Questa successione è tale, per la disuguaglianza di Bessel, c n 2. n=1

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1 14.1. ABC di nlisi funzionle II Un ltro teorem sulle serie di Fourier. Nell lezione si è visto che, fissto un sistem ortonormle {e n }, d un vettore u è ssocit l successione delle sue coordinte (o componenti) di Fourier (1) c n = e n u, n = 1, 2, 3,... Quest successione è tle, per l disuguglinz di Bessel, e n u 2 u 2, che l serie (2) c n 2 è convergente. Considerimo or un successione c 1, c 2, c 3,... tle che l serie (2) si convergente. Esiste un vettore u per cui vlgono le (1)? L rispost è ffermtiv ed è dt dl seguente teorem (nche noto come teorem di Riesz-Fisher ) Teorem 1 (Riesz-Fisher). Si {e n } un bse ortonormle in un spzio di Hilbert H. Se {c n } è un successione di numeri tle che l serie c n 2 converge, llor esiste llor esiste uno ed un solo vettore u H tle che u = c n e n e c n = e n u (Si ved l dimostrzione 1 dell sezione ) Universlità dello spzio di Hilbert delle successioni qudrto sommbile. Un conseguenz importnte del precedente teorem è che tutti gli spzi di Hilbert infinito dimensionli 1 sono isometricmente isomorfi llo spzio l 2 delle successioni qudrto sommbile. Prim di tutto, chirimo l terminologi. Due spzi di Hilbert H e H sono detti isometricmente isomorfi se esiste un corrispondenz biunivoc tr i vettori u di H e i vettori u di H tle che: (1) se u corrisponde u e v corrisponde v, l vettore αu + βv di H corrisponde il vettore αu + βv di H qulunque sino i numeri α e β; (2) se u corrisponde u, llor u H = u H 1 Occorrerebbe ggiungere seprbili, m nell lezione precedente bbimo convenuto di identificre l nozione di spzio di Hilbert con quell di spzio di Hilbert seprbile. 1

2 Adesso rendimo esplicito il senso dell ffermzione inizile. Nell lezione 13 bbimo mostrto che lo spzio l 2 delle successioni qudrto sommbile è uno spzio di Hilbert infinito-dimensionle. Un sistem ortonormle in l 2 è dto di vettori ê n, n = 1, 2, 3,... le cui componenti sono tutte 0 eccetto per l n-esim, che vle 1: ê 1 = (1, 0, 0, 0,...) ê 2 = (0, 1, 0, 0,...) ê 3 = (0, 0, 1, 0,...) Tle sistem è ovvimente chiuso e quindi completo; dunque {ê n } è un bse ortonormle in l 2. Se H uno spzio di Hilbert e {e n } un bse ortonormle in esso, si consideri l corrispondenz e l si estend per linerità u = c n e n û = e 1 ê 1 e 2 ê 2 e 3 ê c n ê n = (c 1, c 2, c 3,...) Per i teoremi 2 e 3 dell lezione 13, u in H à ssocito il vettore û = c n ê n = (c 1, c 2, c 3,...) con c n = e n u e con identità di Prsevl soddisftt (in qunto un bse ortonormle è per definizione un sistem ortonormle completo) u 2 H = c n 2 = û 2 l 2 Vicevers, per il teorem 1 di quest lezione, û = c n ê n = (c 1, c 2, c 3,...) in l 2 è ssocito il vettore u in H. L corrispondenz tr H e l 2 è dunque biunivoc e isometric, che è qunto si volev dimostrre. L ovvio corollrio è che tutti gli spzi di Hilbert sono isometricmente isomorfi. Questo ftto risult meno misterioso di qunto sembri se si tiene conto dell 2

