Corso di Laurea Magistrale in Ingegneria Informatica A.A. 2014/15. Complementi di Probabilità e Statistica. Prova scritta del del

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1 Corso di Laurea Magistrale i Igegeria Iformatica A.A. 014/15 Complemeti di Probabilità e Statistica Prova scritta del del Puteggi: ;. +3 ; ; Totale = 30. Tempo a disposizioe:.5 ore per 5 CFU; 3 ore per 9 CFU PARTE I: STATISTICA INFERENZIALE Esercizio 1. Nel gioco della roulette la probabilità che esca rosso è pari a 18. U cliete di u oto casiò, sospettado che la roulette sia truccata, prede ota del umero delle giocate x 1 ecessarie affiché esca rosso la prima volta, del umero delle giocate x successive a x 1, ecessarie affiché esca rosso la secoda volta fio al umero delle giocate x successive a x 1 +x +...+x 1, ecessarie affiché esca rosso l -sima volta. I tal modo egli osserva la realizzazioe di u campioe estratto da ua legge geometrica modificata f(x, θ = θ(1 θ x 1, θ (0, 1, x N \ 0} } (i Si determiio gli stimatori di massima verosimigliaza per il parametro θ, per la media e per la variaza della legge idicata.(suggerimeto: Si ricordi che la media e la variaza del modello i esame soo µ(θ = 1 θ e σ (θ = 1 θ θ. (ii si verifichi che lo stimatore di massima verosimigliaza della media è efficiete. Su u campioe di ampiezza 5 si osservao i segueti dati: (1, 4,,, 1, 1, 1, 1, 4, 1, 3,, 1, 1, 5, 3, 4,,, 1, 1, 6,,, 3 (iii Costruire u test asitotico per la verifica dell ipotesi H 0 : θ = 18 i alterativa a H 1 : θ 18 a livello Cotiuazioe (iii per i 9 crediti. Calcolare ed iterpretare il p-value del precedete test. Esercizio. Il proprietario di ua idustria tessile deve acquistare u macchiario che taglia pezzi di stoffa di lughezza media fissata. No fidadosi della garazia forita dal veditore, decide di fare u cotrollo sulla precisioe del macchiario. A tale proposito osserva il coteuto (X 1,..., X 1 di 1 pezzi di stoffa tagliati e prede ota della variaza campioaria S1 = 0.3 cm. Sapedo che la precisioe della macchia è stabilita dal fatto che la deviazioe stadard debba essere miore o uguale a 0.4 cm, suppoedo X i N(µ, σ (i costruire u itervallo di cofideza di livello 0.95 per σ ; (ii costruire u test di ampiezza 0.01 per verificare l ipotesi che la macchia o sia sufficietemete precisa; (9 crediti calcolare ed iterpretare il p-value del test precedete. 1

2 PARTE II: PROCESSI DI MARKOV Esercizio 3. Si cosideri la CM a tempo discreto co spazio degli stati E = 1,, 3}, avete per matrice delle probabilità di trasizioe: 0 1/3 /3 P = e co distribuzioe iiziale ν uiforme su E. (i Classificare gli stati della CM, determiado evetuali stati periodici. (ii Calcolare P (X = 3, X 0 = 1, X 4 = 3 e P (X = 3. (iii Dire se esiste e, i caso affermativo, calcolarlo. p ( 13 lim p ( 31 (iv Trovare le distribuzioi ivariati della CM e, se esiste, la distribuzioe stazioaria π. (iv Trovare il miimo k per cui risulta p (k ij π j Esercizio 4. Si cosideri ua coda M/M/ co icogito, ove gli arrivi soo Poissoiai co itesità λ e i tempi di servizio hao distribuzioe espoeziale di parametro µ. Sia X(t il umero di clieti preseti el sistema al tempo t 0. Se λ/µ = : (i discutere al variare di la codizioe per l esisteza della distribuzioe stazioaria π 0, π 1,... e, se possibile, trovare i modo che π 0 = 1 9. E possibile determiare esattamete λ e µ? (ii Per il valore trovato, calcolare π k, per k 4. (iii Per il valore trovato, calcolare P (X( > 1 X( 3. (iv Per il valore trovato, calcolare il umero medio di clieti i coda (si ricordi che, per ua coda M/M/, si ha L c = ρ π 0! (v Per α, β, γ > 0, sia ( ρ (1 ρ. α β γ Q = β γ β γ β α (I Trovare i valori di α, β, γ > 0 i modo che Q sia il geeratore di ua CM a tempo cotiuo e spazio degli stati E = 1,, 3}, per cui risulti lim t e tq = 3U 1 dove U rappreseta la matrice 3 3, i cui elemeti soo tutti 1. (II I particolare, tra i valori di α, β, γ otteuti, trovare quelli per cui: 3 E(T 1 = E(T e P (T 3 1 = e 3 dove T i, i = 1,, 3 rappreseta il tempo di permaeza della CM ello stato i. (III Per la CM che ha per geeratore quello trovato al puto (II, (a trovare la distribuzioe ivariate e, se esiste, quella stazioaria e calcolare approssimativamete le probabilità di trasizioe p ij (t al tempo t = 0.01 ; (b calcolare le probabilità di trasizioe p ij della CM a tempo discreto accelerata, otteuta trascurado il tempo di permaeza ei vari stati e trovare la distribuzioe stazioaria π associata a questa CM. C è differeza tra π e π? I caso affermativo, spiegare il motivo.

