Sperimentazioni I Sessione di Laboratorio: 13 Novembre 2014

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1 Sperimentazioni I Sessione di Laboratorio: 13 Novembre 2014 A. Garfagnini, M. Mazzocco Università degli studi di Padova AA 2014/2015 Statistica Secondo Kendall [1], Statistics is the branch of a scientific method that deals with the data obtained by counting or measuring the properties of populations of natural phenomena. inoltre The fundamental problem towards which the study of statistics is addresses is that of inference. Some data are observed and we wish to make statements, inferences, about one or more unknown features of the physical system which gave rise to these data.

2 Definizione matematica di probabilità La prima teoria matematica della probabilità venne sviluppata nel 1933 da Kolmogorov nel trattato Foundations of the Theory of Probability [2]. La probabilità è un concetto di base che soddisfa gli assiomi di Kolmogorov. Sia dato un insieme Ω di tutti i possibili eventi elementari X i, mutuamente esclusivi (i.e. l avverarsi dell evento X i implica che nessuno degli altri eventi dell insieme può capitare). La probabilità che si verifichi l evento X i, P(X i ) soddisfa i seguenti assiomi: 1. P(X i ) 0, i; 2. P(X i o X j ) = P(X i ) + P(X j ); 3. Ω P(X i) = 1 Definizione operativa: probabilità frequentista Sia dato un esperimento nel quale si osservano una serie di eventi di tipo X. Sia N il numero totale degli eventi, mentre il numero di eventi di tipo X sia n. La probabilità frequentista di osservare un evento di tipo X è definita come limite empirico del rapporto delle frequenze P(X) = lim N n N Considerazioni: Soddisfa gli assiomi di Kolmogorov È anche detta probabilità oggettiva: non dipende dall osservatore e in linea di principio può essere determinata con l accuratezza desiderabile. La definizione è valida soltanto nel caso di esperimenti ripetibili

3 Definizione operativa: probabilità bayesiana Basata sul concetto di degree of belief. La definizione operativa di belief è fornita da de Finetti [3] ed è basata sul concetto di coherent bet: si vuole determinare quanto un osservatore creda nell avverarsi dell evento X determinando quanto sia disposto a scommettere e assumendo che vinca una somma fissata se l evento si verifica, e perda in caso contrario: P(X) = massima somma disposto a scommettere somma da pagare in caso di vittoria Considerazioni Soddisfa gli assiomi di Kolmogorov È anche detta probabilità soggettiva e dipende dal grado di conoscenza del problema che l osservatore ha. In generale, si modificherà con l aumentare della conoscenza. Permette di definire la probabilità dell avverarsi di eventi non ripetibili ( che domani piova, che LHC produca un buco nero, etc.) Variabili casuali un evento casuale è un evento che ha più risultati possibili e ad ogni risultato può essere associata una probabilità. il risultato di un evento non è predicibile, soltanto le probabilità dei possibili risultati sono consciute ad un evento casuale è possibile associare una variabile casuale X che può asumere differenti valori numerici X 1, X 2,... corrispondenti ai risultati possibili. Le probabilità corrispondenti, P(X 1 ), P(X 2 ),... formano una distribuzione di probabilità. le variabili casuali possono essere discrete, se assumono valori discreti, oppure continue di seguito considereremo la generazioni di numeri casuali da alcune distribuzioni di probabilità

4 Generazione di numeri casuali in C++ Prima dello standard, i programmi in C++ utilizzavano la funzione rand() del C, oppure si appoggiavano a librerie esterne (per esempio le libreire BOOST) con il nuovo standard sono state portate nelle librerie del C++ un insieme di classi nuove (header file: <random>): generatori di numeri casuali classi per generare da distribuzioni di probabilità definite #include <iostream> #include <random> using namespace std; int main() { for (size_t i=0; i<10; i++) { cout << e() << " "; return 0; $ g++ -std=c++11 rnd1.cxx La classe default_random_engine Definisce un generatore casuale che genera dei numeri interi (unsigned) tra un valore minimo e massimo Engine e; Engine e(s); e.seed(s); e.min(); e.max(); Engine::result_type e.discard(u); crea un oggetto con seme di default usa il valore intero s come seme Sovrascrivi il seme con il nuovo valore s ritorna il numero più piccolo generabile ritorna il numero più grande generabile Il tipo di ritorno, unsigned che ritorna il generatore fai avanzare il generatore di u passi cout << e.min() << " <-> " << e.max(); $ 1 <->

5 Generazione di numeri interi È possibile generare dei numeri da una distribuzione specifica, in un range di valori fissato dall utente si definisce un generatore di numeri casuali e una distribuzione di probabilità secondo la quale generare #include <iostream> #include <random> using namespace std; int main() { uniform_int_distribution<unsigned> u(0,9); for (size_t i=0; i<10; i++) { cout << u(e) << " "; cout << endl; $ g++ -std=c++11 rnd1.cxx Generazione di numeri reali Spesso è necessario generare dei numeri reali, per esempio da una distribuzione uniforme è sufficiente cambiare il tipo della distribuzione e specificare gli estremi del dominio di generazione #include <iostream> #include <random> using namespace std; int main() { uniform_real_distribution<unsigned> u(0,1); for (size_t i=0; i<10; i++) { cout << u(e) << " "; cout << endl; $ g++ -std=c++11 rnd1.cxx

6 Generazione di numeri reali non uniformi una distribuzione di probabilità che useremo è quella gaussiana generiamo da una distibuzione con valor medio (µ = 4) e deviazione standard (σ = 1.5) normal_distribution<> norm(4, 1.5); vector<unsigned> hist(9); for (size_t i = 0; i< 100; ++i) { auto x = lround(norm(e)); // arrotonda all intero piu vicino if (x < hist.size()) ++hist.at(x); for (size_t i=0; i<hist.size(); i++) cout << i << ": " << string(hist[i], * ) << endl; $ g++ -std=c++11 norm.cxx 0: ** 1: *** 2: ********* 3: ***************** 4: ********************************* 5: ******************** 6: ************* 7: *** 8: Referenze Kendall s Advanced Theory of Statistics, vol I, Distribution Theory, Hodder & Stoughton General Division, A. N. Kolmogorov, Grundbegriffe der Warscheinlichkeitrechnung, 1993, ingl. trad. in B. de Finetti, Theory of Probability: A Critical Introductory Treatment, Joh Wiley, New York (1974) F. James, Statistical Methods in Experimental Physics, World Scientific, R. Rubinstein, Simulation and the Monte Carlo method, Wiley & Sons, 1981 W.H.Press et al, Numerical Recipes in C: The Art of Scientific Computing, Cambridge Univ. Press, 1992 W.H.Press et al, Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing, Cambridge Univ. Press, 2007.

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