FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE E APPLICAZIONI

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1 CAPITOLO FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE E APPLICAZIONI Sono le funzioni aveni come dominio e codominio dei sooinsiemi dei numeri reali; esse sono alla base dei modelli maemaici preseni in ogni campo della scienza. Il paragrafo Applicazioni ha lo scopo di mosrare come, per risolvere con meodi maemaici dei problemi concrei, il primo passo sia quello di cosruire un modello maemaico che ne consena la raduzione in uno o più problemi maemaici. DEFINIZIONE. Siano A e B due sooinsiemi non vuoi di R. Una funzione f : A B è dea funzione reale di variabile reale. Esempi. f : [0,] R, f() = f : R R + 0, f() = Da ora in poi, se non specificao diversamene, quando si parla di funzione si inenderà sempre funzione reale di variabile reale. Talvola il dominio D della funzione f non è specificao, in al caso si soinende che il dominio è il più grande sooinsieme di R in cui la funzione esise ossia si può calcolare f() per ogni D. Queso insieme è deo insieme (o campo) di esisenza della funzione. Se non indicao, come codominio si inende R. Per esempio se viene indicaa solo la legge f :, si considera come dominio di ale funzione R + 0 = [0, + ) e come codominio si considera R.. RICERCA DEL CAMPO di ESISTENZA Come già deo, il campo di esisenza di una funzione f espressa analiicamene, è l insieme di ui i valori della variabile indipendene per i quali hanno significao le operazioni che si devono eseguire su di essa per avere il valore f(). Per deerminare il campo di esisenza di una funzione occorre deerminare il più grande sooinsieme di R in cui sono faibili ue le operazioni che figurano nella espressione analiica della funzione. In paricolare: ) I denominaori devono essere 0. ) Se figura n, n pari, allora deve essere 0. ) Se figura log, allora deve essere > 0. 4) Se figura g( ) f ( ) occorre porre ( ) > 0 f. Ovviamene se la funzione presena più siuazioni fra quelle sopra indicae, per deerminare il campo di esisenza dovranno essere richiese conemporaneamene ue le condizioni elencae sopra.

2 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Esercizi.. Deerminare il campo di esisenza della funzione + f ( ) =. ( ) Deve essere 0,. Il campo di esisenza della funzione è perano R \ {}.. Deerminare il campo di esisenza della funzione f ( ) =. Deve essere > 0, >. Il campo di esisenza della funzione è perano (,+ ).. Deerminare il campo di esisenza della funzione f ( ) = ln ( + ). Deve essere + > 0. Il campo di esisenza della funzione è perano (, ) (,+ ). 4. Deerminare il campo di esisenza della funzione f ( ) = La funzione esise purché sia + 4 0, cioè 4 e. Il campo di esisenza della funzione è perano: R \ { 4; } = ( ; 4 ) ( 4; ) ( ; + ). 5. Deerminare il campo di esisenza della funzione f ( ) =.. + Affinché quesa funzione esisa, occorre che il radicando sia posiivo o nullo (infai la radice è di indice pari) e, affinché il radicando esisa, occorre che il denominaore sia diverso da zero. Dunque si deve risolvere il seguene sisema : 0 + da cui < e. + 0,, +. Il campo di esisenza della funzione è ( ) [ ) 6. Si consideri la funzione 4 f ( ) = log( + ). La condizione di esisenza è che l argomeno del logarimo sia 4 posiivo, ovvero + >0. Ponendo =, la disequazione da risolvere divena + > 0 che è sempre verificaa per ogni R, dunque anche per > 0 e quindi per ogni R. Il campo di esisenza della funzione è R.

3 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni 7. Deerminare l insieme di esisenza della funzione f ( ) =. log ( ) Ricordando le condizioni di esisenza delle radici, del logarimo e di una frazione, si deduce che deve essere soddisfao il seguene sisema: 0 > 0 >, da cui < 4 e > log ( ) 0 4, 4 4, +. Il campo di esisenza della funzione è [ ) ( ). GRAFICO Grafico della funzione f è l insieme delle coppie (, f()). Se nel piano caresiano ad ogni coppia (, f()) si associa il puno di coordinae (, f()), si oiene un insieme di puni che cosiuisce una visualizzazione geomerica della funzione f. Se il grafico che rappresena la funzione f è la curva C, si dice anche che la curva C ha equazione = f(). Esempi di grafici.. f ( ) = ha come grafico 4 0. se 0 f ( ) = ha come grafico se > 0 0

4 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni. GRAFICO DELLA FUNZIONE INVERSA Se f : A B è una funzione inveribile, il grafico di f e di f - dell alro rispeo alla biserice del e quadrane. sono uno il simmerico Esempi.. Se f : R R, f ( ) = 4 allora f f : R R, 4 ( ) + f =. f Se f : [0, ] [0, 9], f ( ) = allora f : [0,9] [0,], f ( ) =. 9 f f FUNZIONI MONOTONE DEFINIZIONE. Una funzione f : A B si dice monoona nell insieme A se si verifica una delle segueni condizioni : Per ogni, A, se < allora f( ) < f( ) (f sreamene crescene) Per ogni, A, se < allora f( ) f( ) (f crescene) Per ogni, A, se < allora f( ) > f( ) (f sreamene decrescene) Per ogni, A, se < allora f( ) f( ) (f decrescene) 4

5 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni E imporane noare che se una funzione f è sreamene monoona, ossia sreamene crescene o sreamene decrescene, allora è anche inveribile. Per convenzione, si dice che una funzione f : A B è crescene (decrescene) in un puno 0 A se è crescene (decrescene) in un inorno di 0. Esempi.. f ( ) = è sreamene crescene. Infai per ogni < risula <, ciò deriva dal fao che = ( ) ( + + ) ed essendo + + se < 0 anche < 0. sempre posiivo, Nauralmene essendo f() sreamene crescene, esise la funzione inversa f ( ) =.. f() = + è sreamene decrescene. Infai per ogni < risula + > +. La f() ammee la funzione inversa ( ) + f =..5 FUNZIONI LIMITATE DEFINIZIONE. Sia f : A R, A R ; la funzione f si dice : Limiaa superiormene se esise R ale che f() per ogni A (fig. ). Limiaa inferiormene se esise R ale che f() per ogni A (fig. ). Limiaa se esisono h, k R ali che h f() k per ogni A (fig. ). Graficamene una funzione limiaa superiormene o inferiormene ha il grafico uo compreso al di soo, rispeivamene al di sopra, di una rea = e analogamene se una funzione è limiaa il suo grafico è compreso fra due ree = h e = k. = 7 = 7 0, 0 0 = 0 Fig. Fig. Fig. 5

