1 Funzioni. M. Simonetta Bernabei, Horst Thaler

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1 1 Funzioni M. Simonetta Bernabei, Horst Thaler

2 A function f from set A to set B is a rule of correspondence that assigns to each element x in the set A exactly one element y in the set B. Y X è il dominio Corrispondenza uno ad uno Y è il codominio Nell esempio sopra l insieme X rappresenta gli studenti di un corso di matematica. L insieme Y rappresenta i voti ottenuti in matematica (da 1 a 10). Ad ogni studente deve essere assegnato un solo voto ma diversi studenti possono avere lo stesso voto.

3 Funzione Una funzione è una relazione in cui ad ogni elemento del dominio corrisponde uno ed un solo elemento del codominio. x f(x) y

4 Funzione Data la funzione f: x y = f(x); la variabile x è chiamata indipendente, perché ad essa può essere assegnato un qualunque valore ammissibile del dominio, la variabile y è chiamata dipendente, perché il valore assegnato dipende da x. La notazione f(x) si legge f di x e rappresenta il valore della funzione nel punto x.

5 Funzione L immagine di una funzione è l insieme di tutti i valori y che sono corrispondenti di qualche valore di x f X = y Y y = f x, x X Il grafico di una funzione è l insieme x, f x, x X, y = f(x) X Y.

6 Valore della funzione in un punto Data la funzione f x = 2x + 6, la notazione f 3 significa che la variabile x è sostiuita dal valore 3. f x = 2x + 6 f 3 = f 3 = 12

7 Grafico di una funzione. Esempi Per x = 0, f 0 = 0 Per x = 1, f 1 = 4 5 = 0.8 y = f(x) = 4 5 x

8 y = f x = x 2 1 x = 0, f 0 = 1; x = 1, f 1 = 0; x = 1.5, f 1.5 = = 5 4 = 1.25

9 Sistema di coordinate cartesiane Il sistema di coordiante cartesiane è composto dall asse delle x (orizzontale) e da quello delle y (verticale). Essi si incontrano nell origine e dividono il piano in 4 quadranti: 6 II Quadrante (-,+) 4 2 I Quadrante (+,+) III Quadrante (-,-) -2-4 IV Quadrante (+,-) -6

10 Test della retta verticale Test della retta verticale: dato il grafico di una funzione allora ogni linea verticale attraversa il suo grafico solo in un punto. 10

11 Test della Retta Verticale Il grafico sotto rappresenta una funzione? Sì 11

12 Test della Retta Verticale E il grafico di una funzione? No 12

13 Quali dei seguenti grafici rappresentano una funzione? (a) (b) (c) (d) (a) and (c)

14 Proprietà delle funzioni Una funzione f: X Y è detta essere iniettiva se e solo se x, x X, x x f x f x In altre parole la funzione f è iniettiva se a due elementi distinti di X corrispondono due elementi distinti di Y. 14

15 A function f from set A to set B is a rule of correspondence that assigns to each element x in the set A exactly one element y in the set B X è il dominio Y è il codominio

16 La relazione sotto è una funzione? No! Allo studente 2 sono stati assegnati due diversi voti!

17 La seguente relazione è una funzione? No, perchè 3 non ha un corrispondente. Ogni studente deve ricevere un voto L insieme X è il dominio L insieme Y è il codominio

18 Proprietà delle funzioni Una funzione f: X Y è detta essere suriettiva se e solo se y Y x X y = f x oppure f X = Y In altre parole la funzione f è suriettiva se l immagine coincide con il codominio, o se tutti i valori di y sono corrispondenti di qualche x. Una funzione f: X Y è detta essere una corrispondenza biunivoca o biettiva se e solo se è iniettiva e suriettiva. 18

19 Torniamo agli esempi iniziali. La relazione sotto è una funzione? Sì. E iniettiva? E suriettiva? L insieme X è il dominio L insieme Y è il codominio L esempio sopra mostra che ogni studente ha ottenuto lo stesso voto..

20 La seguente relazione è una funzione? E iniettiva? E suriettiva? In questo caso ogni studente ha ottenuto un solo voto. Più di uno studente ha ottenuto lo stesso voto e nessuno ha ottenuto come voto 8 (non tutti i valori di y sono corrispondenti) L insieme X è il dominio L insieme Y è il codominio E una funzione!

