ESAME DI STATO 2003 SECONDA PROVA SCRITTA PER I LICEI SCIENTIFICI A INDIRIZZO SPERIMENTALE (PNI E SCIENTIFICO- TECNOLOGICO «BROCCA»)
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1 Archimede 4 23 ESAME DI STATO 23 SECONDA PROVA SCRITTA PER I LICEI SCIENTIFICI A INDIRIZZO SPERIMENTALE (PNI E SCIENTIFICO- TECNOLOGICO «BROCCA») Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PROBLEMA Nel piano sono dati: il cerchio γ di diametro OA = a, la retta t tangente a γ in A, una retta r passante per O, il punto B, ulteriore intersezione di r con γ, il punto C intersezione di r con t. La parallela per B a t e la perpendicolare per C a t s intersecano in P. Al variare di r, P descrive il luogo geometrico Γ noto con il nome di v e r s i e r a di Agnesi [da M a r i a Gaetana Agnesi, matematica milanese, (78-799)]..Si provi che valgono le seguenti proporzioni: OD : DB = OA : DP OC : DP = DP : BC ove D è la proiezione ortogonale di B su OA; 2.Si verifichi che, con una opportuna scelta del sistema di coordinate cartesiane ortogonali e monometriche Oxy, l equazione cartesiana di Γ è: y = ; x 2 + a 2 3.Si tracci il grafico di Γ e si provi che l area compresa fra Γ e il suo asintoto è quattro volte quella del cerchio γ. a 3 PROBLEMA 2 Sia f(x) = a2 x + b2 x + c con a, b, c numeri reali. Si determinino a, b, c in modo che:. la funzione f sia pari; 2. f() = 2; 3. f (x)dx = 3. 2 log 2 2
2 4 23 Archimede Si studi la funzione g ottenuta sostituendo ad a, b, c i valori così determinati e se ne disegni il grafico G. Si consideri la retta r di equazione y = 4 e si determinino, approssimativamente, le ascisse dei punti in cui essa interseca G, mettendo in atto un procedimento iterativo a scelta. Si calcoli l area della regione finita del piano racchiusa tra r e G. Si calcoli. g(x) dx Si determini la funzione g' il cui grafico è simmetrico di G rispetto alla retta r..quante partite di calcio della serie A vengono disputate complessivamente (andata e ritorno) nel campionato italiano a 8 squadre? 2. Tre scatole A, B e C contengono lampade prodotte da una certa fabbrica di cui alcune difettose. A contiene 2 lampade con il 5% di esse difettose, B ne contiene 5 con il 2% difettose e C ne contiene con il % difettose. Si sceglie una scatola a caso e si estrae a caso una lampada. Quale è la probabilità che essa sia difettosa? 3.Quale è la capacità massima, espressa in centilitri, di un cono di apotema 2 dm? 4.Dare un esempio di polinomio P(x) il cui grafico tagli la retta y = 2 quattro volte. 5.D i m o s t r a re, usando il Te o rema di Rolle [da Michel Rolle, matematico francese, (652-79)], che se l equazione: x n + a n x n + + a x + a = ammette radici reali, allora fra due di esse giace almeno una radice dell equazione: nx n + (n )a n x n a = 6.Si vuole che l equazione x 3 + bx 7 = abbia tre radici reali. Quale è un possibile valore di b? 7.Ve r i f i c a re l uguaglianza π = 4 e utilizzarla per calcolare un ap- + x 2 dx prossimazione di π, applicando un metodo di integrazione numerica. 8.Dare un esempio di solido il cui volume è dato da π x 3 dx. 9.Di una funzione f(x) si sa che ha derivata seconda uguale a sen x e che f'() =. Quanto vale f(π/2) f()? QUESTIONARIO 2
