Equilibrio degli elementi articolati

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1 UNITÀ F Equilibrio egli elementi rticolti TEORI Elementi rticolti, vincoli interni e gri i libertà Elementi rticolti isosttici: rezioni vincolri rchi tre cerniere 4 Trvi Gerber 5 Elementi reticolri 6 lcolo egli sorzi elle ste UTOVLUTZIONE Mlyugin/Shutterstock Negli elementi rticolti i movimenti provocti lle orze pplicte sono impeiti, oltre che i vincoli esterni, nche vincoli interni che collegno i vri corpi rigii che ormno il sistem, limitno senz nnullre completmente le possibilità i movimento reltivo. Negli elementi rticolti isosttici le rezioni ei vincoli, interni e esterni, sono ncor eterminte semplici consierzioni i equilibrio. Due rgzzi che cmminno tenenosi per mno creno un vincolo interno l sistem, che limit le libertà i movimento reltivo tr i ue corpi. opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

2 MODULO F VINOLI, REZIONI VINOLRI ED ELEMENTI ISOSTTII. Elementi rticolti, vincoli interni e gri i libertà N L = = 6 FIGUR Elemento (inusule) costituito ue corpi rigii scollegti. Un elemento strutturle può essere costituito un sistem i n corpi rigii. Si è etto che, in generle, un elemento strutturle è costituito un sistem i n corpi rigii (unità F, prgro ). Se questi ossero scollegti ( FIGUR ), i gri i libertà srebbero tre per ogni corpo rigio componente, per un totle i n gri i libertà. Generlmente, però, i corpi rigii che ormno un sistem sono collegti tr loro meinte meccnismi i vincolo interno. () (b) FIGUR ernier intern: () elemento costituito r = corpi rigii; (b) elemento costituito r = 4 corpi rigii. I vincoli interni sono meccnismi che, collegno tr i loro i corpi rigii che ormno un elemento strutturle, ne limitno le possibilità i movimento reltivo. Il tipo i vincolo interno più iuso è lo snoo o cernier intern, che permette i corpi collegti i ruotre, m non i spostrsi, l uno rispetto ll ltro. Un cernier intern può collegre un qulsisi numero r i corpi rigii ( FIGUR, b). Impeeno ogni corpo le ue possibilità i moto rigio nelle irezioni x e y reltivmente gli ltri corpi el sistem, sottre gri i libertà ciscun corpo e r gri i libertà l sistem. Il vincolo stesso, però, non issto con l esterno, conserv l possibilità i trslre con l intero sistem nelle irezioni x e y, mnteneno gri i libertà. In conclusione, quini, un cernier intern che colleg r corpi rigii sottre ll elemento strutturle r = (r ) gri i libertà. Se un elemento possiee c i cerniere interne, esso pere c (r ) gri i libertà, i esseno l sommtori estes tutte le cerniere interne presenti. Il numero N L i gri i libertà i un elemento strutturle pino ormto n corpi rigii è n, cui v sottrtto il numero i gri libertà peruto per eetto elle cerniere interne. Si h, in generle: D N L = n c (r ) () i ove: n è il numero ei corpi rigii che costituiscono l elemento; r è il numero egli elementi i volt in volt collegti ll singol cernier. L sommtori è estes tutte le c i cerniere interne presenti. Si icono rticolti gli elementi ormti più corpi rigii, collegti tr loro cerniere interne. LIZIONI lcolre i gri i libertà N L egli elementi rticolti ssegnti. FIGUR Elemento costituito sei corpi rigii collegti quttro cerniere interne. er l elemento i FIGUR si h: n = 6 cerniere,, D: r = ; ognun sottre ll elemento (r ) = gri i libertà; cernier : r = 4; ess sottre ll elemento (4 ) = 6 gri i libertà. Sostitueno nell (), si h: N L = n ci (r ) = 6 ( ) = 6 opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

3 UNITÀ F EQUILIRIO DEGLI ELEMENTI RTIOLTI FIGUR 4 L elemento h 6 gri i libertà. D FIGUR 5 L elemento h gri i libertà. F G H E er l elemento i FIGUR 4 si h: n = 4 cernier : r = cernier : r =. Sostitueno nell (), si h: er l elemento i FIGUR 5 si h: n = cerniere, E: r = cerniere, D: r = 4 cerniere, F, H: r = cernier G: r = 5. Sostitueno nell (), si h: N L = n ci (r ) = 4 ( + 4) = 6 N L = n ci (r ) = ( ) = Si noti che questo elemento h lo stesso numero i gri i libertà i un corpo rigio.. Elementi rticolti isosttici: rezioni vincolri Il gro i libertà egli elementi rticolti isosttici è mggiore i tre e quini mggiore i tre eve essere nche il gro i vincolo esterno. Imponeno l equilibrio ell intero elemento il sistem contiene un numero i incognite mggiore el numero elle tre equzioni e non è suiciente eterminre tutte le rezioni. Non bisogn imenticre, però, che negli elementi rticolti v ssicurto non solo l equilibrio ell intero elemento (equilibrio esterno), m nche quello ei singoli corpi rigii componenti (equilibrio interno). Si possono unque scrivere tnti sistemi i equilibrio qunti sono i corpi rigii componenti l elemento strutturle, che sono pienmente suicienti eterminre tutte le rezioni vincolri, esterne e interne. In moo perettmente nlogo qunto visto per le cerniere esterne, le rezioni elle cerniere interne sono orze che pssno per le cerniere stesse con in opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

4 MODULO F VINOLI, REZIONI VINOLRI ED ELEMENTI ISOSTTII FIGUR 6 Rezioni vincolri ell cernier intern. Y = X X Y tensità e irezione incognite. oiché il numero elle componenti equivle l gro i vincolo, un cernier intern che colleg r corpi rigii h (r ) componenti i rezione. In prticolre, un cernier intern che colleg ue soli corpi rigii ( FIGUR 6) h gro i vincolo e, quini, ue sole componenti i rezione X, Y. Doveno essere ssicurto l equilibrio ll trslzione verticle e orizzontle, si h sempre: e quini: X X Y Y X = X = X Y = Y = Y er clcolre le rezioni vincolri egli elementi rticolti è possibile seguire ue metoi, concettulmente nloghi: il metoo ell risoluzione in serie, che etermin nche le rezioni elle cerniere interne; il metoo elle equzioni usilirie, che lsci ineterminte le rezioni elle cerniere interne. Occorre notre, inine, che si può operre con le risultnti (totli o przili) elle orze genti su ogni prte rigi, mi con l risultnte ell intero schem i orze ( FIGUR 7). Metoo ell risoluzione in serie È il metoo più rpio, tnto più conveniente qunto mggiore è il numero elle cerniere interne. Soppressi tutti i vincoli, esterni e interni, si impone l equilibrio interno i tutti i corpi rigii componenti. Sì q pb No q + pb q b b b FIGUR 7 Sostituzione ei crichi con l risultnte in un trve incstro-ppoggio. 4 opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