21 X è il dominio Corrispondenza uno ad uno Y è il codominio

22 Inversa di una funzione Una importante proprietà della biezione è che ammette una funzione inversa. La funzione inversa della biezione f: X Y è la funzione f 1 : Y X f 1 y = x se f x = y. 22

23 Inversione Esempio 1: Dominio = {Linda,Max,Kathy,Peter,Helena} Codominio={Moscow,Boston,Hon g Kong,Lübeck,New York} f(linda) = Moscow f(max) = Boston f(kathy) = Hong Kong f(peter) = Lübeck f(helena) = New York La funzione inversa f -1 è definita: f -1 (Moscow) = Linda f -1 (Boston) = Max f -1 (Hong Kong) = Kathy f -1 (Lübeck) = Peter f -1 (New York) = Helena Solo le biezioni sono funzioni invertibili f è biettiva. 23

24 Esempio 2: Linda Max Boston Inversione New York f f 1 Kathy Peter Helena Hong Kong Moscow Lübeck In questo caso la funzione f 1 : Y X non esiste, perchè non è definita per ogni y e assegna due valori all elemento New York. 24

25 Esempio Data la funzione y = 2x 3 trovare la funzione inversa, se esiste. Soluzione: Per trovare la funzione inversa di f x = 2x 3, x = f 1 y, la variabile x deve essere espressa in funzione della variabile y: Da Quindi f 1 y y = 2x 3 2x = y + 3 x = y = y+3 2

26 Il grafico di una funzione f e della sua inversa sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I quadrante y = x y = f(x) y = x y = f -1 (x)

27 Se una retta orizzontale interseca una curva più di una volta, l inversa non è una funzione. Test della Retta Orizzontale Applicando il Test della retta stabilire se il grafico ammette inversa

28 Applicando il Test della retta orizzontale, stabilire se il grafico ammette inversa: y = 1 x 2 2

29 Applicando il Test della retta orizzontale, stabilire se il grafico ammette inversa: y = x 2 2 3

30 Funzione composta Date due funzioni f: X Y, g: Y Z la funzione composta di f con g è denotata con g fè una funzione g f: X Z ed è tale che per ogni x, g f x = g(f x ) Si calcola prima per ogni x il valore f x e quindi g y con y = f x 30

31 X f Digitare l'equazione qui. Y g Digitare l'equazione qui. Z x y z g f

32 Funzione composta Esempio: Date le funzioni f x = 3x e g y = 7y 4, f: R R, g: R R trovare la funzione composta g f g f 1 = g f 1 = g 3 = 21 4 = 17 g f x = g f x = g 3x = 7 3x 4 = 21x 4 x y=f x =3x y z=g y =7y 4 z 32

33 Funzione composta La funzione composta di una funzione con la sua inversa è la funzione identità: f 1 f x = f 1 f x = x f f 1 y = f f 1 y = y f 1 f = id X ; f f 1 = id Y id X : x x id Y : y y 33

34 Esercizi 1. Trovare il campo di esistenza o dominio della seguente funzione f x = x 2 [x 2] 2. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x 3 x [ 1,0 [1, )] 3. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione 3 f x = x 3 x [R] 4. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x+5 [x 1 e x 3] x 2 4x+3 5. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x x 2 1 [ 1,0 (1, + )]

35 Soluzione 2. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x 3 x. Scriviamo x 3 x = x(x 2 1) è investighiamo i segni delle funzioni y = x e y = x 2 1. I zeri di x 2 1 sono x = 1, x = 1. y = x 0 + y = x Il prodotto è non negativo quando x 1,0 [1, ) che costituisce quindi il dominio della funzione x 3 x.

36 6. Trovare il campo di esistenza o dominio della seguente funzione f x = 1 4x 2 [ 1 2 x 1 2 ] 7. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x + 1 x [x 0] 8. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione 3 f x = 1 x [x 0] 9. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x+1 [x 2] x 2 4x+4

37 10. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x2 5x+6 x [ 0,2 [3, + )] 11. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x [R] 12. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x 3 2x + 1 [R] 13. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x+5 x 2 +4 [R] 14. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x+1 x 1 [, 1 (1, + )]

38 Soluzione 10. Trovare il campo di esistenza della seguente funzione f x = x2 5x+6. x Visto che p = x 2 5x + 6 = x 2 x 3, gli zeri di questo polinomio sono x = 2 e x = 3. Inoltre sappiamo che p ha la concavità verso l alto. Raccogliamo le informazioni in una tabella Numeratore Denominatore Frazione non definito Perciò il campo di esistenza è dato da 0,2 3,.

39 15. Trovare il dominio e la funzione inversa, se esiste, delle seguenti funzioni da R a R : y = 3x 4 y = x 2 y = 1 [ x = y+4, non esiste, x 0 x = 1 ] x 3 y 16. Trovare la funzione composta delle seguenti funzioni da R a R : f x = 3x 1 e g y = y f x = x 2 e g y = y + 1

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