Esercitazioni-aula-parte-III

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1 Esercitazioni-aula-parte-III Esempio par.7.2) Ross Sia (X 1,..., X n ) un campione aleatorio estratto da una popolazione esponenziale di parametro θ incognito. Determinare l espressione dello stimatore di massima verosimiglianza per θ. Esercizio) verificare la formula n i=1 (X i X) 2 = n i=1 X2 i n X 2 Esercizio 1) Ross cap.7 num.4 Vogliamo misurare l altezza di una torre per le telecomunicazioni sfruttando la distanza orizzontale X tra la sua base e la nostra posizione, e l angolo verticale θ sotto cui la torre viene vista a tale distanza (si faccia riferimento alla Figura 7.6). Le 5 misurazioni della distanza X hanno dato (in piedi) i valori seguenti Le 4 misurazioni dellangolo θ hanno dato in gradi e dunque in radianti Stima l altezza della torre. Esercizio 2) ROSS cap. 7 num. 6 Le piene dei fiumi vengono misurate tramite la loro portata (espressa di seguito in piedi cubi al secondo). Un numero v é detto valore di una piena secolare se P (D v) = 0.01 dove D é la portata della piú grande piena in un anno a caso. La tabella seguente riporta le portate delle maggiori piene del fiume Blackstone River, a Woonsocket nel Rhode Island, negli anni da 1929 al Assumendo che la distribuzione di questi dati sia lognormale, stima il valore di una piena secolare Esercizio 3) (Ross Cap.6 n.15) Una squadra di basket ha di fronte una stagione con 60 incontri. Di queste partite, 32 sono con squadre di livello A e 28 sono con squadre di livello B. I risultati delle partite sono tutti indipendenti; la probabilitá di vittoria é del 50% contro una squadra di tipo A e del 70% contro una squadra di tipo B. Sia X il numero totale di vittorie ottenute durante la stagione. (a) La distribuzione di X é binomiale? 1

2 Siano XA e XB il numero di vittorie contro squadre di livello A e B rispettivamente. (b) Che tipo di variabili aleatorie sono XA e XB? (c) Quale relazione lega XA, XB e X? (d) Quanto vale approssimativamente la probabilitá che vi siano almeno 40 vittorie? Esercizio 4) Ross 7.16 Supponiamo di volere stimare la media di una popolazione normale che ha entrambi i parametri incogniti. In particolare cerchiamo di determinare che numerositá deve avere il campione affinché ad un livello di confidenza 1 α, l intervallo di confidenza bilaterale abbia ampiezza non piú grande di A. Spiega come si possa realizzare approssimativamente questo progetto tramite un doppio campionamento che preveda di raccogliere un campione preliminare di ampiezza 30 e usarne i dati per dimensionare il campione definitivo. Esercizio 5) Ross cap 7 n.10 La deviazione standard per i punteggi dei candidati ad un certo esame pubblico ha tipicamente un valore di Se quest anno un primo campione di 81 candidati presenta una punteggio medio di 74.6, qual é l intervallo di confidenza bilaterale al 90% per il punteggio medio di tutti i candidati? Esercizio 6) (Ross Esempio 7.3.6) Si determini un intervallo di confidenza al 95% per la media della frequenza cardiaca a riposo degli iscritti di una palestra, nell ipotesi che un campione casuale di 15 di queste persone abbia fornito i seguenti dati: Si trovi anche un intervallo di confidenza sinistro, sempre al 95%. Esercizio 7)(Ross Cap.6 n.18) La temperatura alla quale un termostato scatta, ha distribuzione gaussiana con varianza σ 2. Considerato che lo strumento viene testato 5 volte, calcola (a) P (S 2 /σ 2 1.8) (b) P (0.85 S 2 /σ ) dove S 2 é la varianza campionaria dei cinque dati misurati. esercizio 8) Generare n (i.e.,n = 100) dati da una distribuzione normale con media e varianza fissata, successivamente calcolare l intervallo di confidenza al 95% per il parametro della media (supponendo di non conoscere la varianza della popolazione). Quindi calcolare l ampiezza dell intervallo ottenuto e verificare se l intervallo costruito contenga o meno il parametro di media corretto. Ripetere il procedimento appena descritto k volte (k=1000) e contare quante volte l intervallo di confidenza contiene il parametro di media corretto. 2

