1. MODELLO DINAMICO AD UN GRADO DI LIBERTÀ. 1 Alcune definizioni preliminari

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1 . MODELLO DINAMICO AD UN GRADO DI LIBERTÀ Alcue defiizioi prelimiari I sistemi vibrati possoo essere lieari o o lieari: el primo caso vale il pricipio di sovrapposizioe degli effetti el secodo o. I geerale tutti i sistemi reali o soo lieari, ma possoo essere cosiderati tali fiché la sollecitazioe i igresso è piccola o essa è cofiata etro certi campi be defiiti (campi a comportameto lieare); i geerale si ricorre all approssimazioe di cosiderare il sistema lieare. U sistema (o ecessariamete vibrate) è detto a parametri costati se tutte le sue pricipali proprietà o dipedoo dal tempo. Si defiisce modello fisico, la rappresetazioe schematica del sistema reale; il modello matematico è, ivece, la rappresetazioe aalitica (vale a dire i termii di equazioi) del precedete modello fisico. È evidete che uo stesso modello matematico può rappresetare più modelli fisici e più acora sistemi reali 3. Il modello fisico può essere a parametri cocetrati o distribuiti 4. Riferedoci ora ai soli sistemi vibrati, si può affermare che u modello fisico a parametri cocetrati è caratterizzato dalla combiazioe di tre soli elemeti di base: masse, molle e smorzatori (Figura -). massa molla smorzatore Figura -.. Elemeti di base di u sistema vibrate. Nella schematizzazioe di u sistema reale mediate u modello fisico a parametri cocetrati, i corpi soo cosiderati dotati di massa, ma o di elasticità, vale a dire che soo rigidi; le caratteristiche elastiche del sistema soo cocetrate elle molle (che soo prive di massa), metre la dis- Il pricipio di sovrapposizioe degli effetti (PSE) stabilisce che se y ed y soo le risposte di uo stesso sistema agli iput x ed x, allora la risposta del sistema all iput a x+b x sarà sicuramete: a y+b y. U sistema per il quale il legame tra la sollecitazioe (o igresso) e la risposta (o uscita) è del tipo y = f(x) = a x o rispetta il PSE. I geerale, ei modelli o lieari le variabili idipedeti (ad esempio, lo spostameto) o compaioo alla prima poteza ed, ioltre, o soo preseti prodotti tra le diverse variabili idipedeti. U sistema elettrico è a parametri costati se i valori delle sue resisteze, capacità ed iduttaze soo costati el tempo. 3 Si oti che il modello matematico di uo stesso modello fisico può essere lieare o o lieare. Quidi uo stesso modello fisico può essere descritto ache co più modelli matematici (esempio del pedolo matematico, dove la forza di richiamo può essere legata al seo dell agolo o all agolo). 4 I geerale, u modello fisico a parametri distribuiti è caratterizzato da u modello matematico ove compaioo equazioi differeziali alle derivate parziali, metre u modello cocetrato è caratterizzato da equazioi differeziali ordiarie.

