 0. Intersecando il cono con il piano [xz] si ottiene la curva di equazione y = 0 x + 5z 5 = 0 che è una parabola. Soluzione dell Esercizio 5. Operiamo come nel precedente Esercizio 4. La traslazione ha equazione x = X y = Y + z = Z + e la circonferenza γ ha equazione Z + = 0 X + (Y + ) + (Z + ) = 5. Rendendo omogenea l equazione della sfera, si ottiene l equazione ( X + Y + 4Y Z ) ( Z ) = 0 che semplificata diventa 4X + 4Y 8Y Z Z = 0. Effettuando il cambio inverso di coordinate, si ottiene l equazione C : 4x + 4y 8yz z + 00z 00 = 0. L intersezione del cono con il piano [xz] è la curva di equazione y = 0 4x z + 00z 00 = 0 che rappresenta un iperbole. Soluzione dell Esercizio 6. Poichè la retta r è sghemba sia con l asse z, sia con l asse x, entrambe le superfici di rotazione sono degli iperboloidi ad falda, ovvero iperboloidi iperbolici. Calcoliamo la prima delle due superfici. Essa è data dall unione delle circonferenze che i punti della retta r descrivono ruotando intorno all asse z. Detto P ( + t, t, + t) un punto generico della retta, la circonferenza descritta da P si trova nel piano per P ortogonale al asse z. Tale piano ha equazione z = +t. Una sfera che taglia la circonferenza ha il centro sull asse z e raggio uguale alla distanza tra P ed il centro. Un punto dell asse che rende i calcoli pi facili è l origine delle coordinate. Quindi la sfera che usiamo ha equazione x + y + z = ( + t) + ( t) + ( + t). L equazione della superficie cercata si ottiene eliminando la t dal sistema z = + t x + y + z = t + 6

5 CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE 5 e quindi otteniamo la superficie di equazione S : x + y z + 6z 9 = 0. L equazione della seconda superficie si ottiene in maniera analoga, eliminando la t dal sistema x = + t x + y + z = t + 6 ed ha equazione S : x + y + z + 6x 9 = 0. Soluzione dell Esercizio 7. Sia P (x, y, z) un punto qualsiasi dello spazio. La distanza tra P ed F vale F P = x + y + (z ), mentre la distanza tra P ed α vale d(p, α) =. Il luogo cercato è formato dai punti le cui coordinate verificano l uguaglianza x+y+z+ x + y + (z ) = x + y + z +. Elevando al quadrato e semplificando, otteniamo l equazione del luogo σ : x + y + z xy xz yz x y 4z + = 0. σ rappresenta un paraboloide ellittico rotondo. Soluzione dell Esercizio 8. Sia P (x, y, z) un punto qualsiasi dello spazio. La distanza tra P ed F è F P = (x ) + (y ) + z. Un vettore parallelo alla retta r è v = (,, ), mentre un punto di r è A(,, 0). La distanza di P da r è uguale a d(p, r) = (,,) (x,y,z) v. I punti del luogo cercato sono tutti e soli quelli per cui le due distanze sono uguali. Uguagliando le due distanze, e semplificando l equazione ottenuta si ottiene l equazione della superficie = (y+z, x+z+, x y+) S : x xy + y + xz yz + z + x + 4y + z 8 = 0 che rappresenta un cilindro parabolico. Soluzione dell Esercizio 9. Procediamo al calcolo in due modi diversi. Prima soluzione: Il raggio della sfera è uguale alla distanza tra C ed A e vale. La distanza tra C e V è e quindi il cono esiste. Consideriamo un piano contenente la retta V C : tale piano interseca la sfera lungo una circonferenza equatoriale γ, perché il piano contiene il centro della sfera, ed il cono che cerchiamo lungo due rette t, t che risultano tangenti alla circonferenza γ. Sia T il punto di tangenza di t e γ. Il triangolo V T C è un triangolo rettangolo in T. Il cono è allora formato dai punti P (x, y, z) dello spazio per cui l angolo tra V P e V C è uguale all angolo T Vˆ C. Abbiamo che V T = 6, e quindi cos T Vˆ C = 6. D altra parte, cos T Vˆ C = quindi otteniamo 6. x y + z x + y + z = V P V C V P V C Elevando al quadrato, e semplificando, otteniamo l equazione C : x +4xy +5y 8xz + 4yz + z = 0. Seconda soluzione: La sfera ha equazione σ : x + y + z 4x + y 4z + 6 = 0. La circonferenza formata dai punti di contatto tra le rette tangenti a σ per V è la circonferenza e

