Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del
|
|
- Annalisa Nigro
- 8 anni fa
- Visualizzazioni
Transcript
1 Corso di Laurea Magistrale i Igegeria Iformatica A.A. 014/15 Complemeti di Probabilità e Statistica Prova scritta del del Puteggi: ;. +3 ; ; Totale = 30. Tempo a disposizioe:.5 ore per 5 CFU; 3 ore per 9 CFU PARTE I: STATISTICA INFERENZIALE Esercizio 1. Nel gioco della roulette la probabilità che esca rosso è pari a 18. U cliete di u oto casiò, sospettado che la roulette sia truccata, prede ota del umero delle giocate x 1 ecessarie affiché esca rosso la prima volta, del umero delle giocate x successive a x 1, ecessarie affiché esca rosso la secoda volta fio al umero delle giocate x successive a x 1 +x +...+x 1, ecessarie affiché esca rosso l -sima volta. I tal modo egli osserva la realizzazioe di u campioe estratto da ua legge geometrica modificata f(x, θ = θ(1 θ x 1, θ (0, 1, x N \ 0} } (i Si determiio gli stimatori di massima verosimigliaza per il parametro θ, per la media e per la variaza della legge idicata.(suggerimeto: Si ricordi che la media e la variaza del modello i esame soo µ(θ = 1 θ e σ (θ = 1 θ θ. (ii si verifichi che lo stimatore di massima verosimigliaza della media è efficiete. Su u campioe di ampiezza 5 si osservao i segueti dati: (1, 4,,, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 3,, 1, 1, 5, 3, 4,,, 1, 1, 6,,, 3 (iii Costruire u test asitotico per la verifica dell ipotesi H 0 : θ = 18 i alterativa a H 1 : θ 18 a livello Cotiuazioe (iii per i 9 crediti. Calcolare ed iterpretare il p-value del precedete test. Esercizio. Il proprietario di ua idustria tessile deve acquistare u macchiario che taglia pezzi di stoffa di lughezza media fissata. No fidadosi della garazia forita dal veditore, decide di fare u cotrollo sulla precisioe del macchiario. A tale proposito osserva il coteuto (X 1,..., X 1 di 1 pezzi di stoffa tagliati e prede ota della variaza campioaria S1 = 0.3 cm. Sapedo che la precisioe della macchia è stabilita dal fatto che la deviazioe stadard debba essere miore o uguale a 0.4 cm, suppoedo X i N(µ, σ (i costruire u itervallo di cofideza di livello 0.95 per σ ; (ii costruire u test di ampiezza 0.01 per verificare l ipotesi che la macchia o sia sufficietemete precisa; (9 crediti calcolare ed iterpretare il p-value del test precedete. 1
2 PARTE II: PROCESSI DI MARKOV Esercizio 3. Si cosideri la CM a tempo discreto co spazio degli stati E = 1,, 3}, avete per matrice delle probabilità di trasizioe: 0 1/3 /3 P = e co distribuzioe iiziale ν uiforme su E. (i Classificare gli stati della CM, determiado evetuali stati periodici. (ii Calcolare P (X = 3, X 0 = 1, X 4 = 3 e P (X = 3. (iii Dire se esiste e, i caso affermativo, calcolarlo. p ( 13 lim p ( 31 (iv Trovare le distribuzioi ivariati della CM e, se esiste, la distribuzioe stazioaria π. (iv Trovare il miimo k per cui risulta p (k ij π j Esercizio 4. Si cosideri ua coda M/M/ co icogito, ove gli arrivi soo Poissoiai co itesità λ e i tempi di servizio hao distribuzioe espoeziale di parametro µ. Sia X(t il umero di clieti preseti el sistema al tempo t 0. Se λ/µ = : (i discutere al variare di la codizioe per l esisteza della distribuzioe stazioaria π 0, π 1,... e, se possibile, trovare i modo che π 0 = 1 9. E possibile determiare esattamete λ e µ? (ii Per il valore trovato, calcolare π k, per k 4. (iii Per il valore trovato, calcolare P (X( > 1 X( 3. (iv Per il valore trovato, calcolare il umero medio di clieti i coda (si ricordi che, per ua coda M/M/, si ha L c = ρ π 0! (v Per α, β, γ > 0, sia ( ρ (1 ρ. α β γ Q = β γ β γ β α (I Trovare i valori di α, β, γ > 0 i modo che Q sia il geeratore di ua CM a tempo cotiuo e spazio degli stati E = 1,, 3}, per cui risulti lim t e tq = 3U 1 dove U rappreseta la matrice 3 3, i cui elemeti soo tutti 1. (II I particolare, tra i valori di α, β, γ otteuti, trovare quelli per cui: 3 E(T 1 = E(T e P (T 3 1 = e 3 dove T i, i = 1,, 3 rappreseta il tempo di permaeza della CM ello stato i. (III Per la CM che ha per geeratore quello trovato al puto (II, (a trovare la distribuzioe ivariate e, se esiste, quella stazioaria e calcolare approssimativamete le probabilità di trasizioe p ij (t al tempo t = 0.01 ; (b calcolare le probabilità di trasizioe p ij della CM a tempo discreto accelerata, otteuta trascurado il tempo di permaeza ei vari stati e trovare la distribuzioe stazioaria π associata a questa CM. C è differeza tra π e π? I caso affermativo, spiegare il motivo.