3 Esercizio 9) Supponi di essere incaricato da una ditta di produzione di lampadine di stimare la qualitá della produzione. Cioé la ditta ti richiede di stimare la probabilitá p che una lampadina prodotta dalla ditta sia non difettosa. Il sistema di produzione ti garantisce che le lampadine prodotte hanno tutte la stessa probabilitá di essere difettose e che i difetti in differenti lampadine sono indipendenti. (a) Supponi di testare n lampadine scelte a caso tra quelle prodotte dalla ditta. Qual é una buona stima (diciamola Zn) della probabilitá p, tale che Zn converge a p in probabilitá? (b) Se tu testi 50 lampadine, qual é la probabilitá che la tua stima sia nel range p±0.1? (c) Il manager della ditta ti richiede che la tua stima cada nel range con probabilitá Quante lampadine hai bisogno di testare per soddisfare la sua richiesta? Esercizio 10) Supponiamo di sapere che negli Stati Uniti la statura media di un maschio adulto é di 70 pollici, con una deviazione standard di 3 pollici. Per verificare che gli uomini di una cittá sono nella media, si sceglie un campione di 20 maschi adulti e se ne misura la statura, ottenendo i risultati seguenti: Cosa concludi? Spiega quali assunzioni stai facendo. Esercizio 11) Si supponga di aver somministrato ad un gruppo di n=12 cavie un particolare farmaco e di aver riscontrato i seguenti incrementi di peso: 55, 62,54, 57, 65, 64, 60, 63, 58, 67, 63 e 61 grammi. Sapendo che le cavie del tipo considerato (di uguale etá e condizione), quando non sono sottoposte a trattamenti, mostrano un incremento medio di peso pari a 65 grammi, ci si domanda se le osservazioni siano tali da poter attribuire al farmaco la differenza riscontrata nell incremento medio di peso; in particolare si vuole sapere cioé se il farmaco possa consentire una riduzione dell aumento del peso o oppure se tale differenza possa essere attribuita a fattori aventi carattere puramente accidentale. Esercizio 12) Ross cap.8 n.2 Un laboratorio di analisi possiede una colonia di diverse migliaia di topi, usate come cavie. É noto che il peso medio dei topi é di 32 grammi, con una deviazione standard di 4 grammi. Uno scienziato chiede ad un assistente di selezionare un campione casuale di 25 cavie; decide poi di pesarle, per controllare che la casualitá della scelta dell assistente non sia stata falsata da qualche criterio inconscio (se ad esempio i topi scelti fossero quelli piú lenti nell evitare la mano dell assistente, questo potrebbe indicare una certa inferioritá fisica di questo gruppo). Se le 25 cavie risultano in un peso medio di 30.4 grammi, si puó dire che questo evidenzi al 5% di significativitá che il campione non é stato scelto in 3

4 maniera casuale? Esercizio 13) Ross cap.8 n.3 Una distribuzione di popolazione ha deviazione standard 20. Calcola il p- dei-dati per il test dell ipotesi che la media sia 50, supponendo che la media campionaria su 64 osservazioni sia stata di (a) 52.5; (b) 55.0; (c) Esercizio 14) Una distribuzione di popolazione gaussiana ha deviazione standard 20. Calcola il p-dei-dati per il test dell ipotesi che la media sia 50, supponendo che la media campionaria sia 55 su un campione di osservazioni di numerositá (a) n=10; (b) n=60; (c) n=120. Esercizio 15) Ross cap.8 n.5 Si richiede che la pressione di rottura media di un certo tipo di fibbra sia almeno pari a 200 psi. La nostra esperienza passata ci dice che la deviazione standard per questo genere di fibbre é di 5 psi. Un campione di 8 esemplari ha fornito i valori seguenti: Concluderesti (a) al 5% o (b) al 10% di significativitá che la fibbra non é accettabile? Esercizio 18) Ross cap.8 n.15 Venti anni fa i maschi del primo anno di una certa scuola superiore erano in grado di fare in media 24 flessioni in 60 secondi. Per vedere se questo sia ancora vero al giorno d oggi, si sceglie un campione casuale di 36 maschi del primo anno, e si trova una media campionaria di 22.5, con una deviazione standard di 3.1. Possiamo concludere che la media non é piú pari a 24? Usa un livello di significativitá del 5%. Esercizio 19) Ross cap.8 n.39 A 10 donne incinte é stata somministrata una iniezione di pitocina (una forma sintetica dell ossitocina) per stimolarne il travaglio. Le pressioni sanguigne sistoliche immediatamente prima e dopo la somministrazione sono state: Prima Dopo Ti sembra che i dati indichino che l iniezione provochi un cambiamento della pressione sanguigna? Esercizio 20) Ross cap.8 n.17 La pubblicitá di una nuova auto afferma che essa é in grado di fare 30 miglia di guida in autostrada con un gallone di benzina. Volendo verificare questo fatto, si fanno 10 esperimenti indipendenti, e con quella quantitá di carburante 4