6 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni.6 OPERAZIONI CON LE FUNZIONI. FUNZIONI COMPOSTE. Somma (addizione e sorazione) Dae le funzioni f : A R e g : A R, A R, si definisce la funzione somma (f ± g) : A R, A R, ponendo, per ogni A, ( f ± g)( ) = f( ) ± g( ) Esempio. Siano f, g : R R, con f() = + e g() = ; allora risula (f g)() = +. Moliplicazione per uno scalare Dai f : A R, A R, λ R si definisce la funzione λf : A R, A R, ponendo per ogni A ( λ f)( ) = λf( ) Esempio. Siano f : R R, f() = +, e λ = 7 ; allora risula 7 f : R R, 7 f() = 7 ( + ). Composizione di funzioni Siano f : A B e g : C D due funzioni ali che f(a) C ( ossia l immagine di A è conenua nel dominio di g ), allora si può considerare la funzione go f : A D definia, per ogni A, da ( g o f)( ) = g( f( )). La funzione go f si dice funzione composa di f e g (ale scriura prevede che prima si applichi la f e poi la g ). go f : A f(a) g(f(a)) f() g(f()) Esempi.. Siano f : Z Z, f() = + ; g : Z Z, g() =, allora risula ( go f)( ) = g( f( )) = g( + ) = ( + ).. f() = ln( + ) è la composizione di g() = + e di h() = ln, infai ( ho g)( ) = h( g( )) = h( + ) = ln +.. f ( ) = + è la funzione composa da g() = + e da h ( ) =, infai OSSERVAZIONI ( ho g)( ) = h( g( )) = h( + ) = +. L esisenza di go f non implica l esisenza di fo g. L operazione di composizione non è commuaiva, ossia anche nel caso esisano sia go f che fo g, generalmene risula go f fo g. 6

7 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Per esempio siano f, g : R R definie da f() = + e g()=. Risula ( ) ( + 4) ( go f)( ) = g( f( )) = g( + ) = e ( fo g)( ) = f( g( )) = f = + = 4 dunque go f fo g. Aenzione a non confondere f () con [f()]. Ad esempio se f : R-{0} R, f() = / risula f () = (fo f)() = f(f()) =, menre [f()] = (/). Se f è bieiva, la sua funzione inversa f - è la funzione ale che fo f - = f - o f = Id. (funzione idenià), + Esercizio. Sia f : R + 0 R + 0, esisono, le segueni funzioni compose: a) fo g, b) go f, c) fo f, d) go g. f ( ) = e g : (, ] R, g( ) =. Si deerminino, se a) fo g verifica la condizione di esisenza, risula ( fo g)( ) = 4. b) go f non esise, perchè f(r + 0) (, ], per esempio f(6) = 4 (, ]. 4 c) fo f verifica la condizione di esisenza, risula ( f o f)( ) =. d) go g non esise, perchè g(, ] (, ], per esempio g( ) = 5 (, ]. Esercizio. Siano f, g : R R definie da f() = e g() = +. Si deerminino, se esisono, le segueni funzioni compose: a) fo g, b) go f, c) fo f, d) go g. a) f o g verifica la condizione di esisenza, risula ( fo g)( ) = ( + ) = b) g o f verifica la condizione di esisenza, risula ( go f)( ) = ( ) + = +. 4 c) f o f verifica la condizione di esisenza, risula ( fo f)( ) = ( ) = d) g o g verifica la condizione di esisenza, risula ( go g)( ) = ( + ) + = + 6 Esercizio. Sia : (, + ) R, () = [ ln ( ) ]. Si rovino f, g, h ali che = fo go h. f() =, g() = ln, h() =. Esercizio 4. Si considerino le funzioni 4 f ( ) =, g( ) = ln, r( ) = /. Si deerminino le espressioni delle funzioni compose ro f o g e go f o r e si dica se esisono. 4 ( ro f o g)( ) = r( f ( g( )) = r( f (ln )) = r( (ln ) ) = 4 (ln ) 4 a ln a (ln ) a 4 (ln ) La funzione composa esise e il suo campo di esisenza è ( 0,) (, + ), infai deve essere > 0 e (ln ) 4 0 ossia ln 0,. 7

8 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni 4 (go f o r)() = g(f(r()) = g(f(/)) = g( ) = ln( ) = ln( ) 4 4 a a a ln 4 4 La funzione non esise perché l argomeno del logarimo è non posiivo..7 LE FUNZIONI ELEMENTARI. Sono così chiamae le funzioni mediane le quali vengono cosruii i modelli maemaici. Si può anche dire che sono le funzioni che si usano come maoni per cosruire ue le alre funzioni. Descriviamo brevemene le caraerisiche delle principali funzioni elemenari..7.. La funzione valore assoluo Qualunque sia il numero reale, il valore assoluo (o modulo) di si indica con il simbolo ed è così definio se 0 = se < 0 La funzione valore assoluo f() = ha come dominio R ed è sempre posiiva per 0. E sreamene decrescene in (, 0), menre è sreamene crescene in (0, + ). f()= 0 Del valore assoluo è imporane ricordare che per ogni numero reale r 0 risula : r se e solo se r r < r se e solo se r < < r r = r r r r Inolre r se e solo se r oppure r > r se e solo se < r oppure > r. 8

9 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni.7.. Le funzioni lineari f() = m, m R e le funzioni lineari (affini) f( )= m + q, m, q R Quese imporani funzioni hanno ue come grafico una rea, nel capiolo 0 sono riporae le principali formule relaive alla rea. LE FUNZIONI f() = m, m R Quese funzioni, dee lineari, hanno il rapporo delle due variabili cosane: = m. Quando si verifica queso, si dice che le due variabili sono direamene proporzionali. Dunque le funzioni f() = m sono quelle che esprimono la proporzionalià direa. Il loro grafico è sempre una rea passane per l origine. Precisamene risula : m = m = m < < m < m < 0 0 < m < 0 LE FUNZIONI f() = m + q, m, q R Con abuso di linguaggio è consueudine chiamare lineari anche le funzioni f() = m + q con q 0, il loro grafico è sempre una rea non vericale che si oiene raslando il grafico della funzione lineare f()= m di q unià verso l alo se q è posiivo, di q unià verso il basso se q è negaivo. = m + = m = m 0 Il numero q è dunque l ordinaa del puno in cui il grafico di f() = m + q inerseca l asse delle e si chiama inercea o ordinaa all origine. Aenzione! Le funzioni f() = m + q, q 0, non esprimono più la proporzionalià direa. 9