2 Modello Diamico ad u Grado di Libertà sipazioe di eergia avviee ad opera degli smorzatori (si pesi ad uo smorzatore ad attrito o co fluido viscoso). I altri termii le proprietà ierziali dei corpi soo cocetrate elle masse, quelle elastiche elle rigidezze, metre quelle dissipative egli smorzatori. Nella realtà, ivece, tali proprietà coesistoo ello stesso elemeto: è questo il caso dei modelli fisici a parametri distribuiti 5. Ua molla (o ache molla lieare, per sottolieare il fatto che la sua risposta è lieare) è u elemeto che reagisce co ua forza ( ) k l l allorché viee allugato di l l, dove l è la lughezza a riposo della molla e k è la costate elastica o rigidezza della molla. I geerale si poe la lughezza a riposo della molla pari a zero. Uo smorzatore viscoso è u elemeto che itroduce el sistema ua forza proporzioale, per mezzo del coefficiete di smorzameto c, alla velocità relativa l & dei suoi estremi; il verso di tale forza è opposto a quello della velocità relativa degli estremi 6. Lo smorzatore viscoso, a differeza della molla lieare, o restituisce l eergia che immagazzia. Le vibrazioi di u sistema soo dette libere o forzate 7. U sistema vibra liberamete se è perturbato dalla sua codizioe di quiete e poi lasciato libero di vibrare; la perturbazioe può avveire mediate uo spostameto o mediate u urto 8. Nel caso di vibrazioi forzate il sistema è sollecitato da ua forza estera e vibra a causa dell azioe persistete di quest ultima. Richiami sui umeri complessi U umero complesso s può essere espresso sia ella sua forma cartesiaa che polare: = σ + = ρ ; dove j s j e ϕ dove j è l uità immagiaria (j =-). ρ = σ + e ϕ arcta = σ, Nella forma cartesiaa, i umeri complessi soo puti el piao di Gauss (o di Nyquist o ache di Argad) i cui assi coordiati soo detti asse reale ed asse immagiario, metre ella forma polare soo puti del piao polare e la loro rappresetazioe coicide co quella cartesiaa a patto di cosiderare l origie del piao polare coicidete co quella del piao di Gauss e l asse reale coicidete co i valori ulli della fase. Sotto queste ipotesti, il umero complesso è ivariate rispetto alla sua rappresetazioe, vale a dire che il puto che lo rappreseta è il medesimo sia ella rappresetazioe cartesiaa che i quella polare. 5 Nelle tipiche applicazioi igegeristiche si adottao sia modelli fisici a parametri cocetrati che distribuiti. 6 Vale a dire che se gli estremi si allotaao, la forza viscosa tede a riavviciarli e viceversa. 7 I geerale, iteressao le secode, ma molto spesso per determiarle è ecessario cooscere ache le prime. 8 Sarà più chiaro i seguito che el primo caso le codizioi iiziali (ecessarie ad itegrare le equazioi differeziali) soo rappresetate da ua posizioe o ulla e da ua velocità ulla, metre el secodo caso (sollecitazioe per mezzo di u impulso) da ua velocità o ulla e da ua posizioe ulla. /8

3 Colleferro Costruzioe di Macchie e Calcolo Automatico A.A. 8/9 Nell ambito delle vibrazioi si fa spesso riferimeto ai umeri complessi pesadoli come vettori rotati o fasori; a tale scopo i Figura - e è data ua semplice rappresetazioe ed è riportata la relazioe alla base delle cosiddette formule di Eulero. 9 Im ( ) si( ) jt e = cos t + j t t Re Figura -.. Rappresetazioe di u fasore. 3 Oscillazioi libere seza smorzameto Il più semplice modello fisico vibrate è costituito da ua massa m collegata per mezzo di ua molla di costate elastica k al terreo e che può oscillare i ua sola direzioe (ad esempio, x). F x k m Figura -3.. Sistema massa-molla. molla. L equazioe che govera tale modello è (o soo preseti forze estere: il sistema ua volta perturbato si poe i vibrazioe): vale a dire: d x F = m = kx, dt jϕ jϕ 9 jϕ e + e Risulta: e = cosϕ+ j siϕ ; cosϕ = ; siϕ jϕ e e j jϕ =. 3/8

4 Modello Diamico ad u Grado di Libertà mx && + kx= (.) Questa equazioe differeziale rappreseta il modello aalitico associato al modello fisico di figura Figura -3 e cosete, ua volto risolto, di determiare l adameto temporale x( t ). I sistemi reali che si possoo studiare, evidetemete i maiera approssimata, co tale modello fisico soo rappresetati i figura Figura -4. F J, p l I, l Μ Figura -4.. Sistemi aalizzabili co il modello ad u grado di libertà seza smorzameto. Defiedo la quatità: l equazioe del moto (.) diveta: k = (.) m && x+ x=, che ha come soluzioe : ( ) si cos x t = A t+ B t (.3) dove A e B soo costati da determiare mediate le codizioi iiziali, vale a dire lo stato del sistema (i termii di posizioe e velocità) all istate iiziale dell aalisi vibratoria. La quatità prede il ome di pulsazioe propria o aturale del sistema i quato dipede dalle caratteristiche itriseche del sistema (massa e costate elastica) e rappreseta la pulsazioe dell oscillazioe Si ricordi che vale il teorema di esisteza ed uicità della soluzioe per cui ua soluzioe che soddisfa l equazioe differeziale (.) è la soluzioe dell equazioe differeziale. U altra soluzioe del tutto equivalete alla (.3) è data dalla seguete: x( t) X si( t ψ) 4/8 = +, dove si è usata la fuzioe armoica si(t), ma si sarebbe potuto usare ache la cos(t), determiado semplicemete u cambiameto della fase iiziale ψ. Espadedo X si( t ψ) jt ( ) x t Ae Be + appare chiaro che: X = A + B taψ = B A. Utilizzado i fasori la soluzioe si può ache scrivere: jt = +, dove le costati soo gradezze complesse coiugate e risulta, applicado le formule di Eulero: B ja B+ ja A = ; B =. Si vuole far otare esplicitamete che le soluzioi riportate soo a meo di ua differete espres- sioe matematica del tutto idetiche, essedo la soluzioe di u stessa equazioe differeziale.