5 l automobile copre 26, 24, 20, 25, 27, 25, 28, 30, 26 e 33 miglia. Si puó credere all annuncio? Che ipotesi stai facendo? Esercizio 21 (Ross Cap.6 n.4) La roulette di un casinó ha 38 settori, numerati con 0, 00, e da 1 a 36. Scommettendo 1 su un certo numero, si vince 35 se quel numero esce, e si perde 1 altrimenti. Supponendo di continuare a scommettere in questo modo, determine approssimativamente la probabilitá di stare vincendo: (a) dopo 34, (b) dopo 1 000, e (c) dopo scommesse. Puoi assumere che tutti i 38 risultati escano con la stessa probabilitá, e che quelli di giocate diverse siano indipendenti. Esercizio 22 (Ross Cap.6 n.8) Il numero di settimane di funzionamento di un certo tipo di batterie é una variabile aleatoria con media 5 e deviazione standard 1.5. Quando una batteria si esaurisce, viene immediatamente sostituita con una nuova. Calcola approssimativamente la probabilitá che in un anno si debbano impiegare 13 o piú batterie. Esercizio 23 (Ross Cap.6 n.9) Il tempo di vita di un certo componente elettrico é una variabile aleatoria di media 100 ore e deviazione standard 20 ore. Se si provano 16 componenti di questo tipo, quanto vale la probabilitá che la media campionaria delle loro durate sia (a) minore di 104; (b) compresa tra 98 e 104? 5

6 Soluzione 1) l altezza della torre T = Xtg(θ) é una v.a. che possiamo vedere come il prodotto di due v.a. indipendenti perché possiamo supporre che gli errori di misura sulla distanza X e sull angolo θ siano indipendenti, dunque possiamo dire che E(T ) = E(X)E(tag(θ)). Supponendo che ognuna delle due v.a. abbia distribuzione di probabilitá gaussiana essendo una misura sperimentale ed ipotizzando strumenti non distorti, lo stimatore di maxverosimiglianza per la media risulta la media campionaria e dunque una stima di E(T ) = = (piedi). Soluzione 2) il logaritmo di questi dati é distribuito come una v.a. normale logd N(µ, σ 2 ). Possiamo stimare dunque ˆµ = X = e ˆσ 2 = utilizzando il log dei dati e scrivere P (D d) = P (log(d) log(d)) = P (Z log(d) ) = 0.01 dove Z é una N(0, 1). Poiché P (Z 2.32) = 0.01 segue che log(d) = 2.32 d = soluzione 3) La probabilitá di vittoria ad ogni incontro é data p = P (V ) = P (V A)P (A) + P (V B)P (B) = ( )/60 = Poich gli incontri sono tutti indipendenti allora, la v.a. X numero di successi é una Binomiale di parametri n=60 e p= Per lo stesso motivo la variabile XA é Binomiale di parametri n=32 e p=0.5 ed analogamente XB é Binomiale di parametri n=28 e p=0.7. La relazione che lega X, XA e XB é la seguente X = XA + XB dunque X é la somma di 2 Binomiali indipendenti Calcoliamo la probabilitá chiesta al punto (d): P (X 40) = 1 P (X 39) = 1 cdf( bino, 39, 60, ) = Oppure se non si dispone di un calcolare per il conto di sopra possiamo usare l approssimazione del T.C.L. vedendo la binomiale come somma di 60 bernulliane i.i.d., X np 39.5 np 1 P (X 39) = 1 P (X 39.5) = 1 P ( ) np(1 p) np(1 p) con n = 60 e p = abbiamo che la probabilitá appena scritta é approssimabile con 1 P (Z ) = 1 P (Z ) = ( ) Soluzione 4) se il capione é normale, con media e varianza incogniti, l intervallo di confidenza richiesto ha la seguente forma 6