10 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Daa la loro imporanza, sudiamo più approfondiamene le funzioni lineari e le funzioni lineari affini, ossia le funzioni f() = m + q, m, q R. Significao di m. Sia f() = = m + q, m, q R e sia r la rea grafico della funzione f(). Si ha che : Il valore m esprime la pendenza della rea. Il valore di m indica di quano aumena la quando si aumena di una unià la. Dimosrazione: Siano P ( ; ) e P ( +; ) due puni della rea r di equazione = m + q. Poiché i puni apparengono ad r, risula : = m( + ) + q e = m + q soraendo membro a membro e semplificando si oiene = + m. Se ad esempio si ha la funzione f() = = 0,5, ad ogni aumeno di una unià di, corrisponde un aumeno di 0,5 unià di. Se si considera invece la funzione f() = = 4 + 7, all aumenare di di una unià, la aumena di 4 unià, ossia diminuisce di 4 unià. I due esempi sopra riporai illusrano anche l mporane proprieà che la funzione f() = m + q è sreamene crescene se m > 0 sreamene decrescene se m < 0 cosane se m = 0 Dunque: il segno di m indica se la funzione è crescene o decrescene; il valore assoluo di m indica la velocià con cui varia rispeo a. Esempi.. = 7, = 6 + Confronando le pendenze si può affermare che la prima funzione cresce più rapidamene della seconda (indipendenemene dal valore di q).. = 0,5 + 7, = + 40 Confronando le pendenze si può affermare che decresce più rapidamene la seconda funzione perché > 0,5. In paricolare: se m = la e la variano allo sesso modo; se m = 0 la rimane cosane. PROPRIETA Consideriamo la funzione = m + q e sia la variazione della funzione in corrispondenza dell incremeno dao alla variabile. Il rapporo (deo 0

11 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni rapporo incremenale) vale = m e perano è cosane. Ciò significa che il rapporo incremenale è indipendene sia dal puno in cui si considera la variazione sia dall incremeno e vale m. Infai comunque presi due puni P ( ; ), P ( ; ) appareneni alla rea r di equazione = m + q, si ha = m + q, = m + q da cui soraendo membro a membro risula : m = ossia m =. P ( ; ) P ( ; ) α 0 Il valore m = =, olre a pendenza della rea r, è anche deo coefficiene angolare della rea r ( perché coincide con il valore della angene rigonomerica dell angolo α formao dalla rea r con l asse posiivo delle, ossia m = g α ). Il rapporo è un elemeno di paricolare imporanza dal puno di visa sia della maemaica sia dell economia. OSSERVAZIONE Le funzioni f() = m + q hanno come grafico una rea, ma non esauriscono ue le ree del piano, rimangono escluse le ree parallele all asse (ree vericali). Quese ree infai non rappresenano una funzione, la loro equazione è del ipo = k e si dice, per convenzione, che hanno pendenza infinia. Esercizio. Rappresenare graficamene le segueni funzioni: a) f() = ; b) f() = + ; c) f() = ; d) f() = ; e) f() = ; f) f() = +. a) Rea con pendenza m =. b) Si oiene raslando il grafico di a) di una unià verso l alo. c) Si oiene raslando il grafico di a) di due unià verso il basso. d) Rea con pendenza m = +. e) Si oiene raslando il grafico di d) di due unià verso il basso. f) Si oiene raslando il grafico di d) di re unià verso l alo.

12 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni 0 Soluzione a) 0 Soluzione b) 0 Soluzione c) Soluzione d) Soluzione e) Soluzione f).7.. Le funzioni f() = a + b + c ; a, b, c R, a 0 Sia f() = a + b + c ; a, b, c R, a 0 ; il grafico di quesa funzione si chiama parabola. I suoi puni hanno la sessa disanza dalla rea di equazione + b = e dal puno F ; con = b 4ac 4a a 4a ; la rea e il puno sono dei rispeivamene la direrice e il fuoco della parabola. Il grafico di una parabola dipende : dal segno di a, dall avere oppure no inersezioni con l asse delle ascisse, ossia se esisono dei valori per i quali a + b + c = 0, ossia dipende dall essere = b 4ac maggiore, uguale o minore di zero. I puni di inersezione con l asse delle ascisse sono due se > 0, uno se = 0, nessuno se < 0. Risula : a > 0 (concavià verso l alo) o convessià < 0 = 0 > 0 0

13 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni a < 0 (concavià verso il basso) 0 > 0 = 0 < 0 Come si vede quesi grafici hanno : una rea di simmeria, dea asse della parabola; essa è parallela all asse delle b ordinae ed ha equazione : = a un puno di inersezione con l asse di simmeria; queso puno è deo verice della b b + 4ac parabola ed ha coordinae V ;. Quando a > 0 il verice è il a 4a puno in cui la funzione raggiunge il minimo valore; quando a < 0 il verice è il puno in cui la funzione raggiunge il massimo valore. Il caso f() = a, a 0 Quese funzioni hanno come grafico una parabola con verice nell origine degli assi e con asse di simmeria l asse delle ordinae. a > 0 0 a < 0

14 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni La funzione f() = a, a 0, è paricolarmene imporane perché rappresena la proporzionalià quadraica ( = cosane ) che roviamo in moli modelli economici. Esercizio. Si descriva il grafico delle segueni funzioni : a) f() = ; b) f() = ; c) f() = ; d) f() = a) Parabola con la concavià verso l alo; asse di simmeria la rea = 0 (asse delle ordinae); verice nel puno (0; 0) che è anche il puno in cui la funzione raggiunge il minimo valore. b) Parabola con la concavià verso il basso; asse di simmeria la rea = 0 (asse delle ordinae); verice nel puno V(0; ) che è anche il puno in cui la funzione raggiunge il massimo valore. c) Parabola con la concavià verso il basso; asse di simmeria la rea = ; verice nel puno V(; ) che è anche il puno in cui la funzione raggiunge il massimo valore. d) Parabola con la concavià verso l alo; asse di simmeria la rea = 5 ; verice nel puno V(5; 9) che è anche il puno in cui la funzione raggiunge il minimo valore Le funzioni f() = k/, k R {0} k Sia f ( ) =, k 0 ; essa è una funzione definia in R {0} e a valori in R {0}. Il suo grafico è una curva dea iperbole equilaera, risula : k > 0 k < Il grafico è cosiuio da due pari dee rami dell iperbole ed è simmerico rispeo l origine degli assi caresiani. Esisono inolre due ree dee asinoi dell iperbole a cui i rami dell iperbole si avvicinano infiniamene senza inersecarle (nelle figure sopra sono gli assi caresiani di equazione = 0 e = 0 ). k L equazione =, k 0, ossia = k, k 0, esprime la legge di proporzionalià inversa : due variabili non nulle e sono inversamene proporzionali se il loro prodoo è cosane. 4

15 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni GENERALIZZANDO Se gli asinoi anziché essere gli assi caresiani sono paralleli agli assi caresiani, l equazione dell iperbole equilaera è ( 0 )( 0 ) = k e = 0, = 0 sono le equazioni degli asinoi a + b Anche l equazione =, c 0, è l equazione di una iperbole equilaera c + d d a con asinoi paralleli agli assi caresiani e di equazioni = e =. c c.7.5. Le funzioni poenza f() = n Disinguiamo re casi a seconda che l esponene sia inero posiivo, inero negaivo, razionale. caso ) Funzione f() = n con n N *. Essa è definia per ogni R ; ma ha proprieà diverse a seconda che l esponene sia pari o dispari. a) n pari: la funzione è nulla per = 0 e sempre posiiva per 0, inolre è sreamene decrescene per 0 e sreamene crescene per 0, ha minimo assoluo in (0, 0). In figura sono rappresenai i casi f() = e f() = 4. n = 4 n = 0 5