3 Complemeti di Probabilità e Statistica a.a. 014/15 Soluzioi della prova scritta del Esercizio 1. (i La fuzioe di verosimigliaza è e la log-verosimigliaza L(θ, x 1,..., x = θ (1 θ X i. log L(θ, x 1,..., x = log θ + ( X i log(1 θ La log-verosimigliaza è derivabile e quidi il massimo è u puto stazioario; pertato d log L(θ, x 1,..., x dθ = θ X i 1 θ d log L(θ, x 1,..., x 0 θ dθ X i Pertato θ(x 1,..., X = X. i Idicate co µ(θ e σ(θ la media e la variaza del modello i esame, è oto che µ(θ = 1 θ e σ (θ = 1 θ θ. Pertato, dalla proprietà di ivariaza si ricava µ = 1 θ = X i = X σ = 1 θ θ = 1 θ 1 θ = (X X (ii La media campioaria è sempre uo stimatore corretto della media teorica; quidi per valutare l efficieza dobbiamo cotrollare che la sua variaza coicida co il limite iferiore di Cramer- Rao. A tale scopo calcoliamo l iformazioe di Fisher [ (d ] [ (1 ] log f(x, θ I X (θ = E dθ = V ar(x (1 θ = 1 θ (1 θ = E θ X 1 1 θ Di cosegueza, il limite iferiore di Cramer-Rao è B (θ = (µ (θ I X (θ = θ (1 θ (1 θ θ 4 = θ = [ (1 ] 1 (1 θ E θ X = metre V ar( µ = V ar(x = (1 θ θ. Lo stimatore µ è pertato efficiete. (iii Il test del rapporto di verosimigliaza geeralizzato per la verifica dell ipotesi H 0 : θ Θ 0 i alterativa a H 1 : θ Θ 0 è defiito attraverso la regioe critica C = (x 1,..., x R tale che Λ (x 1,..., x = sup } θ Θ 0 L(θ; x 1,..., x sup θ Θ L(θ; x 1,..., x < k. Per u opportuo k. Nel caso i esame L(θ; x 1,..., x = = θ (1 θ x i sup L(θ; x 1,..., x =L θ Θ 0 ( 18 ; x 1,..., x sup L(θ; x 1,..., x =L( θ; x 1,..., x = L θ Θ = 18 5 ( 19 xi 5 ( 1 x ; x 1,..., x = 1 5 ( 1 1 x i 5 x x 3
4 Quidi Λ (x 1,..., x = L ( 18 ; x 1,..., x L( θ; x 1,..., x = ( 18 5 ( 19 x x x 1 x i 5 Ora, poiché se H 0 è vera l Λ (x 1,..., x χ 1 il test cercato corrispode alla regioe critica C = (x 1,..., x R tale che l Λ (x 1,..., x > k }. dove k = χ 1,0.99 = 6.63 e l Λ (x 1,..., x = 50 l ( 18 x ( ( x 19 x i 5 l x 1. Esplicitamete ( ( 18 C = (x 1,..., x R tale che 50 l x ( } 19 x x i 5 l > x 1 Ora le osservazioi campioarie producoo 5 x i = 56, x 5 =.4, e e quidi l Λ (x 1,..., x = Pertato o si rifiuta l ipotesi ulla. Il p-value, o livello di sigificatività osservato, coicide co 1 F χ 1 (0.361 = Esercizio. (i Ricordiamo che l itervallo di cofideza per la variaza quado si campioa da u legge ormale di media icogita, ha l espressioe [ ( Xi X ( Xi χ, X ] 1 α, 1 Dai dai campioari si ricava: χ α, 1 ( Xi X = 0 S 1 = = 4.6, χ 0.05,0 = 9.59 χ 0.975,0 = 34. e quidi l itervallo di cofideza cercato è [ , 4.6 ] = [0.135, 0.48] (ii Si vuole costruire u test per la verifica dell ipotesi H 0 : σ 0.4 = 0.16 i alterativa a H 1 : σ < Il test di ampiezza 0.01 basato sulla statistica test S1 corrispode alla regioe critica C = } (x 1,..., x 1 X (1 tali che 0 S < χ 0.01,0 Sostituedo i dati campioari ella statistica si ottiee = 8.75 e χ 0.01,0 = 8.6, pertato o si rifiuta H 0 al livello assegato. (9 crediti Il valore del p-value è la soluzioe del seguete calcolo ( P σ = S < 8.75 = F χ 0 ( ed è u valore troppo alto per rifiutare l ipotesi ulla. Più precisamete i dati empirici si adattao fortemete ai valori della variaza specificati ell ipotesi ulla. 4
5 PARTE II: PROCESSI DI MARKOV 3. (i Gli stati formao u uica classe di stati ricorreti. Ioltre, ad esempio, p ( 11 > 0 e p(3 11 > 0 per cui, essedo MCD, 3} = 1, si ottiee che lo stato 1 è aperiodico, e quidi ache e 3 soo aperiodici. (ii Si ha ν = ( 1 3, 1 3, 1 3. La probabilità richiesta è Abbiamo utilizzato che: Si ha p ( 13 = 1/3, p( 33 P (X 0 = 1, X = 3, X 4 = 3 = ν 1 p ( 13 p( 33 = = 7. = /3, p( 3 /3 0 1/3 P = /3 /3 = 0. Allora: P (X = 3 = (iii Dal successivo puto si ottiee che 3 k=1 ν k p ( k3 = 1 [ ] = p ( 13 lim = π p ( 3 /π 1 = 3/7 3/7 = (iv La CM è regolare (P s > 0 co s = 5 e p (5 ij α = 1/9. Risolvedo l equazioe πp = π, si ottiee u uica distribuzioe ivariate π = ( 3 7, 1 7, 7 3, che è ache stazioaria. Ricordado che, dal Teorema ergodico, p (k ij dove β = (1 α 1/s = ( 8 9 1/5, occorre imporre che π j β s ( (8 1/5 k Passado ai logaritmi, e risolvedo la disequazioe, si ottiee k (i Si ha ρ = λ/µ = ; la codizioe per l esisteza della distribuzioe stazioaria è ρ <, quidi deve essere >. La distribuzioe stazioaria dipede solo dal rapporto ρ = λ/µ, quii o è possibile determiare i valori di λ e µ. Visto che per ua coda M/M/ valgoo le formule: π k = ρ k k! π 0 se 1 k ρ k! k π 0 se k + 1 (1 π 0 = [ k=0 ] 1 ρ k k! + ρ+1 (!( ρ sostituedo π 0 = 1 9, ρ = ell equazioe ( e procededo per tetativi rispetto ad (abbiamo già trovato che deve essere >, si trova che ( è soddisfatta per = 3. (ii Dalle (1, per = 3 e ρ =, si trova π 1 = /9, π = /9, π 3 = 4/7, π 4 = /7. (iii Si ha: π + π 3 P (X( > 1 X( 3 = = 10 π 0 + π 1 + π + π 3 1 (iv Sostituedo = 3, ρ = e π 0 = 1/9 i L c = ρ π 0 (v (I Le codizioi affiché Q sia u geeratore soo:! α = β + γ e γ = β (ρ/ (1 ρ/, si trova L c = 8/9. 5