7 [ X t α/2,n 1 S/ n, X + t α/2,n 1 S/ n] la cui ampiezza 2t α/2,n 1 S/ n deve soddisfare il vincolo richiesto 2t α/2,n 1 S/ n A.. Se adesso potessimo disporre di un primo campione di taglia n=30 potremmo calcolare S e sostituendolo nell equazione data trovare n (2t α/2,n 1 S/A) 2 Soluzione 5) Indichiamo con X la variabile casuale punteggio dell esame e supponiamo che sia gaussiana, dal testo si evince che X N(µ, ). Ci é dunque richiesta una stima intervallare per la media di questa popolazione utilizzando un campione casuale di taglia n=81 e media campionaria X = Allora siccome z α/2 = z 0.05 = possiamo scrivere l intervalo di confidenza al 90% come [ X z / 81, X + z / 81] = [72, 76]. Soluzione 6) Ipotizziamo che il campione abbia distribuzione normale e stimiamo media e varianza campionaria X = S 2 = Non conoscendo la varianza vera della popolazione dobbiamo richiamare il X µ risultato per cui S/ n t X µ n 1 e dunque avremo nel nostro caso t /15 scriviamo allora un intervallo di confidenza al 95% per una Student con 14 gradi di libertá; avremo per α = 0.05 P ( t α/2,14 T t α/2,14 ) = 1 α P ( t α/2,14 X µ /15 t α/2,14 ) = 1 α e dunque essendo t 0.025,14 = avremo P ( X /15 µ X /15) = P ( µ ) = = 0.95 Per trovare un intervallo di confidenza sinistro, sfruttiamo sempre la distribuzione della statistica t 14 : avremo per α = 0.05 X µ /15 P (T t α,14 ) = 1 α X µ P ( t α,14 ) = 1 α /15 e dunque essendo t 0.05,14 = avremo P (µ X + t α, /15) = P (µ ) = =

8 Soluzione 7) Dalla teoria sappiamo che (n 1)S 2 /σ 2 é una v.a. distribuita come una χ 2 (n 1) e questo qualunque sia n. Non é un risultato asintotico! Nel nostro caso il campione ha taglia n=5 e dunque avremo: 4S 2 /σ 2 χ 2 (4). La probabilitá richiesta al punto a) é la seguente P (S 2 /σ 2 1.8) = (4S 2 /σ ) = P (χ 2 (4) 7.2) = La probabilitá richiesta al punto b) é la seguente P (0.85 S 2 /σ ) = ( S 2 /σ ) = P (3.4 χ 2 (4) 4.6) = Soluzione 8) da implementare al calcolatore Soluzione 9) Definiamo la generica v.a. di Bernulli X i che assume valore 1 con probabilitá p e valore 0 con probabilitá 1-p. Allora abbiamo che E(X i ) = p e var(x i ) = p(1 p), inoltre per la l.d.g.n. abbiamo che una buona stima di p é la v.a. Z n = 1 n n i=1 X i perché essa converge in probabilitá alla media della v.c. che é appunto p. (a) La domanda si traduce nel calcolare oppure approssimare la seguente probabilitá P ( Z 50 p 0.1) Poiché Z 50 é una v.a. proporzionale ad una Binomiale di parametri n=50 e p incognito, possiamo dire che E(Z 50 ) = p e var(z 50 ) = p(1 p) 50 e dunque possiamo maggiorare la probabilitá richiesta con la disuguaglianza di Chebychev (che vale per qualunque v.a.): P ( Z 50 p 0.1) 1 p(1 p) (1) Poiché p varia nell intervallo [0,1] si ha p(1 p) 1/4, si ha che la varianza piú grande, e dunque secondo membro delle disuguaglianza piú piccolo, é il caso p=1/2. Per cui, nel caso peggiore cioé quando la varianza delle X i é massima cioé vale 1/4 e quindi p = 1/2, otteniamo P ( Z 50 p 0.1) 1 1/ = 0.5 la quale non é tanto buona essendo la stima nel range di precisone richiesto solo con una confidenza del 50%. Un alternativa alla soluzione percorsa é fornita dal T.C.L. che essendo (n = 50 > 30) possiamo pensare di applicare; per cui diciamo che con una buona approssimazione Z 50 N(p, p(1 p) 50 ), da cui segue che Z 50 p 0.1 P ( Z 50 p 0.1) = P ( ) P ( Z ) p(1 p)/50 p(1 p)/50 p(1 p) Ancora una volta quanto piú p é vicino agli estremi (0,1) tanto piú l intervallo [ / p(1 p), / p(1 p)] é grande e dunque la probabilitá di una 8