16 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni b) n dispari: la funzione è sempre sreamene crescene, in figura sono rappresenai i casi f() = e f() =. n = n = 0 OSSERVAZIONE Da quano deo, la funzione poenza f() = n, n N *, nell inervallo [ 0, + ) è sreamene crescene sia nel caso n pari sia nel caso n dispari e quindi, essendo sreamene monoona, in queso inervallo la funzione ammee la funzione inversa. La funzione inversa di f() = n, 0, si chiama funzione radice n-esima e si indica con f n ( ) = = n, 0. Le figure soo illusrano i grafici delle funzioni f = n ( ) e ( ) n per n =,,. f = = n n = n = n = = n n = n = n = 0 0 6

17 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni caso ) Funzione f() = n con n N*. n Poiché = n, essa è definia per ui i valori di ecceo il valore = 0. Quesa funzione, per ogni n N*, può anche vedersi come quoziene f() f () delle funzioni definie da f () = e f () = n. In figura sono rappresenai i valori di f() = e f() =. = = 0 0 n caso ) Funzione f ( ) = con Ricordiamo che 0 = e che La funzione poenza m m n n m =, m n m Q. n m n = n m, per ogni m, n N *, R +. f ( ) = con esponene razionale, è la funzione composa m oenua componendo le funzioni f ( ) = e f ( ) = n, ovviamene limiaamene al dominio in cui si può effeuare l operazione di composizione. 7

18 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni.7.6. La funzione esponenziale f() = a, a > 0, a R +. La funzione esponenziale f() = a, con a numero reale posiivo, è una funzione definia per ogni R e risula sempre posiiva: f : R R + se a = la funzione esponenziale è cosane se a > la funzione esponenziale è sreamene crescene se 0 < a < la funzione esponenziale è sreamene decrescene 0 < a < = a a > 0 Si noi che per a, a > 0, la funzione esponenziale f() = a è sreamene monoona e quindi la funzione è inveribile. La funzione inversa è definia sui numeri reali posiivi (dao che l immagine di f() = a è cosiuia dai numeri reali posiivi), essa si chiama funzione logarimo. Più in generale, una funzine esponenziale ha la forma f() = k a, dove k è l inercea, cioè f(0) = k La funzione logarimo f() = log a, a > 0, a Fissao un qualunque numero reale posiivo a, a, la funzione logarimo f() = log a è una funzione che ha come campo di esisenza R + (reali posiivi) e come codominio R (coincidene con l insieme delle immagini). La funzione logarimo è l inversa della funzione esponenziale e quindi f() = log a = se solo se a = ; il numero a è deo base del logarimo e argomeno del logarimo. = log a a > 0 0 < a < Come si vede dai due grafici riporai in figura, la funzione logarimo ha comporameni diversi a seconda che sia a > oppure 0 < a <. Se a > la funzione è sreamene crescene ; è negaiva per 0 < < ; è nulla per = ; è posiiva per >. Se 0 < a < la funzione è sreamene decrescene ; è posiiva per 0 < < ; è nulla per = ; è negaiva per >. 8

19 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Paricolarmene imporane è il caso in cui la base del logarimo è il numero di Nepero e =,7888 ; in queso caso si parla di logarimi naurali e la noazione per indicarli si abbrevia con ln. Se la base è il numero 0, si parla di logarimi decimale e, generalmene, si omee di indicare la base e si scrive semplicemene log. A conclusione, ricordiamo le principali proprieà dei logarimi : a ( ) = log log log + loga = loga log r log = r log a loga log b =. log b a a a a a 9

20 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni.8 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE Da quano viso nel paragrafo.7, le funzioni reali di variabile reale mediane le quali vengono cosruii i modelli maemaici, apparengono esenzialmene a due famiglie: le funzioni poenza (con le loro inverse) e le funzioni esponenziali (con le loro inverse). Olre a quese due, vi è una famiglia di funzioni che compare prevalenemene nei modelli ai a descrivere fenomeni periodici. Sono le funzioni rigonomeriche. Per la loro imporanza vengono richiamae a fine di queso capiolo anche se il loro dominio non è l insieme R dei numeri reali o un sooinsieme di R. Come si vedrà il loro dominio ( o codominio se si raa delle loro funzioni inverse ) è un insieme i cui elemeni sono angoli. Inizieremo perano riporando le nozioni di base relaive agli angoli..8. Segno di un angolo Dao un sisema di assi caresiani orogonali e una circonferenza di cenro l origine O degli assi, sia P un qualunque puno sulla circonferenza. Facendo muovere sulla circonferenza il puno P si oengono gli angoli con verice in O e lai OP e l asse posiivo delle ascisse. Si dice angolo giro l angolo deerminao da un giro compleo di P sulla circonferenza, a parire da P sull asse posiivo delle ascisse. Per poer assegnare un segno posiivo o negaivo ad un angolo occorre fissare sulla circonferenza un verso di percorrenza per il puno P. Di norma si fissa il verso aniorario e perciò ad un angolo si assegna il segno posiivo se P si muove in senso aniorario, il segno negaivo se P si muove in senso orario. II P + α I II P I III O Angolo posiivo + α IV O α III IV Angolo negaivo α Le quaro regioni I, II, III, IV in cui gli assi caresiani dividono il piano, sono dee quadrani..8. MISURARE GLI ANGOLI Per misurare gli angoli vi sono vari sisemi di misura, i due principali sono quello sessagesimale e quello in radiani. Nel sisema sessagesimale l unià di misura è l angolo grado definio come la 60-esima pare dell angolo giro. 0

21 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Nel sisema in radiani si definisce radiane l angolo che sacca sulla circonferenza con cenro il verice dell angolo, un arco uguale al raggio della circonferenza (NON dipende dal raggio della circonferenza consideraa). Come passare dai Gradi ai Radiani e viceversa Dao un angolo si può passare dalla sua misura in gradi a quella in radiani, e viceversa, mediane la proporzione: π : 60 = α r : α π α 60 αr da cui α r = e α = dove α r e α indicano la misura dell angolo α 60 π rispeivamene in radiani e in gradi. Esempi. π. Se α = allora αr = = π radiani π. Se αr = π allora α = = 70 gradi. π Se α r = allora α = = 57 7 ' 44 '' gradi. π π.8. CIRCONFERENZA GONIOMETRICA Fissao un sisema di riferimeno caresiano orogonale, si chiama circonferenza goniomerica la circonferenza di cenro O (0,0) e raggio ; essa ha perano equazione: + = Si noi che nella circonferenza goniomerica un angolo e il suo arco associao sulla circonferenza hanno la sessa misura in radiani. P O + α