5 UNITÀ F EQUILIRIO DEGLI ELEMENTI RTIOLTI 4 kn,5 kn / m FIGUR 8 Metoo ell risoluzione in serie: si eterminno tutte le rezioni vincolri. 5 kn,00,00,00,00 () 5 kn 4 kn 5 kn X X M X,00,00,00 Y,00 Y Y Y (b) LIZIONE lcolre le rezioni vincolri ell elemento i FIGUR 8. Equilibrio interno ell str ( FIGUR 8b). Dll equzione X si ricv subito: mentre, per simmetri, si h: X = 5 kn Y = Y = kn Equilibrio interno ell str. Le orze X = X e Y = Y sono ormi note. Dl sistem onmentle ell equilibrio: X Y M( ) ossi X = X 5 + Y M risolveno, si ottengono le rezioni ei vincoli esterni: X = 5 kn Y = 7 kn M = 9 kn m Si noti che non è stto necessrio imporre l equilibrio esterno. Esso, perltro, eve sussistere e può essere utilizzto per controllre l esttezz elle soluzioni. Si può controllre, per esempio, che si soistto l equilibrio esterno ll trslzione verticle: Y. Si h, intti: Y + Y 5 4 = Metoo elle equzioni usilirie Questo metoo etermin irettmente le sole rezioni esterne; le rezioni interne possono comunque essere clcolte successivmente. opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599] 5

6 MODULO F VINOLI, REZIONI VINOLRI ED ELEMENTI ISOSTTII FIGUR 9 Metoo elle equzioni usilirie: si eterminno le sole rezioni ei vincoli esterni. 4 kn,5 kn / m 5 kn,00,00,00,00 () 4 kn 5 kn 5 kn,00,00 M X Y,00,00 Y (b) er clcolre le rezioni ell stess trve preceente, si sopprimono i soli vincoli esterni ( FIGUR 9) e si impone l equilibrio ell intero elemento, per esempio scriveno il sistem nell orm () ell unità F. Si h: X M( ) M( ) 5 X ossi M 4Y M + 4Y 4 5 erltro, eve sussistere nche l equilibrio elle singole ste. Imponeno l equilibrio ll rotzione ell st ttorno ll cernier, entrno in gioco come prim tutte le orze che giscono sull st, m non l rezione ell cernier stess, che h momento nullo intorno l punto. In prtic, si eve uguglire zero l somm ei momenti elle sole orze che sollecitno l st ossi, come si us ire, elle sole orze che preceono l cernier. Si h: ossi p M() (4) Y 4 Equzioni i questo tipo sono chimte equzioni usilirie, perché sono i iuto ll risoluzione el sistem ell equilibrio esterno. ggiungeno l (4) l sistem i equilibrio elle orze esterne, si h intti un sistem i quttro equzioni in quttro incognite, che mmette un e un sol soluzione, ientic quell etermint con il metoo ell risoluzione in serie. Risult: Y = kn X = 5 kn Y = 7 kn M = 9 kn m In lterntiv, si può imporre l equilibrio ll rotzione ell st ttorno ll cernier, uguglino zero l somm ei momenti elle sole orze che solleci 6 opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

7 UNITÀ F EQUILIRIO DEGLI ELEMENTI RTIOLTI tno l st, cioè, elle sole orze che seguono l cernier. Si h: ossi s M() (5) Y + 5 M In questo cso, elle ue possibili equzioni usilirie (4) e (5), l secon è meno conveniente perché contiene ue incognite. In generle, è necessrio scrivere tnte equzioni usilirie qunte sono le cerniere interne ell elemento rticolto.. rchi tre cerniere L rco tre cerniere è un struttur rticolt isosttic sse curvilineo. L orm ell rco (circolre, prbolic, policentric) non è rilevnte i ini el clcolo elle rezioni, che ipenono solo i crichi, ll luce l e ll recci. L recci ell rco è l quot ell sezione i chive rispetto ll line i impost ( FIGUR 0). LIZIONE Determinre le rezioni vincolri i un rco simmetrico e uniormemente cricto ( FIGUR ). Metoo elle equzioni usilirie. Soppressi i vincoli esterni ( FIGUR b) e consiert l simmetri ell elemento, il sistem i equilibrio esterno ivent: X Y = X q l = Y = line i impost sezione i chive = R R l = R rco circolre tutto sesto l rco circolre sesto ribssto r R l rco circolre sesto cuto l rco prbolico l rco policentrico FIGUR 0 rchi tre cerniere. opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599] 7

8 MODULO F VINOLI, REZIONI VINOLRI ED ELEMENTI ISOSTTII FIGUR () rco tre cerniere uniormemente cricto. (b) Rezioni ei vincoli esterni. q ql ql l/4 l/4 X X Y Y l l/ l/ () (b) L equzione usiliri: l q l l p M( ) ossi Y X 4 ornisce l soluzione: X q l 8 Le rezioni ei vincoli esterni ell rco tre cerniere uniormemente cricto vlgono: X q l = X = 8 Y q l = Y = (6) Se l rco è semicircolre, bst sostituire nelle (6) il vlore = l/ = R otteneno: X q R = X = Y = Y = q R (7) Metoo ell risoluzione in serie. Soppressi tutti i vincoli ( FIGUR ), si mettono in evienz, oltre lle componenti elle rezioni esterne X, Y, X, Y, nche le componenti elle rezioni interne X, Y (pplicte l semirco ) e X, Y (pplicte l semirco ) uguli e opposte lle preceenti. er l equilibrio esterno e per l simmetri si h: q l X = X Y = Y = ql ql X X l/4 l/4 X Y Y X Y Y FIGUR Rezioni ei vincoli interni. l/ l/ 8 opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

