2. Politiche di gestione delle scorte

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1 Si supponga di non conoscere con certezza il tasso di domanda, né il tempo di riordino (lead time). In uesto caso le decisioni: Quanto ordinare Quando ordinare devono tener conto della condizione di incertezza. e principali politiche decisionali sono: 1. Fixed order uantity punto di riordino costante (variable period) 2. Fixed period periodo di riordino costante (variable order uantity) 3. Politica (s, S) 4. Metodo dei due contenitori e prime tre fanno uso di stime (previsioni) delle grandezze aleatorie, la uarta invece è molto più semplice ed è usata per i prodotti meno importanti. 34

2 Ipotesi preliminari e parametri comuni Il tasso di domanda d è una grandezza stocastica la cui distribuzione di probabilità è una Normale N(d, σ d ) con valor medio (atteso) d e deviazione standard σ d costanti nel tempo. N(x, σ x ) = 2 ( x x) 1 2 2σ x e 2πσ 2 x 2 σ x 68% Prob{x < (x + z α σ x )} = α x x + z α σ x Il tempo di riordino (lead time) è costante oppure aleatorio con distribuzione di probabilità Normale N(, σ ) di valor medio (atteso) e deviazione standard σ costanti nel tempo. e grandezze d e sono statisticamente indipendenti Per semplicità, ma senza perdita di generalità, supponiamo che il valor atteso del lead time sia non superiore al valor medio del periodo di riordino. alimentazione è a lotti. 35 x

3 1. Fixed order uantity punto di riordino costante (variable period) Si ordina una uantità fissa di beni (es. EOQ) ogni volta che la posizione d inventario (scorte in magazzino + in transito) scende sotto un prefissato valore s (punto di riordino). Il periodo varia a causa della aleatorietà del tasso di domanda d e del lead time. Il punto di riordino (reorder point) s corrisponde alla minima uantità di scorte (in magazzino + in transito) necessaria per soddisfare (con una certa probabilità α) la domanda durante il lead time. Si ha s = d + I s, dove I s è la scorta di sicurezza (safety stock) per poter soddisfare con probabilità α 0,5 la domanda totale durante il lead time a causa della aleatorietà di d e di. Se α = 0,5 si ha I s = 0. I(t) Posizione d inventario ivello d inventario s I s 0 t 36

4 Esempio 1. - Rivenditore vende tostatrici al prezzo c = 100 /unità - Domanda media annua stimata d = 60 unità/settimana - Costo fisso ordine k = ead time (supposto costante) = 2 settimane - Costo di stoccaggio annuo per tostatrice, pari al 25% del valore di una tostatrice, h = 0,25 c = 25 /unità anno - E fissato un livello di scorte di sicurezza I s = 120 unità Applicando la politica fixed order uantity e in base al modello EOQ si ha che la uantità (fissa) da ordinare è 2k d = = 285 unità, h 25/52 ogni ual volta la posizione d inventario scende sotto il punto di riordino s = d + I s = = 240 unità. Si supponga che per t = 0 posiz. d inv = liv. d inv = 405 I(t) s = 240 I s = A 0-60 d = 60 d = 100 d = 60 = 2 = 3 =285 D J B 2,75 4,75 6,4 8,4 = 2 C -100 E F = 2 G H -60 K -60 9,8 11,8 14,55 17,55 19,3 21,3 = 2 37 I = 3 M 60 = 2 N -60 = 2 P O t

5 Come detto, la scorta di sicurezza I s è fissata in modo tale che, con probabilità α 0,5, non si generi ammanco durante il lead time. Sia z α il percentile relativo alla distribuzione normale standard N(0, 1) in modo che Prob{z z α } = α N(0, 1) N(x, σ x ) α α 0 z α x x (x + z α σ x ) x Prob{z z α } = α z = (x x)/σ x Prob{x x + z α σ x } = α Ad esempio: z α = 2 per α = 0,9772; z α = 3 per α = 0,9987. ivello di servizio vs. z Serv. evel % 91,0 92,0 93,0 94,0 95,0 96,0 97,0 98,0 99,0 99,9 z 1,34 1,41 1,48 1,56 1,65 1,75 1,88 2,05 2,33 3,08 Se è costante Se è aleatorio I I s s = z α σ d e s = d + I s = zα σ d + σ d e s = d + I s 38

6 Esempio 2. a Bureau è una rivendita di articoli per ufficio. Il responsabile della gestione magazzino decide di applicare la politica fixed order uantity per il toner per fotocopiatrici AT3, volendo assicurare un livello di servizio del 97,72% (z α = 2). Input: d = 45 unità/mese; σ d = 5 = 1 mese; k = 30 c = 4 /unità p = 20 %/anno h = p c = 0,20 4 = 0,8 /anno unità Output: 2k d = h I s = = 200,74 0,8/12 = z σ = = 10 unità α d s = d + I s = = 55 unità 201 unità μ() = k d/ + c d + h (/2 + I s ) = 6, ,39 = 194,11 /mese ITR(annuale) = 12 d/(/2 + I s ) = 4,89 39

