Oscillazioni: il pendolo semplice

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1 Oscillazioni: il pendolo semplice Consideriamo il pendolo semplice qui a fianco. La cordicella alla quale è appeso il corpo (puntiforme) di massa m si suppone inestensibile e di massa trascurabile. Per un angolo generico θ, il diagramma delle forze presenti è indicato in figura. Applicando la 2 a legge della dinamica in forma angolare possiamo scrivere d l = τ τ τ Iα = L(mgsinθ) dt dove i momenti sono calcolati rispetto al punto di sospensione della corda. Tenendo presente che I = ml 2, l equazione precedente si traduce nella ml 2d2 θ dt 2 = Lmgsinθ d 2 θ dt 2 = g L sinθ Per piccole oscillazioni (θ π), sinθ θ e quindi l equazione del moto assume una forma analoga a quella dell equazione di un oscillatore armonico. Conseguentemente, come già mostrato in precedenza, l angolo segue un andamento periodico del tipo θ(t) = θ 0 cos(ωt+φ) con ω = g/l. Il periodo delle oscillazione del pendolo è quindi T = 2π ω = 2π L g. Giannozzi e Giugliarelli Oscillazioni, Elasticità e Onde Meccaniche 147

2 Oscillazioni: il pendolo reale Più comunemente i pendoli sono costituiti da corpi rigidi che oscillano intorno ad un asse orizzontale come in figura. L equazione che regola le oscillazioni del pendolo reale è analoga a quella del pendolo semplice. Cioè Iα = hmgsinθ dove ora h è la distanza del baricentro (o del centro di massa) dal punto di sospensione e m è la massa del corpo. Passando alle piccole oscillazioni l equazione può essere posta nella forma d 2 θ dt 2 = hmg θ, I e da questa possiamo scrivere che il periodo di oscillazione del pendolo è T = 2π ω = 2π I hmg. Il pendolo è spesso utilizzato per la misura dell accelerazione di gravità g. In laboratorio si vedrà l uso di un pendolo reale per la misura del suo momento d inerzia. Giannozzi e Giugliarelli Oscillazioni, Elasticità e Onde Meccaniche 148

3 Oscillazioni: pendolo di torsione Consideriamo ora il cosiddetto pendolo di torsione: un disco (di momento d inerzia I) è appeso ad un filo. L estremo inferiore del filo è solidale con il disco; tale estremo è saldato sul disco e giace sull asse verticale passante per il centro di massa del disco stesso. Le rotazioni del disco inducono torsioni del filo e nel limite di piccoli angoli di torsione si può vedere che il filo, come reazione alla torsione, produce un momento torcente esprimibile secondo la seguente relazione τ = θ I d2 θ dt 2 = τ = θ che ci porta immediatamente all equazione oraria θ(t) = θ mcos(ωt), e al periodo [È possibile mostrare che la costante è proporzionale al modulo di rigidità G che verrà introdotto a breve.] Ovviamente, data questa relazione, possiamo ora scrivere l equazione del moto del pendolo T = 2π ω = 2π I. Giannozzi e Giugliarelli Oscillazioni, Elasticità e Onde Meccaniche 149

