Condensatore, Induttanza, Circuiti R-C, Trasformata di Laplace Indice

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1 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga ISTITUTO TENIO INDUSTIE STTE «G. Marconi» Pontdra /5539 Fax: : iti@marconipontdra.it Sito WEB: NNO SOSTIO 5/6 PPUNTI DI EETTONI (Prof. Pirluigi D mico) ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Indic. Funzionamnto dl ondnsator..... isposta dl ondnsator alla contua..... isposta dl ondnsator ad una rampa di tnsion....3 isposta dl ondnsator all ariazioni brusch di tnsion isposta dl ondnsator al sgnal susoidal Funzionamnto dll duttanza isposta dll Induttanza alla contua isposta dll Induttanza all ariazioni brusch di corrnt isposta dll duttanza all ariazioni lari di corrnt isposta dll Induttanza al sgnal susoidal isposta di ircuiti al Sgnal Susoidal al ariar dlla frqunza Uscita sul ondnsator Il modulo dll ttnuazion o sfasamnto φ Grafici di φ Uscita sulla sistnza Il modulo dll ttnuazion o sfasamnto φ Diagrammi di Bod di φ Diagrammi di BODE risposta di un circuito ad una qualsiasi forma d'onda Uscita sul ondnsator Uscita sulla sistnza a Trasformata di PE a Funzion di Trasfrimnto (F.d.T.) di una rt Poli Zri di una Funzion di Trasfrimnto icrca di poli dgli zri di una F.d.T Numro di poli Numro dgli zri alor di poli alor dgli zri Il Kstatico isposta di un circuito all ariazioni brusch di tnsion isposta al grado di tnsion isposta di un circuito ad un'onda quadra simmtrica a alor mdio nullo isposta di un circuito ad un'onda quadra a alor mdio non nullo... 3 Pag.

2 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga. Funzionamnto dl ondnsator. In un ondnsator il lgam tra la tnsion applicata ai suoi capi c(t) la corrnt ch lo attrarsa i c(t) è dato dalla rlazion: d ( ) ( t) i t dt do è il alor dlla apacità. Il trm tra parntsi quadra è la Driata dlla tnsion risptto al tmpo. Il alor dlla Driata di una funzion un suo punto non è altro ch il cofficint angolar dlla rtta tangnt, qul punto, alla funzion. Pr una funzion smpr crscnt, tanto maggior è il alor dlla driata, tanto maggior è il cofficint angolar dlla rtta tangnt qudi tanto più ico a 9º è l'angolo ch tal rtta forma con il rso crscnt dll'ass dll asciss. S la funzion è costant pr ogni alor dlla x, la sua driata risptto a x è nulla poiché nullo è l'angolo ch la rtta tangnt alla funzion un qualsiasi punto forma con il rso crscnt dll'ass dll asciss. S la funzion è una rtta (ymxq), la sua driata risptto a x è ugual ad m, poiché è m il cofficint angolar dlla rtta tangnt alla funzion un qualsiasi punto. S la ariabil dipndnt è il tmpo la nostra funzion è la (t), la rlazion (.) ci dic ch la corrnt nl condnsator è proporzional non al alor dlla tnsion applicata ai suoi capi ma alla "locità" di ariazion di tal tnsion. In altr parol: (.) Il condnsator conduc solo s c'è una ariazion dlla tnsion applicata ai suoi capi la corrnt ch circola è tanto più grand quanto maggior è la "locità" di tal ariazion.. isposta dl ondnsator alla contua. S applichiamo ai capi dl ondnsator una tnsion costant, cioè una contua, nl ondnsator circolrà una corrnt nulla. isptto alla contua, il rapporto tra la tnsion applicata la corrnt ch circola è ugual ad fito qudi il condnsator si comporta com un circuito aprto. (t) (olt) PITÀ µf OENTE NE ONDENSTOE i (t) (m) TENSIONE I PI DE ONDENSTOE t msc Figura n.. isposta dl ondnsator ad una rampa di tnsion. Pr far circolar un ondnsator una corrnt costant occorr applicar ai suoi capi una tnsion con una "locità" di ariazion costant; cioè una rampa. a Figura n., riportata a fianco, è ottnuta simulando con µp3 la risposta corrnt di un condnsator di µf, ai cui capi è applicata una rampa di tnsion ch a da a 5 msc. Si d ch la corrnt è costant. ESEIZIO: rificar dalla Figura n. ch la corrnt è ugual al alor dlla capacità moltiplicato pr il cofficint angolar dlla rampa..3 isposta dl ondnsator all ariazioni brusch di tnsion. Pag.