22 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni.8.4 FUNZIONI seno, coseno, angene Dao un sisema di riferimeno caresiano orogonale e una circonferenza di cenro l origine O degli assi, sia P un qualunque puno sulla circonferenza. Sia K la proiezione di P sull asse delle ordinae e H la proiezione di P sull asse delle ascisse. Quando il puno P si muove sulla circonferenza, il puno K si sposa sull'asse delle ordinae da C a D, menre il puno H si sposa sull asse delle ascisse da A a B. Le funzioni rigonomeriche principali (seno e coseno) sudiano il movimeno di K e H rispeivamene sull asse delle ordinae e sull asse delle ascisse, quando il puno P percorre la circonferenza. Poiché dopo un giro compleo i puni P, K, H, si rirovano nelle sesse posizioni, si è in presenza di funzioni periodiche. Per queso le funzioni rigonomeriche sono ae a descrivere fenomeni di naura periodica. Per uniformià di linguaggio con le funzioni reali di variabile reale, da ora in avani un angolo verrà indicao con la leera. C K P B O H A D Funzione seno: f() = sin La funzione seno descrive il movimeno di K fra C e D al muoversi di P sulla circonferenza. C P K Sia Ω l insieme degli angoli. La funzione seno è la funzione B D O H A sin: Ω [, ] definia da PH sin = per ogni Ω. OP Per le proprieà dei riangoli simili, il valore del rapporo PH non dipende dalla misura del raggio e perano nel caso OP =, ossia OP considerando la circonferenza goniomerica, risula sin = PH = OK. Dalla definizione segue che i valori di sin variano fra e perché è sempre PH OP. Inolre sin è posiivo per gli angoli del I e II quadrane e negaivo per gli angoli del III e IV quadrane.

23 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Segno di sin : + C P K + B O D A Valore del seno degli angoli fondamenali π π 0 = 0 = sin 0 π = 60 π = 90 π = 80 π = 70 0 Grafico =sin O π π π π Alcune proprieà della funzione sin E periodica di periodo π : sin = sin (+π). E dispari : sin ( ) = sin. Assume ui e soli i valori dell inervallo [, ]. π π E crescene fra e (quaro e primo quadrane). π E decrescene fra e π (secondo e erzo quadrane).

24 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Funzione coseno: f() = cos La funzione coseno descrive il movimeno di H fra A e B al muoversi di P sulla circonferenza. Sia Ω l insieme degli angoli. La funzione coseno è la funzione C K P cos: Ω [, ] definia da OH cos = per ogni Ω. OP B Per le proprieà dei riangoli simili, il valore del rapporo O H A OH non dipende dalla misura del raggio e perano OP nel caso OP =, ossia considerando la circonferenza D goniomerica, risula cos = OH. Dalla definizione segue che i valori di cos variano fra e perché è sempre OH OP. Inolre cos è posiivo per gli angoli del I e IV quadrane e negaivo per gli angoli del II e III quadrane. Segno di cos : B C K O D P H + A + Valore del coseno degli angoli fondamenali π π 0 = 0 = cos Grafico =cos π = 60 π = 90 π = 80 π = O π π π π 4

25 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Alcune proprieà della funzione cos E periodica di periodo π : cos = cos (+π). E pari : cos = cos ( ). Assume ui e soli i valori dell inervallo [, ]. E crescene fra π e π (erzo e quaro quadrane). E decrescene fra 0 e π (primo e secondo quadrane). Funzione angene: f() = g π Sia Ω l insieme degli angoli e sia Ω = Ω \ + m π : m Ζ l insieme degli angoli il cui coseno è diverso da zero. Sia R l insieme dei numeri reali, la funzione angene è la funzione g : Ω R definia da sin g = per Ω. cos Se si considera la circonferenza goniomerica, anche la angene di un angolo può essere rappresenaa geomericamene da un segmeno. Infai, consideraa la circonferenza di raggio, sia S = (, 0) e sia T il puno di inersezione di OP con la rea parallela all asse delle ordinae e passane per S. Il segmeno ST rappresena la angene dell angolo deerminao da P, ossia T = (, g ). E una funzione che assume ui i valori reali ed è posiiva nel I e III quadrane, è negaiva nel II e IV quadrane. P T O S segno di g C P K + B O D H 5 A +

26 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Valore della angene degli angoli fondamenali π π π 0 = 0 = 45 = g 0 π = 90 non esise π = 80 π = 70 non 0 esise grafico =g 6 O π π π π 6 Alcune proprieà della funzione g E periodica di periodo π : g = g ( + π ), E dispari : g ( ) = g. Assume ui e soli i valori di R. E sempre crescene. Rappresena il coefficiene angolare della rea OP. 6

27 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Riassumendo K P T O H S PH sin =, OP OH cos =, OP sin g =. cos Tabella del valore degli angoli fondamenali 0 π π π = 0 = 45 = sin 0 cos g 0 π = 90 π = 80 π = non esise 0 non esise.8.5 FUNZIONI TRIGONOMETRICHE INVERSE Le funzioni sin, cos, g essendo periodiche non sono funzioni bieive nel loro dominio naurale. Se però resringiamo il loro dominio in modo che su di esso siano bieive, su ale dominio si può considerare la loro funzione inversa. Funzione arcoseno: f() = arcsin E la funzione inversa della funzione sin. π π arcsin : [, ], π = arcsin 0 7 π

28 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Funzione arcocoseno: f() = arccos E la funzione inversa della funzione cos. 0, π arccos : [, ] [ ] π = arccos π Funzione arcoangene: f() = arcg 0 E la funzione inversa della funzione g. arcg : R π, π π =arcg π 8

29 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni.8.6 FORMULE della TRIGONOMETRIA FORMULA FONDAMENTALE Dalla definizione delle funzioni sin e cos e dal Teorema di Piagora, segue la Formula fondamenale della rigonomeria: ( sin ) + ( cos ) = da cui si ricava sin = ± cos, cos = ± sin Quesa formula assicura che basa conoscere una funzione rigonomerica per conoscere ue le alre e in queso senso si può dire che esise una sola funzione rigonomerica. ALTRE FORMULE della TRIGONOMETRIA Angoli associai sin ( ) = sin sin ( π ) = sin sin ( + π ) cos ( ) = cos cos ( π ) = cos cos ( + π ) g ( ) = g g ( π ) = g g ( + π ) = sin = cos = g sin cos g ( π ) ( π ) ( π ) = sin = cos = g π sin = cos π cos = sin π g = cog sin cos g + π + π + π = = = cos sin cog 9

