Università di Milano Bicocca Esercitazione 7 di Matematica per la Finanza 12 Marzo 2015

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1 Università di Milano Bicocca Esercitazione 7 di Matematica per la Finanza 12 Marzo 2015 Esercizio 1 Si consideri la funzione f(t) := 2t/ , 04t, t Verificare che essa rappresenta il fattore di montante di una legge di capitalizzazione. 2. Calcolare il tasso di interesse unitario e l intensità istantanea di interesse per t = Ricordiamo che una funzione f prende il nome di fattore di montante se gode delle seguenti proprietà : 1. f è definita per ogni t 0 o t [0, T ), con T > 0; 2. f(0) = 1; 3. f è non decrescente. Nel nostro caso, dove f(t) = 2t/ , 04t, t 0, la prima condizione è automaticamente verificata, così come la seconda, che segue da un semplice calcolo. Per quanto riguarda la terza condizione, procediamo determinando la derivata di f. A tale scopo, osserviamo che f si scrive in modo equivalente come Pertanto f (t) = f(t) = e ln 2 10 t 1 + 0, 04t. [( ln , 04) + ln t] e ln 2 10 t (1 + 0, 04t) 2 1

2 da cui segue f (t) 0 per ogni t 10, 57; in particolare f (t) 0 per ogni t 0 e dunque f è nondecrescente. 2. Ricordiamo che, per definizione, il tasso di interesse unitario è dato da i = f(1) 1 = 21/10 1 = 0, 0306, ovvero i = 3, 06%. 1, 04 L intensità istantanea di interesse è invece data da δ(t) := d dt Per t = 3 otteniamo δ(3) = 0, ln f(t) = ln , 04 (1 + 0, 04t). Esercizio 2 Un soggetto può impiegare un capitale C = 1000 o in un regime ad interessi semplici con tasso annuo i = 10% oppure in un regime ad interessi semplici anticipati con tasso annuo di sconto d = 9%. La durata dell impiego sia k = 9 mesi. 1. Calcolare il montante M dopo k mesi con il primo impiego. 2. Calcolare il montante M dopo k mesi col secondo impiego. 3. Determinare il numero di mesi k > 0 tale che i montanti generati dai due impieghi coincidano. 1. Nel regime dell interesse semplice si ha M = C(1 + it). Nel nostro caso C = 1000, i = 0, 1 e t = 9 mesi = 0, 75 anni. Quindi M = 1075 euro. 2. Poichè in questo caso siamo in un regime ad interessi anticipati, abbiamo M = C = 1072, 3861 euro. 1 dt 3. Si tratta di risolvere la seguente equazione: ) C (1 + i k C = 12 1 d k 12 2

3 per i, d dati e k incognita. Dal calcolo si ottiene k = 12(i d) id = 13, 3mesi. Esercizio 3 Un tesoriere d impresa vuole investire C = 1000 euro per 6 mesi in un regime ad interessi semplici anticipati. Il tasso annuo di sconto è d = 12%. 1. Calcolare il montante M dell impiego e lo sconto D. 2. Determinare quale tasso di interesse semplice produrrebbe lo stesso risultato. 3. Determinare quale intensità istantanea d interesse produrrebbe lo stesso risultato. 1. Nel regime degli interessi semplici anticipati, si ha M = mentre D = M C. Svolgendo i calcoli si ha, dunque, C 1 dt, 1000 M = = 1063, 83 euro 1 0, 12 0, 5 D = (1063, ) euro = 63, 83 euro. 2. Si tratta di risolvere la seguente equazione C(1 + it) = C 1 dt, dove C, d, t sono dati e i è incognita. Svolgendo i calcoli si ottiene: i = t 1 dt = 0, 5 = 0, 1277, ovvero i = 12, 77%. 1 0, 12 0, 5 3. Si tratta di risolvere la seguente equazione Ce δt = C 1 dt, dove C, d, t sono dati e δ è incognita. Svolgendo i calcoli si ottiene: ln(1 dt) ln(1 0, 12 0, 5) δ = = = 0, 1238 ovvero i = 12, 38%. t 0, 5 3

4 Esercizio 4 Un impiego a interessi composti ha la durata di 5 anni. Nei primi due anni il tasso d interesse è i = 8%, nei secondi tre i = 10%. 1. Calcolare il montante M dell impiego di un euro in capo al quinquennio. 2. Calcolare quale tasso di interesse i avrebbe condotto allo stesso risultato se applicato per tutti e cinque gli anni. 3. Calcolare quale intensità istantanea di interesse avrebbe prodotto lo stesso risultato se applicata sul quinquennio. 1. Nei primi due anni la legge di capitalizzazione applicata è: M = C(1 + i ) t dove C è il capitale iniziale e t è il tempo espresso in anni. Nei tre anni successivi, il calcolo del montante segue la legge M = C (1 + i ) t, dove C è il capitale posseduto all istante t = 2 anni. Tenendo conto di entrambe le espressioni precedenti abbiamo che il montante alla fine del quinquennio è dato da M fin = C(1 + i ) 2 (1 + i ) 3 = 1, 5525 euro. 2. Poichè il capitale iniziale è C = 1 euro, si tratta di risolvere la seguente equazione: M fin = (1 + i) 5, da cui si deduce i = 5 M fin 1 = 0, 0920, ovvero i = 9, 2%. 3. Ricordiamo che, in un regime di interesse composto, l intensità istantanea di interesse è il parametro δ 0 per cui vale l identità f(t) = (1 + i) t = e δt. Dal punto 2. sappiamo che i = 9, 2%. Dunque δ = ln(1 + i) = 0, Esercizio 5 a) Si determini, in regime di interesse semplice, 4