3 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 3 S c applichiamo ai capi dl condnsator una ariazion brusca di tnsion, com ad smpio un grado, poiché abbiamo una ariazion fita di tnsion un trallo di tmpo nullo, nll'istant dlla commutazion la corrnt tnd ad fito. isptto all ariazioni brusch di tnsion, il rapporto tra la tnsion applicata la corrnt ch circola è ugual a zro qudi, nll'istant dlla commutazion, il condnsator si comporta com un corto circuito, s izialmnt scarico, più gnral com un gnrator idal di tnsion dl alor pari alla tnsion prsnt sul condnsator nll'istant dlla commutazion..4 isposta dl ondnsator al sgnal susoidal. (t) (olt) MPIEZZ, FEQUENZ Kz, PITÀµF TENSIONE (t) OENTE i (t) i (t) (m) t msc Figura n. pplichiamo ora ai capi dl ondnsator una tnsion susoidal. a rlazion (.) ci dic ch la corrnt è massima quando è massima la locità di ariazion dlla tnsion (cioè quando è massimo il cofficint angolar dlla rtta tangnt al sgnal susoidal), mntr è nulla quanto la locità di ariazion è nulla (cioè quando la rtta tangnt è parallla all'ass di tmpi). a corrnt è qudi: massima positia pr ωtnπ massima alor assoluto ma ngatia pr ωt(n)π nulla pr ωt[(n)/]π Qudi: l i (t) è sfasata di π/ anticipo risptto alla (t). a simulazion con µp3, riportata Figura n. ralizzata utilizzando un condnsator di µf ai cui capi è stato posto un sgnal susoidal d ampizza frqunza Kz, confrma quanto affrmato. bbiamo succssiamnt posto ai capi dllo stsso condnsator un sgnal susoidal smpr d ampizza ma di frqunza pari a Kz, ottnndo l form d'onda riportat Figura n. 3. Pag. 3

4 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 4 (t) (olt) MPIEZZ, FEQUENZ Kz, PITÀ µf TENSIONE (t) OENTE i (t) i (t) (m) t µsc Figura n. 3 Si nota ch lo sfasamnto tra tnsion corrnt è rimasto ariato ma l'ampizza dlla corrnt è olt qulla ch si ottna con il sgnal di frqunza Kz. Possiamo concludr ch: 'ampizza dlla corrnt è proporzional alla frqunza dlla tnsion susoidal applicata ai capi dl condnsator. bbiamo f posto ai capi dl solito condnsator un sgnal susoidal d ampizza frqunza pari a Kz, ottnndo l form d'onda riportat Figura n. 4. (t) (olt) MPIEZZ, FEQUENZ Kz, PITÀ µf TENSIONE (t) OENTE i (t) i (t) (m) t msc Figura n. 4 Si nota ch lo sfasamnto tra tnsion corrnt è rimasto ancora ariato ma l'ampizza dlla corrnt è olt qulla ch si ottna con il sgnal di frqunza Kz d ampizza. Possiamo concludr ch 'ampizza dlla corrnt è proporzional all'ampizza dlla tnsion susoidal applicata ai capi dl condnsator. ESEIZIO: rificar dall Figur nn., 3 4 ch l'ampizza dlla corrnt è ugual al prodotto tra l'ampizza dlla tnsion, la pulsazion dl sgnal ω d il alor dlla capacità. Quanto rificato nll'esrcizio è quanto si ricaa matmaticamnt dalla (.). Infatti, s applichiamo ai capi dl condnsator una tnsion: i (t) in: ( t) s ( ω t φ ) Pag. 4