30 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Formule di sorazione Formule di addizione Formule di duplicazione sin cos g sin cos g ( ) ( ) ( ) ( + ) ( + ) ( + ) = sin cos sin cos = cos cos + sin sin g g = + g g = sin cos + sin cos = cos cos sin sin g + g = g g sin = sin cos cos = cos sin = sin g g = g = cos Formule di bisezione sin cos g = ± = ± = ± cos + cos cos + cos 0

31 Capiolo : funzioni reali di una variabile reale e applicazioni.9 ESERCIZI DA SVOLGERE. Deerminare il campo di esisenza delle segueni funzioni: a) f ( ) = b) f ( ) = + c) = d) f( ) f ( ) = e e) f ( ) = ln ( + ) f) f( ) = 7 ln (4 ) g) f ( ) = h) f ( ) = ln ( 0) i) + f ( ) = ln l) f( ) = 4 + m) f( ) = e n) f ( ) = RISPOSTE. a) R \ {, }; b) R \ { }; c) ; d) ; e) ; f) (, ) U(,4) ; g) R \ { 5}; h) 0 < <, < < + ; i) <, > 4; l) ;, U, + m) R \ {0}; n) ( ] [ ).. Deerminare in quale dominio le segueni funzioni ammeono la funzione inversa: a) f ( ) = + b) f ( ) = e

32 Capiolo: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni.0 APPLICAZIONI In queso paragrafo vengono riporai alcuni esempi di come problemi concrei si possono risolvere raducendoli in modelli maemaici..0. Applicazioni nei modelli economici In economia un modello è un insieme di relazioni fra più variabili. Tali relazioni possono essere rappresenae graficamene o scrie come equazioni. In paricolare con le funzioni lineari, le parabole e le iperboli equilaere si sudiano problemi quali l equilibrio di mercao, i cosi di produzione, il puno di indifferenza. I prossimi esercizi sono degli esempi che illusrano alcune applicazioni. Riporiamo la legenda delle principali noazioni usae: q quanià merce; C u coso variabile uniario (coso variabile per una unià di merce) ; C v coso variabile (dipende dalla quanià di merce prodoa C v = C u q) ; C f coso fisso (non varia al variare della quanià) ; C coso oale (dao da C = C v + C f = C u q + C f ) ; R u ricavo uniario (ricavo per una unià di merce); R ricavo oale (dao da R = R u q); π profio (dao da π = R C ). Esercizio. (applicazione puno di equilibrio) I cosi fissi C f di una impresa ammonano a indipendenemene dalla quanià q di merce prodoa. I cosi variabili ammonano a.000 per ogni unià di merce prodoa. Il prezzo di vendia (ricavo uniario) R u del bene è pari a Riporare graficamene la siuazione e discuerla. R B E A C q 0 q Il coso oale C e il ricavo oale R sono espressi rispeivamene dalle funzioni C = C u q + C f, R = R u q, ossia C =.000 q , R = q. Enrambe le funzioni hanno come grafico una rea; le due ree si inersecano nel puno E(0; ) deo puno di equilibrio perché in corrispondenza della quanià q 0 = 0 risula C = R ossia non si ha né perdia né profio e poiché l inercea di C è maggiore dell inercea di R si deduce che per una produzione q < q 0 l aivià è in perdia menre per una produzione q > q 0 si ha un profio che, relaivamene alla quanià q, è rappresenao dal segmeno AB.

33 Capiolo: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Esercizio. (applicazione domanda e offera) La quanià di domanda Q d e di offera Q o di un bene dipendono dal prezzo p (p 0) dello sesso in base alle segueni funzioni: Q d (p) = 7 p Q o (p) = 5 + p a) si giusifichi perché al crescere del prezzo la quanià domandaa decresce e la quanià offera cresce; b) si rappresenino nel piano caresiano le funzioni Q d (p) e Q o (p) ; c) si deermini il puno di equilibrio di mercao indicando sia il valore di p che quello di Q d (p) = Q o (p). a) Al crescere di p la funzione Q d (p) è decrescene perché la pendenza della rea che la rappresena è negaiva; la funzione Q o (p) è invece crescene perché la pendenza della rea che la rappresena è posiiva. Grafico; 5 Q 0 (p) Q d (p) p b) p =, Q d () = Q o () = 4. Esercizio. (applicazione puno di equilibrio) Nella produzione di un bene si ha un coso fisso di e un coso di 50 per unià di bene prodoo. Se il ricavo oale è espresso dalla funzione R = 75 q, deerminare : a) il valore di q in corrispondenza del quale si ha il puno di equilibrio; b) la funzione coso oale se il governo inroduce una assa fissa di 500 e il nuovo puno di equilibrio; c) la funzione coso oale se il governo, anziché una assa fissa, inroduce una assa di 5 per ogni unià di bene prodoo. Il puno di equilibro si ha per q ale che C (q) = R (q). a) C = 50q e quindi deve essere 50q = 75q da cui q = 0.000, in ale puno C (0.000) = R (0.000) = b) C = 50q e quindi deve essere 50q = 75q da cui q = c) C = (50 + 5)q e quindi deve essere 55q = 75q da cui q = Esercizio 4. (applicazione puno di equilibrio)

34 Capiolo: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Sapendo che per una unià di merce, q =, il coso oale è pari a 5, deerminare la funzione coso oale C = C u q + C f nei segueni casi : a) sia parallela alla rea di equazione = q (q indica la variabile indipendene); b) sia perpendicolare alla rea di equazione q + = 0. a) dovendo essere parallela alla rea = q deve avere il coefficiene angolare di quesa e quindi deve essere C u =, si oiene perano 5 = + C f da cui C f = ; la funzione cercaa è C = q + ; b) poiché la rea q + = 0 ha coefficiene angolare, il coefficiene angolare della rea che cerchiamo deve essere ossia C u =, si oiene perano 5 = + C f da cui C f = ; la funzione cercaa è C = q +. Esercizio 5. Se le equazioni del risparmio e dell invesimeno sono rappresenae dalle segueni ree s = 0,5r 00, i = 00, dove s = risparmio, r = reddio, i = invesimeno, e se l equilibrio del reddio si verifica in corrispondenza all'uguaglianza fra risparmi e invesimeni, quale sarà il livello di equilibrio del reddio? Si avrà equilibrio quando 0,5r 00 = 00 ossia quando r = 600. Esercizio 6. (applicazione produivià) Supponiamo che, nel breve periodo, la produzione (di un bene qualsiasi) dipenda dalla quanià di lavoro uilizzaa e sia q = 0b b ale funzione di produzione, dove q = quanià prodoa, b = lavoro uilizzao. a) Tracciare il grafico di ale funzione. b) Scrivere una avola della produivià media del lavoro, q, e racciare anche ale b grafico. c) Calcolare la variazione nel livello di produzione che risula da un incremeno uniario nella quanià impiegaa di lavoro. a) Grafico q b Il grafico è una parabola con la concavià verso il basso. Il massimo della funzione è raggiuno nel verice della parabola di coordinae (0; 00) ossia per b = 0 la funzione di produzione raggiunge il massimo. 4