5 Colleferro Costruzioe di Macchie e Calcolo Automatico A.A. 8/9 libera del sistema. Il periodo delle oscillazioi libere vale chiaramete: T π =, metre la loro fre- queza vale: f = k T = π m. Si utilizza il modello del sistema seza smorzameto qualora questo è fisicamete molto piccolo e/o o si iteressa aalizzare la risposta per u ampio itervallo di tempo. Si oti che cooscedo la deflessioe statica della molla soggetta al solo peso della massa, si può facilmete ricavare la frequeza propria del sistema. 4 Oscillazioi libere co smorzameto Cosiderado uo smorzatore viscoso come quello discusso i precedeza, i questo caso l equazioe del moto si scrive: mx && + cx& + kx= (.4) dividedo tutto per la massa m e poedo il fattore di smorzameto (o smorzameto relativo) c c δ = = 3, l equazioe del moto diveta: km m && x+ δ & + = (.5) x x La soluzioe della precedete equazioe differeziale può essere scritta ella forma (ache se o sempre: si veda i tal proposito 4.): αt αt ( ) x t = Ae + Be (.6) dove A e B soo due costati che si determiao co le codizioi iiziali, metre α e α soo le radici dell equazioe caratteristica: ( ) ( ) α= δ δ α + δα + = α = δ + δ A secoda del sego del discrimiate δ, si possoo avere situazioi completamete differeti: (.7) Si itede ribadire chiaramete che il modello viscoso è solo uo dei modelli di smorzameto esisteti (smorzameto isteretico, ad attrito, ). Il vataggio del modello di smorzameto viscoso è che è molto facile da trattare matematicamete. Si oti, ioltre, che molte volte i feomei dissipativi soo dovuti al trasferimeto di eergia da u tipo ad u altro: si pesi alla vibrazioe idotta da u colpo su u tavolo ed al fatto che si è persa eergia a causa del fatto che udiamo u rumore. 3 Il fattore di smorzameto è ua gradezza adimesioale. 5/8

6 Modello Diamico ad u Grado di Libertà 4. δ > ( c > 4km) Accade allorché il sistema è fortemete smorzato; i tal caso la risposta ad ua perturbazioe dallo stato di quiete è data da u moto aperiodico. Aaliticamete la soluzioe è: αt αt ( ) x t = Ae + Be, co α e α reali e egative (.8) I Figura -5 soo rappresetate varie soluzioi al mutare delle codizioi iiziali (C.I.)..5. Fattore di smorzameto 3 x =. v =. x =. v =. x =. v = -. x =. v = -. x =. v = -.5 x =. v =. Posizioe [m] Tempo [s] 4. 6/8 Figura -5.. Adameto della risposta per sistemi ipercritici al variare delle C.I. δ = ( c = 4km) Le radici dell equazioe caratteristica soo reali, coicideti e egative e valgoo: La soluzioe aalitica è: α = α = t t ( ) x t = Ae + Bte (.9) la quale rappreseta u moto aperiodico critico; il valore dello smorzameto è detto smorzameto critico e vale: c= c = km. Si oti che la soluzioe dell equazioe differeziale (.5) allorché cr c= c cr o può essere rappresetata dalla (.6) giacché i tal caso o sarebbero soddisfabili geeriche codizioi iiziali. La Figura -6 riporta alcui esempi di risposta per sistemi co smorzameto critico per diverse C.I.

