3 Relazioni e funzioni. M. Simonetta Bernabei & Horst Thaler

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1 3 Relazioni e funzioni M. Simonetta Bernabei & Horst Thaler

2 Relazioni e funzioni Una relazione è un insieme di coppie ordinate (x,y). Animali Vita media (anni) x Tempo massimo di vita (anni) y Gatto Mucca Cerbiatto 8 20 Cane Cavallo 20 50

3 Il dominio è l insieme di tutti i valori x nella relazione dominio X= {8,12,15,20} i valori di x sono in ordine crescente Il codominio è l insieme di tutti i valori di y nella relazione codominio Y= {20,29,30,50} i valori di y sono in ordine crescente

4 Una relazione associa le x alle y Dominio X (insieme delle x) Codominio Y (insieme delle y) La relazione può essere scritta come insieme di coppie ordinate {(12,29), (15,30), (8,20), (12,20), (20,50)}

5 Durata massima di vita Sistema di coordinate cartesiane Le coppie possono essere rappresentate graficamente sul piano cartesiano (12,29) (15,30) (8,20) (12,20) (20,50) Tempo di vita medio degli animali Durata massima tempo di vita Tempo di vita medio

6 Sistema di coordinate cartesiane Il sistema di coordiante cartesiane è composto dall asse delle x (orizzontale) e da quello delle y (verticale). Essi si incontrano nell origine e dividono il piano in 4 quadranti: 6 II Quadrante (-,+) 4 2 I Quadrante (+,+) III Quadrante (-,-) -2-4 IV Quadrante (+,-) -6

7 A function f from set A to set B is a rule of correspondence that assigns to each element x in the set A exactly one element y in the set B. Y X è il dominio Corrispondenza uno ad uno Y è il codominio Nell esempio sopra l insieme X rappresenta gli studenti del corso di matematica. L insieme Y rappresenta i voti ottenuti in matematica (da 1 a 10). Ad ogni studente deve essere assegnato un solo voto.

8 La relazione sotto è una funzione? Sì L insieme X è il dominio L insieme Y è il codominio L esempio sopra mostra che ogni studente ha ottenuto lo stesso voto.

9 La relazione sotto è una funzione? NO Allo studente 2 sono stati assegnati due diversi voti!

10 La seguente relazione è una funzione? No, perchè 3 non ha un corrispondente. Ogni studente deve ricevere un voto L insieme X è il Dominio L insieme Y è il codominio

11 La seguente relazione è una funzione? In questo caso ogni studente ha ottenuto un solo voto. Più di uno studente ha ottenuto lo stesso voto e nessuno ha ottenuto come voto 8 (non tutti i valori di y sono corrispondenti) L insieme X è il Dominio E una funzione! L insieme Y è il codominio

12 Test della retta verticale Test della retta verticale: una relazione è una funzione se ogni linea verticale attraversa il suo grafico solo in un punto. 12

13 Test della Retta Verticale Il grafico sotto rappresenta una funzione? sì 13

14 Test della Retta Verticale E il grafico di una funzione? NO 14

15 Quali dei seguenti grafici rappresentano una funzione? (a) (b) (c) (d) (a) and (c)

16 Funzione Una funzione è una relazione in cui ad ogni elemento del dominio corrisponde uno ed un solo elemento del codominio. x f(x) y

17 Funzione Data la funzione f: x y = f(x) la variabile x è chiamata indipendente, perché ad essa può essere assegnato un qualunque valore ammissibile del dominio, la variabile y è chiamata dipendente, perché il valore assegnato dipende da x. La notazione f(x) si legge f di x e rappresenta il valore della funzione nel punto x.

18 Funzione L immagine di una funzione è l insieme di tutti i valori y che sono corrispondenti di qualche valore di x f(x) = {y Y y = f(x), x X} Il grafico di una funzione è l insieme x, f x, x X, y = f(x) X Y.

19 Valore della funzione in un punto Data la funzione f(x) = 2x + 6, la notazione f(3) significa che la variabile x è sostiuita dal valore 3. f(x) = 2x + 6 f(3) = 2(3) + 6 f(3) = 12

20 Gafico di una funzione.esempio y = 4 5 x y Per x = 0 f(0) = 0 Per x = 5 f(5) = 4 ( 0, 0) ( 5, 4) x

21 Esercizio Le seguenti tabelle rappresentano una funzione? Motivare la risposta 1. Input Output Input Output Input Output Input Output

22 Proprietà delle funzioni Una funzione f: X Y è detta essere iniettiva se e solo se x, x X, x x f x f x In altre parole la funzione f è iniettiva se a due elementi distinti di X corrispondono due elementi distinti di Y. 22

23 Proprietà delle funzioni Una funzione f: X Y è detta essere suriettiva se e solo se y Y x X y = f x oppure f X = Y In altre parole la funzione f è suriettiva se l immagine coincide con il codominio, o se tutti i valori di y sono corrispondenti di qualche x. Una funzione f: X Y è detta essere una corrispondenza biunivoca o biettiva se e solo se è iniettiva e suriettiva. Torniamo agli esempi iniziali. 23

24 Inversa di una funzione Una importante proprietà della biezione è che ammette una funzione inversa. La funzione inversa della biezione f: X Y è la funzione f 1 : Y X f 1 y = x se e solo se f(x) = y 24

25 Inversione Esempio 1: f(linda) = Moscow f(max) = Boston f(kathy) = Hong Kong f(peter) = Lübeck f(helena) = New York f è biettiva. La funzione inversa f -1 è definita: f -1 (Moscow) = Linda f -1 (Boston) = Max f -1 (Hong Kong) = Kathy f -1 (Lübeck) = Peter f -1 (New York) = Helena Solo le biezioni sono funzioni invertibili 25