35 Capiolo: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni q b) = 0 b, la funzione della produivià media ha come grafico una rea decrescene b essendo la pendenza,, negaiva : b 0 avola q 0 8 q 0 0 grafico c) q = ( 0( b + ) ( b + ) ) ( 0b b ) = 9 b b Esercizio 7. (applicazione ricavo massimo) Una casa edirice prevede che la funzione di domanda relaiva alla vendia del suo ulimo romanzo di fanascienza sia q =.000p dove q è il numero di volumi che riesce a vendere ogni anno al prezzo di p euro per volume. Deerminare il prezzo che l azienda deve proporre per avere il massimo ricavo annuo. Il ricavo oale è dao da R = pq = p( ) =.000p p. Poichè R è rappresenao da una parabola con la concavià verso il basso, esso raggiunge il massimo p uguale all ascissa del verice, ossia per p = = 7, Per massimizzare il proprio ricavo annuo l azienda deve praicare un prezzo di 7,5 per volume. Queso ricavo annuo sarà dao da R (7,5) =.000(7,5) (7,5) = Esercizio 8 Le enrae nee della Son Corporaion ra il 000 e il 005 possono essere approssimae con la funzione E() = dove = 0 corrisponde all anno 000 ed E() sono le enrae nee di Son Corporaion in milioni di dollari per il corrispondene anno fiscale. E(0) = 54. a. Indicare il dominio più appropriao per. b. Dire se [0, + ) è un dominio appropriao. a. Dom f = [0, 5]. 5

36 Capiolo: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni b. No, perché ciò comporerebbe che dal 006 le enrae di Son Corporaion sono sae negaive. E(6) = = 44 (il che è impossibile). Esercizio 9 (applicazione impose e ribui) Le impose sono una funzione del reddio. Ad esempio, si consideri la seguene abella: Se l imponibile ma non supera le impose da pagare della somma supera ammonano a olre % % % % % Si denoi con il reddio disponibile e con T l imposa dovua. Allora Dom f=[0, + ). L espressione della legge è 0.5 se 0 < ( 4650) se 4650 < T ( ) = ( 59750) se < ( 4650) se4650 < ( 7050) se > 7050 Quale è l imposa dovua da un conribuene con un reddio imponibile di 5000? E se il reddio imponibile è 95000? T(5000)= ( )=795.5 T(95000)= ( )= Esercizio 0. (applicazione ricavi) Il ricavo seimanale della socieà SoDream è dao dalla funzione 4 R( p) = p + 80 p dove p è il prezzo in euro per decaliro di lae di soia. Uilizzare la funzione per deerminare: a. il ricavo seimanale quando il prezzo è fissao a 5 euro per decaliro b. il ricavo seimanale, arroondao all inero più vicino, quando il prezzo è fissao a 5 euro per decaliro c. il prezzo al liro che la SoDream dovrebbe applicare per oenere un ricavo seimanale di 00 euro 4 a. R (5) = = 900 6

37 Capiolo: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni b. 4 R (5) = = c. 4 R ( p) = 00 p + 80 p = 00 4 p + 80 p 00 = 0 4 p + 40 p 600 = 0 40 ± 40 4 ( 4) ( 600) da cui p = = 0, da cui si ricava un prezzo di euro al liro. 8 Esercizio. (applicazione prezzo e domanda) La domanda per i piai di plasica della Cooperaiva Uni&Bisuni è daa da q ( p) = 60 ( p + ) dove q rappresena il numero di piai che la Cooperaiva Uni&Bisuni riesce a vendere in un mese al prezzo di p cenesimi l uno. Uilizzare la funzione per deerminare a. il dominio naurale della funzione b. il numero di piai che Uni&Bisuni riesce a vendere in un mese se il prezzo è fissao a 50 cenesimi a piao c. il numero di piai di cui riesce a disfarsi offrendoli grauiamene d. il prezzo minimo a parire dal quale Uni&Bisuni non sarà più in grado di vendere alcun piao a. Dom f=[0, + )= = b. q (50) = 60 (50 + ) = c. q (0) = 60 (0 + ) 600 d. q ( p) = 0 60 ( p + ) = 0 p + = ± 60= ± 60 p = 600 cioè 6 euro N.B. p = 60 Dom f, quindi non è acceabile. Esercizio. (applicazione ineresse semplice). Si consideri un presio di 00 euro con resiuzione finale del capiale con aggiuna dell ineresse maurao e si assuma un asso conrauale del 0% annuo. Ammonare da resiuire Capiale + Ineresse maurao. Ineresse maurao = 0% della somma presaa per ogni anno di presio = (0.)(00) = = 0 C(), I() C() C()= I() 0 7

38 Capiolo: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni In generale: è deo capiale è deo monane 0. è deo asso d ineresse La funzione è dea legge finanziaria dell ineresse semplice al asso del 0% e rappresena quano un debiore deve resiuire per un presio di un euro di duraa. In generale: dove è un paramero fissao. La quanià ( è anche noa come faore di monane semplice Esempio. Qual è il monane di 0 euro presai per 4 anni e mezzo se la legge finanziaria è quella dell ineresse semplice e il asso di ineresse è il.5% annuo? Esempio. Quano si deve presare per oenere un monane di 00 euro dopo anni se il asso di ineresse è il 5.% e la legge finanziaria è quella dell ineresse semplice? Esercizio (applicazione ineresse anicipao) Si supponga di chiedere alla propria banca un presio nominale di M euro, che vi viene concesso al asso del 5% di ineresse, da corrispondersi anicipaamene. Assumendo che l ineresse sia proporzionale sia alla duraa del presio sia al capiale presao, si descriva la funzione dell ineresse al variare della duraa, e si esprima l ammonare effeivamene ricevuo in presio in funzione della duraa sessa assumendo M=00. I()= ineresse = (0.05)M. Essendo M=00, si ha I()= 5, con Dom I = [0,+ ). I() I()=5 5 8

39 Capiolo: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni somma effeivamene oenua in presio. Dom.S=[0, 0) perché per. Inolre è l ordinaa all origine. S() 00 S :[0,0) ( 0,00 ]. 0 Per, non acceabile. non ha senso economico per. In generale, si ha cioè dove è l ammonare effeivamene presao ( capiale ) e è l ammonare resiuio dal debiore ( monane ). La funzione rappresena è la cosiddea legge finanziaria dell ineresse anicipao al asso 5%, e rappresena quano un debiore deve resiuire per un presio di un euro di duraa. In generale, dove è un paramero fissao. La quanià è anche noa come faore di monane anicipao 9

