Lezione 9 Forze e campi magnetici

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1 Lezione 9 Forze e campi magnetici 9.1 Forza di Lorentz Serway, Cap 22 Forza di Lorenz (particella carica) F = q v B Forza di Lorenz (filo rettilineo di lunghezza l percorso da corrente I) F = I l B Legge di Biot-Savert per un filo rettilineo infinito B = µ 0I (+ regola mano destra) 2πr Permittivitá magnetica del vuoto µ 0 4π = 10 7 Tm A Un campo magnetico uniforme B di intensitá 1.2 mt, é diretto verso l alto in una camera di laboratorio. Un protone, con energia cinetica di 5.3 MeV entra nella camera muovendosi orizzontalmente da Sud a Nord. Quale forza di deflessione magnetica agisce sul protone appena entra nella camera. La massa del protone è kg. La forza di deflessione magnetica dipende dalla velocità del protone, che possiamo ricavare da K = 1/2mv 2. Risolvendo rispetto a v troviamo 1

2 v = 2K m = (2)(5.3MeV )( J/MeV ) = m/s kg L intensitá della forza risulta allora F B = q vb sinθ = N Un protone di massa kg e carica q = C penetra in un campo magnetico uniforme di modulo B = 16.7 T in direzione perpendicolare ad esso con velocitá di m/s. Si determini il raggio dell orbita e il tempo impiegato dalla particella per descrivere una circonferenza. L intensità della forza risentita dalla particella risulta essere F = q v B = qvb La carica elettrica compie un moto circolare con accellerazione centripeta a c che si puó ricavare dalla seconda legge della dinamica. Infatti F = ma c = m v2 r qvb = ma c = m v2 r da cui ricaviamo il raggio dell orbita Sostituendo i dati si ottiene che r = mv qb r = ( kg)( m/s) ( C)(16.7T ) = 0.02m Il tempo di percorrimento della circonferenza risulta essere t = l v = 1.26m m/s = s Un elettrone di carica q = C e massa m = kg penetra in direzione perpendicolare alle linee di forza in un campo magnetico di modulo uguale a B = 4T, descrivendo un orbita circolare di raggio r = 0.25m. Si determini la velocità dell elettrone. La Forza che agisce sulla particella quando entra nel campo magnetico è uguale a F = qvb. Dalla seconda legge della dinamica abbiamo 2

3 qvb = ma = m v2 r La velocità risulta quindi essere v = qbr m = ( C)(4T )(0.25m) kg = m/s Una particella di carica e massa ignota viene posta in un campo elettrico di modulo E = N/C e un campo magnetico di modulo B = 0.83T perpendicolare al campo elettrico. Calcolare a) la velocità della particella lungo la traiettoria rettilinea. Sulla particella carica agisce sia la forza elettrica qe che quella magnetica qvb. Per far sì che la particella si muova su una linea retta e non venga deflessa deve avvenire che forza elettrica e forza magnetica si equilibrino qe = qvb v = E B = N/C 0.83T = m/s Un fascio di particelle cariche costituito da ioni di sodio (massa atomica 23a.m.u.) da ioni sconosciuti penetrano nella regione di campo magnetico dopo essere stati accelerati da una d.d.p.. Il diametro della traiettoria circolare degli ioni sodio è di r 1 = 15 cm e la loro velocità è uguale a v 1 = m/s mentre il raggio della traiettoria degli ioni incogniti è di r 2 = 20 cm e la velocità risulta essere v 2 = m/s. Si determini la massa degli ioni incogniti in unità di massa atomica. Nel campo magnetico gli ioni risentono di una forza uguale a qv 2 B muovendosi in una traiettoria circolare di raggio r 2 con accellerazione centripeta pari a a 2 = v 2 2/r 2. Quindi, dalla seconda legge della dinamica, si ottiene m 2 a 2 = qv 2 B m 2 v 2 2 r 2 = qv 2 B m 2 v 2 = qr 2 B ma questo vale anche per gli ioni di sodio m 1 v 1 = qr 1 B Facendo il rapporto tra le due relazioni otteniamo: sostituendo i dati del problema m 2 v 2 m 1 v 1 = r 2 r 1 m 2 = m 1 r 2 v 1 r 1 v 2 3

4 m 2 = (23a.m.u.) = 41a.m.u. 9.2 Forza su un conduttore percorso da corrente XXII.8 Un filo trasporta una corrente di I = 2.40 A. un tratto rettilineo del filo di d = 0.75 m è diretto lungo l asse x, soggetto all azione di un campo magnetico uniforme B = (1.60 k) T. Se la corrente é diretta lungo la direzione +x qual é la forza che agisce sul tratto di filo? : F = I l B = IdB i k = IdB k l unico punto delicato é la determinazione della direzione e verso della forza. Il modulo é dato da: (Ricorda: [A][m][T]=[N]) XXII.36 F = IdB = = N Un lungo filo rettilineo giace orizzontalmente su un tavolo e trasporta una corrente di 1.20 µa. A distanza d sopra il filo, un protone si muove parallelamente al filo (in verso opposto alla corrente) con una velocitá costante di m/s. determinare il valore di d. determinare il valore di d (trascurare il campo magentico terrestre). : Supponiamo che le x siano dirette come la corrente, le z opposte al campo gravitazionale (e dunque le y entrano nel foglio). Poiché la velocitá del protone é costante, le forze totali si annullano (F Tot = m P a). Si ha dunque che la forza di gravitá F g = mg k deve essere bilanciata da qualche altra forza. Tale forza é ovviamente la forza di Lorenz che il filo applica al protone tramite il campo magentico che genera: tale campo, che si puó ottenere dalla lagge di Biot-Savart applicata al filo infnito, ha modulo B = µ 0I 2πd e direzione radiale, quindi nella posizione del protone é: la forza di Lorenz é: B = j µ 0I 2πd F B = q v B = qv i j µ 0I 2πd = µ 0qvI 2πd k 4

