Dalla relativita generale alla teoria del caos. Prof. Marcello Giorgi. 26 maggio 2013

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1 Dalla relativita generale alla teoria del caos Prof. Marcello Giorgi Liceo Scientifico Statale Galileo Galilei, Trieste 26 maggio 2013

2 COS E IL DETERMINISMO SCIENTIFICO? Col termine DETERMINISMO s intende la concezione per cui in natura non avviene nulla a caso, ma tutto accade in virtù della connessione necessaria tra i fenomeni secondo il principio di causalità. Ogni evento è determinato da una causa ben precisa. Secondo questa tesi è possibile determinare con precisione tutto ciò che avviene in natura in ogni istante, non solo, ma conoscendo tutte le posizioni degli oggetti e delle forze naturali permetterebbe di predire lo stato del mondo futuro con assoluta precisione. La mentalità causalistica e deterministica ha rappresentato uno degli ingredienti fondamentali della scienza, che è nata e si è sviluppata proprio in virtù del desiderio di trovare le cause e le leggi che le determinano. EVOLUZIONE DEL DETERMINISMO. Con l avvento delle nuove teorie sulla meccanica razionale o fisica classica e cioè con le scoperte di Newton e Galileo Galilei, l uomo aveva capito che se si conoscono le proprietà di un corpo: ( massa, forma, ecc. ), le sue condizioni iniziali di moto: (posizione, velocità, ecc. ) e le condizioni esterne ( campi di forze, ecc. ), è possibile determinare in modo esatto il suo comportamento negli istanti successivi. Un esempio emblematico è lo studio sulla gravitazione universale e il movimento dei pianeti formulate da Newton. Quindi il determinismo vuole che noi viviamo in un mondo dove sono le leggi della natura a determinare tutti gli eventi, dove tutto è predeterminato, il futuro è già segnato, già tracciato. E l uomo non può intervenire, non può cambiare il corso degli eventi: l azione umana, la sua decisione, la sua razionalità, la sua libertà sono pura illusione.tutto è determinato, quindi tutto è spiegabile con le leggi della natura. La conseguenza logica implicata da questa visione è che, una volta individuate quali siano le leggi che governano il mondo, sia possibile poi vedere nel passato come nel futuro, calcolare con precisione matematica ciò che accadrà, quindi una sorta di veggenza scientifica.

3 RELATIVITA GENERALE La teoria della relatività generale estende i concetti di base della relatività speciale ai sistemi di riferimento non inerziali, che sono cioè in moto a velocità non costante e quindi soggetti a un'accelerazione. L'idea centrale di questa teoria, che Einstein sviluppò attorno al 1916, è che nei sistemi di riferimento non inerziali si producano effetti analoghi a quelli associati alla forza di gravità. In questo senso la teoria della relatività generale rappresenta una teoria della gravitazione. Per Einstein, in sostanza, la causa del moto degli oggetti, e in particolare di quelli sottoposti alla forza di gravità (per esempio, i pianeti attorno al Sole), non è una forza che agisce a distanza, nel senso newtoniano della forza di gravità, ma la modifica della geometria dello spazio nel quale si muove l'oggetto. Lo spazio-tempo nel quale l'oggetto si muove viene incurvato a causa della presenza di grandi masse e questa curvatura determina la traiettoria dell'oggetto (v. fig. 26.1). Si può spiegare semplicemente questo fenomeno pensando a un foglio di plastica sospeso su un'intelaiatura rigida, sul quale venga fatta rotolare una palla pesante: la palla tende a incurvare il foglio e di conseguenza ogni altro oggetto che venga posto sul foglio tenderà ad avvicinarsi alla palla a causa della curvatura che si è prodotta. Il moto di una pietra che cade in un campo gravitazionale è determinato non dalla forza prodotta dalla massa che genera il campo, ma dalla curvatura dello spazio-tempo nel punto in cui si trova la pietra. Lo spazio-tempo controlla la massa "dettandole" il moto, mentre la massa, a sua volta, controlla lo spazio-tempo determinandone la curvatura.