26 Esempio 2: Linda Boston Inversione f Max New York f -1 Kathy Peter Helena Hong Kong Moscow Lübeck In questo caso la funzione f 1 : Y X non esiste, perchè non è definita per ogni y e assegna due valori all elemento New York. 26

27 Esempio 1 Data la funzione y = 2x 3 trovare la funzione inversa, se esiste. Soluzione: Per trovare la funzione inversa di f x = 2x 3, x = f 1 y, la variabile x deve essere espressa in funzione della variabile y. Da y = 2x 3 2x = y + 3 x = y Quindi f 1 y = y+3 2

28 Esempio 2 Data la funzione y = e x+1 trovare la funzione inversa, se esiste. Soluzione: Per trovare la funzione inversa di y = e x+1, x = f 1 y, la variabile x deve essere espressa in funzione della variabile y. Applicando la funzione logaritmo, funzione inversa dell esponenziale, ad ambo i membri si ottiene y = e x+1 ln y = x + 1 x = ln y 1 Quindi f 1 y = ln y 1

29 Il grafico di una funzione f e della sua inversa sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I quadrante y = f(x) y = x y = f -1 (x) y = x

30 Test della retta orizzontale Se una retta orizzontale interseca una curva più di una volta, la funzione non ammette inversa. Applicando il Test della retta orizzontale stabilire quali grafici ammettono inversa.

31 Test della Retta Orizzontale Se una retta orizzontale interseca una curva più di una volta, l inversa non è una funzione. Applicando il Test della retta orizzontale,stabilire quali grafici ammettono inversa.

32 Funzione composta Date due funzioni f: X Y, g: Y Z la funzione composta di f con g è denotata con g fè una funzione g f: X Z ed è tale che per ogni x, g f x = g(f x ) Si calcola prima per ogni x il valore f x e quindi g y con y = f x 32

33 X f Digitare l'equazione qui. Y g Digitare l'equazione qui. Z x y z g f

34 Funzione composta Esempio 1: Date le funzioni f x = 3x e g y = 7y 4, f: R R, g: R R trovare la funzione composta g f g f x = g f x = g 3x = 7 3x 4 = 21x 4 x y=f x =3x y z=g y =7y 4 z 34

35 Esempio 2 Date le funzioni f x = x 2 e g y = e y, f: R R, g: R R trovare la funzione composta g f g f x = g f x = g x 2 = e x2 x y=f x = x2 y z=g y =ey z

36 Funzione composta La funzione composta di una funzione con la sua inversa è la funzione identità: f 1 f x = f 1 f x = x i: x x 36

37 Esercizi 1. Dire se la relazione che ad ogni città italiana associa la sua distanza stradale da Roma è una funzione. In caso di risposta negativa, come si può modificare tale relazione in modo che sia una funzione? Risposta: no; la minima distanza.

38 2. Dire quali delle seguenti relazioni, dall insieme A = 1,2,3,4 in sé, sono funzioni. 1. 1,1, 2,3, 3,4, 4,3, (1,2) 2. 1,1, 2,3, 3,4 3. 1,3, 2,4, 3,4, 4,3 4. 1,1, 2,1, 3,1, 4,1 5. 1,2, 2,3, 3,4, 4,1 [no, no, sì, sì, sì]

39 3. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x 2 [x 2] 4. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x 3 x [ 1,0 [1, )] 5. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = 3 x 3 x [R] 6. Trovare il campo di esistenza della seguente x funzione f x = [x 1 e x 2] x 2 +3x+2 7. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = ln x [( 1,0) (1, )] x 2 1

40 8. Trovare il dominio e la funzione inversa, se esiste, delle seguenti funzioni da R a R: y = 3x 4 x = 4+y 3 y = x 2 non esiste perchè x = ± y y = 1 x [ x = y+4 3, non esiste, x 0 x = 1 y ] y = ln(2x + 1) [ x = ey Trovare la funzione composta dalle seguenti funzioni da R a R: f x = 3x 1 e g y = y 2 f x = x 2 e g y = y + 1 f x = x 2 1 e g y = sen y ]

41 Es.4 Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x 3 x [ 1,0 [1, )] x 3 x 0 x(x 2 1) 0 x(x 1)(x + 1) 0 x > 0 x 1 > 0 x > 1 x + 1 > 0 x > 1

42 I II III Prod x 0 o x 1

43 Es.6 Trovare il campo di esistenza della seguente x funzione f x = [x 1 e x 2] x 2 +3x+2 x 2 + 3x x 1 e x 2 o R 1; 2 x 2 + 3x + 2 = 0 x = b± b2 4ac 2a x = 3± = 3± 1 2 = 3±1 2 = 1, 2

44 Es.7 Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = ln x [( 1,0) (1, )] x 2 1 x > 0 x 2 1 Num. è positivo: x > 0 Den. È positivo: x 2 1 > 0 per x < 1 o x > 1 Eq.associata : x 2 1 = 0 x 2 = 1 x = ± 1

45 Es Num Den Fraz. - n.d n.d. + 1 < x < 0 o x > 1

46 Es.8 c y = 1 x D= x 0 Facendo il reciproco di entrambi i membri otteniamo: 1 y = 1 1 x x = 1 y

47 Es. 9b Trovare la funzione composta dalle seguenti funzioni da R a R: f x = x 2 e g y = y + 1 Svolgimento: g f x = g f x = g x 2 = x 2 + 1