3 Archimede 4 23.Verificare che l equazione x 3 + 3x + = ammette tre radici reali. Di una di esse, quella compresa tra e, se ne ( ) calcoli un approssimazione applicando uno dei metodi numerici studiati. Durata massima della prova: 6 ore. Era consentito l uso della calcolatrice tascabile non programmabile. RISOLUZIONE DEL PROBLEMA Figura.O s s e rvando (fig. ) che i triangoli O D B ed O A C sono simili, si ha O D : D B = = OA : AC. Poiché DP = AC per costruzione, si conclude OD : BD = OA : DP. P ro v a re la seconda pro p o rzione equivale, per quanto osservato, a pro v a re che OC : AC = AC : BC. Congiunto A con B, AB risulta l altezza relativa all ipotenusa O C nel triangolo rettangolo O A C: è sufficiente quindi applicare il primo Te o rema di Euclide. In alternativa si può usare il Te o rema della secante e della tangente a una circ o n f e renza, oppure considerare la similitudine fra i triangoli OAC ed ABC. 2.Proponiamo tre vie di risoluzione, scegliendo come origine il punto O, come asse delle x la tangente in O a γ, e la semiretta OA come semiasse positivo delle y (fig. ). ( ) Il testo lascia perplessi sul piano linguistico, ma abbiamo riportato fedelmente l originale. Un discorso analogo vale per «quale è» senza troncamento («qual è»). 22
4 4 23 Archimede Via analitica D e t e rminate le equazioni di γ, t ed r (rispettivamente x 2 + y 2 a y =, y = a, y = m x x = ), si ricavano le coordinate dei punti B e C: B = am + m 2, am 2 + m 2, C = a m, a con m. Per costruzione il luogo Γ è costituito dai punti P tali che x P = x C = a m ed y P = y B = am2 + m 2. mente si passa dalle equazioni parametriche a quella cartesiana richiesta. Facil- Via trigonometrica Posto uguale a θ l angolo che la semiretta O C f o rma col semiasse positivo delle ascisse, si ottengono le equazioni parametriche di Γ: x = a cotg θ y = a sen 2 θ Esprimendo sen 2 θ in funzione di tg θ, si perviene all equazione richiesta. Si deve fare attenzione al caso θ = π/2. La t e rza vias f rutta la prima delle pro p o rzioni dimostrate, ossia O D: D B= O A: D P. Poniamo O D= y, D P= x. Con il primo Te o rema di Euclide si ricava DB = ± ay y 2 da cui, sostituendo nella pro p o rzione, quadrando e semplificando per y, si giunge all equazione richiesta. 3.Studiando la funzione razionale si trova che il grafico di Γ è una cubica pari, con asintoto orizzontale l asse x, un punto di massimo assoluto in (, a) e due flessi in ± a 3, 3a. 4 L a rea delimitata dalla versiera e dal suo asintoto si ottiene, per la simmetria della c u rva, calcolando l integrale improprio 2 = π a 2 = 4S, ove S è l area di γ. y = + Esso vale 2[a 2 arctg(x / a)] + = x 2 + a 2 dx. Anche se non richiesto nel testo, ricordiamo la seguente proprietà della versiera riguardante i volumi: «Facendo ruotare attorno all asintoto il trapezoide relativo al- a 3 x 2 + a 2 a 3 23
5 Archimede 4 23 la curva di Agnesi, si genera un solido di volume doppio di quello del toro originato dall analoga rotazione di γ». = La dimostrazione si basa essenzialmente sul calcolo di 2a arctg x a + x + c, 2 x 2 + a 2 ) Teorema di Guldino. ( m e n t re per il volume del toro si può ricorre re al a 2 ( x 2 + a 2 ) 2 dx = RISOLUZIONE DEL PROBLEMA 2 La prima condizione (ovvero che si tratti di una funzione pari) si traduce nell equazione a = b. Infatti, f( x) = f(x) equivale ad a2 x + b2 x + c = a2 x + b2 x +c, da cui (a b) (2 x 2 x ) = e infine a = b. La seconda [f() = 2] porta all equazione a + b + c = 2. La terza porta all equazione 2a + b + 2c ln2 = 3. Infatti: ( a2 x + b2 x + c)dx = a2 x ln2 b2 x ln 2 + cx = 2a + b + 2c ln 2 2 ln 2 = 3 2 ln 2 da cui segue 2a + b + 2c ln 2 = 3. Le tre equazioni precedenti in a, b, c permettono di scrivere un sistema di primo grado che, risolto, fornisce i valori dei tre parametri: a =, b =, c =. La funzione g(x) risulta pertanto così definita: g(x) = 2 x + 2 x. Si