4 Alla base della relatività generale risiede l'idea per cui, se è impossibile per la relatività ristretta distinguere tra due sistemi di riferimento inerziali, allora le leggi della fisica devono essere le stesse per tutti i sistemi di riferimento inerziali. Ma che cosa succede se il sistema di riferimento è accelerato? Einstein riteneva che tutti i sistemi di riferimento dovessero essere equivalenti per quanto riguarda la formulazione delle leggi fisiche. Questa affermazione rappresenta il principio di invarianza, alla base della teoria della relatività generale. Per incorporare i sistemi di riferimento non inerziali Einstein formulò il principio di equivalenza, che stabilisce che non è possibile distinguere tra i fenomeni osservati in un campo gravitazionale uniforme e quelli osservati in un sistema mobile con accelerazione costante. Al riguardo egli propose il noto esperimento dell'ascensore: un osservatore in moto in un ascensore in caduta libera in un campo gravitazionale uniforme sperimenta i medesimi effetti di un osservatore che si trovi su un ascensore posto nel vuoto ad accelerazione costante. Il principio di equivalenza di Einstein oltre che per le leggi della meccanica vale anche per tutte le leggi fisiche, compreso l'elettromagnetismo. Non solo la massa è soggetta alla curvatura dello spazio-tempo, ma anche la luce, la cui traiettoria può venire deflessa in corrispondenza di un campo gravitazionale.

5 Durante il 1919, un'eclissi totale di Sole permise ad alcuni scienziati di misurare la deflessione subita dalla luce delle stelle nel passare vicino al Sole, e la deflessione era in buon accordo con quella misurata teoricamente da Einstein. Questo episodio venne considerato la prima conferma della teoria generale della relatività. Poiché la teoria della relatività generale può essere considerata una teoria della gravitazione, essa rappresenta lo strumento teorico ideale per la trattazione dei fenomeni astrofisici e cosmologici. Ed è appunto da queste discipline che vengono le conferme alla validità della teoria di Einstein. Una delle maggiori conferme alla teoria è considerata la spiegazione dell'avanzamento del perielio di Mercurio. Il perielio è il punto dell'orbita ellittica di un pianeta nel quale esso si trova più vicino al Sole; secondo le leggi della meccanica classica, il perielio di un pianeta si dovrebbe trovare sempre nello stesso punto. Considerando gli effetti di perturbazione sull'orbita, dovuti all'attrazione degli altri pianeti, si era pervenuti anche prima della teoria di Einstein a una correzione dell'avanzamento del perielio di Mercurio, che si discostava però ancora dalle misure di 43 secondi d'arco ogni secolo. Questa discrepanza trova la sua spiegazione solo attraverso la relatività generale, che prevede che la curvatura dello spazio dovuto alla massa del Sole produca esattamente questo avanzamento. Recenti misure del moto del pianeta hanno confermato l'esattezza delle previsioni sulle misure con uno scarto inferiore all'1%.

6 L'esistenza dei buchi neri è considerata un'altra conferma alla relatività generale. Un buco nero è un oggetto celeste di massa e densità talmente grandi che nessun altro oggetto, luce compresa, può sfuggire alla sua attrazione. Anche in questo caso la relatività può dare una spiegazione del fenomeno in termini di curvatura dello spazio-tempo, pensando che la massa del buco nero sia tanto grande da deformare totalmente, fino "a richiuderlo dietro di sé", lo spazio-tempo attorno a un oggetto con le caratteristiche di un buco nero.