6 Si ottiee quidi, per β > 0 : 3β β β Q = β β β β β 3β Per tali valori, ioltre, ache la somma degli elemeti sulle coloe è zero, per cui dalla teoria segue che P (t = e tq è bistocastica, e quidi la distribuzioe stazioaria è quella uiforme. Duque i, j : lim t p ij (t = 1/3, ovvero lim t e tq = 1 3 U, e quidi lim t e tq = ( 1 3 U 1 = 3U 1. (Che la distribuzioe stazioaria esiste, segue dal successivo puto (II. (II Siccome i tempi T i hao distribuzioe espoeziale di parametro 3β, β, e 3β, rispettivamete, la codizioe 3 E(T 1 = E(T implica 3 1 3β = 1 β, che è sempre verificata, metre la codizioe P (T 3 1 = e 3 implica e 3β = e 3, ovvero β = 1. Allora: Q = Gli autovalori di Q soo: 0, 5, 3; siccome quelli o ulli hao parte reale egativa, per β = 1 P (t è regolare. (a Siccome P (t = Id + tq + o(t, per t 0, si ottiee: P ( > I realtà, come è facile verificare, ache se β 1, risulta ugualmete P (0.01 > 0, che implica, ad esempio, che P (1 è regolare per ogi β, e quidi la distribuzioe stazioaria esiste e coicide co quella ivariate, che è la distribuzioe uiforme sugli stati. (b La CM a tempo discreto accellerata ha probabilità di trazizioe p ij = q ij /( q ii, per i j, e p ii = 0; pertato: 0 1/3 /3 P = 1/ 0 1/ /3 1/3 0 Siccome questa CM a tempo discreto è regolare ( P > 0, la distribuzioe stazioaria π coicide co quella ivariate e si ottiee risolvedo l equazioe π P = π, da cui si ricava: π = (3/8, 1/4, 3/8 π = (1/3, 1/3, 1/3 La CM a tempo cotiuo origiale e quella accelerata a tempo discreto o hao lo stesso comportameto, i quato i tempi medi di permaeza ei tre stati o soo tutti uguali tra loro (soo rispettivamete 1/3, 1/ e 1/3 e quidi la CM spede diverse frazioi di tempo soggiorado ei diversi stati. Se tali tempi medi fossero stati uguali, le due catee avrebbero evideziato lo stesso comportameto all equilibrio. 6
DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE
DEFINIZIONE PROCESSO LOGICO E OPERATIVO MEDIANTE IL QUALE, SULLA BASE DI UN GRUPPO DI OSSERVAZIONI O DI ESPERIMENTI, SI PERVIENE A CERTE CONCLUSIONI, LA CUI VALIDITA PER UN COLLETTIVO Più AMPIO E ESPRESSA
DettagliLA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI
LA VERIFICA DELLE IPOTESI SUI PARAMETRI E u problema di ifereza per molti aspetti collegato a quello della stima. Rispode ad u esigeza di carattere pratico che spesso si preseta i molti campi dell attività
DettagliSoluzione La media aritmetica dei due numeri positivi a e b è data da M
Matematica per la uova maturità scietifica A. Berardo M. Pedoe 6 Questioario Quesito Se a e b soo umeri positivi assegati quale è la loro media aritmetica? Quale la media geometrica? Quale delle due è
DettagliMatematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica
Matematica II: Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica ELT A-Z Docete: dott. F. Zucca Esercitazioe # 4 1 Distribuzioe Espoeziale Esercizio 1 Suppoiamo che la durata della vita di ogi membro di
DettagliCONCETTI BASE DI STATISTICA
CONCETTI BASE DI STATISTICA DEFINIZIONI Probabilità U umero reale compreso tra 0 e, associato a u eveto casuale. Esso può essere correlato co la frequeza relativa o col grado di credibilità co cui u eveto
DettagliI appello - 29 Giugno 2007
Facoltà di Igegeria - Corso di Laurea i Ig. Iformatica e delle Telecom. A.A.6/7 I appello - 9 Giugo 7 ) Studiare la covergeza putuale e uiforme della seguete successioe di fuzioi: [ ( )] f (x) = cos (
DettagliV Tutorato 6 Novembre 2014
1. Data la successioe V Tutorato 6 Novembre 01 determiare il lim b. Data la successioe b = a = + 1 + 1 8 6 + 1 80 + 18 se 0 se < 0 scrivere i termii a 0, a 1, a, a 0 e determiare lim a. Data la successioe
DettagliANALISI MATEMATICA 1 Area dell Ingegneria dell Informazione. Appello del 5.02.2013 TEMA 1. f(x) = arcsin 1 2 log 2 x.