5 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 5 i ( t) d dt ( t) ω cos ( ωt φ ) Il rapporto tra l'ampizza dl sgnal susoidal di tnsion applicato l'ampizza ω dl sgnal susoidal di corrnt ch circola nl condnsator, prnd il nom di ETTNZ PITI, ch si è soliti dicar con X c: X (.) ω ω olndo scrir un'unica rlazion ch dscria compltamnt, cioè sia trmi d ampizza sia di sfasamnto, il lgam tra la tnsion susoidal applicata ai capi dl condnsator la corrnt ch circola, dobbiamo trodurr la notazion ttorial scrir: Z Do Z prnd il nom di IMPEDENZ DE ONDENSTOE al: * I Z jx jω. Funzionamnto dll duttanza In un'induttanza il lgam tra la corrnt ch la attrarsa i (t) la tnsion ai suoi capi (t) è dato dalla rlazion: do è il alor dll'induttanza. ( t) di dt a rlazion (.) dl tutto analoga alla (.) rlatia al ondnsator; l'unica diffrnza consist nllo scambiar i ruoli tra tnsion corrnt nl passar da una rlazion all'altra. È pr qusta ragion ch apacità d Induttanza sono dtt duali ni riguardi di corrnt tnsion. Tutti i ragionamnti fatti pr il ondnsator sono alidi anch pr l'induttanza, purché si tnga conto di tal dualità. Qudi la rlazion (.) ci dic ch la tnsion ai capi di un'induttanza è proporzional non al alor dlla corrnt ch i circola ma alla "locità" di ariazion di tal corrnt. In altr parol: la d.d.p. ai capi di un'induttanza è dirsa da zro solo s c'è una ariazion dlla corrnt ch l'attrarsa tal d.d.p. è, alor assoluto, tanto più grand quanto maggior è la "locità" di tal ariazion. ( t) (.3) (.). isposta dll Induttanza alla contua. S facciamo circolar un'induttanza una corrnt costant, al a dir una contua, la tnsion ai suoi capi sarà nulla. isptto alla contua, il rapporto tra la tnsion ai capi dll'induttanza la corrnt ch circola è ugual a zro qudi l'induttanza si comporta com un corto circuito.. isposta dll Induttanza all ariazioni brusch di corrnt. S c facciamo circolar un'induttanza una corrnt ch abbia una ariazion brusca, com ad smpio un grado, poiché abbiamo una ariazion fita di corrnt un trallo di tmpo nullo, nll'istant dlla commutazion la tnsion tnd ad fito. isptto all ariazioni brusch di corrnt, il rapporto tra la tnsion ai capi dll'induttanza la corrnt ch circola tnd ad fito qudi, nll'istant dlla commutazion, l'induttanza si comporta com un circuito aprto s izialmnt non prcorsa da corrnt più gnral com un gnrator idal di corrnt dl alor pari alla corrnt ch circola nll'induttanza nll'istant dlla commutazion. Pag. 5

6 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 6.3 isposta dll duttanza all ariazioni lari di corrnt. Tornando al conctto di dualità tra apacità d Induttanza ni riguardi di corrnt tnsion, si ossro l Figur n a Figura n. 5 riproduc la simulazion a alcolator dll'andamnto dlla corrnt un ondnsator dl alor di nf quando è posta ai suoi capi una tnsion d andamnto ch possiamo chiamar trapzoidal. (t) olt PITÀ nf i (t) m 8 6 TENSIONE (t) OENTE i (t) t msc Figura n. 5 a Figura n. 6 riproduc la simulazion a alcolator dll'andamnto dlla tnsion ai capi di un'induttanza dl alor di m nlla qual è fatta circolar una corrnt ch ha un andamnto nl tmpo dl tutto analogo a qullo dlla tnsion posta ai capi dl ondnsator nlla prima simulazion. i(t) µ 8 6 INDUTTNZ m OENTE i (t) (t) molt TENSIONE (t) t msc Figura n. 6 Dall Figur qustion si possono ricaar sia confrm qualitati sul comportamnto di apacità d Induttanza sia confrm quantitati dll rlazioni (.) (.). ESEIZIO: ricaar dirttamnt dall Figur nn. 5 6 il alor ch assum ogni tratto la corrnt nl ondnsator la tnsion ai capi dll'induttanza. (Suggrimnto: ricaar il cofficint angolar di ari tratti moltiplicarlo pr il alor dlla apacità o dll'induttanza..4 isposta dll Induttanza al sgnal susoidal. Pr dualità possiamo ddurr il comportamnto dll'induttanza risptto al sgnal susoidal, d affrmar: a (t) è sfasata di π/ anticipo risptto alla i (t), ch quial a dir ch la corrnt nll'induttanza è sfasata di π/ ritardo risptto alla tnsion. Dimostriamo matmaticamnt quanto affrmato, facndo circolar un'induttanza la corrnt: a (t) in: i ( t) s ( ω t φ ) Pag. 6