7 FENOMENO STOCASTICO O ALEATORIO In matematica, e in particolare in teoria della probabilità, un processo stocastico (o processo aleatorio) è la versione probabilistica del concetto di sistema dinamico. In genere, è possibile identificare un processo stocastico come una famiglia ad un parametro di variabili casuali reali rappresentanti le trasformazioni dello stato iniziale nello stato al tempo. In termini più precisi, un processo stocastico è una variabile casuale che prende valori in spazi più generali dei numeri reali (come ad esempio,, o spazi funzionali, o successioni di numeri reali). Da un punto di vista pratico, un processo stocastico è una forma di rappresentazione di una grandezza che varia nel tempo in modo casuale (ad esempio un segnale elettrico, il numero di autovetture che transitano su un ponte ecc.) e con certe caratteristiche. Facendo delle prove (osservazioni) ripetute dello stesso processo, si ottengono diversi andamenti nel tempo (realizzazioni del processo); osservando le diverse realizzazioni in un preciso istante t otteniamo una variabile aleatoria X(t) che comprende i diversi valori che il processo potrebbe assumere in quel preciso istante. Tali valori avranno un valore medio, che nel caso di variabile aleatoria gaussiana, costituiranno il valore medio della "campana" gaussiana all'istante t. Quindi per ciascun istante di tempo possiamo definire una gaussiana (o più in generale una variabile aleatoria, visto che non esistono soltanto quelle gaussiane) che rappresenti il valore più probabile del processo con il relativo indice di scostamento o deviazione standard.

8 Caos deterministico I modelli adottati dalla fisica classica per l'analisi dei sistemi dinamici fanno uso implicito di un approccio deterministico meccanicistico. Scriveva Laplace nel 1812 : Dobbiamo dunque considerare lo stato presente dell'universo come effetto del suo stato anteriore e come causa del suo stato futuro. Un'intelligenza che, per un dato istante, conoscesse tutte le forze da cui la natura è animata e la situazione rispettiva degli esseri che la compongono, se fosse abbastanza vasta da sottoporre questi dati ad analisi abbraccerebbe nella stessa formula i moti dei corpi più grandi dell'universo e quelli dell'atomo più leggero: per essa non ci sarebbe nulla d'incerto, ed il futuro come il passato sarebbe presente ai suoi occhi.

9 Secondo il determinismo della fisica classica, la conoscenza delle leggi e dei dati relativi ad un certo istante (condizioni iniziali) consente di prevedere con assoluta certezza l'evoluzione di un sistema. La fisica classica ritiene di conoscere le leggi e ammette, almeno in linea di principio, che sia consentito conoscere i dati. Molti fenomeni (quali il lancio di un dado) sono di fatto imprevedibili a causa della mancata conoscenza delle condizioni iniziali. Tuttavia essi diventerebbero perfettamente prevedibili nel momento in cui si acquisisse tale conoscenza, concettualmente possibile per la fisica classica. Condizioni iniziali differenti produrranno differenti evoluzioni del sistema. Questa rigida concezione deterministica, se estesa all'intero universo, si presta già di per sé ad una interessante critica di ordine logico che è strettamente legata al problema del libero arbitrio. Per dedurre una legge fisica, lo sperimentatore deve avere la libertà di scegliere condizioni iniziali diverse e constatare, di conseguenza, differenti evoluzioni. Tuttavia, se l'intero universo è rigidamente deterministico, lo sperimentatore, in quanto parte dell'universo, non è affatto libero nelle sue scelte. Le condizioni iniziali che egli ritiene di scegliere sono in realtà determinate dalla storia precedente dell'intero universo. La legge fisica che egli ritiene di dedurre sarebbe pertanto completamente priva di senso. A questo proposito Mario Ageno osserva (M. Ageno, Introduzione alla biofisica):

10 anche se il determinismo (inteso come concezione filosofica) è ormai superato da tempo, l'approccio deterministico è tuttavia utilizzabile e utilizzato in moltissimi contesti della fisica e delle altre scienze per fare previsioni sul comportamento di sistemi dinamici "semplici". Volendo essere più chiari, un sistema dinamico deterministico è completamente descritto da equazioni differenziali di un certo tipo che una volta risolte, note le condizioni iniziali da cui si parte e i parametri caratteristici del sistema stesso, permettono di determinare in modo univoco l'evoluzione futura del sistema. Ad esempio, se lasciamo un pendolo semplice da una posizione nota e con velocità nota all'istante t, in assenza di attriti e conoscendo i parametri caratteristici del pendolo stesso, è possibile determinare con precisione voluta la sua posizione dopo un tempo δt arbitrario. Esistono tuttavia dei sistemi dinamici di grande interesse teorico ed applicativo (volendo essere precisi, la maggior parte dei sistemi reali) che non sono "trattabili" con i metodi deterministici, si tratta dei cosidetti sistemi caotici ( a scanso di equivoci voglio sottolineare che non si tratta di sistemi stocastici ma di sistemi le cui equazioni differenziali descrittive sono note in modo esatto, ma presentano particolari non linearità, e questo conferisce al sistema un comportamento "caotico").