9 normale standard di starci dentro é grande; tanto piú p é vicino ad 1/2 tanto piú l intervallo [ / p(1 p), / p(1 p)] é piccolo e dunque la probabilitá di una normale di starci dentro é piccola. Il caso peggiore si ha quando p=1/2 e dunque l intervallo vale [ , ]. per cui la probabilitá di una normale standard di starci dentro é F(1.4142)-F( )= Dunque nel caso peggiore (p=1/2) varianza massima della popolazione Bernulliana in esame, a paritá di precisione l approssimazione fornita dal T.C.L. é piú confidente di quella fornita dalla disuguaglianza di Chebychev. (b) La richiesta equivale a trovare il minimo n (numero di lampadine da testare) tale che la seguente disuguaglianza venga soddisfatta P ( Z n p 0.1) 0.95 e dunque dalla disuguaglianza di Chebychev (1), scritta per un n qualsiasi, dobbiamo trovare il minimo n per cui vale la seguente disuguaglianza P ( Z n p 0.1) 1 p(1 p) p(1 p) 0.95 n n Poich p é incognita possiamo solo dire che la richiesta di sopra é sicuramente soddisfatta quando n é maggiore del massimo che pu assumere il secondo 1 membro dunque n = Notate che n maggiore di 500 garantisce l accuratezza richiesta 0.1 con la confidenza richiesta 95% per tutti i possibili valori di p anche per quello che massimizza la varianza, cioe p=1/2. Comunque siccome ci aspettiamo che p sia lontano da 1/2, possiamo dire che n maggiore di 500 é un approssimazione per eccesso del numero di lampadine necessarie da testare. Vediamo se sfruttando il T.C.L. possiamo assicurarci la stessa accuratezza, 0.1, con la stessa confidenza, 95%, con un numero diverso di lampadine... Dall approssimazione fornita dal T.C.L. si ha che per n abbastanza grande Z n p P ( Z n p 0.1) = P ( p(1 p)/n 0.1 p(1 p)/n ) P ( Z 0.1 p(1 p)/n ) Poiché per una normale standard vale P ( Z 1.96) = 0.95, essendo z = 1.96, dobbiamo imporre che n p(1 p) p(1 p)/n = 385p(1 p) Ancora una volta per garantire la richiesta anche nel caso peggiore (p=1/2) si ha che n 97 Osserviamo che ancora una volta il T.C.L. porge risultati migliori della disuguaglianza di Chebichev. Soluzione 10) Testiamo l ipotesi H 0 : µ = 70 contro l alternativa H 1 : µ 70, si ottiene un p- dei dati pari a e dunque l ipotesi nulla é da rifiutare 9