7 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 7 ( t) di dt ( t) ω cos s ( ωt φ ) Il rapporto tra l'ampizza ω dl sgnal susoidal di tnsion l'ampizza dl sgnal susoidal di corrnt applicato, prnd il nom di ETTNZ INDUTTI, ch si è soliti dicar con X : X ω ω (.) olndo scrir un'unica rlazion ch dscria compltamnt, cioè sia trmi d ampizza sia di sfasamnto, il lgam tra la tnsion susoidal ai capi dll'induttanza la corrnt ch i circola, dobbiamo trodurr la notazion ttorial scrir: Z I do Z prnd il nom di IMPEDENZ DE'INDUTTNZ al: Z jω jx (.3) 3. isposta di ircuiti al Sgnal Susoidal al ariar dlla frqunza I Z Figura n. 7 Sia dato il circuito Figura n. 7 al qual è posta grsso una tnsion susoidal di pulsazion ω. Essndo prsnza di grandzz susoidali usiamo la rapprsntazion ttorial dll stss. ogliamo troar com aria l ampizza la fas dl sgnal susoidal sul ondnsator sulla sistnza al ariar dlla pulsazion ( qudi dlla frqunza) dl sgnal susoidal d grsso. 3. Uscita sul ondnsator. Dfiamo TTENUZIONE sul ondnsator il ttor dato dal rapporto tra il ttor Tnsion sul ondnsator d il ttor Tnsion d grsso. Dall'quazion dlla maglia si ha: da cui si ricaa: I I Z I Z IZ Z Z qudi: Pag. 7

8 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 8 sostitundo alla (3..) la (.3), si ha: Z (3..) Z j ω jω jω jω ω (3..) Il ttor Il modulo al: a fas è: ha modulo fas φ. ω ( ω) (3..3) φ arctg (3..4) 3.. Il modulo dll ttnuazion Dalla (3..3) si ricaa ch: I MODUO DE TTENUZIONE E PE ω. ISPETTO ONTINU I ONDENSTOE SI OMPOT OME UN IUITO PETO E TUTT TENSIONE D'INGESSO SI ITO I SUOI PI. I MODUO DE TTENUZIONE TENDE PE ω. ETTNZ PITI PE ω TENDE ED I ONDENSTOE TENDE OMPOTSI OME UN OTO IUITO. Si dfisc FEQUENZ (PUSZIONE) DI TGIO di un circuito la frqunza (pulsazion) corrispondnza dlla qual il modulo dl GUDGNO (nl caso di circuiti passii il modulo dll TTENUZIONE) assum il alor: ( il alor massimo ) Matmaticamnt si può scrir:. ( f ) max taglio (3..5) Il alor massimo nl nostro caso al di consgunza si ha ch la PUSZIONE DI TGIO è: ( ω ) taglio ω taglio ω taglio ω taglio ω taglio a FEQUENZ DI TGIO è di consgunza: f taglio ωtaglio π ftaglio (3..6) π 3.. o sfasamnto φ Dalla (3..4) si ricaa ch: O SFSMENTO φ E PE ω. Pag. 8

