Le funzioni elementari. La struttura di R. Sottrazione e divisione

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1 Le funzioni elementari La struttura di R La struttura di R è definita dalle operazioni Addizione e moltiplicazione. Proprietà: Commutativa Associativa Distributiva dell addizione rispetto alla moltiplicazione Ogni numero ha un opposto Ogni numero (tranne 0) ha un reciproco Sottrazione e divisione a-b = a+(-b) a/b = a (1/b) L operazione di semplificazione di una frazione richiede una divisione, quindi si può semplificare dividendo solo per un numero diverso da zero 1

2 Proprietà dell ordinamento rispetto alle operazioni a b a+ x b+ x, a, b, x In una disuguaglianza si può aggiungere ad ambo i membri uno stesso numero, senza alterarne il verso Molto utile per spostare un termine da un membro all altro cambiando di segno. Infatti a b a b b b a b 0 a b a a b a 0 b a Ancora La stessa proprietà implica che se si cambiano di segno i membri di una disuguaglianza, essa cambia di verso a b a b b b a b 0 a b a b a a b a Ricordando la regola dei segni per il prodotto segue che si possono moltiplicare ambo i membri di una disuguaglianza per un numero positivo, senza alterare il verso della stessa a b a b 0 ax bx 0 ax bx se x > 0 Generalità sulle funzioni elementari Potenza con esponente naturale, radice, esponenziale, logaritmo Operazione che viene eseguita su un numero reale e da come risultato un numero reale (funzione) Gli insiemi di definizione (domini) di queste funzioni (cioè la parte di R in cui è possibile eseguire l operazione) sono gli intervalli (, + ), 0, + ),( 0, + ) 2

3 Conosciuto il dominio sappiamo su quali numeri può agire. Dobbiamo scoprire i numeri risultato di queste operazioni. Ad esempio (potenza) (1,5) 2 = 2,25 2,25 è il valore della funzione quadrato (potenza di esponente 2) nel punto 1,5 Ad esempio -4 non è un valore della funzione quadrato, perché I numeri che sono valori della funzione considerata costituiscono l insieme dei valori (codominio) Ad esempio Il codominio della potenza è l intervallo 0, + ) Notazione Se diciamo che 16 è un valore della funzione quadrato, vuol dire che 16 è il quadrato di qualche numero, cioè che l equazione x 2 = 16 ha qualche soluzione Se indichiamo con f una funzione e con f(x) il suo valore in punto x, la scrittura che dice che y è il valore di f nel punto x, è y = f( x) Esempi f funzione potenza esponente 2: y = x = ; = f funzione logaritmo base: y = log x 8= log 2

4 Esempi f funzione radiceindice: y = x = 27; 2= 8 f funzione esponenziale base10: y = 10 x = 10 ; 0,0001 = 10 Notazione Invece della f per le funzioni elementari si usano i seguenti simboli ( + ) + ) funzione potenza esponente p: :, 0, ) ) funzione radiceindice p: : 0, + 0, + ( + ) ( + ) funzione esponenziale: exp :, 0, ( + ) ( + ) funzione logaritmo: log : 0,, p p Proprietà di monotònia Il risultato dell operazione aumenta o diminuisce all aumentare del numero sul quale viene fatta Ad esempio per la potenza pedice =16 Il quadrato di un numero > 4 è > o < di 16? Prendiamo e 4 e facciamone il quadrato < 4 implica 2 < 42 (stesso verso) - > -4 implica (-) 2 < (-4) 2 (cambia verso) 4

5 In generale Data una f e dati due numeri x, y del dominio di f siamo interessati a sapere se x < y f( x) f( y) oppure se x < y f( x) f( y) cioè se, passando ai valori della funzione, il verso della disuguaglianza cambia oppure no Può accadere per una certa funzione (come prima) che il verso della disuguaglianza dei valori cambia verso per alcune coppie e per altre questo non accade. Ovviamente ciò significa che la funzione non ha lo stesso tono o andamento. Ossia non è monotòna Se invece per ogni coppia di valori il verso non cambia mai è monòtona crescente Se invece per ogni coppia di valori il verso cambia sempre è monòtona decrescente In simboli x< y f() x f() y x> y f() x f() y FUNZIONE MONOTONA CRESCENTE x< y f() x f() y x> y f() x f() y FUNZIONE MONOTONA DECRESCENTE Per ogni funzione elementare determineremo le parti del dominio in cui la funzione cresce o decresce 5

6 Valore assoluto di un numero Il valore assoluto di un numero è il numero stesso se esso è positivo, l opposto del numero se esso è negativo. In simboli x se x 0 x = x se x < 0 5 = 5 5 = 5 Proprietà dell operazione Dominio: tutta la retta Codominio: la semiretta positiva Decrescente sulla semiretta negativa x,y negativi: x < y implica x > -y cioè IxI > IyI Crescente sulla semiretta positiva x,y positivi: x < y implica x < y cioè IxI < IyI Esercizi Calcolare I1+x-Ix-2II per i seguenti valori x = 1, x = 2, x = -2, x = 4 Risolvere l equazione x + IxI = 1 x Dimostrare che IxI 2 = x 2 Dimostrare che Ix yi = IxI IyI 6

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