9 UNITÀ F EQUILIRIO DEGLI ELEMENTI RTIOLTI X X FIGUR Determinzione gric elle rezioni vincolri. ql R Y ql ql c Y R ql X X l/ l/ Vist l simmetri ello schem strutturle, è suiciente imporre l equilibrio interno i un solo semirco, per esempio. Si h: X Y M( ) ossi X = X q l Y + Y l q l l Y X 4 Sostitueno il vlore i Y e risolveno il sistem si ottengono si i vlori elle componenti elle rezioni esterne: si quelli elle rezioni interne: X q l q l = X = Y = Y = 8 q l X = X = X = Y = Y 8 Osservzione. Er preveibile che le componenti Y ossero nulle, perché qulsisi vlore iverso zero srebbe incoerente o con l simmetri o con l equilibrio. Intti, le ue orze evono vere verso opposto per rispettre l equilibrio ll trslzione verticle ell cernier. Se così osse, però, non srebbe rispettt l simmetri. Soluzione gric er rispettre l simmetri l rett zione c (rezione ell cernier intern) è orizzontle. Le rezioni elle cerniere esterne pssno quini, oltre che per le cerniere stesse, per i punti intersezione r c e le risultnti ei crichi sui ue semirchi ( FIGUR ). 4. Trvi Gerber Le trvi Gerber () possono essere einite come elementi rticolti isosttici sse rettilineo. Quno si h più i un cernier intern, è senz ltro conveniente il metoo ell risoluzione in serie. opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599] renono il nome ll ingegnere teesco Gerber (leggi Gherber). 9

10 MODULO F VINOLI, REZIONI VINOLRI ED ELEMENTI ISOSTTII 0 kn / m E F D,00,00,00,00,00 0 kn E F 0 kn 0 kn Y,00 E Y F EF 0 kn E FD 0 kn E 0 kn 0 kn F D,00,00,00,00 Y Y Y Y D FIGUR 4 Elemento rticolto: trve Gerber su quttro ppoggi. LIZIONE Nell trve Gerber i FIGUR 4 si not immeitmente che l componente X ell cernier estern è null, o non srebbe ssicurto l equilibrio ll trslzione orizzontle (i crichi sono perpenicolri ll sse). Sopprimeno le cerniere interne, l elemento rest iviso nei trtti rigii E, EF, FD, il cui equilibrio interno può essere imposto in un successione qulsisi; si può notre, però, che nel trtto centrle EF compiono ue sole incognite (Y E e Y F ), il cui clcolo è immeito per simmetri. Si h: Y E 0 = YF = kn Le ue rezioni (ormi note) vnno pplicte (con verso opposto) lle estremità ei trtti E e FD. L equilibrio interno ell elemento E imposto nell orm (): M( ) M( ) ivent 0 Y + 0, Y 0 0, 5 cui segue: Y = 7,5 kn Y =,5 kn Le rezioni Y e Y D, che si possono ricvre in moo nlogo imponeno l equilibrio 0 opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

11 UNITÀ F EQUILIRIO DEGLI ELEMENTI RTIOLTI interno el trtto rigio FD, sono in questo cso già note per l simmetri ell intero elemento strutturle. Si h: Y D = Y =,5 kn Y = Y = 7,5 kn L equilibrio esterno può essere utilizzto come prov ell esttezz elle soluzioni. er esempio, l equilibrio ll trslzione verticle è soistto perché risult: Y = Y + Y + Y + Y D 0 8 =,5 + 7, Elementi reticolri Si einisce elemento reticolre un insieme ineormbile i ste collegte tr loro meinte cerniere interne in punti etti noi ( FIGUR 5). Un elemento reticolre è ineormbile quno si comport come un corpo rigio e h, quini, lo stesso numero i gri i libertà (N L = ). Dto che, i solito, si h che re con un grn numero i noi e i ste, conviene clcolre i gri i libertà bsnosi sulle consierzioni che seguono. Si può notre ( FIGUR 6) che per collegre rigimente i primi tre noi,,, sono suicienti ste. er collegre rigimente i tre noi successivi 4, 5, 6 occorre ggiungere ogni volt lmeno ue ste. Si può quini ermre che, collegti i primi noi, per collegre gli ltri n noi occorrono ltre (n ) ste. Di conseguenz, per collegre rigimente n noi, occorre un numero minimo i ste pri : = + (n ) = + n 6 = n (8) L (8) non è suiciente grntire l ineormbilità: è nche necessrio controllre che l isposizione elle ste si eicce ( FIGUR 7). Tutti gli elementi reticolri generzione tringolre sono strettmente ineormbili. Gli elementi reticolri possono essere rigii ( FIGUR 8) o rticolti ( FIGUR 9), spzili o pini ( FIGUR 5), isosttici o ipersttici. Lo stuio, qui limitto elementi isosttici e pini, si bs su lcune ipotesi sempliictive: i noi sono cerniere perette; le ste sono scriche: tutte le orze esterne giscono solo nei noi. L elemento reticolre è così riotto un sistem i ste scriche collegte cerniere, ossi un sistem i bielle. Le rezioni ei vincoli esterni si clcolno nel moo consueto, imponeno l equilibrio elle orze esterne. LIZIONE Determinre le rezioni esterne ell trve reticolre i FIGUR 0. er clcolre le componenti elle rezioni, si può scrivere il sistem i equilibrio nell orm onmentle: X Y M( ) cui segue: ossi ( FIGUR ) X + 0 Y + Y Y4 8 X kn Y =,75 kn Y 4 = 6,5 kn opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

12 MODULO F VINOLI, REZIONI VINOLRI ED ELEMENTI ISOSTTII TRVI RETIOLRI FLDE INLINTE puntone cten RIT SEMLIE puntone puntone sett monco cten RIT ON SETTONI RIT INGLESE RIT OLONEU TRVE SHED TRVI RETIOLRI ORRENTI RLLELI corrente superiore ste i prete corrente superiore ste i prete montnte igonle montnte igonle montnte montnte igonle montnte igonle montnte corrente ineriore TRVE MOHNIÈ corrente ineriore TRVE HOWE corrente superiore ste igonli i prete corrente ineriore TRVE NEVILLE FIGUR 5 Elementi reticolri pini. opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

13 UNITÀ F EQUILIRIO DEGLI ELEMENTI RTIOLTI FIGUR 6 Generzione tringolre el corpo reticolre. FIGUR 7 Le ste, nche se in numero suiciente, possono essere mlisposte. 4 FIGUR 8 Elementi reticolri isosttici rigii. 7 n = n = 7 st sovrbbonnte n = n = 7 ORO RETIOLRE INDEFORMILE cmpo ipersttico cmpo lbile ORO RETIOLRE DEFORMILE 8 RO ENSILIN biell GRU TRVE opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