9 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 9 O SFSMENTO FEQUENZ DI TGIO φ TENDE 9 PE ω. φ E Grafici di φ ndamnto di modulo fas dll ttnuazion funzion dlla frqunza scala lar Ga.5KΩ, nf USIT SU ONDENSTOE Phas Dg FSE 36. 8m 54. 4m MODUO 7. m K K 3K 4K 5K Frquncy z Figura n. 8 Nlla Figura n. 8 è riportato l'andamnto dll'ttnuazion dllo sfasamnto φ. funzion dlla frqunza scala lar. Si d ch, pur ando limitato il alor massimo dlla frqunza a 5Kz, il grafico appar poco "lggibil" particolar pr i alori più bassi dlla frqunza. Pr rndr tali grafici più "lggibili", (ma non solo pr qusto), ssi sono tracciati utilizzando la scala logaritmica pr smi logaritmica pr φ. Esgundo il logaritmo bas di ntrambi i mmbri dlla rlazion (3.3) si ha: ( ) og og og( ω ) og( ) og ω ω Qust'ultima rlazion pr ω << ω << cioè pr pulsazioni molto mori dlla pulsazion di taglio, si riduc a: 9. Mntr pr: ( ) og( ) og ω >> ω >> cioè pr pulsazioni molto maggiori dlla pulsazion di taglio, si ha: og ( ) og( ) ω ogω og Qust'ultima sprssion nl piano og og ω non è altro ch l'quazion di una rtta, parallla alla bisttric dl scondo dl quarto quadrant, ch contra l'ass dll ordat(og ω ωrad/scf59.5mz) pr. ω Pag. 9

10 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga Qudi nl piano og og ω, cioè scala logaritmica, l'andamnto di ω molto mor dlla pulsazion di taglio, sia pr ω molto maggior dlla pulsazion di taglio. è rttilo sia pr È qusto l'altro motio, il prcipal, pr il qual si usa tal tipo di scala pr rapprsntar l'andamnto di dlla frqunza. iportiamo Figura n. 9 il risultato fornito scala logaritmica dlla simulazion a alcolator. al ariar Diagrammi di Bod di modulo fas dl ttor ttnuazion sul ondnsator Ga (db) 5. db 5..5KΩ nf USIT SU ONDENSTOE MODUO Phas (dg) FSE K Kz K MEG Frquncy z Figura n. 9 Tali grafici prndono il nom di DIGMMI DI BODE. om si può notar il modulo dll'ttnuazion (Ga nlla simulazion) è riportato db. icordiamo ch: ( db) og lla frqunza (pulsazion) di taglio corrispond un'attnuazion di: ( f )( db) og og.77 db taglio 3 Qudi la frqunza di taglio può ssr anch dfita com la frqunza corrispondnza dlla qual il Guadagno o l'ttnuazion dimuisc di 3dB risptto al alor massimo. Nl caso riportato nl diagramma ssa al Kz. Dal Diagramma di Bod rlatio al modulo notiamo ch: PE FEQUENZE INFEIOI FEQUENZ DI TGIO I MODUO DE'TTENUZIONE E' UNITIO: I SEGNI SINUSOIDI D INGESSO E DONO IN QUE MPO DI FEQUENZE NON SONO TTENUTI E SI ITONO IN USIT ON UGUE MPIEZZ. PE FEQUENZE SUPEIOI FEQUENZ DI TGIO I MODUO DE'TTENUZIONE DIMINUISE INEMENTE ON UN PENDENZ DI DB PE DEDE: I SEGNI SINUSOIDI D INGESSO ENGONO SEMPE PIÙ TTENUTI QUNTO PIÙ OO FEQUENZ E' MGGIOE DE FEQUENZ DI TGIO. Pr qusto comportamnto risptto al sgnal susoidal tal circuito è chiamato FITO PSSBSSO. Pag.