10 Soluzione 11) Testiamo l ipotesi H 0 : µ 65 contro l alternativa H 1 : µ < 6570, si ottiene un p- dei dati pari a P H0 (t 11 < 3.63) = e dunque l ipotesi nulla é da rifiutare Soluzione 12) testiamo l ipotesi nulla H 0 : µ = 32 che é appunto l ipotesi neutra e vediamo se il campione ci fornisce un evidenza sperimentale che la contraddice a favore dell alternativa H 1 : µ 32. Abbiamo dunque X = 30.4, σ = 4, n = 25, anche se la popolazione non fosse gaussiana potremmo usare comunque l approssimazione fornita dal teorema centrale del limite e dunque usiamo z-test X µ σ/ n = 2 2 > 1.96 = z e dunque la statistica X µ σ/ fornisce un valore nella regione critica al livello di n significativitá del 5%. Il p-dei-dati vale P ( Z 2) = 2P (Z 2) = che infatti é piú piccolo di α = Notate che se avessimo chiesto un livello α = 0.01 la regione critica sarebbe stata Z > e avremmo dunque accettato l ipotesi. Il p-dei-dati ci dice qualcosa di piú: é piccolo e dunque é poco plausibile che i dati siano stati estratti da una popolazione di media µ = 32. Soluzione 13) dobbiamo testare l ipotesi nulla H 0 : µ = 50, contro l alternativa che H 1 : µ 50. Il campione ha numerositá n=64, dunque é abbastanza numeroso per poter utilizzare l approssimazione del T.C.L. per cui Z = X µ 0 σ/ n = X 50 20/ 64 distribuita come una normale standard. Valutiamo il p-dei dati nelle tre situazioni 1. (a) X = 52.5 z = da cui segue p value = P ( Z > ) = 2P (Z > ) = 0.32 questo é un p piuttosto alto che ci spinge ad accettare con ogni livello di significativitá plausibile (α = 0.1; 0.05; 0.01) l ipotesi nulla. 2. (b) X = 55 z = da cui segue p value = P ( Z > ) = 2P (Z > ) = 0.04 se il livello di significativitá é fissato ad α = 0.1 oppure α = 0.05 l ipotesi é rifiutata, mentre se α = 0.01 l ipotesi nulla sarebbe da accettare. Ecco perché il p value puó essere una misura piú specifica della plausibilitá dell ipotesi nulla piuttosto che la sola risposta accetto/rifiuto con significativitá α. 3. (c) X = 57.5 z = da cui segue p value = P ( Z > ) = 2P (Z > ) = questo é un p piccolissimo che, ad ogni livello di significativitá plausibile, ci autorizza a rifiutare l ipotesi nulla. 10

11 Soluzione 14) dobbiamo testare l ipotesi nulla H 0 : µ = 50, contro l alternativa che H 1 : µ 50. Il campione ha media campionaria 55 ed una numerositá n = 10; n = 60; n = 120, utilizziamo la statistica Z = X µ 0 σ/ n = X 50 20/ distribuita come una n normale standard. Valutiamo il p-dei dati nelle tre situazioni 1. (a) n = 10 z = da cui segue p value = P ( Z > ) = 2P (Z > ) = questo é un p piuttosto alto che ci spinge ad accettare con ogni livello di significativitá plausibile (α = 0.1; 0.05; 0.01) l ipotesi nulla, sarebbe piú giusto dire che non possiamo rifiutarla abbiamo troppi pochi dati (b) n = 60 z = da cui segue p value = P ( Z > ) = 2P (Z > ) = se il livello di significativitá é fissato ad α = 0.1 l ipotesi é rifiutata, mentre se α = 0.05 oppure α = 0.01 l ipotesi nulla sarebbe da accettare. Ecco perché il p value puó essere una misura piú specifica della plausibilitá dell ipotesi nulla piuttosto che la sola risposta accetto/rifiuto con significativitá α. In questo caso 60 dati sono sufficienti a far dubitare fortemente dell ipotesi nulla (c) n = 120 z = da cui segue p value = P ( Z > ) = 2P (Z > ) = questo é un p piccolissimo che, ad ogni livello di significativitá plausibile, ci autorizza a rifiutare l ipotesi nulla. Con 120 siamo molto piú confidenti nel rifiuto dell ipotesi nulla Soluzione 15) La fibbra é accetabile se µ 200. Testiamo allora l ipotesi H 0 : µ 200 contro l alternativa H 1 : µ < 200 che la fibbra non sia accetabile. Ipotizziamo che la popolazione possa essere descritta da una normale ed essendo σ = 5 nota, utilizziamo lo z-test. Valutiamo Z = X µ 0 σ/ nel nostro campione, poiché n X = la statistica assume valore z = , utilizziamo il test ad una coda (il terzo della tabella 8.1) ed otteniamo α = > = z 0.05 α = > = z 0.1 in entrambe i casi accettiamo dunque l ipotesi nulla, o meglio non possiamo rifiutarla. 11

