CBM a.s. 2012/2013 PROBLEMA DELLE SCORTE

Transcript

1 CBM a.s. 212/213 PROBLEMA DELLE SCORTE Chiamiamo SCORTA ogni riserva di materiali presente all interno del sistema produttivo in attesa di essere sottoposto ad un proesso di trasformazione o di distribuzione. Nella gestione delle sorte, e una inertezza tipia della domanda, e si era di individuare un modello he meglio approssima il futuro assorbimento del merato. Chiamiamo Periodo (T) l intervallo di tempo he interorre fra due suessivi rifornimenti. Le ipotesi he utilizziamo per trasformare un problema in ondizioni di inertezza in un problema in ondizioni di ertezza sono: 1. Il onsumo totale nell aro di tempo onsiderato è fisso (); 2. Il prezzo non varia nell aro di tempo onsiderato (p); 3. Il onsumo in ogni periodo è ostante (in ogni periodo si ina x); 4. Il onsumo in ogni periodo è uniforme (in ogni periodo, il onsumo è proporzionale al tempo, per ui la giaenza media della mere in magazzino è x/2); 5. Il rifornimento è istantaneo; 6. Non è rottura di stok (il magazzino non rimane vuoto osì non si sontentano i lienti o non si interrompe il proesso produttivo); 7. Non è sovrapposizione di stok (lo stok arriva quando la sorta preedente è finita, osì non si rishia di eedere rispetto alla apaità di magazzino). Il modello he rappresenta il problema di gestione delle sorte on le ipotesi preedenti è il Modello di Wilson (o Modello a denti di sega) Giaenza x x/2 T 2T 3T 4T t (grafio1) Siome per le inazioni si sostengono osti, sarebbe preferibile fare pohi ini di grande quantità, ma per poter onservare la mere in magazzino si sostengono spese (spese di manutenzione) per ui sarebbe preferibile effettuare ini poo onsistenti. 1

2 CBM a.s. 212/213 Il Costo Totale di gestione delle sorte, omprensivo anhe dei osti di aquisto, è C T = p* + *(/x) + mag *(x/2), x> (Se oorre tener onto della apienza C del magazzino, sarà da rispettare il vinolo < x C) per p si intende il prezzo di aquisto del materiale, on si india l assorbimento totale nell aro di tempo onsiderato, on e mag si indiano rispettivamente il osto unitario di inazione e quello unitario di magazzinaggio, on x si india il lotto d aquisto. N inazioni: /x; se l aro di tempo è l anno, T = 365/(N di inazioni) Se indihiamo on la quantità di mere neessaria per un dato intervallo di tempo, il numero di inazioni oorrenti, essendo x la quantità di mere inata ogni volta, è dato da /x Se ogni inazione omporta una spesa fissa S, la spesa per tutte le inazioni da effettuare in quell intervallo di tempo è * /x. Per alolare le spese di magazzino osserviamo he, avendo supposto un onsumo uniforme, il valore medio della sorta è uguale alla media aritmetia fra la giaenza massima x e la giaenza minima, ioè (x + )/2 Le spese di magazzinaggio si onsiderano proporzionali alla sorta media x/2 e indiato on s il osto di magazzino per ogni unità di sorta nello stesso intervallo di tempo esse risultano mag * x/2 Il Problema delle sorte onsiste nel determinare la quantità di mere da inare ogni volta in modo da rendere la spesa omplessiva minima. Le urve dei osti di gestione delle sorte, senza tener onto del osto di aquisto della mere, C T = *(/x) + mag *(x/2), x> possono essere rappresentati grafiamente ome evidenziato nel grafio 2. Costi delle sorte osto 1 Ctot C quantità inata (grafio 2) 2

3 CBM a.s. 212/213 Chiamiamo Lotto Eonomio di Aquisto la quantità da inare ogni volta per rendere minima la funzione dei Costi totali. La funzione eonomia da rendere minima è il osto omplessivo: y = p* + *(/x) + mag *(x/2), x> lim x y quindi l asse delle y è un asintoto vertiale da destra verso l alto; esiste anhe un asintoto obliquo verso destra: y = ( mag /2)*x + p* 1 Metodo risolutivo Per determinare il minimo del osto y annulliamo la derivata prima: y = - */(x 2 ) + mag /2 y = per x min = 2 (sartiamo la soluzione negativa) Se oorre tener onto della apienza C del magazzino e < x min C, il LEA è quindi 2 2 x min = e il osto minimo è C tot ( ) = 2 mag + p*; se invee x min > C il LEA si avrà per x = C in quanto la funzione dei osti è ontinua e nell intervallo (,C] è monotona deresente, quindi ammette un punto di minimo nel seondo estremo C. 2 Metodo risolutivo Per determinare il minimo del osto y oorre onsiderare le due funzioni in ui si può somporre la funzione C T = *(/x) + mag *(x/2), x>. y 1 = mag *(x/2), x> e y 2 = *(/x),, x>. Come si vede nel grafio 2, il Minimo è il punto di intersezione fra le due urve grafio di y 1 ey 2. Le oinate del punto di minimo si ottengono uguagliando le espressioni algebrihe delle due funzioni : mag *(x/2) = *(/x). Risolvendo l equazione trovata e sartando la soluzione negativa, si ottiene di nuovo x min = 2 e y min = y( 2 ) = 2. mag 3