11 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga Dal diagramma di Bod rlatio alla fas notiamo ch: FSE IMNE SOSTNZIMENTE NU FINO I UN DEDE PIM DE FEQUENZ DI TGIO; T UN DEDE PIM ED UN DEDE DOPO FEQUENZ DI TGIO FSE PSS D 9 ; FEQUENZ DI TGIO FSE E 45 ; D UN DEDE DOPO FEQUENZ DI TGIO FSE EST UGUE 9 ; I Diagrammi di Bod sono solitamnt tracciati larizzando l cur sopra riportat. ESEIZIO: Progttar un Filtro PSSBSSO ch alla frqunza di 7Kz produca un'attnuazion di 6dB. Troar la frqunza di taglio dl circuito. Troar oltr l ampizza, la fas d il alor mdio dl sgnal susoidal sul ondnsator s poniamo grsso un sgnal susoidal di ampizza, frqunza Kz alor mdio. iptr il punto prcdnt pr un sgnal susoidal di ampizza 3, frqunza z alor mdio. Troar f pr diffrnza l ampizza, la fas d il alor mdio dl sgnal susoidal sulla sistnza pr ntrambi i sgnali susoidali d grsso. 3. Uscita sulla sistnza Dfiamo TTENUZIONE sulla sistnza il ttor dato dal rapporto tra il ttor Tnsion sulla sistnza d il ttor Tnsion d grsso. r Dall'quazion dlla maglia si ha: I Z I da cui si ricaa: I Z I Z qudi: (3..) Z sostitundo alla (3..) la (.3), si ha: jω ω jω jω jω ω ω j ω ω (3..) Il ttor Il modulo al: a fas è: ha modulo fas φ. ω ω (3..3) Pag.

12 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga φ arctg ω (3..4) 3.. Il modulo dll ttnuazion Dalla (3..3) si ricaa ch: I MODUO DE TTENUZIONE E PE ω. ISPETTO ONTINU I ONDENSTOE SI OMPOT OME UN IUITO PETO E QUINDI, NON IONDO OENTE NE IUITO, TENSIONE I PI DE ESISTENZ È NU. I MODUO DE TTENUZIONE TENDE PE ω. ETTNZ PITI PE ω TENDE, I ONDENSTOE TENDE OMPOTSI OME UN OTO IUITO E QUINDI TUTT TENSIONE D'INGESSO TENDE ITOSI I PI DE ESISTENZ. pplicando la dfizion già data di FEQUENZ (PUSZIONE) DI TGIO si ricaa ch: ω taglio ftaglio (3..6) π 3.. o sfasamnto φ Dalla (3..4) si ricaa ch: O SFSMENTO O SFSMENTO FEQUENZ DI TGIO φ TENDE 9 PE ω. φ TENDE PE ω. φ E Diagrammi di Bod di φ Esgundo il logaritmo bas di ntrambi i mmbri dlla rlazion (3.6) si ha: Qust'ultima rlazion pr ω ( ) og og( ω) og( ) og ω ω ω >> ω >> cioè pr pulsazioni molto maggiori dlla pulsazion di taglio, si riduc a: Mntr pr: ω og ( ) << ω << cioè pr pulsazioni molto mori dlla pulsazion di taglio si ha : og ( ) og( ω ) ogω og Pag.