7 Colleferro Costruzioe di Macchie e Calcolo Automatico A.A. 8/ Smorzameto critico x =. v =. x =. v =. x =. v = -. x =. v = -. x =. v = -.5 x =. v =. Posizioe [m] Tempo [s] 4.3 Figura -6.. Esempi di risposte per u sistema co smorzameto critico al variare delle C.I. δ < ( c < 4km) Il sistema è poco smorzato: è la quasi totalità dei casi di iteresse igegeristico. Le soluzioi dell equazioe caratteristica soo complesse e coiugate. La soluzioe el domiio del tempo è: ( ) ( ) δ t j δ t j t Be δ x t = e Ae + (.) Utilizzado le formule di Eulero, la (.) può essere riscritta ella forma: dove A = ( A+ B) e B j( A B) δ ( ) = ( ) ( ) t cos δ + si δ x t e A t B t =, da determiare per mezzo delle codizioi iiziali. La soluzioe (.) può essere ache scritta ella forma: (.) δ ( ) cos( ) t δ t ψ x t = Ce + (.) (a tale ultima espressioe si farà el seguito riferimeto esplicito). La (.) rappreseta u moto armoico smorzato secodo le curve (iviluppati) ± Ce δ t. Il moto o è propriamete periodico i quato le ampiezze si riducoo ed è detto pertato pseudoperiodico. La pulsazioe dell oscillazioe smorzata vale: s = δ (.3) 7/8

8 Modello Diamico ad u Grado di Libertà A tale pulsazioe corrispode uo pseudoperiodo oscillatorio π Ts =, dato dal tempo che iter- corre tra due puti di tageza cosecutivi sulla stessa curva di estizioe. La Figura -7 riporta u esempio di risposta per u sistema co piccolo smorzameto. Le costati di itegrazioe soo determiate a partire dalle C.I. el seguete modo: v δ + x ψ = arcta s x C = cosψ s.4.3 Smorzameto sub-critico (δ=.) x =. v =. C e -δ t -C e -δ t.. Posizioe [m] Tempo [s] Figura -7.. Esempio di risposta per u sistema poco smorzato. La pulsazioe propria o aturale di u sistema smorzato è data dalla (.3) e differisce pertato dalla quatità desumibile da (.) per u fattore δ ; ciò cosete di affermare che la pulsazioe propria di u sistema smorzato differisce da quella di u sistema o smorzato. I realtà, ei comui casi di iteresse igegeristico δ <., la differeza umerica tra le due quatità può essere realmete piccola. Ua particolarità della risposta (.) cosiste el fatto che il rapporto tra due picchi cosecutivi è costate el tempo; il suo logaritmo aturale vale: 8/8

9 Colleferro Costruzioe di Macchie e Calcolo Automatico A.A. 8/9 x i δ ξ = l = π πδ x δ i+ (.4) La quatità ξ è defiita decremeto logaritmico ed è utile per ricavare lo smorzameto del sistema dalla misura della sua risposta el tempo: basta determiare il logaritmo aturale dell ampiezza di due picchi cosecutivi e quidi ricavare δ applicado la (.4). 4.4 La soluzioe el piao complesso L equazioe differeziale (.4) può essere risolta ache cosiderado ua soluzioe del tipo: co s variabile complessa. st x( t) = Xe (.5) Im δ = δ = δ δ Re δ = Figura -8.. Posizioe dei poli el piao complesso al variare dello smorzameto. Le diverse soluzioi s dell equazioe caratteristica (.7) scritta questa volta i fuzioe di s- al variare dei parametri (m, c e k) del sistema e descritte i possoo essere rappresetate mediate il piao complesso riportado i ascissa la parte reale di s ed i ordiata quella immagiaria (si veda la Figura -8). Il sistema meccaico (co i diversi parametri reali e positivi) risulta sempre stabile o, quado lo smorzameto è ullo, al limite di stabilità (soluzioi completamete immagiarie). Fisicamete, u sistema vibrate al limite di istabilità, ua volta perturbato dal suo stato di quiete, comicia a vibrare per u tempo idefiito o essedo presete alcuo smorzameto che atteua la vibrazioe. All aumetare dello smorzameto i poli (ossia le radici) dell equazioe caratteristica hao u parte reale ed ua immagiaria: la parte reale è resposabile della riduzioe dell oscillazioe el tempo, metre quella immagiaria forisce la pulsazioe della compoete oscillate. Quado lo smorzameto è quello critico, le soluzioi dell equazioe caratteristica coicidoo ed i due rami del luogo delle radici si immergoo sull asse reale ed il moto è aperiodico critico. All aumetare acora dello smorzameto, le soluzioi soo etrambe reali e si allotaao sempre di più dal puto d immersioe. 9/8