14 MODULO F VINOLI, REZIONI VINOLRI ED ELEMENTI ISOSTTII FIGUR 9 Elementi reticolri isosttici rticolti. RO RETIOLRE TRE ERNIERE TRVE RETIOLRE TIO GERER FIGUR 0 Trve tipo olonceu. 5 5 kn 0,50,50 b c e g 4 kn,00,00,00 8,00 FIGUR Rezioni ei vincoli esterni. 5 5 kn 0,50,50 b c e g 4 X kn Y Y4,00,00,00 8,00 er clcolre le rezioni interne, ette sorzi elle ste, si eve ricorre (prgro ell unità F), che l rezione ell biell è un orz che h l stess irezione ell congiungente le ue cerniere, ossi l stess irezione ell st. on rierimento ll FIGUR 0, si suppong i seprre ll trve reticolre le ue ste c e : compiono le rezioni interne, cioè orze che le ste stesse e il resto ell trve si trsmettono reciprocmente ttrverso i noi. 4 opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

15 UNITÀ F EQUILIRIO DEGLI ELEMENTI RTIOLTI S c FIGUR untoni e tirnti: () sorzi trsmessi i noi lle ste; (b) sorzi trsmessi lle ste i noi. S c c st compress S st tes () 5 S 5 b S c S c e S S g 4 (b) Le ste seprte ll trve ( FIGUR ) sono soggette lle orze S c e S che, equivleno ll prte soppress ell trve, rppresentno gli sorzi trsmessi i noi lle ste. er l equilibrio ell st c, i ue sorzi S c, trsmessi ll st i noi e 5, evono vere intensità ugule e oppost. Intensità ugule e oppost evono vere nche gli sorzi S, trsmessi ll st i noi e. ontempornemente, l trve privt elle ste c e ( FIGUR b) è soggett lle zioni S c e S che, equivleno lle ste soppresse, rppresentno gli sorzi trsmessi lle ste i noi. Gli sorzi S c comprimono l st c; gli sorzi S tenono l st. L st c, compress, si ice puntone, l st, tes, si ice tirnte. Fceno rierimento ll trve, si ice che un st è compress quno lo sorzo entr nel noo; che è tes, quno lo sorzo esce l noo. onvenzionlmente, si us ttribuire segno positivo gli sorzi i trzione e segno negtivo gli sorzi i compressione. 6. lcolo egli sorzi elle ste Metoo ell equilibrio ei noi Il moo più spontneo per clcolre gli sorzi nelle ste consiste nell imporre contempornemente l equilibrio i tutti i noi, ognuno ei quli è soggetto gli sorzi elle ste in esso concorrenti (che hnno intensità incognit, m irezione not, coinciente con quell elle ste) e eventuli crichi (noti). er ogni noo il sistem i equilibrio si riuce lle ue equzioni i equilibrio ll trslzione. Intti, l equilibrio ll rotzione è utomticmente soistto perché tutte le orze pplicte in un noo sono concorrenti. Se l elemento è rigio e isosttico, il sistem risolvere è unque costituito n equzioni in + incognite: gli sorzi nelle ste e le tre componenti i rezione ei vincoli esterni. Esseno, per l (8): n = + il sistem h tnte incognite qunte sono le equzioni e mmette quini un e un sol soluzione. opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599] 5

16 l MODULO F VINOLI, REZIONI VINOLRI ED ELEMENTI ISOSTTII oiché però il numero elle incognite (e quini elle equzioni) può essere molto elevto, questo proceimento concettulmente semplice può incontrre notevoli iicoltà opertive i risoluzione. onviene quini equilibrre in successione noi in cui concorrono non più i ue sorzi incogniti. osì proceeno, ogni noo viene risolto con ue sole equzioni i equilibrio: X Y Il sistem può sempre essere impostto supponeno che tutte le ste sino puntoni e, quini, che tutti gli sorzi entrino nei noi. Un risultto positivo conermerà che l st è eettivmente compress; un risultto negtivo segnlerà che l st è invece un tirnte. LIZIONE lcolre gli sorzi nelle ste ell trve i FIGUR. Noo ( FIGUR 4): S Y Sb L st è scric; l st b è un puntone e il suo sorzo vle: S b = Y = Noo ( FIGUR 4b). er scrivere le equzioni i equilibrio lo sorzo nell st inclint c v scomposto nelle irezioni x e y. Detto α l ngolo ormto ll st con l orizzontle, si h: S cx = S c cos α S cy = S c sen α senso i successione elle orze = 4 = 5 = = / 6 = / b c e h 4 h 5 i e g g c 6 b l l l l FIGUR Trve tipo Mohniè. 6 successione ei noi: opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

17 UNITÀ F EQUILIRIO DEGLI ELEMENTI RTIOLTI FIGUR 4 Equilibrio ei noi. S b S b S c S cy S e S S S cx 0 S Y / S c S cx (c) S cy () (b) S S h S h 4 S h S gx S e S gy S g S i () (e) Esseno in questo cso α = 45, risult: Il sistem i equilibrio ivent: Scx = Scy = Sc S Scx = S Sc Scy + Sb = Sc + cui segue S S c = = + oiché lo sorzo ell st c risult negtivo, quell st non è, come si er supposto, un puntone, m un tirnte. Noo 0 ( FIGUR 4c). Si h: Scx S = S Scy Se = + Se cui segue: S = (l st è un tirnte) Se = + ( l st e è un puntone) Noo ( FIGUR 4 ). Si h: S h S gx + S = S h S g + Se + Sgy = + Sg opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599] 7