11 La relatività eliminò l'illusione newtoniana dello spazio e tempo assoluti; la teoria quantistica eliminò il sogno newtoniano di un processo di misurazione controllabile; e il caos elimina la fantasia laplaciana della prevedibilità deterministica. La branca della fisica matematica che studia tali sistemi "caotici" si chiama teoria del caos, disciplina molto complessa dal punto di vista fisico e matematico. Una lettura interessante e ben scritta è: Caos - La nascita di una nuova scienza di James Gleick... una citazione.. Dove comincia il caos si arresta la scienza classica. Finché il mondo ha avuto fisici che investigavano le leggi della natura (la scienza classica) ha infatti sofferto di una speciale ignoranza sul disordine presente nell'atmosfera, nel mare turbolento, nelle fluttuazioni delle popolazioni di animali e piante allo stato di natura, nelle oscillazioni del cuore e del cervello. L'aspetto irregolare della natura, il suo lato discontinuo e incostante, per la scienza sono stati dei veri rompicapo o peggio mostruosità.

12 Un sistema dinamico si dice caotico se presenta le seguenti caratteristiche (tutte necessarie per definire il sistema caotico): - Sensibilità alle condizioni iniziali, ovvero a variazioni infinitesime delle condizioni al contorno (o, genericamente, degli ingressi) corrispondono variazioni finite in uscita. Un semplice esempio è il comportamento di un pendolo doppio. - Imprevedibilità, cioè non si può prevedere in anticipo l'andamento del sistema su tempi lunghi rapportati al tempo caratteristico del sistema a partire da assegnate condizioni al contorno.

13 La contraddizione può essere certamente sanata ammettendo che le condizioni iniziali dell'universo fossero proprio tali da portare di necessità al momento giusto quel certo sperimentatore a fare proprio quelle esperienze che, se egli fosse stato libero di operare, lo avrebbero condotto a formulare le leggi universali del sistema allo studio. Il valore esplicativo della teoria sarebbe allora nullo e, più che nella metafisica, ricadremmo in pieno nella teologia. Inoltre anche all'interno della fisica classica sono noti da tempo fenomeni la cui evoluzione è estremamente sensibile alle condizioni iniziali (sistemi caotici). Per tali sistemi è assolutamente impossibile prevederne l'evoluzione futura ed è quindi impensabile muoversi in un'ottica propriamente deterministica. Queste considerazioni fanno comprendere come anche all'interno della fisica classica non è affatto detto che il libero arbitrio debba necessariamente essere "messo in un angolino". Inoltre, come ha osservato MacKay (citato in P. Davies, Dio e la nuova fisica), anche ammettendo una prospettiva deterministica e ipotizzando che una mente superiore fosse in grado di prevedere esattamente le nostre scelte, non potrebbe assolutamente comunicarcelo. Se lo facesse, infatti, le nostre "condizioni iniziali" cambierebbero e le sue previsioni sarebbero vanificate. Quindi possiamo salvare il nostro libero arbitrio (qualunque cosa significhi), visto che esso necessita solamente di una certa ignoranza da parte nostra nei confronti del futuro.