4 CBM a.s. 212/213 Se oorre tener onto della apienza C del magazzino e < x min C, il LEA è quindi x min = 2 e il osto minimo è C tot ( 2 ) = 2 + p*; se invee x min > C il LEA mag si avrà per x = C in quanto la funzione dei osti è ontinua e nell intervallo (,C] è monotona deresente, quindi ammette un punto di minimo nel seondo estremo C. Il non aver onsiderato i osti di aquisto dei beni non modifia il Punto di minimo, perhé tali osti sono una ostante additiva (la ui derivata vale zero) ma modifia il Valore minimo dei osti. Per trovare il valore minimo dei Costi totali è suffiiente aggiungere al valore y min trovato la quantità p* (grafio3) 2* C * xmin C=Capaità Massima del Magazzino Nel grafio 3: L.E.A. = 2* C * xmin perhé C(x min ) < C(C). 4

5 CBM a.s. 212/ C 2* C * xmin (grafio 4) Nel grafio 4: L.E.A. = C anhe se C(C) > C(x min ) perhé non possiamo inare x min. 5

6 CBM a.s. 212/213 PROBLEMA DELLE SCORTE CON IPOTESI DI SCONTO SCONTO SULLA UANTITA Può apitare he, per inazioni onsistenti, il prezzo di aquisto dei beni possa essere inferiore a quello previsto per inazioni di minori quantità di mere. Supponiamo he per una quantità x tale he < x < x 1 il prezzo di aquisto sia p mentre per una quantità x tale he x 1 x il prezzo di aquisto sia p 1. La funzione dei osti diventa: C tot (x) = p* + *(/x) + mag *(x/2) < x < x 1 (f 1 ) p 1 * + *(/x) + mag *(x/2) x 1 x (f 2 ) Oorre rappresentare grafiamente le due funzioni omponenti. La prima funzione è la traslazione verso l alto della seonda funzione e x min è lo stesso per entrambe. Se x min < x 1, oorre alolare f 1 (x min ) (valore minimo del primo tratto) e f 2 (x 1 ) (valore minimo del seondo tratto) e onfrontarli: seglieremo ome LEA il valore di x per ui il valore è minore. (grafio 5) Se x min > x 1, oorre alolare f 2 (x min ) (valore minimo del seondo tratto, he è una funzione on grafio sempre più basso di quello di f 1 ): seglieremo ome LEA tale valore di x. (grafio 6) Ctot2 Ctot * C * xmin x 1 (grafio 5) 6

7 CBM a.s. 212/ Ctot2 Ctot x 1 2* C * xmin (grafio 6) 7

8 Costo CBM a.s. 212/213 SCONTO SULLA ECCEDENZA Può apitare he, per inazioni onsistenti, il prezzo di aquisto dell eedenza rispetto ad una quantità fissata dei beni possa essere inferiore a quello previsto per inazioni di minori quantità di mere. Supponiamo he per una quantità x tale he < x x 1 il prezzo di aquisto sia p mentre per una quantità x tale he x 1 <x il prezzo di aquisto dell eedenza rispetto ad x 1 sia p 1. La funzione dei osti diventa: C tot (x) = p* + *(/x) + mag *(x/2) < x < x 1 p*x 1 */x +p 1 *(- x 1 */x ) + *(/x) + mag *(x/2) x 1 x Oorre trovare il punto di minimo per i due tratti di funzione e onfrontare i valori orrispondenti.il valore più basso sarà assunto nel punto di minimo per la funzione e quest ultimo potrà essere selto ome LEA. Il grafio della funzione dei osti y = C tot (x) è il seguente grafio 7, mentre nel grafio 8 sono rappresentate le due funzioni y 1 = C 1 (x) e y 2 = C 2 (x) on ui è ostruita la funzione dei osti. Sonto sull'eedenza Ctot(x) quantità inata (grafio 7) 8

9 Costo CBM a.s. 212/213 Sonto sull'eedenza quantità inata C1(x) C2(x) (grafio 8) 9