3 seguente nlogi. Lo spzio di Hilbert H, strttmente definito, è l nlogo infinito-dimensionle dello spzio euclideo tri-dimensionle E 3 dell geometri elementre. Fissre un bse ortormle {e n } in H è come fissre il sistem di versori i, j e k in E 3. Lo spzio l 2 è come lo spzio R 3 delle coordinte (x, y, z) dei vettori rispetto l sistem di riferimento individuto di versori i, j e k. Inoltre, l corrispondenz tr H e l 2 è nlog ll corrispondenz tr vettori e terne di coordinte, r = xi + yj + zk (x, y, z). Infine, l identità di Prsevl è l versione infinito-dimensionle del teorem di Pitgor r 2 = x 2 + y 2 + z Lo spzio delle funzioni qudrto integrbile e le serie di Fourier. Riprtimo dll inzio dell lezione precedente: dllo spzio vettorile C[, b] delle funzioni continue (eventulmente vlori complessi) definite su un intervllo [, b]. Allor vevmo introdotto un nozione di lunghezz bst sull norm uniforme e vevmo stbilito che C[, b] è completo rispetto quest norm. Adesso voglimo esplorre un struttur completmente divers, un struttur costruit sin dll inizio su un prodotto sclre. Considerimo l form (3) f g = f(x)g(x)dx. definit per coppie di funzioni f e g in C[, b]. Quest form definisce un prodotto sclre su C[, b] con norm indott 3 (4) f 2 = f f = f(x) 2 dx Inftti, si verific fcilmente, per clcolo diretto, che vle l l disuguglinz di Cuchy-Schwrz f g f 2 g 2. d cui segue l disuguglinz tringolre f + g 2 g 2 + g 2 L proprietà dell norm αf 2 = α f 2 è bnlmente verifict. Pure l prim proprietà dell norm è verifict, inftti f(x) 2 dx = 0 se e solo se f = 0 (si osservi qunto è essenzile che l funzione si continu). Nel seguito, chimeremo l norm (4) norm L 2 e l convergenz nell norm L 2 semplicemente convergenz L 2.

4 L convergenz L 2 è usulmente nche chimt convergenz in medi qudrtic. Se f 1 (x), f 2 (x), f 3 (x),... è un successione di funzioni, si dice che converge in medi qudrtic f(x), lim f n = f, se lim f(x) f n (x) 2 dx = 0, che è proprio l convergenz L 2. D un punto di vist prtico, l convergenz L 2 fornisce un nozione molto utile nelle ppliczioni. Come mostrto in figur, l medi qudrtic stim l distnz tr due funzioni in termini dell re del qudrto dell loro differenz (l zon ombreggit) 4 e quindi medi le differenze tr le due funzioni su tutto l intervllo; fornisce, per così dire, un stim globle di qunto due funzioni sino vicine. Al contrrio, l convergenz uniforme, e quindi l norm uniforme, è molto più sensibile lle differnze locli in qunto stim l distnz tr le funzioni in termini del mssimo dell loro differenz (in figur, il segmento in rosso). L convergenz uniforme è molto più rigid di quell in medi qudrtic. Dovrebbe essere intuitivmente chiro che si può vere convergenz in medi senz che ci si convergenz uniforme (d esempio, può succedere che il mssimo dell

5 differenz tr le due funzioni continu flutture senz ssestrsi su un vlore limite, m l medi qudrtic dell differenz v zero). È importnte ver chiro che C[, b], con prodotto sclre (3) e norm L 2, non è completo: è uno spzio pre-hilbertino, m non uno spzio di Hilbert. Questo si verific fcilmente con un controesempio. Esempio 1. In C[ 1, 1], si f(x) = { 0 se 1 x < 0 1 se 0 < x 1 e si consideri l successione di funzioni continue 0 se 1 x 1/n f n (x) = nx + 1 se 1/n < x < 0 1 se 0 x Allor lim f f n 2 = lim = lim 1 0 = lim 1/ 3n = 0 f(x) f n (x) 2 dx 1 (nx + 1) 2 dx 1/n Si h quindi un successione di funzioni continue che nell norm L 2 converge d un funzione che non è continu. Essendo C[, b] non completo rispetto ll norm L 2, solo un prte dei risultti ottenuti per gli spzi di Hilbert si estende d esso. Continu vlere l nlogo del teorem dell esercizio 1 dell lezione 13: se due successioni di funzioni continue {f n (x)} e {g n (x)} convergono in medi lle funzioni continue f(x) e g(x), llor lim f n (x)g n (x)dx = f(x)g(x)dx