4 Oscillazioni di un corpo e profilo dell energia potenziale Per completare questa parte dedicata alle (piccole) oscillazioni, esaminiamo come esse possano anche essere determinate dal profilo dell energia potenziale. Per fare questo prendiamo in esame il caso di un punto materiale a cui compete una energia potenziale U(x); sia x 0 un punto di minimo di U(x). Nell intorno di tale punto la forza conservativa dovrà tendere a riportare la particella verso x 0 e ciò fa si che, per valori dell energia meccanica non troppo elevati, la particella possa oscillare intorno ad x 0. A seconda della particolare forma di U(x) intorno ad x 0, le oscillazioni potranno essere sia asimmetriche che anarmoniche (non armoniche); tuttavia, nel limite di piccole ampiezze, tali oscillazioni saranno sempre di tipo armonico. Infatti, se sviluppiamo U(x) in [ serie ] di Taylor (fino al second ordine) intorno ad x 0 possiamo scrivere du U(x) = U(x 0 )+ (x x 0 )+ 1 [ d 2 ] U dx x 0 2 dx 2 (x x 0 ) [ ] x 0 [ ] Essendo x 0 un punto di minimo di U deve essere d 2 U dx 2 > 0 e du = F(x x dx 0 ) 0, e [ ] 0 x 0 quindi ponendo = d 2 U dx 2 possiamo scrivere l energia potenziale nella forma seguente x 0 U(x) 1 2 (x x 0) 2 +U(x 0 ), che ha una forma analoga a quella dell energia potenziale elastica con posizione di riposo x = x 0. Si capisce quindi che, in tale approssimazione, la frequenza delle piccole oscillazioni intorno ad x 0 è pari a ν = 1 T = ω 2π = 1 2π m = 1 [ 1 d 2 ] U 2π m dx 2 x 0 Giannozzi e Giugliarelli Oscillazioni, Elasticità e Onde Meccaniche 150

5 Oscillazioni smorzate Nella realtà, a causa di attriti o resistenze del mezzo, le oscillazioni sono smorzate. In tali oscillazioni, oltre a forze di tipo elastico, intervengono delle forze dissipative che tendono a rallentare il moto stesso. Ad esempio, nel caso schematizzato in figura il movimento della paletta nel liquido determina una forza di smorzamento di ampiezza proporzionale alla velocità dell oscillatore. Cioè F F F sm = b v v v con b positivo e costante. In tal caso, l equazione del moto dell oscillatore passa da quella di un oscillatore armonico m d2 x dt 2 = x a quella di un oscillatore smorzato m d2 x dt 2 = x bv x md2 dt 2 +bdx dt +x = 0 La soluzione dettagliata di tale equazione differenziale verrà trattata nel corso di Fisica Generale II in occasione dello studio delle oscillazioni di un circuito RLC. Qui riportiamo la soluzione dell equazione nel solo caso di oscillazioni smorzate che ha la forma seguente x(t) = x me 2m bt cos(ω smt+φ) con ω sm = m b2 4m 2 A fianco vediamo l andamento smorzato delle oscillazioni. L esponenziale modula l ampiezza delle oscillazioni. Giannozzi e Giugliarelli Oscillazioni, Elasticità e Onde Meccaniche 151

6 Oscillazioni forzate e risonanza Nell oscillatore smorzato l ampiezza dell oscillazione decresce a causa della presenza di forze dissipative che dissipano parte dell energia posseduta dall oscillatore. In tal senso, se stimoliamo un oscillatore con una forza esterna, anch essa periodica, possiamo rendere l oscillazione di nuovo stabile. Tuttavia si può vedere che l oscillatore risponde diversamente al variare della frequenza (o della pulsazione) della forza utilizzata. In particolare se utilizzassimo una forza esterna del tipo F(t) = F 0 cosωt l equazione dell oscillatore diventerebbe m d2 x dt 2 = x bv +F(t) x md2 dt 2 +bdx dt +x = F 0cosωt Anche la soluzione di tale equazione differenziale verrà trattata in seguito; tuttavia possiamo dire che, a regime, la presenza della forzante esterna rende le oscillazioni nuovamente periodiche x(t) = X m(ω)cos[ωt+φ(ω)] Ma ora l ampiezza X m e la fase φ sono funzioni della pulsazione ω. In particolare l ampiezza delle oscillazioni è massima (vedi grafico qui a fianco) in corrispondenza della cosiddetta pulsazione (frequenza) di risonanza ω 0 = ν 0 = ω 0 m 2π = 1 2π m coincidente con la pulsazione (frequenza) di oscillazione dell oscillatore armonico non smorzato! Giannozzi e Giugliarelli Oscillazioni, Elasticità e Onde Meccaniche 152

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