Problemi di turnistica del personale nei trasporti. Pianificazione dei turni. Tecniche di ottimizzazione. Programma. Paolo Toth e Daniele Vigo

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1 Problemi di turistica del persoale ei trasporti Paolo Toth e Daiele Vigo DEIS, Uiversità di Bologa Piaificazioe dei turi Dati: u isieme di servizi da effettuare i u determiato periodo di tempo u isieme di persoe assegare i modo ottimo ciascu servizio ad ua persoa i modo che siao rispettati i vicoli operativi Programma Descrizioe del problema e applicazioi Modelli matematici e di teoria dei grafi Algoritmi euristici Esempi Teciche di ottimizzazioe Sviluppo tecologie iformatiche: hardware / software Itegrazioe ella realtà operativa idustriale e commerciale Modelli ed algoritmi di ottimizzazioe tegoo coto di tutte le caratteristiche dei problemi reali hao tempi di calcolo compatibili co le esigeze operative

2 Servizio (task) Istate e luogo di iizio e fie Altre caratteristiche (otturo, lugo) Programmazioe Turi (Crew Rosterig) Determiazioe di u isieme di turi che coproo tutti i servizi el periodo di tempo assegato i f Turo (roster) Sequeza di servizi effettuabili da ua persoa el periodo di tempo assegato Turo (roster) Sequeza di giorate lavorative (pairig, duty, allacciameto)

3 Vicoli breve periodo (giorata lavorativa) lugo periodo (settimaa, mese, itero roster) riposi settimaali Problemi facili Servizi omogeei (istati di iizio e durate simili) Riposi i giori prefissati per tutto il persoale (es. Sabato e Domeica) Esempi: Uffici, Negozi,. Obiettivi miimizzazioe del umero di persoe ecessarie alla copertura dei servizi bilaciameto del carico di lavoro. Problemi difficili Servizi o omogeei istati di iizio e durate diversi distribuiti sulle 24h e su tutta la settimaa Piu servizi ella stessa giorata Riposi settimaali i giori diversi Esempi: Aziede di trasporto pubblico, Servizi di mautezioe,...

4 Aziede di trasporto pubblico (Bus, Aerei, Trei) Persoale: isieme di equipaggi (crew) autisti piloti e persoale di cabia macchiisti e cotrollori Il persoale fa capo ad u deposito di resideza Trip Si ottegoo scompoedo i viaggi dei veicoli rispetto ai puti di cambio Esempio: treo MI-NA MI 8:00 BO 9:43 9:47 FI 0:49 0:4 RM 2:25 2:40 NA 4:30 Aziede di trasporto pubblico (Bus, Aerei, Trei) Orario: isieme di servizi elemetari (trip) da effettuare i orari e giori prefissati i u dato periodo (settimaa, mese, stagioe...) Ogi trip deve essere eseguito da u solo equipaggio seza iterruzioe Trip Esempio: Autobus stazioe 4 8:26 8:23 8:40 8:05 7:0 7:30 7:32 2 8:00 Capoliea Cetro Capoliea 2 3

5 Caratteristiche dei Trip Istate e luogo di parteza Istate e luogo di arrivo Altre caratteristiche: otturo, lugo, Periodicita (tutti i giori, solo alcui giori) Vicoli sul pairig Sequeziameto: compatibilita (luoghi e tempi) t RM FI BO PD Vicoli giorata lavorativa Giorata lavorativa (pairig, duty, allacciameto): sequeza di trip effettuabili da u equipaggio i u periodo breve (uo o piu giori solari) L equipaggio parte e ritora al deposito di resideza Massima durata (astro) (es. 24h) Vicoli sul pairig Sequeziameto: tempo tecico miimo tra due trip t RM FI BO PD

6 Vicoli sul pairig Limiti sul tempo di guida: guida effettiva e soste brevi (es. <30 ) complessivo (es. 8h45 ) cotiuato (es. 4h30 ) Itervallo pasto (es. 30 di sosta tra le e le 5 e tra le 8 e le 22) Vicoli sul roster massimo umero di pairig co caratteritiche speciali (es. al max 7 otturi ogi 30g al max 2 otturi ogi 6g) massimo tempo di lavoro complessivo (es. 70h ogi 30g)... Vicoli sul roster Miimo riposo i resideza tra due pairig (es. 8h o 22h) Riposo settimaale : cadeza (es. deve icludere ogi 6 gioro) durata miima (es. > 48h) Crew Maagemet Determiazioe di u isieme di turi per il persoale Determiazioe di circuiti su u grafo opportuo Se problema o ciclico si determiao dei cammii