5 all equilibrio: da cui la distanza mg = µ 0qvI 2πd d = µ 0qvI 2πmg numericamente: (la carica del protone é: q = +e = C, la sua massa m P = kg, la permittivitá magnetica del vuoto é: µ 0 /(2π) = Tm/A d = ( Tm/A) ( C) ( m/s) ( A) controllate le unitá di misura si ottiene: XXII N = = 5.3 cm Due conduttori rettilinei e paralleli infiniti sono separati da una distanza d e percorsi da correnti opposte. Un conduttore é percorso da 10.0 A, l altro da una corrente I non nota. Il punto A si trova nel punto medio tra i due fili, ed il punto C ad una distanza d/2 a destra del filo in cui scorrono i 10.0 A (nel semi piano che non contiene A). Se d = 18 cm e I é regolata in modo da avere campo nullo in C, calcolare la corrente I e il campo manetico in A. : Sia 1 il filo con corrente I e 2 quello con corrente I 2 = 10.0 A. Per la legge di Biot-Savart per i fili infiniti, il campo in C é: µ 0 I 1 B C = j 2π(3d/2) + µ 0 I 2 j 2π(d/2) = j µ 0 2π (2I 2 d 2I 1 3d ) che si annulla se il campo in A é dato da: I 1 = 3I 2 = 30 A µ 0 I 1 B A = j 2π(d/2) µ 0 I 2 j 2π(d/2) = j µ 0(I 1 + I 2 ) 2π(d/2) il campo in A quindi esce dal foglio ed ha modulo: B A = µ 0 2π I 1 + I 2 (d/2) = 2 40 A 10 7 Tm/A m = T 5

6 XXII.20 Due fili conduttori paralleli, posti a distanza a = 10 cm, sono percorsi da correnti aventi lo stesso verso. Se I 1 =5 A e I 2 =8 A, qual è la forza per unità di lunghezza esercitata da ciascun conduttore sull altro? Supponiamo che entrambe le correnti siano dirette verso l alto. Il condutore 1 genera un campo magnetico nella posizione del filo 2 pari a (µ 0 = 4π10 7 T m/a) B = µ I 1 2π r Per cui sul filo 2 viene esercitata una forza data da F = I 2 l B µ I 1 I 2 = l 2π r ˆv Da cui la forza per unità di lunghezza risulta essere F /l = I 2 B = µ I 1 I 2 = π r 0.1 = N ˆv è il versore che indica direzione e verso della forza da determinarsi con la regola della mano destra e risulta essere ortogonale al filo 2 e diretta verso il filo 1 XXII.21 Nella figura P22.21 il conduttore rettilineo è percorso da una corrente I 1 = 5A e si trova nello stesso piano della spira rettengolare percorsa da una corrente I 2 =10 A. Le dimensioni in figura sono c=0.1 m, a=0.15 m e l=0.45 m. Calcolare intensità e direzione della forza risultante che è esercitata sulla spira rettangolare dal filo rettilineo. Usando i risultati dell esercizio precedente abbiamo che due fili rettilinei percorsi da corrente si attragono con un forza per unità di lunghezza pari a F /l = µ I 1 I 2 2π r se sono percorsi dalla corrente nello stesso verso, mentre si respingono con una forza in modulo uguale alla precedente se sono percorsi in verso opposto. Tornando al problema si ha che sul lato della spira più vicino al filo si esercita una forza che attrae la spira verso il filo pari a F att = µl I 1 I 2 2π c Sul lato della spira più lontano dal filo si esercita una forza che respinge la spira dal filo pari a 6

7 F rep = µl I 1 I 2 2π a Sulle due basi si esercitano delle forze uguali ma contrarie che tenderebbero a deformare la spira il cui effetto è quidi nullo. La forza risultante è quindi F tot = F att F rep = µl ( 1 2π I 1I 2 c 1 ) ( 1 = a ) = N 0.15 XXII.22 Due fili indefiniti paralleli, ognuno di massa per unità di lunghezza di 40 g/m, sono tenuti sospesi da fili lunghi 6 cm in un piano orizzontale come in figura P Ogni filo porta la corrente I, la quale fa sì che i due fili si respingano e si dispongano in una posizione d equilibrio con l angolo θ = 16. a) Le correnti nei due fili hanno verso opposto o stesso verso? b) Calcolare il valore di I. Poichè i due fili si respingono, devono essere percorsi in senso opposto. Per calcolare la corrente che percorre i due fili dobbiamo determonare la forza con cui si respingono e questo lo facciamo determionando le condizioni di equilibrio della geometria proposta. Analizziamo cosa succede su un filo. Deve valere P + T + F mag = 0 dove P è la forza peso, T è la tensione e F mag è la forza tra i due fili. Scomponendo lungo gli assi x e y possiamo scrivere (per unità di lunghezza x : F mag = T sin8 da cui Quindi I = y : P = T cos8 F mag = P tg8 µ 0 I 2 2π 2 6 sin8 = P tg8 mg2 6 sin2 8 cos8 2π µ 0 = 6 mg sin2 8 1 cos8 = 678A

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