5 1. il tasso bimestrale equivalente al tasso di interesse annuo del 9%; 2. il tasso annuo equivalente al tasso semestrale del 5%. b) Si determini, in regime di interesse composto, il tasso di sconto quadrimestrale equivalente al tasso di interesse annuo del 6%. c) Si determini, in regime di interesse semplice anticipato, il tasso di sconto annuale equivalente al tasso di interesse trimestrale del 2%. a) Ricordiamo che la formula per il calcolo dei tassi equivalenti in un regime di interesse semplice è (1 + i) = (1 + i k k), dove i k indica il tasso di interesse relativo alla frazione k-esima dell anno. Dunque il tasso bimestrale equivalente al tasso di interesse annuo i = 9% è i 6 = i/6 = 1, 5%, mentre il tasso annuo equivalente al tasso semestrale i 2 = 5% è i = 2i 2 = 10%. b) In un regime di interesse composto, la formula per il calcolo dei tassi equivalenti è (1 + i) = (1 + i k ) k, dove i k indica, il tasso di interesse composto relativo alla frazione k-esima dell anno. Inoltre, la relazione che lega il tasso di interesse al tasso di sconto (qualunque sia l unità di misura del tempo cui si fa riferimento) è d k = i k 1 + i k. Dunque il tasso di sconto quadrimestrale equivalente al tasso di interesse annuo del 6% è d 3 = i i 3 = i 1 0, = = 0, 0192, 1 + i 1, 0196 ovvero d 3 = 1, 92%. c) In un regime di interesse anticipato, la formula per il calcolo del tasso di sconto equivalente è 1 1 d = 1 1 d k k, 5

6 dove d k indica, il tasso di sconto relativo alla frazione k-esima dell anno. Dunque il tasso di sconto annuale equivalente al tasso di sconto trimestrale d 4 = 2% è d = d 4 4 = 8%. Esercizio 6 Si supponga di aver investito un capitale C = 10 euro all istante zero per 3 anni alle seguenti modalità: 1. primo anno: tasso d interesse semplice annuo i = 7%; 2. secondo anno: tasso d interesse annuo nominale convertibile trimestralmente del 8%; 3. terzo anno: tasso effettivo semestrale del 5%. Calcolare il capitale alla fine dell impiego e il tasso nominale annuo convertibile trimestralmente j 4 che avrebbe prodotto lo stesso montante finale. Consideriamo innanzitutto il montante relativo a ciascuno dei periodi considerati (ovvero, primo, secondo e terzo anno). Nel primo anno il montante è M 1 = C(1 + i ) = 10, 70. Nel secondo anno, ricordando la definizione di tasso d interesse annuo nominale convertibile semestralmente, abbiamo una capitalizzazione composta con un tasso trimestrale i 4 = 2%, corrispondente ad un tasso annuale i = (1 + i 4 ) 4 1 = 0, 0824, o, equivalentemente i = 4, 04%. Dunque il montante generato alla fine del secondo anno è M 2 = M 1 (1 + i ) = C(1 + i)(1 + i ) = 11, 58 euro. Infine, durante il terzo anno abbiamo una capitalizzazione composta con un tasso semestrale i 2 = 5%, dunque il montante alla fine del terzo anno è M 3 = M 2 (1 + i 2 ) 2 = C(1 + i)(1 + i )(1 + i 2 ) 2 = 12, 78 euro. Per calcolare il tasso nominale annuo convertibile trimestralmente j 4 che avrebbe prodotto lo stesso montante finale, determiniamo innanzitutto il tasso trimestrale equivalente che avrebbe prodotto lo stesso risultato. Poichè in 3 anni vi sono 12 trimestri, abbiamo da cui C(1 + i 4 ) 12 = C(1 + i)(1 + i )(1 + i 2 ) 2, i 4 = 12 1, = 0, 0206 e j 4 = i 4 4 = 0, = 0, 0823, o, equivalentemente j 4 = 8, 23%. 6

3. Determinare il numero di mesi m > 0 tale che i montanti generati dai due impieghi coincidano. M = 1000 1 + 0.1 9 ) = 1075 12

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