6 6 CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE in cui il piano polare a σ per V incontra la sfera. L equazione di tale piano è data da α : ( ) 0 0 x 0 0 y 0 0 z = 0 6 e quindi è il piano α : x + y z + 6 = 0. La circonferenza direttrice del cono ha allora equazione x + y z + 6 = 0 x + y + z 4x + y 4z + 6 = 0. Il calcolo dell equazione del cono può essere fatto allora come negli Esercizi, 4, 5, e si ottiene ovviamente la stessa equazione. Soluzione dell Esercizio 0. La direttrice del cilindro è la circonferenza che si ottiene intersecando la sfera σ con il piano per C ortogonale al vettore v = (,, ). Quindi è la circonferenza x + y + z = 0 x + y + z 4x + y 4z + 6 = 0. L equazione del cilindro si ottiene allora come negli Esercizi e, eliminando i parametri x 0, y 0, z 0, t dal sistema x = x 0 + t y = y 0 + t z = z 0 + t x 0 + y 0 + z 0 = 0 x 0 + y 0 + z 0 4x 0 + y 0 4z = 0 e si ottiene l equazione del cilindro C : 5x 4xy + y xz 4yz + 5z 0x + 0y 0z + = 0. Soluzione dell Esercizio. Il cilindro ellittico taglia il piano [xy] lungo un ellisse di semiassi a =, b =. Uno dei vertici del semiasse minore è il punto B(0,, 0). Se tagliamo il cilindro con un piano che contiene l asse x, otteniamo un ellisse avente un semiasse di lunghezza fissato. L altro semiasse è individuato dai punti (0, 0, 0) centro dell ellisse, e (0,, z 0 ) vertice dell ellisse. L ellisse è una circonferenza se i semiassi hanno la stessa lunghezza. Otteniamo allora = + z 0 da cui z 0 = ±. Scelto il punto ), abbiamo che il piano per tale punto e l asse x ha equazione z = y. L (0,, intersezione è una circonferenza. Infatti, l intersezione ha equazione z = y x + y =. Riscrivendo l equazione del cilindro come x + y + y = e sostituendo l equazione del piano, abbiamo x + y + z = e quindi γ può anche scriversi come intersezione di z = y x + y + z = ed è quindi una circonferenza, essendo intersezione di una sfera con un piano.

7 CONI, CILINDRI, SUPERFICI DI ROTAZIONE 7 Soluzione dell Esercizio. Poiché ruotiamo la curva intorno all asse z, il suo punto generico di coordinate (0, y 0, z 0 ) descrive una circonferenza nel piano z = z 0 che è tagliata dalla sfera di centro (0, 0, 0) e raggio y 0 + z 0. L equazione della superficie si ottiene allora eliminando i parametri y 0, z 0 dal sistema z = z 0 x + y + z = y 0 + z 0 y 0 z 0 =. Svolgendo i calcoli si ottiene la superficie S di equazione z (x + y ) =. Soluzione dell Esercizio. Questo Esercizio, anche se apparentemente diverso dall Esercizio 9, ha una soluzione molto simile. Infatti, un punto P è sul cono se, e solo se, l angolo formato tra il vettore V P ed il vettore v = (, 0, ) ortogonale al piano α è uguale a π/. Detto P (x, y, z) un punto qualsiasi dello spazio, la condizione sugli angoli si riscrive tramite l equazione V P (, 0, ) V P = cos π =. Sviluppando i calcoli, si ottiene allora il cono di equazione C : x y + 4xz + z 6x + y 6z + 6 = 0. Soluzione dell Esercizio 4. Poiché abbiamo una sola equazione, il luogo delle sue soluzioni rappresenta una superficie. Tale superficie non è una sfera perché i coefficienti di x, y, z non sono tutti ugugali. Poiché manca l incognita z, è un cilindro con generatrici parallele all asse z. Quindi, l unica affermazione vera è la (4). Soluzione dell Esercizio 5. Poiché abbiamo una sola equazione, il luogo dei punti che la risolvono è una superficie, e quindi () è falsa. La () è falsa perché i coefficienti di x, y, z non sono tutti uguali. Inoltre, l equazione è omogenea, e quindi rappresenta un cono con vertice nell origine, ossia la () è vera, e la (4) è falsa. Soluzione dell Esercizio 6. La retta r è tutta contenuta nel cilindro, e quindi () e () sono false. Inoltre, è noto che le rette di un cilindro quadrico sono l intersezione del cilindro con il piano tangente al cilindro in un suo punto. L intersezione del punto () è la retta s :, y =, avendo il piano tangente equazione y =, e quindi () è falsa, mentre (4) è vera perché il piano tangente ha equazione x =. Soluzione dell Esercizio 7. Vero, perché la sfera σ ha centro nell origine e raggio, e la condizione di tangenza esterna è equivalente a chiedere che la distanza tra i centri sia pari alla somma dei raggi. Quindi, tutti e soli i centri delle sfere cercate hanno distanza 5 da (0, 0, 0).

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