6 Inoltre, fissto in tle spzio un sistem ortogonle e normle {ϕ n (x)}, cioè un successione di funzioni tle che { 0 se m n ϕ n (x)ϕ m (x)dx = 1 se m = n i coefficienti di Fourier dell funzione f(x) C[, b] sono dti dlle formule (5) c n = ϕ n (x)f(x)dx Continu sussistere il teorem 3 dell lezione 13. Un sistem ortogonle completo un bse ortonormle è un sistem ortogonle per il qule vle l identità di Prsevl: per qulunque funzione continu f(x), si h c n 2 = f(x) 2 dx e si dimostr che sistemi di questo tipo effettivmente esistono (seni e coseni, per esempio, come vedremo nell prossim lezione, o nche le funzioni di Hermite). Non vle invece il teorem 1 di quest lezione, perchè questo teorem presuppone l completezz dello spzio, e lo spzio C[, b] non è completo rispetto ll norm L 2. Questo signific che non esiste un isomorfismo tr gli elementi di questo spzio e gli elementi di l 2. Più precismente, fisst in C[, b] un bse ortonormle {ϕ n (x)}, medinte le (5), si può ssocire ogni funzione continu un elemento di l 2, m vicevers, fissto un elemento di l 2 non si può dire che esiste un funzione continu l cui successione delle coordinte di Fourier (5) coincide con l elemento fissto di l 2. L difficoltà ritornre indietro, cioè ricostruire l funzione prtire dlle sue coordinte ( sintesi dell funzione) è succintmente espress dl seguente digrmm: f(x) nlisi di Fourier c n = sono uguli? ϕ n (x)f(x)dx (coordinte di Fourier dell funzione in l 2 ) 6 sintesi di Fourier g(x) = c n ϕ n (x) (ricostruzione dell funzione?) L rispost ll domnd è: in generle, no! Per ffrontre questo problem si procede come segue. Si è detto che per vere spzi isometricmenti isomorfi l 2 occorre considerre spzi di Hilbert, cioè spzi con prodotto sclre completi. Nel nostro cso, ciò si ottiene completndo C[, b] con l norm L 2. Anlogmente quel che succede qundo si pss di rzionli i reli, si ottiene in questo modo uno spzio più mpio, lo spzio di tutte le successioni di Cuchy di C[, b] rispetto ll norm L 2.

7 Questo spzio è usulmente denotto L 2 (, b) ed è lo spzio delle funzioni qudrto integrbile in [, b], cioè delle funzioni f su [, b] tli che (6) f(x) 2 dx <. Per costruzione, L 2 (, b) è uno spzio di Hilbert, C[, b] è denso in L 2 (, b). A proposito di questo, si possono sollevre due problemi. (1) Pssndo l completmento, inevitbilmente si introducono funzioni discontinue. Ad esempio, l f(x) dell esempio 1 è discontinu, m essendo ottenut come limite nell norm L 2 di un successione di funzioni continue è in L 2 ( 1, 1). Tuttvi, se si permettono funzioni discontinue nello spzio, llor viene meno l proprietà dell norm che stbilisce che l norm è zero se e solo se l funzione è zero. Per convincersi di questo, si considerino le seguenti due funzioni: (i) l funzione che vle zero per tutti i punti di [, b] e (ii) l funzione che vle zero eccetto che per un insieme numerbile di punti in [, b] dove vle 1. L funzione (ii) h norm L 2 zero (in qunto l integrle non vede un insieme numerbile di punti), m non è (i), l funzione identicmente zero. Esiste un funzione divers d 0 che h norm 0. (2) L disuguglinz di Cuchy-Schwrz f g f 2 g 2 ssicur che il prodotto sclre di f e g è ben definito se le norme f 2 e g 2 esistono, cioè se f 2 e g 2 sono integrbili. Tuttvi, l integrbilità secondo Riemnn di f 2 e g 2 non grntisce l integrbilità di fg. Ed ecco due risposte: (1) Per risolvere il problem, occorre introdurre l nozione di misur. Rozzmente, si procede così: i sottoinsiemi di [, b] cui è ssegnt un misur sono tutti gli insiemi che si costruiscono fcendo unioni e intersezioni numerbili di segmenti (ovvimente, segmenti contenuti in [, b]; l misur di un segmento è l su lunghezz, e l misur di insiemi più complicti costruiti con segmenti è ssegnt tendendo conto dell proprietà essenzile dell misur: l misur di un collezione di insiemi disgiunti è l somm delle misure degli insiemi. Ftto questo, si h un nozione di insieme di misur null; per esempio, un insieme numerbile di punti h misur null. Adesso l soluzione: proprimente, L 2 (, b) non v inteso come uno spzio di funzioni, m come uno spzio di clssi di equivlenz di funzioni: pprtengono ll stess clsse tutte le funzioni che differiscono l più su un insieme di misur null. In questo modo, l proprietà di positività dell norm viene ristbilit (per le clssi di equivlenz di funzioni). 7

