MODELLO ELASTICO (Legge di Hooke)

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1 MODELLO ELASTICO (Legge di Hooke) σ= Eε E=modulo elastico molla applicazioni determinazione delle tensioni indotte nel terreno calcolo cedimenti MODELLO PLASTICO T N modello plastico perfetto T* non dipende da N τ f = c u Criterio di rottura di Tresca (materiale puramente coesivo) T*= µ N µ = tgϕ τ f = σ tgϕ Introducendo anche la coesione τ f = c +σ tgϕ T.E. applicazioni criteri di rottura carico limite fondazione superficiale carico limite fondazione profonda (palo) spinta su struttura di sostegno stabilità di pendii Criterio di rottura di Coulomb (materiale puramente attritivo) Criterio di rottura di Mohr-Coulomb (materiale attritivo- coesivo)

2 Tensioni indotte nel terreno L incremento di tensione in un punto, a seguito dell applicazione di un carico sulla superficie del semispazio viene determinato con la soluzione di Bousinessq (1885) L integrazione delle equazione di Bousinessq in alcuni casi particolari permette di trovare soluzioni di tipo generale per - superfici nastriformi - superfici circolari Bulbi di isotensione - superfici rettangolari Carta di Steinbrenner - superfici qualsiasi Carta di Newmark

3 Bulbi di Isotensione

4 Carta di Steinbrenner

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6 Esercizio Una fondazione elastica a platea lunga L=24 m e larga B=8 m porta un carico totale di 300 kn/m 2. Calcolare l incremento della tensione verticale ad una profondità Z=8 m sotto il piano di posa, in direzione verticale, in corrispondenza dei seguenti punti: A ) centro della platea B ) punto posto sul prolungamento dell asse maggiore ed a 4 m oltre il lato più corto. 8 A B 24 A ) 4rettangoli 4X12; B ) 2 rettangoli 4X28 2 rettangoli 4x4

7 A ) 4 Carta di Steinbrenner z z 8 L σ B 4 = = 2 = 3 z = B 4 B q, L 2 σ = 4 0, = 0, = 157, 92 kn / m B ) B L 28 = = 7 B 4 L' 4 = = 1 B ' 4 z 8 = = 2 B 4 L σ z = (2 0, ,084) 300 = ,0528 = 600 0,0528 = 31,68 kn/m 2

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15 δ δ δ

16 CALCOLO DEI CEDIMENTI δ TOT = δ immediato + δ cons. primaria + δ cons. secondaria δ immediato = I w qb E (1-ν 2 ) I w =µ o µ 1 =coefficiente di influenza q= carico uniforme E = modulo elastico del terreno B=dim fondazione (E=E u per terre coesive, E=E per terre granulari) ν = coeff. di Poisson (ν=ν u = 0.5 per terre coesive, ν=ν 0.3 per terre granulari) δ cons. primaria = µ δ ed µ = coefficiente di Skempton & Bjerrum (1957) (dall abaco) δ ed = cedimento edometrico δ cons. secondaria spesso si trascura a meno che non si tratti di argille organiche e torbe

17 I w =µ o µ 1 =coefficiente di influenza I w dipende dalla: forma della fondazione rigidezza della fondazione dallo spessore dello strato deformabile (H) profondità del piano di posa (D)

18 Cedimento per consolidazione primaria δ cons. primaria = µ δ ed δ ed = cedimento edometrico δ ed i = ε zi z i Ex: 2 m ε zi = σ i /E ed (utilizzando il modulo edometrico) z α (da Bulbi) σ' =α q Eed z i δi = ( σ' i / Eed i )* z i 1 2 z i 1 Eed Eed 1 6m Eed Eed Eed Eed 2 18m 20m Eed 3 = Σδi δed= Σδ (= Σε zi z i )

19 δ ed = cedimento edometrico δ ed i = ε zi z i ε zi = σ i /E ed ε zi = e/(1+e o ) (muovendosi sulla curva di compressibilità) e e o c s e P e f e o = (γ s W)/(γ w S r ) c c e = e o -e f e f = e o -c s (logσ P - logσ vo )-c c ( logσ vf - log σ P ) σ vo σ P σ vf = σ vo + σ log σ v e f = e o - c s log(σ P /σ vo ) - c c log(σ vf /σ P ) formula generale scala semilog