ANALISI MATEMATICA Area dell Igegeria dell Iformazioe Appello del 5.0.0 TEMA Esercizio Si cosideri la fuzioe f(x = arcsi log x. Determiare il domiio di f e discutere il sego. Discutere brevemete la cotiuità
DettagliTerzo appello del. primo modulo. di ANALISI 18.07.2006
Terzo appello del primo modulo di ANALISI 18.7.26 1. Si voglioo ifilare su u filo delle perle distiguibili tra loro solo i base alla dimesioe: si hao a disposizioe perle gradi di diametro di 2 cetimetri
DettagliEQUAZIONI ALLE RICORRENZE
Esercizi di Fodameti di Iformatica 1 EQUAZIONI ALLE RICORRENZE 1.1. Metodo di ufoldig 1.1.1. Richiami di teoria Il metodo detto di ufoldig utilizza lo sviluppo dell equazioe alle ricorreze fio ad u certo
DettagliIl test parametrico si costruisce in tre passi:
R. Lombardo I. Cammiatiello Dipartimeto di Ecoomia Secoda Uiversità degli studi Napoli Facoltà di Ecoomia Ifereza Statistica La Verifica delle Ipotesi Obiettivo Verifica (test) di u ipotesi statistica
DettagliSTATISTICA INFERENZIALE SCHEDA N. 2 INTERVALLI DI CONFIDENZA PER IL VALORE ATTESO E LA FREQUENZA
Matematica e statistica: dai dati ai modelli alle scelte www.dima.uige/pls_statistica Resposabili scietifici M.P. Rogati e E. Sasso (Dipartimeto di Matematica Uiversità di Geova) STATISTICA INFERENZIALE
DettagliSUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE
SUCCESSIONI E SERIE NUMERICHE. Successioi umeriche a. Defiizioi: successioi aritmetiche e geometriche Cosideriamo ua sequeza di umeri quale ad esempio:,5,8,,4,7,... Tale sequeza è costituita mediate ua
DettagliUniversità degli Studi di Bergamo - Corsi di laurea in Ingegneria Edile e Tessile Indici di posizione e variabilità Esercitazione 2
Uiversità degli Studi di Bergamo - Corsi di laurea i Igegeria Edile e Tessile Idici di posizioe e variabilità Esercitazioe 2 1. Nella seguete tabella si riporta la distribuzioe di frequeza del cosumo i
DettagliSuccessioni. Grafico di una successione
Successioi Ua successioe di umeri reali è semplicemete ua sequeza di ifiiti umeri reali:, 2, 3,...,,... dove co idichiamo il termie geerale della successioe. Ad esempio, discutedo il sigificato fiaziario
DettagliTecnica delle misurazioni applicate Esame del 4 dicembre 2007
Tecica delle misurazioi applicate Esame del 4 dicembre 7 Problema 1. Il propulsore Mod. WEC viee prodotto da ACME Ic. mediate u processo automatizzato: dati storici cofermao che la lavorazioe di ogi elemeto
DettagliSerie numeriche: esercizi svolti
Serie umeriche: esercizi svolti Gli esercizi cotrassegati co il simbolo * presetao u grado di difficoltà maggiore. Esercizio. Dopo aver verificato la covergeza, calcolare la somma delle segueti serie:
DettagliSUCCESSIONI NUMERICHE
SUCCESSIONI NUMERICHE Ua fuzioe reale di ua variabile reale f di domiio A è ua legge che ad ogi x A associa u umero reale che deotiamo co f(x). Se A = N, la f è detta successioe di umeri reali. Se co si
DettagliAnalisi statistica dell Output
Aalisi statistica dell Output IL Simulatore è u adeguata rappresetazioe della Realtà! E adesso? Come va iterpretato l Output? Quado le Osservazioi soo sigificative? Quati Ru del Simulatore è corretto effettuare?
Dettagli52. Se in una città ci fosse un medico ogni 500 abitanti, quale sarebbe la percentuale di medici? A) 5 % B) 2 % C) 0,2 % D) 0,5% E) 0,02%
RISPOSTE MOTIVATE QUIZ D AMMISSIONE 2000-2001 MATEMATICA 51. L espressioe log( 2 ) equivale a : A) 2log B) log2 C) 2log D) log E) log 2 Dati 2 umeri positivi a e b (co a 1), si defiisce logaritmo i base
Dettagli1 Limiti di successioni
Esercitazioi di matematica Corso di Istituzioi di Matematica B Facoltà di Architettura Ao Accademico 005/006 Aa Scaramuzza 4 Novembre 005 Limiti di successioi Esercizio.. Servedosi della defiizioe di ite
DettagliStatistica (Prof. Capitanio) Alcuni esercizi tratti da prove scritte d esame
Statistica (Prof. Capitaio) Alcui esercizi tratti da prove scritte d esame Esercizio 1 Il tempo (i miuti) che Paolo impiega, i auto, per arrivare i ufficio, può essere modellato co ua variabile casuale
Dettagli5 ln n + ln. 4 ln n + ln. 6 ln n + ln
DOMINIO FUNZIONE Determiare il domiio della fuzioe f = l e e + e + e Deve essere e e + e + e >, posto e = t si ha t e + t + e = per t = e e per t = / Il campo di esisteza è:, l, + Determiare il domiio
DettagliFoglio di esercizi N. 1 - Soluzioni
Foglio di esercizi N. - Soluzioi. Determiare il domiio della fuzioe f) = log 3 + log 3 3)). Deve essere + log 3 3) > 0, ovvero log 3 3) >, ovvero prededo l espoeziale i base 3 di etrambi i membri) 3 >
DettagliStatistica 1 A.A. 2015/2016
Corso di Laurea i Ecoomia e Fiaza Statistica 1 A.A. 2015/2016 (8 CFU, corrispodeti a 48 ore di lezioe frotale e 24 ore di esercitazioe) Prof. Luigi Augugliaro 1 / 19 Iterdipedeza lieare fra variabili quatitative
DettagliAnno 5 Successioni numeriche
Ao 5 Successioi umeriche Itroduzioe I questa lezioe impareremo a descrivere e calcolare il limite di ua successioe. Ma cos è ua successioe? Come si calcola il suo limite? Al termie di questa lezioe sarai
DettagliTeorema 13. Se una sere converge assolutamente, allora converge:
Apputi sul corso di Aalisi Matematica complemeti (a) - prof. B.Bacchelli Apputi 03: Riferimeti: R.Adams, Calcolo Differeziale.- Si cosiglia vivamete di fare gli esercizi del testo. Covergeza assoluta e
DettagliCorso di laurea in Matematica Corso di Analisi Matematica 1-2 Dott.ssa Sandra Lucente 1 Funzioni potenza ed esponenziale.