8 (2) Questo è solo uno dei segnli che l nozione di integrle di Riemnn può dre dei problemi per le funzioni che si ottengono pssndo l completmento in norm L 2 di C[, b]. In effetti, l nozione degut per esprimere tutti gli integrli che possono intervenire nell nlisi (d esempio, nel clcolo dei coefficienti di Fourier) è quell di integrle di Lebesgue. Al rigurdo due commenti: () Per gli integrli che incontreremo in questo corso e che si incontrno nell mggior prte delle ppliczioni ll fisic (d esempio, nel clcolo dei coefficienti di Fourier), l integrle di Riemnn è sufficiente. (b) Lo studio dell teori dell misur e dell integrzionde di Lebesgue non è difficile, m richiede del tempo (lmeno 10 ore di lezione per un presentzione veloce ). In ogni cso, esul dl progrmm di questo corso. A questo punto, in L 2, l situzione illustrt precedentemente divent f(x) nlisi di Fourier c n = ϕ n (x)f(x)dx (coordinte di Fourier dell funzione in l 2 ) 8 sono uguli! sintesi di Fourier g(x) = c n ϕ n (x) (ricostruzione dell funzione in L 2 ) Nturlmente, l uguglinz v intes nel senso L 2, cioè meno di un insieme di misur null Dimostrzioni. Dimostrzione 1 (Riesz-Fisher). Per {e n } fissto, voglimo dimostrre che se {c n } è un successione di numeri tle che l serie c n 2 converge, llor esiste uno ed un solo vettore u H tle che u = c ne n e (7) c n = e n u, n = 1, 2, 3,... Incomincimo col dimostrre che l serie c n e n è convergente. Inftti, posto si h per n > m s n s m 2 = s n = n n c i e i i=1 i=m+1 c i e i 2 = n i=m+1 c i 2

9 Poiché l serie c n 2 converge per ipotesi, ne segue che lim s n s m 2 = 0 n,m e quindi, essendo lo spzio di Hilbert completo (ogni successione di Cuchy converge d un elemento dello spzio), esiste un vettore u nello spzio di Hilbert tle che lim s n = u, cioè u = c n e n Il vettore u or trovto, cus del teorem 2 dell lezione 13, soddisf le (7). Si osservi che nell ottenere questo risultto non bbimo sfruttto l completezz del sistem ortonormle {e n }. Se desso ssumimo che {e n } si completo, e quindi chiuso, è fcile mostrre che il vettore u trovto deve essere unico. Inftti, se esistessero due vettori u e u che soddisfno le (7), llor u u e n = 0 n = 1, 2, 3,... ed essendo il sistem chiuso deve essere u = u. 9