7 Grafo orietato: odi trip archi possibilita di coprire 2 trip co lo stesso equipaggio Ciclicita del problema Problema o ciclico u cammio corrispode a u roster Ciclicita del problema Problema ciclico u circuito corrispode a u roster Due tipi di problema Servizi o quotidiai Servizi quotidiai

8 Servizi o quotidiai I servizi o si ripetoo tutti i giori voli co cadeza settimaale servizi attivabili su richiesta Servizi o quotidiai Obiettivo: miimizzazioe del umero di turi (= umero equipaggi ecessari per coprire tutti i trip) Servizi o quotidiai Ogi occorreza di u servizio viee cosiderata sigolarmete grafo di grade dimesioe Servizi quotidiai Autobus e trei: i servizi si ripetoo (quasi) tutti i giori alcue variati ei giori festivi Ogi servizio deve essere coperto tutti i giori Gli equipaggi assegati a trip o effettuati i u dato gioro soo a disposizioe

9 Servizi quotidiai E sufficiete cosiderare ua sola occorreza di u servizio Grafo di dimesioe coteuta Obiettivo: miimizzazioe della lughezza complessiva (i giori) dei roster turo servoo 6 equipaggi Trip da coprire (ciclicamete) ogi gioro Eq g

10 Approccio risolutivo I vicoli sui pairig soo di atura diversa rispetto a quelli sui roster esempio: tempo miimo tra due trip el pairig: pochi miuti (cambio veicolo) tempo miimo tra due pairig el roster: molte ore di riposo i resideza Crew Schedulig Problem si determia u isieme di pairig a costo miimo i grado di coprire tutti i trip (di u gioro) Ogi pairig parte da u deposito copre u sottoisieme di trip ritora allo stesso deposito (resideza dell equipaggio) Approccio risolutivo Scomposizioe i due fasi: Crew Schedulig Problem (CSP): costruzioe dei pairig partedo dai trip Crew Rosterig Problem (CRP): costruzioe dei roster partedo dai pairig E l approccio ormalmete adottato Crew Schedulig Problem geeralmete risolto i due fasi:. Geerazioe dei pairig ammissibili (tipicamete ) 2. Selezioe dell isieme ottimo mediate soluzioe di u opportuo problema di Set Partitioig (SPP) o Set Coverig (SCP)

11 trip da coprire ogi gioro Crew Rosterig Problem Si sequeziao i pairig formado i roster I trip o vegoo piu cosiderati esplicitamete ma determiao le caratteristiche dei pairig che li cotegoo pairig roster da 2 giori

12 Crew Rosterig Problem I roster si determiao separatamete per ogi deposito (pairig che partoo e ritorao allo stesso deposito) Problemi di dimesioe piu coteuta ( pairig) Crew Rosterig Problem Trasporto aereo e ferroviario: molti pairig otturi e pesati pairig o omogeei tra loro vicoli sul roster complessi risparmi cosisteti di persoale co u rosterig efficace La soluzioe di CSP deve geerare pairig che si sequezio bee Crew Rosterig Problem Servizi di trasporto urbao: pochi pairig otturi pairig omogeei tra loro. di equipaggi dipede dal CSP fase di rosterig meo importate Obiettivi: CSP: mi. umero di pairig CRP: bilaciameto del carico Decomposizioe i CSP e CRP CSP Pairig Geeratio Set Coverig pairig Crew Rosterig trip Costo pairig roster

13 Crew Schedulig Fase (Pairig geeratio): geerazioe di tutti i pairig ammissibili se i pairig soo troppi si geerao solo i migliori c = costo pairig Esempio: Obiettivo: miimizzare um. pairig Vicoli: astro 8 ore trip: a b 8:00 9:40 0:0 2:0 2:50 5:00 pairig ammissibili: {a}, {a,b}, {a,c}, {a,b,c} {b}, {b,c}, {b,d}, {b,c,d} {c}, {c,d}, {d} c d 5:30 7:20 Costo = Pairig geeratio Matrice di copertura A: m. biaria di m righe ( per trip) coloe ( per pairig) A i = se pairig copre trip i 0 altrimeti i=,, m; =,, pairig ammissibili Costo= : {a}, {a,b}, {a,c}, {a,b,c} {b}, {b,c}, {b,d}, {b,c,d} {c}, {c,d}, {d} Matrice di copertura A i : a b c d c