13 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 3 Qust'ultima sprssion nl piano og og ω non è altro ch l'quazion di una rtta, parallla alla bisttric dl primo dl trzo quadrant, ch contra l'ass dll ordat (og ω ωrad/scf59.5mz) pr ω. Qudi nl piano og og ω, cioè scala logaritmica, l'andamnto di ω molto mor dlla pulsazion di taglio, sia pr ω molto maggior dlla pulsazion di taglio. è rttilo sia pr iportiamo Figura n. i Diagrammi di Bod ottnuti attrarso simulazion con µp3 dl solito circuito, prndndo l uscita sulla rsistnza. Diagrammi di Bod di modulo fas dl ttor ttnuazion sulla sistnza Ga (db) 5. db.5kω nf USIT SU ESISTENZ Phas (dg) MODUO FSE K Kz K MEG Frquncy z Figura n.. Dal Diagramma di Bod rlatio al modulo notiamo ch: D ONTINU FINO I FEQUENZ DI TGIO I MODUO ESE ON UN PENDENZ DI DB PE DEDE: I SEGNI SINUSOIDI D INGESSO ENGONO SEMPE PIÙ TTENUTI QUNTO PIÙ OO FEQUENZ E' MINOE DE FEQUENZ DI TGIO PE FEQUENZE SUPEIOI FEQUENZ DI TGIO I MODUO DE'TTENUZIONE E' UNITIO: I SEGNI SINUSOIDI D INGESSO E DONO IN QUE MPO DI FEQUENZE NON SONO TTENUTI E SI ITONO IN USIT ON UGUE MPIEZZ. Pr qusto comportamnto risptto al sgnal susoidal tal circuito è chiamato FITO PSSTO. Dal diagramma di Bod rlatio alla fas notiamo ch: FSE IMNE SOSTNZIMENTE UGUE 9 FINO I UN DEDE PIM DE FEQUENZ DI TGIO; T UN DEDE PIM ED UN DEDE DOPO FEQUENZ DI TGIO FSE PSS D 9 FSE E 45 FEQUENZ DI TGIO; D UN DEDE DOPO FEQUENZ DI TGIO FSE EST NU. ESEIZIO: Progttar un filtro PSSTO ch alla frqunza di 3Kz produca un'attnuazion di 8dB. Troar la frqunza di taglio dl circuito. Troar oltr l ampizza, la fas d il alor mdio dl sgnal susoidal sulla sistnza s poniamo grsso un sgnal susoidal di ampizza, frqunza Kz alor mdio. iptr il punto prcdnt pr un sgnal susoidal di ampizza 3, frqunza z alor mdio. Troar f l ampizza, la fas d il alor mdio dl sgnal susoidal sul ondnsator pr ntrambi i sgnali susoidali d grsso. Pag. 3

14 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 4 4. Diagrammi di BODE risposta di un circuito ad una qualsiasi forma d'onda om abbiamo isto i Diagrammi di Bod sono ricaati ponndo all grsso dl circuito un sgnal susoidal. formazioni ch ssi ci forniscono dirttamnt trmi di modulo fas dll'ttnuazion (o dl Guadagno) sono rifrit solo a tal tipo di forma d'onda. Da tali diagrammi è tuttaia possibil ricaar formazioni utili pr diiduar il comportamnto dl circuito risposta a qualsiasi tipo di forma d'onda. Prndiamo il solito circuito già analizzato (.5KΩ, nf) ch ha una frqunza di taglio di circa Kz. 4. Uscita sul ondnsator Poniamo all grsso di tal circuito tr ond quadr a alor mdio nullo dlla stssa ampizza ma di frqunz dirs: PIM DI FEQUENZ Z, IOÈ DI FEQUENZ E DE PIÙ DI UN DEDE PIM DI QUE DI TGIO. SEOND DI FEQUENZ KZ, IOÈ DI FEQUENZ I UGUE QUE DI TGIO. TEZ DI FEQUENZ 5KZ, IOÈ DI FEQUENZ E DE PIÙ DI UN DEDE DOPO QUE DI TGIO Simulando con µp3 la risposta dl circuito ponndo di sguito grsso l tr ond quadr citat prndndo l'uscita sul condnsator, ottniamo l form d'onda riportat nll Figur nn., 3. Dalla Figura n. notiamo ch l'onda quadra a z si ritroa praticamnt immutata sul ondnsator. (t) (olt). 8. INGESSO INGESSO OND QUD z.5kω, nf; USIT SU ONDENSTOE out(t) (olt) USIT t msc Figura n. Dalla Figura n. notiamo ch l'onda quadra a Kz produc sul ondnsator una forma d'onda particolar. Pag. 4