10 Modello Diamico ad u Grado di Libertà 5 Oscillazioi forzate Come tipica sollecitazioe forzate prediamo i cosiderazioe il caso della forzate armoica: tale caso è di effettivo iteresse pratico i quato, per il teorema di Fourier, ua qualsiasi fuzioe periodica può essere scomposta i ua serie di fuzioi armoiche e, ricorredo alla trasformata di Fourier, ua qualsiasi fuzioe del tempo può essere scomposta come la sommatoria di ifiite fuzioi armoiche. Data la validità del PSE, ua volta ota la soluzioe ad ua geerica sollecitazioe armoica è possibile determiare la soluzioe ad ua qualsiasi forzate. I questo caso, per alleggerire la trattazioe, scriviamo la fuzioe armoica, di pulsazioe i termii complessi 4 j t : f ( t) = Fe. L equazioe del moto del sistema è: ( ) mx && + cx& + kx= f t (.6) j t La risposta del sistema sarà ua fuzioe armoica del tipo: x( t) = Xe ; sostituedola ell equazioe del moto si ottiee: da cui si ricava: X scrivere el seguete modo: e la fase di X valgoo: F ( m jc k) ( ) m+ j c+ k Xe = Fe jt jt ( ) =. X è ua gradezza complessa X X ( j ) + + j X X e φ = ; i questo modo la risposta è: ( ) X = k + 4δ δ taφ = F =, che si può ( ) j t x t X e φ =. Il modulo (.7) Si oti che la risposta è i ritardo rispetto all eccitazioe della quatità φ. Nel caso geerale di u sistema sollecitato da ua forzate armoica, la sua risposta sarà del tipo: δ ( ) = cos( ) t δ + ψ + cos( φ) x t Ce t X t 4 j t I realtà la quatità f ( t) = Fe è ua gradezza complessa, più propriamete risulta: jt ( ) ( ) cos( ) f t =R e Fe = F t. Si oti, ioltre, che la precedete scrittura ipotizza implicitamete che la fase sia ulla, ma ciò o costituisce u problema visto che per otteere ciò basta scegliere opportuamete l origie dei tempi. /8

11 Colleferro Costruzioe di Macchie e Calcolo Automatico A.A. 8/9 I altri termii, la risposta del sistema oscillate cosiste i ua parte vibratoria smorzata caratterizzata dalla frequeza propria s ed i ua parte vibratoria stazioaria co pulsazioe pari a quella della sollecitazioe estera. I Figura -9 soo riportati due esempi di risposte per due diversi valori della pulsazioe della forzate: i etrambi i casi dopo u trasitorio più o meo lugo rimae solo la risposta forzata. Soluzioe forzata: δ=. e =.3 s.5.4 Soluzioe forzata: δ=. e =3 s Posizioe [m] Tempo [s] Posizioe [m] Tempo [s] Figura -9.. Esempi di soluzioi forzate co C.I. o baali. La quatità F k rappreseta la risposta del sistema ad ua sollecitazioe a frequeza ulla (vale a dire ad ua sollecitazioe statica). La quatità pari al rapporto tra l ampiezza della risposta armoica stazioaria (vale a dire i X F k codizioi di regime, dopo che si è esaurito il trasitorio iiziale) e l ampiezza della risposta statica prede il ome di fattore di amplificazioe o di recettaza; il suo modulo vale: ( ) = ( ) = H α 4δ + (.8) La (.8) cosete di ricavare immediatamete l ampiezza della risposta ua volta che sia ota quella della forzate. È evidete come l ampiezza della risposta dipeda oltre che dal valore della ( ) forzate ache dalla sua frequeza α α( ) = ; l amplificazioe, per ua pulsazioe della forzate pari a quella aturale del sistema o smorzato ( = ) vale α = e se il sistema o è δ /8