Corso di laurea i Matematica Corso di Aalisi Matematica -2 Dott.ssa Sadra Lucete Fuzioi poteza ed espoeziale. Teorema. Teorema di esisteza della radice -esima. Sia N. Per ogi a R + esiste uo ed u solo
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2006
ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS DI RDINAMENT 006 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PRBLEMA U filo metallico di lughezza l viee utilizzato
DettagliRisposte. f v = φ dove φ(x,y) = e x2. f(x) = e x2 /2. +const. Soluzione. (i) Scriviamo v = (u,w). Se f(x) è la funzione richiesta, si deve avere
Eserciio 1 7 puti. Dato il campo vettoriale v, + 1,, i si determii ua fuioe f > i modo tale che il campo vettoriale f v sia irrotaioale, cioè abbia le derivate icrociate uguali; ii si spieghi se i risultati
DettagliLimiti di successioni
Argometo 3s Limiti di successioi Ua successioe {a : N} è ua fuzioe defiita sull isieme N deiumeriaturaliavalori reali: essa verrà el seguito idicata più brevemeteco{a } a èdettotermie geerale della successioe
DettagliSERIE NUMERICHE Esercizi risolti. 2 b) n=1. n n 2 +n
SERIE NUMERICHE Esercizi risolti. Applicado la defiizioe di covergeza di ua serie stabilire il carattere delle segueti serie, e, i caso di covergeza, trovare la somma: = + b) = + +. Verificare utilizzado
DettagliSintassi dello studio di funzione
Sitassi dello studio di fuzioe Lavoriamo a perfezioare quato sapete siora. D ora iazi pretederò che i risultati che otteete li SCRIVIATE i forma corretta dal puto di vista grammaticale. N( x) Data la fuzioe:
DettagliNumerazione binaria Pagina 2 di 9 easy matematica di Adolfo Scimone
Numerazioe biaria Pagia di 9 easy matematica di Adolfo Scimoe SISTEMI DI NUMERAZIONE Sistemi di umerazioe a base fissa Facciamo ormalmete riferimeto a sistemi di umerazioe a base fissa, ad esempio el sistema
DettagliMetodi statistici per l analisi dei dati
Metodi statistici per l aalisi dei dati due ttameti Motivazioi ttameti Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ttameti) per cui soo stati codotti gli esperimeti. due ttameti Esempio itroduttivo
Dettagli1 Metodo della massima verosimiglianza
Metodo della massima verosimigliaza Estraedo u campioe costituito da variabili casuali X i i.i.d. da ua popolazioe X co fuzioe di probabilità/desità f(x, θ), si costruisce la fuzioe di verosimigliaza che
DettagliMetodi statistici per l'analisi dei dati
Metodi statistici per l aalisi dei dati due Motivazioi Obbiettivo: Cofrotare due diverse codizioi (ache defiiti ) per cui soo stati codotti gli esperimeti. Metodi tatistici per l Aalisi dei Dati due Esempio
DettagliProva scritta di Statistica per Biotecnologie. 29 Aprile Programma Cristallo 1
Prova scritta di Statistica per Biotecologie 9 Aprile Programma Cristallo. Uo dei processi di purificazioe impiegati i ua certa sostaza chimica prevede di metterla i soluzioe e di filtrarla co ua resia
DettagliESEMPIO 1. Immaginiamo come si distribuirebbero le stime campionarie se l operazione di campionamento venisse ripetuta più volte.
ESEMPIO Prima dell esplosioe di ua cetrale ucleare, i terrei di ua certa regioe avevao ua produzioe media di grao pari a 00 quitali co uo scarto di 5. Dopo la catastrofe si selezioao 00 uità di superficie
DettagliCorsi di Laurea in Ingegneria Edile e Architettura Prova scritta di Analisi Matematica 1 del 6/02/2010. sin( x) log((1 + x 2 ) 1/2 ) = 1 3.
Corsi di Laurea i Igegeria Edile e Architettura Prova scritta di Aalisi Matematica del 6// ) Mostrare che + si( ) cos () si( ) log(( + ) / ) = 3. Possibile soluzioe: Cosiderado dapprima il deomiatore otiamo
DettagliPrincipi base di Ingegneria della Sicurezza
Pricipi base di Igegeria della Sicurezza L aalisi delle codizioi di Affidabilità del sistema si articola i: (i) idetificazioe degli sceari icidetali di riferimeto (Eveti critici Iiziatori - EI) per il
DettagliESERCIZI SULLE SERIE
ESERCIZI SULLE SERIE Studiare la atura delle segueti serie. ) cos 4 + ; ) + si ; ) + ()! 4) ( ) 5) ( ) + + 6) ( ) + + + 7) ( log ) 8) ( ) + 9) log! 0)! Studiare al variare di x i R la atura delle segueti
DettagliSTATISTICA 1 parte 2/2 STATISTICA INFERENZIALE
STATISTICA parte / U test statistico è ua regola di decisioe Effettuare u test statistico sigifica verificare IPOTESI sui parametri. STATISTICA INFERENZIALE STIMA PUNTUALE STIMA PER INTERVALLI TEST PARAMETRICI
DettagliLA DERIVATA DI UNA FUNZIONE
LA DERIVATA DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Defiire lo strumeto matematico ce cosete di studiare la cresceza e la decresceza di ua fuzioe Si comicia col defiire cosa vuol dire ce ua fuzioe è crescete. Defiizioe:
DettagliSUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI. c Paola Gervasio - Analisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioni cap3b.pdf 1
SUCCESSIONI e LIMITI DI SUCCESSIONI c Paola Gervasio - Aalisi Matematica 1 - A.A. 15/16 Successioi cap3b.pdf 1 Successioi Def. Ua successioe è ua fuzioe reale (Y = R) a variabile aturale, ovvero X = N:
DettagliSTATISTICA DESCRITTIVA
STATISTICA DESCRITTIVA La statistica descrittiva serve per elaborare e sitetizzare dati. Tipicamete i dati si rappresetao i tabelle. Esempio. Suppoiamo di codurre u idagie per cooscere gli iscritti al
DettagliCampionamento stratificato. Esempio
ez. 3 8/0/05 Metodi Statiici per il Marketig - F. Bartolucci Uiversità di Urbio Campioameto ratificato Ua tecica molto diffusa per sfruttare l iformazioe coteuta i ua variabile ausiliaria (o evetualmete
DettagliCapitolo 3 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA DELLE FIBRE
Capitoo 3 CARATTERIZZAZIONE MECCANICA DELLE FIBRE 3.1 LA TEORIA DI WEIBULL I comportameto meccaico dee fibre di giestra e di juta è stato caratterizzato mediate o studio dea resisteza a trazioe dee fibre
DettagliInteresse e formule relative.