3 Complemeti di Probabilità e Statistica a.a. 014/15 Soluzioi della prova scritta del Esercizio 1. (i La fuzioe di verosimigliaza è e la log-verosimigliaza L(θ, x 1,..., x = θ (1 θ X i. log L(θ, x 1,..., x = log θ + ( X i log(1 θ La log-verosimigliaza è derivabile e quidi il massimo è u puto stazioario; pertato d log L(θ, x 1,..., x dθ = θ X i 1 θ d log L(θ, x 1,..., x 0 θ dθ X i Pertato θ(x 1,..., X = X. i Idicate co µ(θ e σ(θ la media e la variaza del modello i esame, è oto che µ(θ = 1 θ e σ (θ = 1 θ θ. Pertato, dalla proprietà di ivariaza si ricava µ = 1 θ = X i = X σ = 1 θ θ = 1 θ 1 θ = (X X (ii La media campioaria è sempre uo stimatore corretto della media teorica; quidi per valutare l efficieza dobbiamo cotrollare che la sua variaza coicida co il limite iferiore di Cramer- Rao. A tale scopo calcoliamo l iformazioe di Fisher [ (d ] [ (1 ] log f(x, θ I X (θ = E dθ = V ar(x (1 θ = 1 θ (1 θ = E θ X 1 1 θ Di cosegueza, il limite iferiore di Cramer-Rao è B (θ = (µ (θ I X (θ = θ (1 θ (1 θ θ 4 = θ = [ (1 ] 1 (1 θ E θ X = metre V ar( µ = V ar(x = (1 θ θ. Lo stimatore µ è pertato efficiete. (iii Il test del rapporto di verosimigliaza geeralizzato per la verifica dell ipotesi H 0 : θ Θ 0 i alterativa a H 1 : θ Θ 0 è defiito attraverso la regioe critica C = (x 1,..., x R tale che Λ (x 1,..., x = sup } θ Θ 0 L(θ; x 1,..., x sup θ Θ L(θ; x 1,..., x < k. Per u opportuo k. Nel caso i esame L(θ; x 1,..., x = = θ (1 θ x i sup L(θ; x 1,..., x =L θ Θ 0 ( 18 ; x 1,..., x sup L(θ; x 1,..., x =L( θ; x 1,..., x = L θ Θ = 18 5 ( 19 xi 5 ( 1 x ; x 1,..., x = 1 5 ( 1 1 x i 5 x x 3

4 Quidi Λ (x 1,..., x = L ( 18 ; x 1,..., x L( θ; x 1,..., x = ( 18 5 ( 19 x x x 1 x i 5 Ora, poiché se H 0 è vera l Λ (x 1,..., x χ 1 il test cercato corrispode alla regioe critica C = (x 1,..., x R tale che l Λ (x 1,..., x > k }. dove k = χ 1,0.99 = 6.63 e l Λ (x 1,..., x = 50 l ( 18 x ( ( x 19 x i 5 l x 1. Esplicitamete ( ( 18 C = (x 1,..., x R tale che 50 l x ( } 19 x x i 5 l > x 1 Ora le osservazioi campioarie producoo 5 x i = 56, x 5 =.4, e e quidi l Λ (x 1,..., x = Pertato o si rifiuta l ipotesi ulla. Il p-value, o livello di sigificatività osservato, coicide co 1 F χ 1 (0.361 = Esercizio. (i Ricordiamo che l itervallo di cofideza per la variaza quado si campioa da u legge ormale di media icogita, ha l espressioe [ ( Xi X ( Xi χ, X ] 1 α, 1 Dai dai campioari si ricava: χ α, 1 ( Xi X = 0 S 1 = = 4.6, χ 0.05,0 = 9.59 χ 0.975,0 = 34. e quidi l itervallo di cofideza cercato è [ , 4.6 ] = [0.135, 0.48] (ii Si vuole costruire u test per la verifica dell ipotesi H 0 : σ 0.4 = 0.16 i alterativa a H 1 : σ < Il test di ampiezza 0.01 basato sulla statistica test S1 corrispode alla regioe critica C = } (x 1,..., x 1 X (1 tali che 0 S < χ 0.01,0 Sostituedo i dati campioari ella statistica si ottiee = 8.75 e χ 0.01,0 = 8.6, pertato o si rifiuta H 0 al livello assegato. (9 crediti Il valore del p-value è la soluzioe del seguete calcolo ( P σ = S < 8.75 = F χ 0 ( ed è u valore troppo alto per rifiutare l ipotesi ulla. Più precisamete i dati empirici si adattao fortemete ai valori della variaza specificati ell ipotesi ulla. 4