18 MODULO F VINOLI, REZIONI VINOLRI ED ELEMENTI ISOSTTII Un ltr possibile successione può essere: o nche: cui segue: Sg = (l st g è un tirnte) Sh = ( l st h è un puntone) Noo 4 ( FIGUR 4e). L simmetri el noo e l llinemento elle ste orizzontli suggeriscono subito che: S h = S h S i = (l st i è un puntone) roceimento grico Occorre imporre in ogni noo l equilibrio el sistem i orze concorrenti, ormto gli sorzi nelle ste (i cui l mssimo ue incogniti) e eventuli orze esterne (crichi o rezioni vincolri). oiché si eve imporre il solo equilibrio ll trslzione, è suiciente imporre che si chiuso il poligono elle orze. er clcolre gli sorzi i tutte le ste i un generico elemento reticolre (per esempio, lo stesso i FIGUR 5), è obbligtorio inizire un noo nel qule concorrono non più i ue ste e proseguire vi vi con noi nei quli non concorrono più i ue ste i sorzo incognito. Sostituiti i vincoli esterni con le rezioni, l trve è soggett l sistem equilibrto elle orze esterne, 5, R, R 4 ( FIGUR 6). er clcolre le rezioni interne imponeno l equilibrio ei noi ( FIGUR 7), si può inierentemente inizire l noo o l noo 4, nei quli concorrono solo ue sorzi incogniti. Un possibile successione ei poligoni i equilibrio può essere (): kn 0,50,50 b c e g 4 kn,00,00,00 8,00 FIGUR 5 Trve tipo olonceu. 5 5 R Y b c e g R 4 = Y 4 X 4 FIGUR 6 Sistem equilibrto elle orze esterne. scl lunghezze: /00 8 opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

19 UNITÀ F EQUILIRIO DEGLI ELEMENTI RTIOLTI F R Y X S NODO S b F S S NODO S c I F S S g NODO I S e FIGUR 7 oligoni i equilibrio ei noi. () (b) (c) F S b R 4 S S c S g I S Se 5 scl orze: cm = kn NODO 4 () NODO 5 (e) Il sistem elle orze concorrenti nel noo è costituito : l orz not R (o le sue componenti X, Y ); gli sorzi incogniti S e S b. L orz not R v scompost ( FIGUR 7) nelle irezioni egli sorzi incogniti S e S b ossi nelle irezioni elle ste e b. Dl punto inizile I el vettore R v trccit l prllel ll st (o ll st b) e, l punto inle F, l prllel ll st b (o ll st ). Gli sorzi S e S b restno eterminti, in qunto: i mouli si ottengono moltiplicno per il ttore i scl l lunghezz ei segmenti orientti che li rppresentno; i versi sono eterminti l senso i R, che stbilisce il senso i percorrenz el poligono elle orze. er stbilire se le ste e b sono tese o compresse, si procee come segue: immginno i trsportre il vettore S sull st, si vee che lo sorzo esce l noo, e quini l st è un tirnte. Esegueno l stess operzione con lo sorzo S b, si vee che esso entr nel noo, e quini l st b è un puntone. Si può or pssre equilibrre il noo ( FIGUR 7b), in cui concorrono: le orze note e S ; i ue sorzi incogniti S c e S. Dl poligono i equilibrio el noo si s che lo sorzo S el tirnte esce l noo ; S eve uscire nche l noo. ssno un noo ll ltro, lo sorzo elle ste cmbi i verso. Disposte test-co le orze note el noo, si mn l prllel ll st c ll estremo inizile I e l prllel ll st ll estremo F el poligono elle orze note (o vicevers). Restno eterminti gli sorzi S c e S ; si l st c si l st sono tese, perché i rispettivi sorzi escono l noo. Si può or pssre l noo ( FIGUR 7c), ove concorrono l orz not S e le orze incognite S e e S g. Le ste e e g risultno entrmbe tese. Imponeno l equilibrio el noo 4 ( FIGUR 7) si etermin lo sorzo incognito S, che risult i compressione. opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599] 9

20 MODULO F VINOLI, REZIONI VINOLRI ED ELEMENTI ISOSTTII Nel noo 5 ( FIGUR 7e) concorrono cinque orze ormi tutte note: il poligono elle orze, meno egli inevitbili errori grici, eve risultre chiuso. Il quro rissuntivo elle rezioni ell reticolre ssegnt è rissunto nell TELL. TELL Rezioni esterne ste Sorzi nelle ste (kn) Tirnti 6,5 untoni b 7,90 X kn c 7,0 Y =,75 kn 6,67 Y 4 = 6,5 kn e,70 0,70 g 8,80 Metoo i remon Il metoo i remon () costituisce un interessnte rzionlizzzione el metoo grico ell equilibrio ei noi. Quest ultimo h, intti, un eviente svntggio: lo sorzo i ogni st, clcolto con il poligono i equilibrio i un noo, eve essere riisegnto (cmbito i segno) nel poligono i equilibrio ell ltro noo cui l st è collegt. I risultti srebbero più precisi e l risoluzione più veloce se si potessero riunire tutti i poligoni i equilibrio in un unic igur. Si immgini unque, un volt isegnti i poligoni i equilibrio i tutti i noi, i sovrpporre ( FIGUR 8) l poligono elle orze il poligono elle orze, ceno coinciere i lti S b che ppiono in entrmbi. ll igur così ottenut si sovrppong il poligono elle orze, ceno coinciere i lti S che compiono in entrmbi. roceeno, con lo stesso criterio, ll sovrpposizione i tutti i poligoni i equilibrio si ottiene l FIGUR 9, in cui l scl è stt roppit per migliorre l leggibilità. Dl nome el mtemtico Luigi remon (80-90). L igur che riunisce i poligoni i equilibrio i tutti i noi i un elemento reticolre è ett igrmm cremonino (o semplicemente cremonino) egli sorzi elle ste. S S Sb Sb R R S c S c R 4 5 S S S S e S g scl orze: cm,5 kn scl orze: cm,5 kn FIGUR 8 Unione ei poligoni i equilibrio ei noi e. FIGUR 9 Unione i tutti i poligoni i equilibrio. 0 opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