tratta di una funzione di dominio R, ovunque continua e derivabile (con derivate di ogni ordine), sempre positiva, pari (come è noto), illimitata superiormente e priva di asintoti, essendo lim g x g x ( ) = + e lim x ± x ± Lo studio della derivata prima g '(x) = 2 x ln 2 2 x ln 2 = ln 2 (2 x 2 x ) porta a concludere che la funzione è decrescente per x <, crescente per x > ed ha un minimo assoluto nel punto (, 2). La derivata seconda g''(x) = 2 x ln x ln 2 2 = ln 2 2 (2 x + 2 x ) è sempre positiva, e quindi la funzione è convessa in tutto il dominio. Il grafico G della funzione g(x) è illustrato in figura 2. ( ) x = ±. 24
6 4 23 Archimede Figura 2 Le ascisse (α e α, per ovvie ragioni di simmetria) dei due punti in cui la retta r, di equazione y = 4, interseca G, delle quali è richiesta una determinazione appro s- simata, possono essere calcolate in modo esatto: 2 x + 2 x = 4 ; posto 2 x = z, si ha z 2 4z + =, da cui si conclude ( ). x,2 = log 2 2 ± 3 Gli zeri α e α della funzione F(x) = 2 x + 2 x 4 sono ricavabili con uno dei metodi di approssimazione noti agli studenti (metodo di bisezione, delle tangenti, delle secanti). Osservato che F() < e F(2) >, risulta < α < 2. Il metodo di bisezione porta, dopo 7 iterazioni, al valore approssimato α,9 con un errore inferiore al centesimo. L area richiesta, data la parità della funzione, è data da α ( ) x 2 x dx = 2 4x 2 x ln2 + 2 x ln 2 accettando l approssimazione precedente, si ottiene circa 5,2. Per il calcolo dell integrale conviene ricorre re alla sostituzione 2 x = t : g x ( ) dx, α ; 2 x + 2 x dx = ln 2 t + t t dt = ln 2 arctg t + c = ln 2 arctg 2 x + c 25
7 Archimede 4 23 Per la determinazione della funzione g', da non confondersi con la derivata della funzione g(x), si usano le equazioni della simmetria di asse r : x' = x y' = 8 y Si ottiene g'(x) = 8 2 x 2 x. RISPOSTE AI QUESITI DEL QUESTIONARIO.La soluzione più semplice si ottiene pensando che ogni squadra ospita le restanti 7: il numero totale delle partite è dato dalle disposizioni semplici di 8 oggetti di classe 2, pari a 8 7 = Sia D l evento «la lampada estratta è difettosa» e sia A i l evento «è stata scelta la scatola i-esima». Le ipotesi implicano che p(a i ) = /3. Grazie al teorema della probabilità totale si ha p D 3 ( ) = p( A i ) p( D A i ) = = 7 6 2% i = Il diagramma ad albero in figura 3 chiarisce la situazione. Si osservi che l informazione relativa al numero di lampade contenute in ciascuna scatola è superflua. Figura 3 3.Detta x l altezza del cono, il raggio è r = 4 x 2 dm e il volume V(x) = = π 3 x ( 4 ) x2 dm 3, con x 2. Tale funzione assume il valore massimo per x = dm, cui corrisponde V max = π dm 3 322,5 cl. 26
8 4 23 Archimede A l t e rnativamente, chiamato ϑ l angolo formato da raggio e apotema, si ha V ( ϑ ) = 8 3 π sen ϑ cos2 ϑ con ϑ π 2. Tale funzione assume il valore massimo per Infine, il risultato si può ottenere anche grazie alla seguente proprietà sulla ricerca dei massimi e minimi assoluti per via elementare: se u + v è costante, allora u α v β è massimo se e solo se u/α = v/β, ove u,v. Nel nostro caso u = x 2, v = r 2 = 4 x 2, α = /2 e β =. 4. Si consideri un qualunque polinomio con 4 zeri reali distinti: il grafico della funzione associata interseca 4 volte l asse delle ascisse. Applicando la traslazione di vettore (,2) si ottiene il polinomio richiesto. Per esempio, si può porre : P(x) = x(x ) (x 2) (x 3) Indicato con p(x) il polinomio al primo membro della prima equazione e detti x e x 2 due zeri reali distinti di p(x) (con x < x 2 ), essendo p(x ) = p(x 2 ) =, nell intervallo [x, x 2 ] la funzione y = p(x) soddisfa le ipotesi del Teorema di Rolle. Esiste pertanto almeno un punto c ]x, x 2 [ in cui p'(c) =, il che dimostra la tesi essendo p'(x) = la seconda equazione del testo. 