7 2. Fixed period periodo di riordino costante (variable order uantity) Gli ordini vengono effettuati con cadenza fissa (periodo costante T, calcolato ad es. con EOQ) e per una uantità variabile (a causa della aleatorietà del tasso di domanda d e del lead time ) sufficiente a riportare la posizione di inventario al livello S (orderup-to-level) tale da soddisfare con probabilità α la domanda totale che si presenta fino all arrivo della merce del successivo ordine. Ad ogni istante t i, viene emesso un ordine di reintegro di dimensione i, pari alla differenza tra l order-up-to level S e la posizione d inventario I'(t i ). order-up-to level S corrisponde alla uantità di scorte (in magazzino + in transito) necessaria per soddisfare (con una certa probabilità α) la domanda durante il periodo ( + T). Si ha: S = d ( + T) + I s dove I s è la scorta di sicurezza (safety stock) per far fronte a picchi di domanda e soddisfare la domanda con probabilità α 0,5. Se α = 0,5 allora I s = 0 40

8 Esempio 3. - Rivenditore vende tostatrici al prezzo c = 100 /unità - Domanda media annua stimata d = 60 unità/settimana - Costo fisso ordine k = ead time (supposto costante) = 2 settimane - Costo di stoccaggio annuo per tostatrice, pari al 25% del valore di una tostatrice, h = 0,25 c = 25 /unità anno - E fissato un livello di scorte di sicurezza I s = 120 unità Applicando la politica fixed period e in base al modello EOQ si ha che la il periodo (fisso) tra un ordine e il successivo è 2k T = h d = (25/ 52) 60 4,75 settimane a uant. ordinata è uella che ripristina la posiz. inventario all order-up-to level S = d ( + T) + I s =60 (2 + 4,75) +120 = 525. Si supponga I(t=0) = 405, e che il primo ordine si effettui a t 1 = 2,75 sett. I(t) S = 525 I s = A d = 60 d = 100 d = 60 1 = B 0 G t t 1 =2,75 4,75 = 2 D 405 C = E F 40 H = 2 T = 4,75 T = 4,75 T = 4, ,4-26 t 2 =7,5 9,5 t 3 =12,25 14,25 t 4 =17 20 = 2 = 2 = = I 84 K 405 J = = = 2 T = 4,75 60 N 345 M 5 = O t 5 =21,75 Q 405 P 23,75 = 2

9 Come detto, la scorta di sicurezza I s è fissata in modo tale che, con probabilità α 0,5, non si generi ammanco durante il lead time. Sia z α il percentile relativo alla distribuzione normale standard N(0, 1) in modo che Prob{z z α } = α Se è noto con certezza I = z α σ d T e S = d ( + T) + I s s + Se è aleatorio I s = zα σ d ( + T ) + σ d e S = d ( + T)+ I s I(t) S T Posizione d inventario T ivello d inventario i i+1 i+2 i i+1 i+2 I s 0 t i t i+1 t i+2 t 42

10 Esempio 4. a Bureau è una rivendita di articoli per ufficio. Il responsabile della gestione magazzino decide di applicare la politica fixed period per il toner per fotocopiatrici AT3, volendo assicurare un livello di servizio del 97,72% (z α = 2). Input: d = 45 unità/mese; σ d = 5 = 1 mese; k = 30 c = 4 /unità p = 20 %/anno h = p c = 0,20 4 = 0,8 /anno unità Output: T I s = 2k hd = = z σ + T α d 2 30 (0,8/12) 45 = 4,47 mesi = ,47 = 23,39 23 unità S = d ( + T) + I s = 45 (1 + 4,47) + 23,39 = 269, unità μ() = μ(t d) = k/t + c d + h (T d/2 + I s ) = 6, ,28 = 195 /mese ITR(annuale) = 12 d/(t d/2 + I s ) = 4,36 43

11 Considerazioni Gli esempi 2 e 4 mostrano che, a parità di livello di servizio, la fixed order uantity richiede minor scorte di sicurezza I s della politica fixed period Infatti, mentre nella prima I s deve coprire la domanda in un periodo di rischio di lunghezza, nella seconda il periodo di rischio è di lunghezza ( + T). Tuttavia, il prezzo della maggior efficienza della politica fixed order uantity è nel continuo monitoraggio (del livello di inventario) richiesto. - fixed order uantity Vantaggi: contenimento costi maggior efficienza - fixed period Vantaggi: organizzativi non necess. controllo continuo aggregazione ordini (più beni) Svantaggi: controllo continuo pos. invent. ordini emessi in uals. istante imposs. aggr. ordini (più beni) Svantaggi: costi superiori minor efficienza 44