14 UN PO DI MATEMATICA.. Nel determinismo spinto, la possibilità di prevedere co u buo grado di attendibilità il futuro, e di ricostruire ilo passato, è legata ad un certo numero di ipotesi: La matematizzazione fra causa ed effetto è espressa da una relazione del tipo: f (forza causa) = ma ( a variazione della velocità nell unità di Tempo). Questa, dal punto di vista matematico è un equazione differeziale, che stabilisce una relazione fra ua fuzione delle coordinate ed eventualmente del tempo e la derivata della velocità rispetto al tempo (ovvero la derivata secoda della posizione rispetto al tempo). Per conoscere il fenomeno nel passato e nel futuro bisogna dare in un dato istante la velocità e la posizione del sistema (non necessariamente nello stesso istante!), e queste sono dette le CONDIZIONI INIZIALI. La relazione suddetta può essere lineare fra la funzione e le sue derivate (vedi il caso dei due corpi), e siccome, se il fenomeno è osservato, le condizioni iniziali vegono supposte misurate, la loro conosceza non sarà ovviamete perfetta (ci vorrebbero infinite cifre significative!), ma una conoscenza buona delle condizioni iniziali, ci darà i questo caso una Conoscenza buona di tuttal evoluzione del fenomeno, e del suo comportamento nel passato.

15 Questo è quanto avviene nell approccio cosidetto galileiano in cui ogni fenomeno viene cosiderato SOLO nell universo, con il suo osservatore che non interferisce in alcun modo col fenomeno stesso. Supponiamo di considerare l andamento nel tempo della coordinata x di un certo sistema in un fenomeno siffatto; la linea rossa rappresenta l andamento reale del fenomeno che io otterrei se conoscessi PERFETTAMENTE le condizioni iniziali. Il fenomeno previsto, durante tutta la sua evoluzione si discosterà poco dal fenomeno reale e quindi il potere predittivo sarà ottimo. Se si tiene conto del fatto che l osservatore è in un universo con tantissimi sistemi interagenti fra di loro, e non si può prescindere dal loro effetto sul fenomeno considerato,la linearità dell equazione differeziale va perduta e quindi anche se la condizioni iniziali sono accurate, dopo un tempo più o meno breve, ogni relazione fra la curva reale e quella predetta cessa, e quindi il fenomeno reale diventa caotico e non più predicibile. Un caso semplice di feomeno caotico è quello dei tre corpi, in cui pur dando le condizioni iniziali con buona accuratezza, dopo un po il fenomeno diventa caotico. t t xx xx X(t) X(t) x X(t) X(t) x x

16 FRATTALE Un frattale è un oggetto geometrico dotato di omotetia interna: si ripete nella sua forma allo stesso modo su scale diverse, ovvero non cambia aspetto anche se visto con una lente d'ingrandimento. Questa caratteristica è spesso chiamata auto similarità oppure autosomiglianza. Il termine frattale venne coniato nel 1975 da Benoît Mandelbrot nel libro Les Objects Fractals: Forme, Hazard et Dimension per descrivere alcuni comportamenti matematici che sembravano avere un comportamento "caotico", e deriva dal latino fractus (rotto, spezzato), così come il termine frazione; infatti le immagini frattali sono considerate dalla matematica oggetti di dimensione anche non intera.. I frattali compaiono spesso nello studio dei sistemi dinamici, nella definizione di curve o insiemi e nella teoria del caos, e sono spesso descritti in modo ricorsivo da algoritmi o equazioni molto semplici, scritte con l'ausilio dei numeri complessi.

17 La natura produce molti esempi di forme molto simili ai frattali. Ad esempio in un albero (soprattutto nell'abete) ogni ramo è approssimativamente simile all'intero albero e ogni rametto è a sua volta simile al proprio ramo, e così via; è anche possibile notare fenomeni di auto-similarità nella forma di una costa: con immagini riprese da satellite man mano sempre più grandi si può notare che la struttura generale di golfi più o meno dentellati mostra molte componenti che, se non identiche all'originale, gli assomigliano comunque molto. Frattali sono presenti anche nel profilo geomorfologico delle montagne, nelle nubi, nei cristalli di ghiaccio, in alcune foglie e fiori. Secondo Mandelbrot, le relazioni fra frattali e natura sono più profonde di quanto si creda. «Si ritiene che in qualche modo i frattali abbiano delle corrispondenze con la struttura della mente umana, è per questo che la gente li trova così familiari. Questa familiarità è ancora un mistero e più si approfondisce l'argomento più il mistero aumenta»(benoit Mandelbrot) FORMA FRATTALE DI UN BROCCOLO