21 UNITÀ F EQUILIRIO DEGLI ELEMENTI RTIOLTI 5 5 b c e g 4 scl orze: cm,5 kn R R R 4 5 S scl lunghezze: /00 S b S c R 4 S S S e S g poligono elle orze esterne Si noti che: si è utomticmente ormto il poligono (chiuso) elle orze esterne; ogni sorzo risult contrssegnto un oppi recci, che rene l igur ssi poco chir. er leggere con chirezz un cremonino è inispensbile cmbire l rppresentzione vettorile egli sorzi, conveneno i isegnre, per esempio: in line ine i segmenti rppresenttivi egli sorzi i trzione; in line spess i segmenti rppresenttivi egli sorzi i compressione. Nell FIGUR 0 sono rppresentti l trve reticolre ssegnt e il reltivo cremonino. Il poligono elle orze esterne è isegnto in line in colore e, per mggiore chirezz, le orze che lo compongono sono riportte ll esterno. FIGUR 0 Trve reticolre e cremonino elle orze. LIZIONE Trccire il cremonino reltivo ll trve i FIGUR. Trovte le rezioni ei vincoli esterni (4), si isegn il poligono elle orze esterne e si inizi l costruzione el cremonino. er evitre che quest si blocchi, è importnte pssre un noo ll ltro percorreno il contorno ell reticolre in un senso preissto. Si nel poligono elle orze esterne si nei poligoni i equilibrio ei noi, le orze ovrnno susseguirsi nello stesso orine. Si può scegliere, per esempio, il senso estrogiro per l successione ei noi e elle orze. Nel noo si evono equilibrre nell orine i vettori concorrenti Y, S b, S. S è chirmente nullo, perché nessun ltro vettore orizzontle concorre nel noo; Y e S b, veno l stess rett zione, evono vere intensità uguli e opposte. oiché S b entr nel noo, è uno sorzo i compressione e v isegnto con line spess. ercorreno l struttur in senso estrogiro, si incontr per primo il noo, ove concorrono nell orine i vettori S b,, S, S c. Si consierno pprim le orze note, che si trovno già isegnte nel giusto orine estrogiro: per prim S b, entrnte nel noo ; poi sul poligono elle orze. Dl punto inle i si mn l prllel ll st ; l punto inizile i S b si mn l prllel ll st c. L intersezione tr le ue rette etermin gli sorzi nelle ste c e esse prllele. S c, che esce l noo, è uno sorzo i trzione e v isegnto in line ine; S, che entr nel noo, è uno sorzo i compressione e v isegnto in line spess. 4 er simmetri si h subito: X Y = Y 7 = opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

22 l MODULO F VINOLI, REZIONI VINOLRI ED ELEMENTI ISOSTTII senso i successione elle orze = 4 = 5 = = / 6 = / b c e h 4 h 5 i e g g c 6 b poligono elle orze esterne S S b l l l l successione ei noi: S h S e S c Y = S i S g 4 S g S /S S h S e S c 5 Y 7 = S S b 6 FIGUR Trve tipo Mohniè e cremonino elle orze. TELL Rezioni ei vincoli esterni ste TIrnti Sorzi nelle ste untoni, st scric b, b X c, c Y =, Y 7 = e, e, g, g h, h i opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

23 l UNITÀ F EQUILIRIO DEGLI ELEMENTI RTIOLTI Sempre proceeno in senso estrogiro si incontr il noo, ove però concorrono ue orze note (S e ) e ben tre incognite (S h, S g, S e ). Si è costretti, quini, pssre l noo 0 e successivmente i noi e 4. Equilibrto il noo 4, non è necessrio proceere, perché gli sorzi elle rimnenti ste sono noti per l simmetri ell trve. Il quro rissuntivo elle rezioni ell reticolre ssegnt è riportto nell TELL. 5 Wilhelm Ritter, mtemtico svizzero (847-88). Metoo ell equilibrio elle ste Questo proceimento, sempre bsto sull equilibrio, eriv ll possibilità i sezionre, con prticolri criteri, l elemento reticolre in ue prti e i imporre l equilibrio elle singole prti. on questo metoo si può clcolre, i volt in volt, lo sorzo in un sol st. Si suppong per esempio i volere eterminre lo sorzo nell st ell trve reticolre el prgro preceente ( FIGUR ). Dopo vere clcolto le rezioni ei vincoli esterni, si tgli l trve secono un prticolre sezione S, ett sezione i Ritter (5). Si ice sezione i Ritter un sezione che tgli contempornemente l st oggetto i clcolo e ltre ue ste. Le tre ste tglite non evono essere concorrenti. Soppresse le tre ste tglite (in questo cso, g, h) l trve rest ivis in ue prti ognun elle quli eve restre in equilibrio se lle ste soppresse si sostituiscono gli sorzi trsmessi queste i noi ( FIGUR ). È possibile imporre seprtmente l equilibrio ll rotzione e l equilibrio ll trslzione. Equilibrio ll rotzione L equilibrio ll rotzione eve sussistere rispetto qulsisi punto el pino; se però il punto è scelto con ccortezz, lo sorzo i un elle tre ste tglite ll sezione i Ritter viene immeitmente eterminto. Imponeno l equilibrio ll rotzione i uno ei ue tronchi i trve rispetto l polo i un st, rest eterminto lo sorzo ell st stess. Si einisce polo i un st il punto intersezione tr le ltre ue ste tglite lle sezione i Ritter. / S / h 4 h 5 6 b c e g i Y Y 7 l l l l FIGUR Sezione i Ritter. opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

24 l MODULO F VINOLI, REZIONI VINOLRI ED ELEMENTI ISOSTTII FIGUR Le ue prti ell trve evono essere in equilibrio. prte sinistr prte estr / / S h S h b c e S g S g i 0 S S Y Y 7 l l l l er esempio, il polo ell st coincie con il noo. Scriveno l equzione: M() per l prte estr o sinistr ell trve, si etermin lo sorzo S. L equzione, intti, contiene l sol incognit S perché gli sorzi elle ste g e h, pssno entrmbi per il punto, hnno momento nullo. er l prte sinistr ell struttur, si h: cui segue: Y l l S l S = er l prte estr (6): cui ncor: l + l + l Y l + S l = 7 0 S = Il segno positivo ello sorzo conerm che il verso, ssegnto in moo csule llo sorzo S, è quello giusto. Visto, inoltre, che tle sorzo esce l noo (l noo 0 se si lvor con l prte sinistr ell trve, l noo 9 se si lvor con l prte estr), S è uno sorzo i trzione e l st è un tirnte. Si consieri, nell stess sezione i Ritter, l st h e il suo polo 9. Lo sorzo S h si può clcolre imponeno, per esempio, l equilibrio ll rotzione ell prte sinistr ell reticolre: M(9) 6 onviene chirmente imporre l equilibrio ell prte i reticolre che contiene meno orze. 4 Sostitueno, si h: Y l l l S h l S h + cui segue: = opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