5 PARTE II: PROCESSI DI MARKOV 3. (i Gli stati formao u uica classe di stati ricorreti. Ioltre, ad esempio, p ( 11 > 0 e p(3 11 > 0 per cui, essedo MCD, 3} = 1, si ottiee che lo stato 1 è aperiodico, e quidi ache e 3 soo aperiodici. (ii Si ha ν = ( 1 3, 1 3, 1 3. La probabilità richiesta è Abbiamo utilizzato che: Si ha p ( 13 = 1/3, p( 33 P (X 0 = 1, X = 3, X 4 = 3 = ν 1 p ( 13 p( 33 = = 7. = /3, p( 3 /3 0 1/3 P = /3 /3 = 0. Allora: P (X = 3 = (iii Dal successivo puto si ottiee che 3 k=1 ν k p ( k3 = 1 [ ] = p ( 13 lim = π p ( 3 /π 1 = 3/7 3/7 = (iv La CM è regolare (P s > 0 co s = 5 e p (5 ij α = 1/9. Risolvedo l equazioe πp = π, si ottiee u uica distribuzioe ivariate π = ( 3 7, 1 7, 7 3, che è ache stazioaria. Ricordado che, dal Teorema ergodico, p (k ij dove β = (1 α 1/s = ( 8 9 1/5, occorre imporre che π j β s ( (8 1/5 k Passado ai logaritmi, e risolvedo la disequazioe, si ottiee k (i Si ha ρ = λ/µ = ; la codizioe per l esisteza della distribuzioe stazioaria è ρ <, quidi deve essere >. La distribuzioe stazioaria dipede solo dal rapporto ρ = λ/µ, quii o è possibile determiare i valori di λ e µ. Visto che per ua coda M/M/ valgoo le formule: π k = ρ k k! π 0 se 1 k ρ k! k π 0 se k + 1 (1 π 0 = [ k=0 ] 1 ρ k k! + ρ+1 (!( ρ sostituedo π 0 = 1 9, ρ = ell equazioe ( e procededo per tetativi rispetto ad (abbiamo già trovato che deve essere >, si trova che ( è soddisfatta per = 3. (ii Dalle (1, per = 3 e ρ =, si trova π 1 = /9, π = /9, π 3 = 4/7, π 4 = /7. (iii Si ha: π + π 3 P (X( > 1 X( 3 = = 10 π 0 + π 1 + π + π 3 1 (iv Sostituedo = 3, ρ = e π 0 = 1/9 i L c = ρ π 0 (v (I Le codizioi affiché Q sia u geeratore soo:! α = β + γ e γ = β (ρ/ (1 ρ/, si trova L c = 8/9. 5

6 Si ottiee quidi, per β > 0 : 3β β β Q = β β β β β 3β Per tali valori, ioltre, ache la somma degli elemeti sulle coloe è zero, per cui dalla teoria segue che P (t = e tq è bistocastica, e quidi la distribuzioe stazioaria è quella uiforme. Duque i, j : lim t p ij (t = 1/3, ovvero lim t e tq = 1 3 U, e quidi lim t e tq = ( 1 3 U 1 = 3U 1. (Che la distribuzioe stazioaria esiste, segue dal successivo puto (II. (II Siccome i tempi T i hao distribuzioe espoeziale di parametro 3β, β, e 3β, rispettivamete, la codizioe 3 E(T 1 = E(T implica 3 1 3β = 1 β, che è sempre verificata, metre la codizioe P (T 3 1 = e 3 implica e 3β = e 3, ovvero β = 1. Allora: Q = Gli autovalori di Q soo: 0, 5, 3; siccome quelli o ulli hao parte reale egativa, per β = 1 P (t è regolare. (a Siccome P (t = Id + tq + o(t, per t 0, si ottiee: P ( > I realtà, come è facile verificare, ache se β 1, risulta ugualmete P (0.01 > 0, che implica, ad esempio, che P (1 è regolare per ogi β, e quidi la distribuzioe stazioaria esiste e coicide co quella ivariate, che è la distribuzioe uiforme sugli stati. (b La CM a tempo discreto accellerata ha probabilità di trazizioe p ij = q ij /( q ii, per i j, e p ii = 0; pertato: 0 1/3 /3 P = 1/ 0 1/ /3 1/3 0 Siccome questa CM a tempo discreto è regolare ( P > 0, la distribuzioe stazioaria π coicide co quella ivariate e si ottiee risolvedo l equazioe π P = π, da cui si ricava: π = (3/8, 1/4, 3/8 π = (1/3, 1/3, 1/3 La CM a tempo cotiuo origiale e quella accelerata a tempo discreto o hao lo stesso comportameto, i quato i tempi medi di permaeza ei tre stati o soo tutti uguali tra loro (soo rispettivamete 1/3, 1/ e 1/3 e quidi la CM spede diverse frazioi di tempo soggiorado ei diversi stati. Se tali tempi medi fossero stati uguali, le due catee avrebbero evideziato lo stesso comportameto all equilibrio. 6

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