14 Fase 2: Set Partitioig Selezioa u sottoisieme delle coloe di A i modo che: la somma dei costi delle coloe selezioate sia miima ogi riga sia coperta da ua e ua sola coloa selezioata (per ogi riga i e scelta ua sola coloa tale che A i = ) x Modello di Programmazioe Lieare Itera di SPP = se coloa selezioata 0 altrimeti =,, mi = c x A ix = i =,, m = { } x 0, =,, Matrice di copertura A i : a b c d c x Soluzioe SPP: coloe selezioate 2 e 0 Costo =2 Applicazioi Ferroviarie Ogi pairig copre pochi trip (5-6) Vicoli strigeti sui pairig U equipaggio puo essere trasportato (seza costi aggiutivi) come passeggero ciascu trip puo essere coperto piu di ua volta Set Partitioig Set Coverig

15 Modello di Programmazioe Lieare Itera di SCP x = se coloa selezioata 0 altrimeti =,, mi = c x A ix i =,, m = { } x 0, =,, pairig ammissibili Costo= : {a}, {a,b}, {a,c}, {a,b,c} {b}, {b,c}, {b,d}, {b,c,d} {c}, {c,d}, {d} 2 pairig massimali: {a,b,c}, {b,c,d} Matrice di copertura A i : 4 8 a 0 b c d 0 c Soluzioe SCP Coloe 4 e 8 costo globale = 2 Set Coverig Problem (SCP) Tra i pairig che hao lo stesso costo si devoo geerare solo quelli massimali Si possoo geerare tutti i pairig ammissibili (circa 0 6 per 5000 trip) Matrice di copertura molto sparsa (0.% - %) Set Coverig Problem (SCP) SCP e NP-difficile Algoritmi esatti: i tempi ragioevoli fio a 500 righe e 5000 coloe Per problemi di grade dimesioe (5000 righe e milioi di coloe): algoritmi euristici

16 Algoritmi euristici per SCP Algoritmo Greedy : si costruisce ua soluzioe i modo sequeziale aggiugedo ad ogi iterazioe la coloa co il miimo score s = c /k k =. di righe residue coperte da se tutte le righe soo coperte STOP Algoritmo Greedy c s Iter. s Iter. 2 s Iter. 3 Coloe selezioate,5,6; costo = Matrice di copertura A i (=8, m=5): Costo=0 c soluzioe ottima coloe, 3, 5 Euristici Lagragiai basati sul Rilassameto Lagragiao di SCP calcolo di u lower boud LB sul valore della soluz. ottima di SCP, z* LB z* LB = valore della sol. ottima del problema Rilassato Lagragiao, RL

17 Problema rilassato RL RL si ottiee dal problema origiale: ) dimiuedo il valore della fuzioe obiettivo per le soluzioi ammissibili 2) elimiado u sottoisieme di vicoli (si espade l isieme delle soluzioi ammissibili) L(u ) = mi = c x m + u i= A x i i = m m = u + c u A x i mi i i i= = i= m = u + mi i i= = m c = c u A i i i= c x Costo Lagragiao mi Problema rilassato RL = c x A ix i =,, m = { } m + u i i i= = 0 x 0, =,, A x z* Per ogi riga i moltiplicatore Lagr. u i 0 s.t. m L(u) = u + mi c x c = c u A i i= = { } m i i i= x 0, =,, Soluzioe ottima: x se c 0 = 0 se c > 0 = Costo Lagragiao,,

18 Determiazioe di buoi moltiplicatori u i per ogi vettore di moltiplicatori u 0 L(u) z* (lower boud) maggiore e il valore di L(u), piu accurata e la valutazioe di z* si cercao moltiplicatori u i che massimizzao L(u) procedimeti di tipo iterativo Per buoi moltiplicatori u i il costo Lagragiao della coloa m c = c u A i i i= Forisce iformazioi attedibili sulla utilita globale di selezioare la coloa c c x m u i L(u) = u + mi c x i i = = L(u)= 9-=8 Euristici Lagragiai si costruisce ua soluzioe i modo sequeziale aggiugedo ad ogi iterazioe la coloa co il miimo score c / k se c 0 s = c * k se c < 0 k =. di righe residue coperte da se tutte le righe soo coperte STOP

19 Euristico Lagragiao c s Iter. s Iter. 2 s Iter. 3 Coloe selezioate,3,5; costo = 0 Crew Rosterig Problem i applicazioi ferroviarie pairig (allacciameti) istate iiziale, s i istate fiale, f i tempo di lavoro, w i attributi: (lugo, otturo, riposo fuori resideza) Problemi reali (FS SpA) m x des. LB sol. 507 x 63,009.2% x 47,3.3% x 55,55.2% ,536 x,08,84 0.4% ,284 x,092,60 0.2% ,872 x 968, % tempo limite : 3000 sec PC 486/ sec HP 735/25 Crew Rosterig Problem i applicazioi ferroviarie CRP: determiazioe di u isieme di roster di lughezza globale miima che coprao tutti gli allacciameti roster: sequeza ciclica di sestie sestia: gruppo di 6 giori cosecutivi i cui viee eseguito u sottoisieme di allacciameti