12 Politica fixed order uantity preferibile uando: 1. Possibilità di un continuo monitoraggio: inventario computerizzato 2. Nessun vantaggio da eventuali economie di scala negli ordini 3. Ordini d acuisto ad intervalli irregolari non hanno effetto sulla produzione o sui fornitori. Politica fixed period preferibile uando: 1. Inventario non computerizzato. Conviene ordinare con cadenza regolare 2. C è convenienza nel fare ordini di grossi uantitativi di beni. Economie di scala. 3. Ordini d acuisto ad intervalli irregolari avrebbero un effetto non trascurabile sulla produzione o sui fornitori. 45

13 3. Politica (s, S) Variante dei primi due metodi illustrati. Secondo la politica (s, S): a) a posizione d inventario viene revisionata periodicamente con periodo T. b) Se all istante t i di revisione risulta che il livello della posizione d inventario è inferiore ad una soglia minima s, si emette un ordine i tale da riportare la posizione d inventario al massimo valore S. I(t) T T T S Posizione d inventario i i+2 ivello d inventario i+1 = 0 s i i+2 0 t i t i+1 t i+2 t 46

14 In pratica, s è reorder point e S è order-up-to level Se s S la politica (s, S) tende a fixed period Se s << S la politica (s, S) tende a fixed order uant. a politica (s, S) può considerarsi come soluzione di compromesso tra fixed period e fixed order uant. Un adeguata scelta di valori per le variabili s, S, e T può dar luogo a risultati migliori. Tuttavia, la determinazione ottima (what best) di tali valori è un problema complesso da formalizzare e risolvere con metodi analitici. Spesso i valori per s, S, e T vengono determinati con analisi what if. 47

15 4. Politica dei due contenitori (two bins policy) Si considera il magazzino partizionato in due parti uguali. Non appena uno dei due sottomagazzini si svuota, viene effettuato un ordine di approvvigionamento di ammontare pari alla sua capacità. Può interpretarsi come una variante della politica a punto di riordino costante (fixed order uantity). Tuttavia, non sono richiesti dati previsionali per valutare il punto di riordino e la uantità da ordinare. I(t) 2B Posizione d inventario ivello d inventario B 0 t 48

16 2.4. Selezione della politica nel caso di diversi prodotti Nella gestione di un inventario multiprodotto occorre decidere uale livello di inventario, per articolo, controllare più accuratamente o meno. A tale scopo, si suddividono i prodotti in 3 classi A, B, C Classe A: Prodotti ad alto valore unitario il cui valore complessivo ammonta all 80% del valore totale delle scorte Classe B: Prodotti di medio valore unitario il cui valore complessivo ammonta al 15% del valore totale delle scorte Classe C: Prodotti di basso valore unitario il cui valore complessivo ammonta al 5% del valore totale delle scorte Percentuale di valore beni in magazzino A B C no sales Percentuale di unità di beni in magazzino 49

17 2.4. Selezione della politica nel caso di diversi prodotti e scorte dei prodotti di classe A e B dovrebbero esser gestite con i metodi a monitoraggio più freuente, che assicurano una maggior efficienza e minor costi di stoccaggio. Ad esempio la classe A con la politica fixed order uantity Ad esempio la classe B con la politica fixed period Per la classe C si può far ricorso a metodi meno onerosi dal punto di vista del monitoraggio e meno rigorosi come il metodo dei due contenitori. Questa tecnica non richiede alcuna tecnica previsionale sulla domanda, e d altra parte un eventuale eccesso di scorta avrebbe comunue un impatto trascurabile sui costi di immagazzinamento 50

18 3. Appendice: richiami di statistica Distribuzioni di probabilità Una distribuzione di probabilità è una funzione f(x) che indica per ogni valore di una variabile casuale x la sua probabilità. e distribuzioni possono essere discrete o continue a seconda se è discreto o continuo l insieme dei valori che può assumere la variabile casuale. Nel caso continuo si parla di funzioni di densità di probabilità. Distribuzione normale N(μ, σ), dove μ è il valore atteso e σ è la deviazione standard di x. f ( x μ) ( x) = e σ 2 2πσ 2 f(x) 68 % μ 2σ x 51

19 3. Appendice: richiami di statistica Distribuzione normale standard N(0, 1). - È la normale in cui μ = 0 e σ = 1. - È possibile valutare ualsiasi normale a partire dalla distribuzione normale standard con la seguente trasformazione: z = (x μ)/σ. - Si ha Prob{x x } = Prob{z z }, con x = μ + z σ. - area sottesa dalla curva di distribuzione normale standard da - a z, che fornisce la Prob{z z }, è data dalla seguente tabella f(t) z z z , ,

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