Elisa Battistoi, Adrea Frozetti Collado Iteresse e formule relative Esercizio Determiare quale somma sarà dispoibile fra 7 ai ivestedo oggi 0000 ad u tasso auale semplice del 5% Soluzioe Il diagramma del
DettagliESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2006
ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 006 Il cadidato risolva uo dei due problemi e 5 dei 0 quesiti i cui si articola il questioario. PRBLEMA U filo metallico di lughezza l viee utilizzato
DettagliCampi vettoriali conservativi e solenoidali
Campi vettoriali coservativi e soleoidali Sia (x,y,z) u campo vettoriale defiito i ua regioe di spazio Ω, e sia u cammio, di estremi A e B, defiito i Ω. Sia r (u) ua parametrizzazioe di, fuzioe della variabile
Dettagli1 Successioni 1 1.1 Limite di una successione... 2. 2 Serie 3 2.1 La serie armonica... 6 2.2 La serie geometrica... 6
SUCCESSIONI Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La serie
DettagliIL CALCOLO COMBINATORIO
IL CALCOLO COMBINATORIO Calcolo combiatorio è il termie che deota tradizioalmete la braca della matematica che studia i modi per raggruppare e/o ordiare secodo date regole gli elemeti di u isieme fiito
DettagliRendita perpetua con rate crescenti in progressione aritmetica
edita perpetua co rate cresceti i progressioe aritmetica iprediamo l'esempio visto ella scorsa lezioe di redita perpetua co rate cresceti i progressioe arimetica: Questa redita può ache essere vista come
DettagliIl confronto tra DUE campioni indipendenti
Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Il cofroto tra DUE camioi idiedeti Cofroto tra due medie I questi casi siamo iteressati a cofrotare il valore medio di due camioi i cui i le osservazioi i u camioe soo
DettagliStatistica I, Laurea triennale in Ing. Gestionale, a.a. 2011/12 Registro delle lezioni
Statistica I, Laurea trieale i Ig. Gestioale, a.a. 2011/12 Registro delle lezioi Lezioe 1 (28/9, ore 11:30). Vedere la registrazioe di Barsati, dispoibile alla pagia http://users.dma.uipi.it/barsati/statistica_2011/idex.html.
DettagliUn problema! La letteratura riporta che i pazienti affetti da cancro. = mesi
CONFRONTO TRA DUE MEDIE U problema! La letteratura riporta che i pazieti affetti da cacro hao ua sopravviveza media di 38.3 mesi e deviazioe stadard di 43.3 mesi: µ 38.3mesi σ 43.3mesi (la distribuzioe
DettagliLe carte di controllo
Le carte di cotrollo Dott.ssa Bruella Caroleo 07 dicembre 007 Variabilità ei processi produttivi Le caratteristiche di qualsiasi processo produttivo soo caratterizzate da variabilità Le cause di variabilità
DettagliUna funzione è una relazione che ad ogni elemento del dominio associa uno e un solo elemento del codominio
Radicali Per itrodurre il cocetto di radicali che già avete icotrato alle medie quado avete imparato a calcolare la radice quadrata e cubica dei umeri iteri, abbiamo bisogo di rivedere il cocetto di uzioe
DettagliCorso di Laurea in Ing. Edile Politecnico di Bari A.A. 2008-2009 Prof. ssa Letizia Brunetti DISPENSE DEL CORSO DI GEOMETRIA
Corso di Laurea i Ig Edile Politecico di Bari AA 2008-2009 Prof ssa Letizia Bruetti DISPENSE DEL CORSO DI GEOMETRIA 2 Idice Spazi vettoriali Cei sulle strutture algebriche 4 2 Defiizioe di spazio vettoriale
Dettagli8. Quale pesa di più?
8. Quale pesa di più? Negli ultimi ai hao suscitato particolare iteresse alcui problemi sulla pesatura di moete o di pallie. Il primo problema di questo tipo sembra proposto da Tartaglia el 1556. Da allora
DettagliII-9 Successioni e serie
SUCCESSIONI II-9 Successioi e serie Idice Successioi. Limite di ua successioe........................................... Serie 3. La serie armoica................................................ 6. La
DettagliESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ALCUNI TRATTI DA PROVE D ESAME DA REALIZZARE ANCHE CON L AUSILIO DI UN FOGLIO DI CALCOLO. Angela Donatiello 1
ESERCIZI DI STATISTICA DESCRITTIVA ALCUNI TRATTI DA PROVE D ESAME DA REALIZZARE ANCHE CON L AUSILIO DI UN FOGLIO DI CALCOLO Agela Doatiello 1 Esercizio. E stato tabulato il peso di ua certa popolazioe
DettagliMovimento nominale e perturbato
Fodameti di Automatica. Stabilità itera o alla Lyauov Fodameti di Automatica AYSb FTPb AYSct Igegeria delle Telecomuicazioi e Igegeria Fisica. Stabilità itera o alla Lyauov Stefao Mala Fodameti di Automatica
DettagliII Esonero - Testo A
Dip. di Igegeria, Uiv. Roma Tre Prof. E. Scoppola, Dott.M. Quattropai Probabilità e Statistica, 2017-18, I semestre 29 Geaio 2018 II Esoero - Testo A Cogome Nome Matricola Esercizio 1. (20%) Si cosideri
Dettagli5. Le serie numeriche
5. Le serie umeriche Ricordiamo che ua successioe reale è ua fuzioe defiita da N, evetualmete privato di u umero fiito di elemeti, a R. Solitamete si idica ua successioe co la lista dei suoi valori: (a
DettagliStrumenti di indagine per la valutazione psicologica
Strumeti di idagie per la valutazioe psicologica 1.2 - Richiami di statistica descrittiva Davide Massidda davide.massidda@gmail.com Descrivere i dati Dovedo scegliere u esame opzioale, uo studete ha itezioe
DettagliCalcolo della risposta di un sistema lineare viscoso a più gradi di libertà con il metodo dell Analisi Modale
Calcolo della risposta di u sistema lieare viscoso a più gradi di libertà co il metodo dell Aalisi Modale Lezioe 2/2 Prof. Adolfo Satii - Diamica delle Strutture 1 La risposta a carichi variabili co la
DettagliSERIE NUMERICHE Con l introduzione delle serie vogliamo estendere l operazione algebrica di somma ad un numero infinito di addendi.