6. Le radici dell equazione proposta corrispondono alle ascisse dei punti di intersezione con l asse x di f(x) = x 3 + b x 7. Essendo f'(x) = 3x 2 + b con zeri sicuramente esse saranno in numero di tre se b < e infatti, si ha essendo f() = 7 e la f(x) decrescente in. Questo 49 porta ad un valore di b 3 3, per esempio b = La verifica dell uguaglianza è semplice: Per calco- + x 2 dx = arctg x = π 4. l a re l approssimazione richiesta di π usiamo il metodo dei rettangoli con n = 5. Risulta: ϑ = arccos ± b / 3, 2 3. f b 3 < + x 2 dx 5 f ( ) + f f b 3 ; [ ] f + f + f, 834 da cui π 3, Essendo la funzione integranda decrescente in ],[, il valore ottenuto rappresenta un approssimazione per eccesso di π. In alternativa, la formula di Simpson con n = 8 fornisce per l integrale il valore,785 e per π il valore 3,4. 27
9 Archimede Se si considera la formula relativa al volume di un solido di rotazione, l espre s s i o- ne data si riferisce al volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all asse x del trapezoide associato alla funzione f x con x [, ]. La formulazione del quesito consentiva in alternativa di calcolare il valore dell integrale (π/4) e di scegliere come solido, per esempio, il cubo di spigolo 3 π / 4, o il cilindro di raggio r = e altezza h = /4. 9. La condizione f' '(x) = sen x implica che f '(x) = cos x + c. Sapendo che f '() =, si trova c = 2. In conclusione π/2 ( cos x + 2)dx = π. ( ) = x x f (π / 2) f () =.Per dimostrare che l equazione proposta ammette tre radici reali, si può studiare la funzione f(x) = x 3 3x +, accertando che il suo grafico interseca in tre punti l asse x (perché la cubica ammette un massimo relativo positivo ed un minimo relativo negativo); oppure, più rapidamente, si può pro c e d e re ad un confronto grafico tra le curve di equazioni y = x 3 ed y = 3x, verificando che esse si intersecano in tre punti. Per il calcolo della radice c in [,], usando il metodo di bisezione, dopo 4 iterazioni otteniamo il valore c,3, approssimato a meno di /. π/2 f '(x)dx = CONSIDERAZIONI E COMMENTI Il Ministero aveva già proposto il Problema nella Sessione Suppletiva 997 della Maturità Scientifica Progetto Brocca, indirizzo scientifico, inserendo nel testo le p a role con le quali Agnesi descriveva il luogo geometrico: «Dato il semicirc o l o ADC dal diametro AC, si ricerca fuori di esso il punto M tale che condotto MB normale al diametro AC, che taglierà il circolo in D, sia AB : BD = AC : BM, e perché infiniti sono i punti M, che soddisfano al problema, se ne dimanda il luogo». Il problema, alla portata di uno studente dell indirizzo scientifico, richiede invece una certa intuizione geometrica nella scelta del sistema di riferimento. Alcuni studenti, disegnata la circonferenza con il diametro OA «orizzontale» e considerato il suo prolungamento come asse x, hanno ottenuto equazioni diverse per Γ (come x = a 3 y 2 + a 2 scegliendo la tangente alla circonferenza in O come asse y, oppure x = a 2 a 2 y 2 a 2 + y 2 sistema di riferimento). scegliendo il centro della circonferenza come origine del 28