12 Soluzione 18) dobbiamo testare l ipotesi H 0 : µ = 24 contro l alternativa che la media sia cambiata H 1 : µ 24. Il campione é abbastanza numeroso, per cui anche se non fosse normale potremmo usare la statistica di student T = X µ 0 S/ con n 1 gradi n libertá; nel nostro caso la statistica assume valore ( ) 35/3.1 = Essendo poi t 0.025,35 = > e dunque l ipotesi nulla viene rifiutata, per cui si puó concludere che la media non sia piú quella del passato. Soluzione 19) Calcoliamo la differenza tra le pressioni sanguigne prima e dopo l iniezione ed otteniamo d = [6, 8, 3, 4, 6, 2, 6, 1, 7, 2]. Ipotizziamo che la differenza sia una v.a. gaussiana ed testiamo l ipotesi nulla H 0 : µ = 0 contro l alternativa che H 1 : µ 0. poiché X = , S = , n = 10, otteniamo che la statistica di student T = X µ 0 S/, vale e dunque ad un livello di significativitá n α = 0.05 possiamo dire che essendo > t 0.025,9 = rifiutiamo l ipotesi nulla. Oppure valutando il p-dei-dati otteniamo p = P ( T ) = 2P (T 9 > 2.333) = e dunque rifiuteremmo l ipotesi nulla ad un qualunque livello di significativitá piú alto di Rifiutando l ipotesi che la differenza sia zero sia accetta l alternativa (con un margine di errore anche abbastanza basso ) che la differenza di pressione sia diversa da zero. Soluzione 20) Sotto l ipotesi che i dati siano distribuiti gaussianamente possiamo sfruttare la statistica T = che nel nostro campione assume valore t = ed X 30 S/ 10 é distribuita come una Student con n 1 = 9 gradi di libertá. Per verificare quanto affermato dalla pubblicitá ad un livello di significativitá α = 0.05, vediamo se i dati raccolti sono compatibili con l ipotesi che l auto proposta sia in grado di fare almeno 30 miglia cioe, verifichiamo H 0 : µ 30 contro l alternativa H 1 : µ < 30. Il test da fare é un test di student ad una coda, in particolare ad un livello di significativitá α = 0.05, abbiamo t 0.05,9 = Poiché < t 0.05,9 = siamo costretti a rifiutare l ipotesi nulla, dicendo che c é un evidenza sperimentale che ci spinge a dire che vale l alternativa e dunque non vale l ipotesi della ditta. soluzione 21) Indichiamo con S n = n i=1 X i la vincita dopo n giocate, dove le X i sono i.i.d. ciascuna distribuita nella seguente maniera P (X i = 1) = 37/38 e P (X i = 35) = 1/38, per cui la sua media e la sua varianza saranno E(X) = e var(x) = Per il TCL sappiamo che la probabilitá che S n ne(x) nvar(x) appartenga ad un certo intervallo é ben approssimabile con la probabilitá che una N(0, 1) appartenga allo steso intervallo. In questo caso l intervallo a cui siamo interessati é (0, + ) e dunque avremo (a) P (S 34 > 0) P (Z > ) = P (Z > ) =

13 (b)...=0.328 (c)...=0 soluzione22) Un anno é costituito da 52 settiane e dunque affinché in un anno si debbano impiegare 13 o piú batterie il numero di settimane di vita di 12 batterie deve essere minore di 52. Il numero di settimane di vita di 12 batterie consecutive é S 12 = 12 i=1 X i dove le X i sono i.i.d. con distribuzione incognita ma di cui conosciamo la E(X i ) = 5 e var(x i ) = Per il TCL P (S 12 < 52) = P ( S < 1.5 ) P (Z < ) = soluzione 23) A prescindere da quale sia la distribuzione della generica v.c. X i che descrive il tempo di vita del componente elettrico, noi conosciamo E(X i ) = 100 e var(x i ) = 20 2 e dunque per il TCL possiamo approssimare la probabilitá che X / n stia in un certo intervallo con la probabilitá che una normale standard sia in quell intervallo. (a) P ( X < 104) = P ( X / < / 16 ) P (Z < 19.2) = (b) P (98 < X < 104) P ( 0.4 < Z < 19.2) = References [1] G. Dall Aglio Caloclo delle probabilitá. sec Edizione Zanichelli. [2] Ross Sheldon Probabilitá e Statistica per l ingegneria e le Scienze APOGEO ed. 13

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