20 Vicoli (FS SpA) ) riposo settimaale : iclude sempre il 6 gioro della sestia durata miima 48h durata media 58h sul roster altri tipi di riposo (riposo doppio ) Vicoli (FS SpA) 4) Sequeziameto tra allacciameti: riposo miimo i resideza 8h (22h se etrambi otturi,...) regole speciali prima e dopo il riposo settimaale Vicoli (FS SpA) 2) Per ogi sestia (6 giori): al max 2 allacciameti otturi al max allacciameto lugo al max 2 allacciameti co riposo f.r. tempo totale di lavoro 36h 3) Per ogi gruppo di 30 giori: al max 7 allacciameti co riposo f.r. tempo totale di lavoro 70h Sestie Riposo settimaale 48h

21 Sestie Per sestia: lugo 2 otturi Lower Boud I boud immediati possoo essere scadeti Rilassameto di tutti i vicoli trae: regole di sequeziameto umero totale dei riposi settimaali Lower Boud Immediati (i giori): 6* (. tot. otturi)/ (. otturi per sestia) 6* (tempo tot. di lavoro)/ (tempo di lavoro per sestia) Modello di teoria dei grafi del rilassameto RP Multigrafo orietato G=(V,A) Vertici V={,, } allacciameti Archi sequeziameto di due allacciameti i e due tipi A=A UA 2 diretto co i mezzo il riposo settimaale i

22 Costo di u arco (i,), i miuti: miimo tempo tra s i ed s tale che il sequeziameto sia ammissibile s i = 0:0, f i = 6:30; s = 6:50, f = 2:30 c i = 30h40' c 2 i = 54h40' 2 ( i i ) Vicoli di grado x + x = =,, i= 2 ( i i ) x + x = i =,, = i Modello PLI del rilassameto RP se (i,) A t t t scelto = 2, xi = 0 altrimeti i, =,, y = mi.. di archi di A 2 i soluzioe ( i i i i ) 2 2 i= = v(rp) = mi c x + c x Vicoli sui riposi settimaali y i= = i= = 2 2 ( cix i + c ix i ) x α. delle sestie della soluzioe 2 i y α = 6*440= miuti di ua sestia

23 Vicoli di iterezza { } 2 x, x 0, i, =,, i i y 0 itero Soluzioe del rilassameto Si ottiee u problema Lagragiao poliomiale: dato λ x si determiao mediate u problema di assegameto a costo miimo (risolubile i tempo O( 3 )) y si determia i tempo costate sperimetalmete λ = 440 ( gioro) e di solito il moltiplicatore ottimo Soluzioe del rilassameto RP e NP-difficile ulteriore rilassameto Lagragiao del vicolo i= = x 2 i Co moltiplicatore Lagragiao λ y Euristico Lagragiao viee costruito u roster alla volta si utilizzao le iformazioi otteibili dalla soluzioe del rilassameto Lagragiao ogi roster viee costruito aggiugedo u pairig alla volta

24 Costruzioe di u roster ) scegli u pairig iiziale i 0 2) Iterativamete: i = ultimo pairig sequeziato 2.) esamia la chiusura del roster: i riposo settimaale i 0 i riposo settimaale i 0 memorizza il miglior roster Costruzioe di u roster 3) STOP quado o si puo migliorare il roster attuale l algoritmo termia quado tutti i pairig soo iseriti esecuzioe multipla co variazioe dei parametri del calcolo dello score Costruzioe di u roster 2.2) aggiugi al roster il pairig h che miimizza uo score dipedete dall aumeto del lower boud associato alla sequeza: i h i riposo settimaale h Problemi reali (FS SpA) LB sol tempo limite : 90 miuti su PC 486/33

25 Iterazioe tra CSP e CRP CSP Pairig Geeratio Set Coverig trip Costo pairig Iterazioe tra CSP e CRP... 4 a Iterazioe: CSP 53 pairig CRP 44 sestie pairig Crew Rosterig roster OK? o risparmio di 2 sestie = 2 equipaggi! Iterazioe tra CSP e CRP Parte dei trip del deposito di Milao: 56 trip 47,3 pairig a Iterazioe: CSP 6 pairig CRP 46 sestie 2 a Iterazioe: CSP 5 pairig CRP 45 sestie