25 st st st st UNITÀ F EQUILIRIO DEGLI ELEMENTI RTIOLTI Il segno negtivo cpire che il verso scelto per S h è sbglito; entrno nel noo, S h è uno sorzo i compressione e l st h è un puntone. / Equilibrio ll trslzione S h Il metoo ell equilibrio ll rotzione ce in ietto quno il polo ell st è ll ininito. Voleno, per esempio, clcolre lo sorzo nell st g, si vee che il suo polo si trov ll ininito, perché le ltre ue ste tglite ll sezione i Ritter (h e ) sono prllele tr loro. In questi csi si è costretti imporre l equilibrio ll trslzione. Scomposto lo sorzo S g nelle irezioni x e y ( FIGUR 4), si può imporre l equilibrio ll trslzione verticle: Y b Y c e 0 S g S gx S S gx = S g cos α S gy = S g sen α α S gy onsierno l prte sinistr ell trve, si h: + Sg sen α e quini + S g cui segue: FIGUR 4 Lo sorzo S g v scomposto secono gli ssi crtesini. Sg = (l st g è un tirnte) Imporre l equilibrio ll trslzione è conveniente nche quno il polo, pur non trovnosi ll ininito, ce uori l oglio ( FIGUR 5) o quno è comunque lborioso eterminre nliticmente l istnz tr un st e il suo polo ( FIGUR 6). 5 S S S S polo 6 S FIGUR 5 Il polo elle ste igonli ce uori l oglio. 0,50,50 =? polo st,00,00,00 opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599] 8,00 FIGUR 6 L istnz ell st l suo polo è i lborios eterminzione. 5

26 MODULO F VINOLI, REZIONI VINOLRI ED ELEMENTI ISOSTTII utovlutzione. Veriic elle conoscenze Quesiti vero/lso Quesiti rispost multipl (iù i un rispost può essere giust) Un cernier intern toglie sempre gri i libertà Il sistem i equilibrio è vlio per gli elementi rigii e per gli elementi rticolti L rezione i un cernier intern h componenti X e Y 4 Le equzioni usilirie iutno il sistem ell equilibrio esterno risolvere gli elementi rticolti 5 Un rco tre cerniere è ipersttico 6 Un trve Gerber può essere isosttic o ipersttic 7 L trve she è correnti prlleli V F 4 Un cprit semplice è simmetric b è ineormbile c h le ste inclinte (puntoni) compresse h l st orizzontle (cten) tes 5 Nelle cerniere esterne sono impeiti i movimenti i trslzione verticle b trslzione orizzontle c rotzione sono impeiti tutti i movimenti 6 In un rco tre cerniere cricto simmetricmente le rezioni orizzontli elle cerniere esterne sono uguli b sono simmetriche c umentno l iminuire ell recci umentno ll umentre ell recci 8 Un reticolre generzione tringolre è un sistem rticolto, m ineormbile 9 Un puntone è un st tes Quesiti rispost pert 0 I puntoni sono sempre verticli 7 Descrivi lmeno ue tipi i rco tre cerniere, inicno luce, recci, sezioni i impost e sezioni i chive ( pr. ). Quesiti rispost singol (Un sol rispost è giust) 8 Descrivi tre tipi i trve reticolre cprit e tre tipi i trve reticolre correnti prlleli ( pr. 5). Un sezione i Ritter tgli ue ste concorrenti b tgli ue ste non concorrenti c tgli tre ste concorrenti tgli tre ste non concorrenti 9 Descrivi, per un stess trve Gerber, il metoo ell risoluzione in serie e il metoo elle equzioni usilirie; ecii qule ei ue metoi è più pproprito per l tu trve ( pr. ). er eterminre le rezioni vincolri i un trve Gerber bst consierre che le rezioni interne sono nulle b bst imporre l equilibrio elle orze esterne c bst scrivere le equzioni usilirie si eve imporre l equilibrio elle orze esterne e scrivere le equzioni usilirie Nelle cerniere interne è consentito il movimento reltivo i trslzione verticle b trslzione orizzontle c rotzione nessun movimento reltivo è consentito. Veriic elle competenze l Esercizi e problemi 0 Stbilire se gli elementi rticolti ssegnti sono iso- sttici o ipersttici. In quest ultimo cso si clcoli il gro i iperstticità. 9 Determinre le rezioni vincolri egli elementi ssegnti. 0 Determinre lo sorzo ell st ell trve olonceu. Determinre gli sorzi in tutte le ste ell trve she ssegnt. 6 opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

27 UNITÀ F EQUILIRIO DEGLI ELEMENTI RTIOLTI 0 UTOVLUTZIONE Trve rticolt Trve reticolre,5 kn / m kn kn,00 5,00 Si noti che l elemento è un biell 4,00 4 5,00,00,5 kn / m kn D,00,00,00 kn,8 kn D kn / m kn / m kn / m,5 kn / m E F D G E F D,50,00,00,0,50,00,00,00,00,0,90,00 E (SIMM), FD (SIMM) EF EF (SIMM) GE, FD opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599] 7

28 l l MODULO F VINOLI, REZIONI VINOLRI ED ELEMENTI ISOSTTII UTOVLUTZIONE 0,50, kn b c e 4 g 0 kn,00,00,00 8, kn 6 kn 4 6 kn,00 e g b c 6,00,00 i,00 h 5,00,00,00 5 g 4 b e N c e 4 e 4 b c g h b c g h 6 i 5 6 i 5 l l l l trve Mohniè trve Howe 6 7 b c b e c α α l l/ l/ l 8 opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