12 Modello Diamico ad u Grado di Libertà smorzato la risposta a regime del sistema tede ad ifiito 5. All aumetare della frequeza della forzate il sistema rispode sempre di meo, l amplificazioe tede a zero ed il sistema tede sempre di più a stare fermo: tale comportameto è del tutto ituitivo o avedo il sistema il tempo di adeguarsi alla sollecitazioe i igresso. 9 8 Coefficiete di amplificazioe δ =.5 δ =. δ =.5 δ =.5 δ =. δ = Sfasameto 7 6 α 5 4 φ [deg] δ =.5 δ =. δ =.5 δ =.5 δ =. δ = / / Figura -.. Rappresetazioi della recettaza e dello sfasameto. La Figura - riporta graficamete la ricettaza (a volte ache detta coefficiete di amplificazioe diamica del carico), oché lo sfasameto della risposta forzata per diversi valori del fattore di smorzameto al variare della pulsazioe della forzate. 5. Risposta di u sistema o smorzato i codizioi di risoaza Si badi che la risposta a regime del sistema tede ad ifiito, o che l ampiezza della risposta di u sistema o smorzato i codizioi di risoaza è pari ad ifiito. Per evideziare chiaramete tale aspetto basta calcolare la risposta forzata di u sistema o smorzato iizialmete i quiete soggetto ad ua forzate cosiusoidale: mx && + kx= F cos( t) La soluzioe è composta da u itegrale particolare e dall omogeea associata: Le codizioi iiziali di quiete impogoo: F cos x( t) = Asi( t) + B cos( t) + m ( ) ( ) x = x & = ( t) ( ) 5 I realtà, l amplificazioe è massima per ua pulsazioe leggermete iferiore a quella propria; ciò è tato più vero quato maggiore e lo smorzameto (si veda ache la Figura -). /8

13 Colleferro Costruzioe di Macchie e Calcolo Automatico A.A. 8/9 Soluzioe forzata i risoaza 5 5 Posizioe [m] Tempo [s] Figura -.. Soluzioe forzata i risoaza ed asseza di smorzameto. Impoedo tali codizioi iiziali (C.I.): A= F B = m pertato la risposta complessiva del sistema si scrive: ( ) ( ) F x( t) = cos( t) cos( ) t m I codizioi di risoaza ( = ), l espressioe precedete risulta idetermiata ( ) ; sviluppado cos( t) La soluzioe diveta: i serie di Taylor co cetro che poedo = diveta: fio al primo ordie si ottiee 6 : ( t) = ( t) t ( t) ( ) cos cos si ( + )( ) F x( t) = t si( t) ( ) m 6 Si faccia attezioe al fatto che, i tale circostaza, la variabile idipedete è e o t. 3/8

14 Modello Diamico ad u Grado di Libertà ( ) x t = t F si( t) = m La soluzioe (rappresetata i Figura -) è, quidi, sfasata di 9 rispetto all eccitazioe ed ha u ampiezza che cresce liearmete co il tempo: a regime diveta ifiita. E chiaro che ella realtà la risposta o potrà mai divetare ifiito a causa del subetrare di u comportameto o lieare, della ascita di uo smorzameto ed, ovviamete, della rottura del sistema. La circostaza, ioltre, che l ampiezza della risposta diveta ifiita solo dopo u tempo ifiito giustifica matematicamete la possibilità di attraversare la codizioe di risoaza: è il caso di tutti i sistemi che lavorao stabilmete i codizioi ipercritiche: basta attraversare la codizioe di risoaza rapidamete i modo da o dare il tempo alla risposta di crescere troppo (co evideti problemi). 5. Dissipazioe di u sistema smorzato i risoaza La soluzioe stazioaria di u sistema smorzato soggetto ad ua sollecitazioe armoica 7 cosiusoidale è come detto: x( t) X cos( t φ) k = ; i codizioi di risoaza, essedo = =, ri- m sulta mx && + kx= ; di cosegueza, l equazioe del moto si scrive: ( ) cos( ) cx& = c X si t ϕ = F t Fisicamete, ciò sigifica che i codizioi di risoaza la forza smorzate equilibra istate per i- state la forzate estera; i altri termii, i codizioi di risoaza l eergia forita al sistema dalla forza estera serve ad equilibrare le perdite dovute alle forze viscose. 5.3 Forzate Periodica Nel caso i cui il sistema vibrate sia sollecitato da ua forzate periodica el tempo, tale per cui: π F( t) = F( t+ T) = F t+ (.9) la quatità T è detta periodo della forzate, metre è defiita pulsazioe fodametale. I tal caso, per il teorema di Fourier, l aalisi vibratoria del sistema può essere facilmete codotta decompoedo la forzate elle sue armoiche ed utilizzado il PSE. Nel caso i cui la forzate soddisfi le codizioi per cui essa è decompoibile ella serie di Fourier, si può scrivere quato segue 8 : ( ) = + F cos( lt+ ϕ ) F t F l l (.) l= 7 L equazioe del moto è ovviamete la mx && + cx& + kx= F cos( t) 8 Fisicamete, F rappreseta il valore medio della forzate; la (.) si traduce quidi i ua decomposizioe della forzate ella quale si separa il suo valore medio dalle sue oscillazioi attoro ad esso. 4/8