40 Capiolo: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Esempio. Si consideri un presio effeivo di 0 mila euro di duraa pari a 5 mesi e mezzo. Qual è il monane ricevuo dal crediore se la legge finanziaria del presio è quella dell ineresse anicipao e il asso uilizzao è il % annuo? Esempio. Quano deve presare un crediore per oenere un monane di 500 euro se il presio dura semesre, la legge finanziaria uilizzaa è quella dell ineresse anicipao e il asso uilizzao è il 4.%? La funzione è inveribile: S : ( 0,00] [0,0) Per rovare l espressione della funzione inversa si risolve per l equazione S=00 5, che conduce a 0 00 S Qual è la duraa del presio se la somma presaa è 70 euro?. Esercizio 4 (applicazione puno di equilibrio). La Unimore S.p.A sa pianificando la commercializzazione di un prodoo. Sulla base di indagini di mercao, sima di riuscire a produrre fino a 5500 unià nel 009. Il prezzo di vendia sarà pari a per unià. I cosi variabili sono simai nella misura del 40% del ricavo oale. I cosi fissi per il 009 sono simai in Quane unià deve vendere l azienda per andare in pareggio? R( q) = pq = q C ( q) = 0.4R( q) = 0.8q C = 6000 C( q) = q. V f 8 C(q), R(q) 000 R(q) C(q) R( q) = C( q) q = q.q = 6000 q = q 40

41 Capiolo: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Esercizio 5 (applicazione puno di equilibrio). Un azienda ha cosi fissi pari a 0000 euro. Il coso variabile per unià di merce è. Tua la produzione viene vendua a un prezzo uniario di 0. Deerminare: a. le coordinae del puno di equilibrio b. le coordinae del puno di equilibrio nel caso in cui, ceeris paribus, il coso uniario variabile aumeni a 5 c. le coordinae del puno di equilibrio nel caso in cui, ceeris paribus, il prezzo uniario scenda a 8 Rappresenare in grafico le funzioni dei cosi e dei ricavi nei vari casi. a. R ( ) = 0 C( ) = R( ) = C( ) 0 = = 50 C ( 50) = R(50) = 0(50) = 5000 Il puno di equilibrio ha coordinae (50, 5000). R() R(), C() C() b. R ( ) = 0 C( ) = R ( ) = C( ) 0 = = 000 C ( 000) = R(000) = 0(0000) =

42 Capiolo: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Il puno di equilibrio ha coordinae (000, 40000). R(), C() R() C() c. R ( ) = 8 C( ) = R( ) = C( ) 8 = = C( 666.6) = R(666.6) = 8(666.6) = 0000 Il puno di equilibrio ha coordinae (666.6, 0000). R(), C() R() C()

43 Capiolo: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Esercizio 5 (applicazione cosi fissi e variabili) Il coso oale di un processo produivo è di 8500 per 000 unià di prodoo e di 8500 per 4500 unià di prodoo. Deerminare a. il coso fisso e il coso variabile uniario b. il coso oale per 4000 unià di prodoo Rappresenare graficamene i risulai oenui. a. La funzione del coso è C ( ) = CV ( ) + C f = Cu + C f 8500 = Cu C f 8500 = Cu C f C f = 8500 Cu = Cu Cu 000 C f C u = 4 = = 500 C( ) = b. C ( 4000) = (4000) = C() Esercizio 6 (applicazione vendie). Le vendie cumulae di acidulao di riso presso NauraSì sono, a u oggi, pari a 0 liri, e aumenano a un rimo di liri al mese. a. Se oggi è il dicembre, quani liri di acidulao di riso avrà complessivamene venduo fra un anno NauraSì? b. Qual è il asso medio di incremeno delle vendie cumulae ra febbraio e giugno? E ra gennaio e agoso? 4

44 Capiolo: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni Sia = empo espresso in mesi ( =0 è dicembre) e sia ( ) venduo nell inervallo [ 0, ]. l = liri di acidulao di riso a. Basa usare l espressione di una rea passane per un puno: l( ) = 0 + ( 0) = 0 + l ( ) = 0 + () = 44 l(6) l() 4 8 = = = b. Il asso medio di incremeno delle vendie è di liri per unià di empo, cioè ogni mese si vendono due liri di acidulao di riso. Nel periodo ra gennaio e agoso il asso medio di incremeno delle vendie cumulae è lo sesso, poiché la funzione è affine e il rapporo incremenale è cosane. Esercizio 7 (applicazione scela ra alernaive). Cassina produce un pregiao avolo di legno di ciliegio disegnao da Frank Llod Wrigh. Decidee di acquisarlo e lo rovae disponibile presso due puni vendia: il primo si rova soo casa, il secondo è un negozio fuori cià che si rova a una disanza di chilomeri da casa vosra. Nel negozio soo casa il prezzo di lisino è di 700 euro e la consegna e il monaggio sono grauii, nel negozio fuori cià il prezzo di lisino è idenico ma viene applicao uno scono del 47%. a. Deerminare la funzione che rappresena la spesa sosenua nel caso in cui il avolo sia acquisao fuori cià, considerando che la vosra auo percorre 5 chilomeri con un liro di benzina (si consideri un prezzo di.45 euro al liro) e che il coso per la consegna e il monaggio dell'aricolo è a carico vosro (.5 euro a chilomero). b. Deerminare qual è la disanza massima che rende conveniene la rasfera per l'acquiso del avolo. a. S ( ) = spesa sosenua nel caso di acquiso nel negozio soo casa S ( ) = spesa sosenua nel caso di acquiso fuori cià S ( ) = 700 benzina acquiso del avolo consegna/ monaggio S ( ) = 700( 0.47) + () +.5() = = b. La rasfera è conveniene se S ( ) > S ( ) 700 > < 5.85 La disanza massima che rende conveniene la rasfera è perano =5.85. Esercizio 8 (applicazione ricavi e profio). Il responsabile markeing di un azienda monoprodoo sima che l equazione di domanda per l azienda sia q = 0.06 p + 46 dove q è il numero di prodoi vendui e p è il prezzo uniario. I cosi di gesione ammonano a a. Esprimere ricavi e profii come funzioni del prezzo p. R( p) = p q( p) = p( 0.06 p + 46) = 0.06 p + 46p π ( p) = R( p) 5000 = 0.06 p + 46p

45 Capiolo: funzioni reali di una variabile reale e applicazioni b. Deerminare a quale prezzo dovrebbe essere offero il prodoo per pareggiare il bilancio. π ( p) = p + 46 p 5000 = 0 p 65.55, p. c. Deerminare a quale prezzo dovrebbe essere offero il prodoo per oenere il massimo profio. Il verice ha ascissa b 46 = = 8.. a ( 0.06) Perano il profio massimo è π (8.) = 0.06(8.) + 46(8.) 5000 = d. Deerminare se sarebbe possibile oenere il pareggio anche se i cosi di gesione salissero a π ( p) = 0.06 p + 46 p 0000 = 0. Quesa equazione non ha soluzioni reali perché il discriminane è negaivo: = = < 0 ; infai, π (8.) = 0.06(8.) + 46(8.) 0000 = 8.4< 0 π(p) p