29 UNITÀ F EQUILIRIO DEGLI ELEMENTI RTIOLTI ontrollre, imponeno l equilibrio elle ste, gli sorzi nelle ste c, e,, g ell trve ell esercizio 0. Determinre gli sorzi in tutte le ste ell trve Neville ssegnt. 4 ontrollre, imponeno l equilibrio ttrverso un sezione i Ritter, che gli sorzi nelle ste c,, ell trve ell esercizio corrisponno ll soluzione preceente. 5 Determinre gli sorzi in tutte le ste ell trve Mohniè ssegnt. 6 Determinre gli sorzi in tutte le ste ell trve Howe ssegnt. Si noti l ierenz i segno tr gli sorzi nelle ste igonli ell trve Mohniè e ell trve Howe. 7 Si ricvino gli sorzi nelle ste,, e con il metoo ell equilibrio elle ste. 8 Determinre gli sorzi elle ste ell cprit semplice. 9 Determinre gli sorzi elle ste ell cprit ssegnt. Lbortorio inormtico TT Moulo D Sorzi nelle ste elle trvi reticolri moellte come sistemi i bielle er il clcolo egli sorzi nelle ste i trvi pine reticolri è necessrio servirsi el moulo D. Il progrmm, estinto ll nlisi e lle veriiche i strutture triimensionli, è in questo cso ecismente sottoutilizzto; molti ei ti richiesti, i conseguenz, possono essere ignorti in quest se, ssegnno lle ste un sezione qulsisi e un qulsisi mterile omogeneo. Sono isponibili ue menu: il primo (isegno) contiene i comni per l moellzione ell struttur; il secono (clcolo e veriiche) contenente i comni per l nlisi, l lettur e l stmp ei risultti. Inserimento ei ti Il comni el menu isegno, tipici ell moellzione gli elementi initi (v. ronturio), sono i seguenti. noi, per einire i punti che costituiscono gli estremi elle ste. ste, per isegnre puntoni e tirnti. È nche possibile, in lterntiv, impostre irettmente tr ue noi vri moelli reticolri, utilizzno l pposit icon el menu. vincoli, per impeire o liberre possibilità i movimento ei noi o elle ste. Si istinguono: vincoli esterni, che nno rierimento rotzioni e spostmenti el noo; vincoli interni, che nno rierimento rotzioni e spostmenti egli estremi elle ste. In entrmbi i csi le rotzioni e gli spostmenti sono rieriti lle irezioni x, y, z ell tern globle i rierimento, sempre inict vieo. vincoli esterni. Quno si vincol terr, si cre utomticmente un incstro peretto tr il noo e l esterno (tutte le cselle sono spuntte). er einire un vincolo iverso si eve togliere il segno i spunt el movimento che si vuole consentire. er esempio, per ottenere l ppoggio isso nel pino x-z si eve liberre l rotzione ttorno y; per ottenere l ppoggio scorrevole, si eve liberre l rotzione ttorno y e l trslzione x. er non risultre lbile nello spzio, un struttur pin con 6 gri i libertà eve posseere lmeno 6 gri i vincolo opportunmente isposti. vincoli interni. Quno vengono isegnte ue o più ste convergenti in un noo, utomticmente si cre un incstro interno. er moellre un cernier intern che colleg n ste senz crere lbilità, si evono svincolre gli estremi i n ste, proceeno come nel cso ei vincoli esterni. oncettulmente equivlente l vincolo interno è il comno svincolo interno, che costituisce il moo più semplice i crere un moello reticolre i ste truss (bielle). In questo cso, però, i movimenti sono rieriti ll tern locle: l irezione x coincie con l sse ell st, mentre y e z, perpenicolri x, sono iretti secono gli ssi principli inerzi ell sezione; l tern locle può essere visulizzt cliccno sull st con il tsto sinistro el mouse. L conigurzione i incstro peretto tr le ste h tutte le cselle vuote; per pssre un st bem un st truss è suiciente liberre l rotzione ttorno ll sse z i entrmbi gli estremi ell st, spuntno l csell M z. crichi. Il moo più semplice per introurre un crico nole è quello i seguire l seguente sequenz: clic sul noo selezionto impost crichi noi ggiungi crico nole vlore [ ] irezione ( z). lcolo e lettur ei risultti on i comni el menu clcolo e veriiche si richiee il clcolo ell struttur, che può essere eseguito con vrie molità (volume ). Ignorno qulsisi ltr richiest, si procee secono l sequenz: clcol nlisi sttic ok clcol Nel pnnello i estr, opo vere scelto metoo i combinzione ei crichi t, si possono visulizzre gli sorzi nelle ste (igrmmi elle ste zione ssile N). Vlori negtivi inicno sorzi i compressione, rppresentti in blu (le ste sono puntoni); vlori positivi inicno sorzi i trzione, rppresentti in rosso (le ste sono tirnti). UTOVLUTZIONE opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599] 9

30 MODULO F VINOLI, REZIONI VINOLRI ED ELEMENTI ISOSTTII UTOVLUTZIONE Risultti ei quesiti vero/lso F, V, V, 4V, 5F, 6F, 7F, 8V, 9F, 0F. Risultti ei quesiti rispost singol,, c. Risultti ei quesiti rispost multipl 4bc, 5b, 6bc. Risultti ell veriic elle competenze 0 L elemento è un volt ipersttico L elemento è isosttico X = X,5 kn ; Y,6 kn ; Y,6 kn X ; Y =,5 kn ; X = kn ; Y = 4,5 kn 4 X = kn ; Y,5 kn ; Y,5 kn 5 Y = 6,5 kn ; X ; Y =,5 kn ; M =,5 kn m orrio 6 X ; Y =,5 kn ; Y = 7,5 kn ; Y = 5,675 kn ; Y D =,5 kn 7 X ; Y,5 kn ; Y = 7,67 kn ; Y =,4 kn ; Y D =,6 kn 8 S = 6,67 kn (i trzione) 9-0 Rezioni ei vincoli esterni: Y = 7, kn ; X 5 = 6,0 kn ; Y 5 = 4,8 kn ste: tirnti (t), puntoni (p) e vlori egli sorzi in kn: = t, 4,40; b = p, 6,0; c = st scric; = t, 4,40; e = p, 6,7; = p, 9,40; g = p,,00; h = p, 5,7; i = t, 8,40 - Rezioni ei vincoli esterni: Y = 4 N ; X 00 N ; Y 4 = 4 N ste: tirnti (t), puntoni (p) e vlori egli sorzi in N: = t, 750; b = t, 500; c = p, 500; = p, 500; e = p, 500; = t, 500; g = t, 50 Rezioni ei vincoli esterni: Y = ; Y 5 = ste: tirnti (t), puntoni (p) e vlori egli sorzi:, i = ste scriche b, h = p, ; c, g = t, ;, e = p, ; = p, 4-5 Rezioni ei vincoli esterni: Y = ; Y 5 = ste: tirnti (t), puntoni (p) e vlori egli sorzi:, i = t, ; b, h = p, ; c, g = p, ;, e = ste scriche = st scric 6 Rezioni ei vincoli esterni: Y = / ; Y = / ste: tirnti (t), puntoni (p) e vlori egli sorzi: = t, / tg α; b, c = p, / sen α 7 Rezioni ei vincoli esterni: Y = / ; Y 5 = / ste: tirnti (t), puntoni (p) e vlori egli sorzi:, = t, / tg α; b, c = p, / sen α; e = st scric 0 opyright 0 Znichelli eitore S.p.., ologn [599]

F (r(t)), d dt r(t) dt

F (r(t)), d dt r(t) dt Cmpi vettorili Un cmpo vettorile è un funzione vlori vettorili F : A R, con A R n, ove in questo cso l imensione el ominio e el coominio è l stess. F ( 1, 2,..., n ) (f 1 ( 1, 2,..., n ), f 2 ( 1, 2,...,

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