15 Colleferro Costruzioe di Macchie e Calcolo Automatico A.A. 8/9 oppure, equivaletemete: ( ) = + cos( ) + si( ) l l (.) l= l= F t a a l t b l t I coefficieti a l e b l si possoo otteere dalla (.) semplicemete moltiplicado, rispettivamete, per cos( l t) e si( l t) a ed itegrado sul periodo T 9, per cui si ottiee: T = F( t) dt, a = F( t) cos( lt) dt, b ( ) si( ) T l Ovviamete, le relazioi (.) ed (.) soo legate dalle ovvie relazioi: T T bl Fl = al + bl e taϕ l = a l T = F t l t dt T (.) E da otare che sebbee le espressioi precedeti foriscao ua formulazioe aalitica per determiare i diversi coefficieti della serie armoica di Fourier, o è affatto detto che sia possibile la loro determiazioe i forma chiusa per ua qualsiasi fuzioe periodica; com è be oto, ifatti, o esistoo gli itegrali i forma chiusa di ua geerica fuzioe itegrada. Quado la risoluzioe i forma chiusa degli itegrali (.) o è possibile si può ovviamete procedere per via umerica oppure mediate aalizzatori spettrali di segale. Si oti che i questi casi o si determiao, ovviamete, tutte le compoeti armoiche, ma solo quelle che si trovao etro u certo itervallo di frequeza, vale a dire quelle per cui risulti l π < fmax, dove max secoda del problema i esame. Si procede i tal modo per due ragioi: l f è scelto di volta i volta a all aumetare dell ordie l, le ampiezze delle armoiche divetao sempre più piccole, ciò vuol dire che il loro cotributo alla formazioe della risposta del sistema sempre più trascurabile. all aumetare dell ordie, l errore col quale si determiao le compoeti armoiche, el caso i cui esse siao determiate co u aalizzatore spettrale, aumeta sempre di più perché diveta sempre più piccolo il rapporto segale/rumore, co il risultato di mal stimare l effettiva risposta del sistema. 9 Si ricordi che l itegrale di cos( l t) e si( l t) cos ( lt) si( ht), metre dei diversi itegrali del tipo cos( lt) cos( ) ciò vale ache per gli itegrali del tipo si( lt) si( ) T h t dt. el periodo T è ullo, così come è ullo l itegrale sul periodo di T h t dt rimae solo quello per cui h l = e 5/8

16 Modello Diamico ad u Grado di Libertà Esempio di segale periodico Tempo [s] Figura -.. Oda quadra come esempio di segale periodico. Segale Tempo [s] Ampiezza armoica Numero di armoiche cosiderate Segale Tempo [s] Ampiezza armoica Numero di armoiche cosiderate Figura Esempio di aalisi di Fourier : el primo caso si cosiderao armoiche, el secodo. Le armoiche pari soo macati, per cui si ritrova che la fuzioe è dispari. 6/8

17 Colleferro Costruzioe di Macchie e Calcolo Automatico A.A. 8/9 Ua volta espressa la fuzioe periodica mediate la serie di Fourier, la risposta forzata del sistema si può otteere semplicemete i virtù del PSE: x( t) = X + cos( ) Xl lt+ ϕl φl (.3) dove i diversi termii soo calcolabili applicado semplicemete le formule viste i precedeza. Il termie X rappreseta la risposta del sistema al valore medio della forzate e vale pertato: F. Affiché ci sia risoaza basta, ovviamete, che ua delle armoiche della forzate eccita- k te coicida co la frequeza propria del sistema. Si oti che la precedete espressioe forisce la risposta forzata del sistema e o la risposta complessiva, per otteere la quale è ecessario sommare la risposta libera che si determia impoedo che la risposta complessiva del sistema soddisfi le CI. Nel caso di forzate periodica, le costati della risposta libera si determiao: v+ k Xl si( ϕl φl) l= δ x Xl cos( ϕl φ l) l= ψ = arcta s x Xl cos( ϕl φl) l= C = cosψ (.4) Provare, per esercizio, a determiare la risposta di u sistema all oda quadra per diversi valori di rigidezza, e determiare per quale valore si verifica risoaza. 5.4 Forza eccitate arbitraria I tale circostaza (l uica, i realtà, che ha seso da u puto di vista strettamete fisico, o essedo mai u sistema soggetto ad ua forzate per u tempo ifiito), la forzate o è periodica ed agisce per di più per u tempo fiito. La vibrazioe del sistema si può otteere cosiderado due distiti approcci: Approccio el domiio della frequeza: geeralizzado l approccio adottato per le fuzioi periodiche e facedo, quidi, ricorso alla trasformata di Fourier. Approccio el domiio del tempo: cosiderado la forzate costituita da ua serie di impulsi elemetari aveti diverse ampiezze. I quel che segue si farà prima riferimeto all approccio el domiio del tempo, quidi a quello el domiio della frequeza. 7/8