20 Coefficiente di Skempton & Bjerrum 1957 (µ) Coefficiente correttivo del cedimento edometrico che dipende da: - spessore dello strato compressibile - geometria della fondazione - tipo di argilla

21 Esercizio Calcolare i valori delle tensioni verticali indotte nei punti O e P da un carico uniformemente ripartito q=12 t/m 2 su un area rettangolare flessibile di dimensioni 20x30 m 2. Calcolare inoltre il cedimento differenziale fra i punti O e P (E ed = 1000 t/m 2 ) Per il punto O: 4 rettangoli 10x15 O P 10 Per il punto P: 2 rettangoli 10x Per il punto O: L=15; B=10; Per il punto P: L=30; B=10; L = 1, 5 B L = 3 B

22 Fissiamo z = 0; 5; 10; 15; 20; 30 m. z = 0 ; 0, 5 ; 1; 1, 5 ; 2 ; 3 B Dal grafico di Steinbrenner: σ z q z z/b L/B=1,5 L/B= ,25 0,25 5 0,5 0,2378 0, ,1936 0, ,5 0,1451 0, ,1071 0, ,0612 0,0860

23 per O: z σ 0 4 0, t/m , ,41 t/m , ,29 t/m , ,96 t/m , ,14 t/m , ,93 t/m , 41 = 11, , , 29 = 10, , , 96 = 8, , , 14 = 6, , , 93 = 4, 00 2

24 per P: z σ 0 2 0, t/m , ,75 t/m , ,88 t/m , ,93 t/m , ,15 t/m , ,06 t/m , 75 = 5, , , 88 = 5, , , 93 = 4, , , 15 = 3, , , 06 = 2, 61 2

25 Ora: O P z σ δi z E Ed σ 1 11,70 5,87 5 0,058 0,029 σ 2 10,35 5,31 5 0,051 0,026 σ 3 8,12 4,40 5 0,040 0,022 σ 4 6,05 3,54 5 0,030 0,017 σ 5 4,03 2, ,040 0,026 TOT. 0,219 0,120 O P = 0,219 0,120 = 0,099 m 10 cm

26 Esercizio Per il serbatoio a pianta quadrata indicato in figura calcolare il cedimento immediato e quello di consolidazione con il metodo di Skempton e Bjerrum. L=B=7 6 5 Argilla inorganica fortemente O.C. γ=2 t/mc ; Eu =3000 t/mq ; A =0,4 RR= 0,030 z=3,5 z=4,5 D=1 H=7

27 Calcolo il q netto sul piano di imposta della fondazione: q*= 6x1= 6 t/mq ; σ vo = 2x1 = 2 t/mq; q = 6-2 = 4 t/mq δ immediato = I w qb E (1-ν 2 ) I w =µ o µ 1 =coefficiente di influenza µ o (D/B=0,14)=0,97 µ 1 (H/B=1;quadrato)=0,40 δ im = , 97 0, 40 ( 1 0, 5 ) = 0, 0027m = 2, 7 mm 3000

28 δ cons. primaria = µ δ ed µ = (H/B=1;quadrato;A=0,4)=0,55 Carta di Steinbrenner: calcolo il σ v sotto il piano di imposta per z = 3,5 m (4 rettangoli 3,5X3.5) z 3, 5 L σ = = 1, 0 = 1 z = B 3, 5 B q, σ = 4 0, = 0, 70 4 = 2, 8 t / m v 2 La tensione verticale efficace alla profondità di 4,5 m (3,5 m sotto il piano di imposta) valeva: σ v0 = (σ v0 u)= (γh γ w h )= (2 4,5 1 3,5) = 5,5 t/mq δ ed H = H 0 RR log ' + σ' σ v0 σ v 5,5 + 2, 8 H = 7 0,030 log = 0, 037 m = 5,5 v0 ' 37 mm δ cons. primaria = µ δ ed = 0, = 20, 35 mm

29 Esercizio

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