Serie SERIE NUMERICHE Co l itroduzioe delle serie vogliamo estedere l operazioe algebrica di somma ad u umero ifiito di addedi. Def. Data la successioe {a }, defiiamo la successioe {s } poedo s = a k.
Dettagli3.4 Tecniche per valutare uno stimatore
3.4 Teciche per valutare uo stimatore 3.4. Il liguaggio delle decisioi statistiche, stimatori corretti e stimatori cosisteti La teoria delle decisioi forisce u liguaggio appropriato per discutere sulla
Dettagli1. Distribuzioni campionarie legate alla distribuzione normale. 3. Intervallo bilatero di confidenza bilatero per la frazione p di una popolazione
Questi esempi vi potrao essere utili come riferimeto ella ricerca di itervalli di cofideza e test di ipotesi statistiche. Per gli aggiorameti potete visitare i siti www.boch.et o www.feaor.com. Per dubbi
DettagliPROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 2013
PROVE SCRITTE DI MATEMATICA APPLICATA, ANNO 3 Prova scritta del 6//3 Esercizio Suppoiamo che ua variabile aleatoria Y abbia la seguete desita : { hx e 3/x, x > f Y (y) =, x, co h opportua costate positiva.
DettagliPARTE QUARTA Teoria algebrica dei numeri
Prerequisiti: Aelli Spazi vettoriali Sia A u aello commutativo uitario PARTE QUARTA Teoria algebrica dei umeri Lezioe 7 Cei sui moduli Defiizioe 7 Si dice modulo (siistro) su A (o semplicemete, A-modulo)
DettagliLezione n 19-20. Lezioni di Ricerca Operativa. Corso di Laurea in Informatica Università di Salerno. Prof. Cerulli Dott. Carrabs
Lezioi di Riera Operativa Corso di Laurea i Iformatia Uiversità di Salero Lezioe 9- - Problema del trasporto Prof. Cerulli Dott. Carrabs Problema del Flusso a osto Miimo FORMULAZIONE mi ( i, ) A o violi
Dettagli( ) ( ) ( ) ( ) ( ) CAPITOLO VII DERIVATE. (3) D ( x ) = 1 derivata di un monomio con a 0
CAPITOLO VII DERIVATE. GENERALITÀ Defiizioe.) La derivata è u operatore che ad ua fuzioe f associa u altra fuzioe e che obbedisce alle segueti regole: () D a a a 0 0 0 derivata di u moomio D 6 D 0 D ()
Dettagli19 31 43 55 67 79 91 103 870,5 882,5 894,5 906,5 918,5 930,5 942,5 954,5
Il 16 dicembre 015 ero a Napoli. Ad u agolo di Piazza Date mi soo imbattuto el "matematico di strada", come egli si defiisce, Giuseppe Poloe immerso el suo armametario di tabelle di umeri. Il geiale persoaggio
DettagliEsercitazioni del Corso di Probabilitá e Statistica Lezione 6: Stime di parametri puntuali e per intervalli
Esercitazioi del Corso di Probabilitá e Statistica Lezioe 6: Stime di parametri putuali e per itervalli Stefao Patti 1 19 geaio 005 Defiizioe 1 Ua famiglia di desitá f(, θ) ad u parametro (uidimesioale)
DettagliEsercitazioni di Statistica
Esercitazioi di Statistica Il modello di Regressioe Prof. Livia De Giovai statistica@dis.uiroma.it Esercizio Solitamete è accertato che aumetado il umero di uità prodotte, u idustria possa ridurre i costi
DettagliCorso di Statistica Canale E Bini, Cutillo A.A. 2017/2018. Esercitazione di riepilogo n.8 Test di ipotesi Soluzioni
Corso di Statistica Caale E Bii, Cutillo A.A. 17/18 Esercitazioe di riepilogo.8 Test di ipotesi Soluzioi Esercizio 1 A seguito della sostituzioe di u macchiario per il cofezioameto di caffè, il resposabile
DettagliESERCIZI DI INFERENZA STATISTICA SVOLTI IN AULA DAL DOTT. CLAUDIO CONVERSANO
ESERCIZI DI INFERENZA STATISTICA SVOLTI IN AULA DAL DOTT. CLAUDIO CONVERSANO ARGOMENTI TRATTATI: VARIABILI CASUALI DISCRETE VARIABILI CASUALI CONTINUE DISEGUAGLIANZA DI TCHEBYCHEFF TEOREMA DEL LIMITE CENTRALE
Dettaglin=400 X= Km; s cor =9000 Km Livello di confidenza (1-α)=0,95 z(0,05)=1,96
STATISTICA A K (60 ore Marco Riai mriai@uipr.it http://www.riai.it : stima della percorreza media delle vetture diesel di u certo modello al primo guasto 400 X34.000 Km; s cor 9000 Km Livello di cofideza
DettagliUna funzione delle osservazioni campionarie è una statistica che, nel contesto della stima di un parametro, viene definita stimatore.