18 Modello Diamico ad u Grado di Libertà 5.4. Approccio el domiio del tempo: impulso uitario o delta di Dirac L impulso uitario è defiito come il limite per ε della fuzioe rettagolare δ ( t) assume il valore ε per t [ aa, ε] l istate temporale di applicazioe dell impulso. δ ε (t) ε : quest ultima + ed il valore ullo al di fuori di tale itervallo. Ovviamete, a è /ε a ε t Figura Delta di Dirac. Matematicamete, il delta di Dirac è defiibile el seguete modo: δ( t a) =, t a + δ( t a) dt= + F t t a dt= F a ( ) δ( ) ( ) (.5) Si defiisce ora come forza impulsiva all istate di tempo a la quatità: ( ) δ( ) F t = F t a (.6) Nel caso i esame, il delta di Dirac ha le dimesioi [T - ], metre F ha le dimesioi [MLT - ]. L impulso elemetare agete al tempo a vale, per defiizioe: di = F( t) dt, ovvero, ( ) di = Fδ t a dt. Eccitado il sistema vibrate a partire dal suo stato di quiete per mezzo dell impulso di si ottiee, applicado il teorema dell impulso secodo il quale l impulso elemetare è pari alla variazioe di quatità di moto del sistema: di = mdv (il sistema vibrate è, ovviamete, a massa costate per cui risulta dm= ). Itegrado la precedete relazioe su tutto l arco temporale si ottiee: 8/8

19 Colleferro Costruzioe di Macchie e Calcolo Automatico A.A. 8/9 + ( ) Fδ t a dt + + v F F di = Fδ ( t a) dt= mdv= mv v= = v( t= a) = (.7) m m m Ciò vuol dire che a seguito dell applicazioe della forza impulsiva al tempo a, il sistema vibrate passa da uo stato di quiete ad uo i cui risulta: x( t= a) = F x( t= a) = & (.8) I altri termii, l applicazioe della forza impulsiva causa ua repetia variazioe di velocità, ma o di posizioe (la qual cosa è ache del tutto i accordo co il comue seso fisico). Le (.8) costituiscoo quidi le codizioi iiziali per il problema di u sistema vibrate i oscillazioe libera sottoposto alla forza impulsiva (.6). La soluzioe libera el caso geerale si è visto che vale: m δ ( ) = cos( ) t δ t+ ψ x t Ce Applicado le C.I. date i (.8), cosiderado t= come istate di tempo di applicazioe dell impulso, si ottiee: ricordado che cos x+ = si( x) vale: F δ ( ) t π x t = e cos δ t+ m π δ, t, la risposta del sistema vibrate alla forza impulsiva (.6) F δt ( ) = si ( δ ) x t e t m δ, t (.9) Nel caso i cui l impulso elemetare è uitario, vale a dire che risulta F =, la risposta del sistema vale: δt ( ) = si ( δ ) h t e t m δ, t (.3) La precedete equazioe rappreseta la risposta del sistema all impulso uitario (detta ache risposta elemetare all impulso uitario). Ovviamete risulta x( t) Fh( t) =, la quale idica che cooscedo la risposta elemetare all impulso uitario è semplicissimo cooscere la risposta del sistema ad u qualsiasi impulso. Ioltre, decompoedo la forzate eccitatrice come ua sommatoria (al limite ifiita) di impulsi e- ( F d ) lemetari ( ) τ τ è possibile cooscere la risposta del sistema coma sommatoria (al limite ifi- 9/8

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