10 4 23 Archimede Va sottolineato il fatto positivo che le richieste sono state formulate in modo indipendente l una dall altra (come proposto dagli insegnanti per molti anni), consentendo così di affrontare i punti 2 e 3 anche a studenti un po arrugginiti in geometria. Il Problema 2 è un problema standard di analisi, privo di particolari insidie e adatto ad evidenziare più capacità operative che doti di intuizione. Le richieste sono numerose e in parte simili a quelle del problema 2 della Sessione Ordinaria PNI 2 (Archimede n. 4 del 2, pag. 94). Nella formulazione, sarebbe stato opportuno suggerire l espressione analitica della funzione g(x) (con espressioni del tipo: «dopo aver verificato che i valori di a, b e c sono, si studi la funzione g(x) così ottenuta») prima di indicare le richieste successive. Questo avrebbe consentito agli studenti che non erano riusciti a completare il calcolo delle tre incognite a, b e c (soprattutto a causa della terza condizione) di procedere nella risoluzione del problema. Molto infelice ci sembra infine la scelta di chiamare g ', espressione che inevitabilmente richiama agli studenti la derivata di g, la funzione con grafico simmetrico rispetto alla retta r. Quanto al questionario, a fronte dell ampia possibilità di scelta per gli argomenti garantita dai programmi sperimentali, ci sembra che le richieste risultino sbilanciate verso l analisi matematica e numerica (tema n. 7 del Progetto Brocca). Infatti, solo due quesiti (n. e n. 2) riguardano il calcolo combinatorio e il calcolo delle probabilità, e uno (n. 4) è collocabile nell ambito algebrico-geometrico. Non un cenno a trasformazioni, statistica, logica, algebra lineare: tutti temi importanti dei programmi, qui clamorosamente assenti. I n o l t re, poiché ad ogni quesito deve essere assegnato lo stesso punteggio, è opportuno che essi risultino, per quanto possibile, di livelli di difficoltà paragonabili. Alcuni, invece, sono palesemente più semplici (n., n. 2 e n. 8). Vorremmo segnalare, inoltre, alcune ambiguità nella formulazione dei quesiti: nel n. 2 l informazione relativa al numero di lampade contenute in ciascuna scatola è un dato superfluo (volutamente inserito nel testo?); nel n. 6 è sufficiente che lo studente assuma per b un valore qualunque e verifichi che la cubica così ottenuta abbia tre zeri (magari, quando è possibile, fattorizzando il polinomio con la regola di Ruffini); l intento non era forse quello di ottenere le limitazioni per b? In caso contrario il quesito coincide con il n. ; nel n. 7 e nel n., come del resto nel Problema 2, è richiesto un metodo numerico per determ i n a re le radici di un equazione o il valore di un integrale definito, senza s p e c i f i c a re il grado di approssimazione richiesto o il numero di cifre significative. Facciamo anche presente che il quesito n. 5, formulato in modo leggermente diverso, era già stato proposto nella Sessione Ordinaria PNI 2 (Archimede n. 4 del 2, pag. 95, n. 3). 29
11 Archimede 4 23 In conclusione, rimangono ancora irrisolte due questioni, già sollevate negli anni precedenti: non sono precisate a livello nazionale le conoscenze e le competenze obbligatorie da raggiungere, sulle quali impostare il lavoro didattico di preparazione all Esame di Stato; è ancora assente la possibilità di una valutazione omogenea della prova a livello nazionale: sarebbe auspicabile che la traccia ministeriale includesse una griglia di valutazione per stabilire la soglia di accettabilità dell elaborato; questo garantirebbe, tra l altro, una maggiore consapevolezza negli allievi di quanto eseguito. Federico Pilla Gianna Arzenton Istituto Magistrale «D.G. Fogazzaro» Vicenza fogazzar@tin.it 2
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