Stimatori e stime Teoria della stima Supporremo che sulla popolazioe sia defiita ua variabile X la cui distribuzioe, seppure icogita, è completamete caratterizzata da u parametro q o da u isieme di parametri
DettagliSUCCESSIONI NUMERICHE
SUCCESSIONI NUMERICHE LORENZO BRASCO. Teoremi di Cesaro Teorema di Stolz-Cesaro. Siao {a } N e {b } N due successioi umeriche, co {b } N strettamete positiva, strettamete crescete e ilitata. Se esiste
DettagliMatematica con elementi di Informatica
La distribuzioe delle statistiche campioarie Matematica co elemeti di Iformatica Tiziao Vargiolu Dipartimeto di Matematica vargiolu@math.uipd.it Corso di Laurea Magistrale i Chimica e Tecologie Farmaceutiche
DettagliEsercizi riguardanti limiti di successioni
Esercizi riguardati iti di successioi Davide Boscaii Queste soo le ote da cui ho tratto le esercitazioi del gioro 27 Ottobre 20. Come tali soo be lugi dall essere eseti da errori, ivito quidi chi e trovasse
DettagliAppunti sulla MATEMATICA FINANZIARIA
INTRODUZIONE Apputi sulla ATEATIA FINANZIARIA La matematica fiaziaria si occupa delle operazioi fiaziarie. Per operazioe fiaziaria si itede quella operazioe ella quale avviee uo scambio di capitali, itesi
DettagliElementi di matematica finanziaria
Elemeti di matematica fiaziaria 18.X.2005 La matematica fiaziaria e l estimo Nell ambito di umerosi procedimeti di stima si rede ecessario operare co valori che presetao scadeze temporali differeziate
DettagliCapitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI
Capitolo Decimo SERIE DI FUNZIONI SUCCESSIONI DI FUNZIONI I cocetti di successioe e di serie possoo essere estesi i modo molto aturale al caso delle fuzioi DEFINIZIONE Sia E u sottoisieme di  e, per ogi
DettagliESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE
ESERCIZI SULLE SERIE NUMERICHE a cura di Michele Scaglia RICHIAMI TEORICI Richiamiamo brevemete i pricipali risultati riguardati le serie umeriche. Teorema (Codizioe Necessaria per la Covergeza) Sia a
DettagliSoluzioni quarta esercitazione
Soluzioi quarta esercitazioe. (a) Dobbiamo calcolare il valor atteso dei due stimatori T e T 2 per verificare la o distorsioe. Partiamo col calcolare il valor atteso per la variabile X. E(X) = 3 x 3 dx
DettagliCampionamento casuale da popolazione finita (caso senza reinserimento )
Campioameto casuale da popolazioe fiita (caso seza reiserimeto ) Suppoiamo di avere ua popolazioe di idividui e di estrarre u campioe di uità (co < ) Suppoiamo di studiare il carattere X che assume i valori
DettagliPopolazione e Campione
Popolazioe e Campioe POPOLAZIONE: Isieme di tutte le iformazioi sul feomeo oggetto di studio Viee descritta mediate ua variabile casuale X: X ~ f ( x; ϑ) θ = costate icogita Qual è il valore di θ? E verosimile
DettagliCorso di Laurea in Ingegneria Informatica Anno Accademico 2016/2017 Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica
Corso di Laurea i Igegeria Iformatica Ao Accademico 26/27 Calcolo delle Probabilità e Statistica Matematica Nome... N. Matricola... Acoa, geaio 27. (8 puti) Si vuole stimare il parametro p di ua legge
DettagliLe onde elettromagnetiche. Origine e natura, spettro delle onde e.m., la polarizzazione
Le ode elettromagetiche Origie e atura, spettro delle ode e.m., la polarizzazioe Origie e atura delle ode elettromagetiche: Ua carica elettrica che oscilla geera u campo elettrico E che oscilla e a questo
DettagliStatistica di base. Luca Mari, versione 31.12.13
Statistica di base Luca Mari, versioe 31.12.13 Coteuti Moda...1 Distribuzioi cumulate...2 Mediaa, quartili, percetili...3 Sigificatività empirica degli idici ordiali...3 Media...4 Acora sulla media...4
DettagliFormula per la determinazione della Successione generalizzata di Fibonacci.
Formula per la determiazioe della uccessioe geeralizzata di Fiboacci. A cura di Eugeio Amitrao Coteuto dell articolo:. Itroduzioe......... uccessioe di Fiboacci....... 3. Formula di Biet per la successioe
DettagliIMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazione di Gras
IMPLICAZIONE TRA VARIABILI BINARIE: L Implicazioe di Gras Date due variabili biarie a e b, i quale misura posso assicurare che i ua popolazioe da ogi osservazioe di a segue ecessariamete quella di b? E
DettagliPercorsi di matematica per il ripasso e il recupero
Giacomo Pagia Giovaa Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secodaria di secodo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioi del Quadrifoglio à t i U 2 Radicali I questa Uità affrotiamo
DettagliARGOMENTO: SERIE NUMERICHE 1. Dott.ssa Sandra Lucente
Corso di Laurea i Matematica LEZIONI PER IL CORSO DI ANALISI MATEMATICA..2 A.A. 2007-2008 ARGOMENTO: SERIE NUMERICHE Dott.ssa Sadra Lucete Idice :. Prime geeralità sulle serie. 2. Serie a termii o egativi:
DettagliTest non parametrici. sono uguali a quelle teoriche. (probabilità attesa), si calcola la. , cioè che le frequenze empiriche
est o parametrici Il test di Studet per uo o per due campioi, il test F di Fisher per l'aalisi della variaza, la correlazioe, la regressioe, isieme ad altri test di statistica multivariata soo parte dei
Dettagli