15 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 5 olt INGESSO OND QUD Kz.5KΩ, nf, USIT SU ONDENSTOE INGESSO USIT t µsc Figura n. Dalla Figura n. 3 notiamo ch l'onda quadra a 5Kz produc sul ondnsator una forma d'onda Triangolar, cioè una forma d'onda ch risulta proporzional all'tgral di qulla posta grsso. (t) (olt). INGESSO OND QUD 5Kz.5KΩ, nf;usit SU ONDENSTOE out(t) (olt) INGESSO USIT t µsc Figura n. 3 Qusti risultati hanno alnza gnral possiamo affrmar ch: qualsiasi circuito prsnti, pr un particolar trallo di frqunz, un diagramma di Bod dl modulo ch ari di db pr dcad d uno sfasamnto di 9, si comporta, qul particolar campo di frqunz, com un INTEGTOE. 4. Uscita sulla sistnza Poniamo all grsso dl solito circuito tr sgnali triangolari, a alor mdio non nullo dlla stssa ampizza ma di frqunz dirs: I PIMO DI FEQUENZ Z, IOÈ DI FEQUENZ E DE PIÙ DI UN DEDE PIM DI QUE DI TGIO. I SEONDO DI FEQUENZ KZ, IOÈ DI FEQUENZ I UGUE QUE DI TGIO. I TEZO DI FEQUENZ 5KZ, IOÈ DI FEQUENZ E DE PIÙ DI UN DEDE DOPO QUE DI TGIO. Simulando con µp3 la risposta dl circuito ponndo di sguito grsso i tr sgnali triangolari citati prndndo l'uscita sulla sistnza, ottniamo l form d'onda riportat nll Figur nn. 4, 5 6. Pag. 5

16 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 6 Dalla Figura n. 4 notiamo ch il sgnal triangolar a z produc sulla sistnza una forma d'onda Quadra a alor mdio nullo, cioè una forma d'onda ch risulta proporzional alla driata di qulla posta grsso. (t) (olt) INGESSO TINGOE z.5kω, nf; USIT SU ESISTENZ USIT ( m) out(t) (molt) (m) INGESSO ( ) t msc 6 Figura n. 4 Dalla Figura n. 5 notiamo ch il sgnal triangolar a Kz produc sulla sistnza una forma d'onda particolar a alor mdio nullo. (t) (olt) INGESSO TINGOE Kz.5KΩ,nF; USIT SU ESISTENZ USIT out(t) (olt) INGESSO t µsc Figura n. 5 Dalla Figura n. 6 notiamo ch il sgnal triangolar a 5Kz si ritroa praticamnt immutato, ma a alor mdio nullo, sulla sistnza. Pag. 6

17 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 7 (t) (olt) INGESSO TINGOE 5Kz.5KΩOhm, nf, USIT SU ESISTENZ USIT out(t) (olt) INGESSO t µsc Figura n. 6 Qusti risultati hanno alnza gnral possiamo qudi affrmar: Un qualsiasi circuito ch prsnti, pr un particolar trallo di frqunz, un diagramma di Bod dl modulo ch ari di db pr dcad d abbia uno sfasamnto di 9, si comporta, qul particolar campo di frqunz, com un DEITOE. S tal andamnto dl Diagramma part dalla contua, anch il alor mdio dl sgnal d'grsso è driato di consgunza non si ritroa uscita. 5. a Trasformata di PE qusto punto siamo grado di troar la risposta dl circuito al sgnal susoidal di ricaar dai diagrammi di Bod dllo stsso circuito formazioni qualitati sulla risposta a qualsiasi tipo di forma d onda. Non siamo al contrario ancora grado di troar pr qualsiasi forma d onda l quazioni dll form d onda sulla sistnza sul ondnsator, cioè pr smpio l quazioni dll form d onda uscita dll Figur nn.,, 3, 4, 5 6. i(t) (t) (t) out Figura n. 7 I lgami di tipo diffrnzial tra la corrnt la tnsion sia pr il ondnsator sia pr l'induttanza pongono non pochi problmi matmatici quando si dbba troar il comportamnto di circuiti comprndnti qusti componnti risposta ad una gnrica forma d onda d grsso (t). Prndiamo a titolo d'smpio il circuito Figura n. 7, cioè il smplic, solito, circuito. ogliamo troar il lgam tra la tnsion d'uscita qulla d'grsso. Scriiamo pr prima cosa l'quazion dlla maglia: ( t) i( t) ( t) out (5.) a corrnt i(t) circola anch nl ondnsator d è qudi lgata alla tnsion ai capi dl ondnsator dalla (.). Di consgunza la (5.) dinta: ( t) dout dout ( t) out ( t) out ( t) ( t) (5.) dt dt 'quazion dlla nostra pur smplic maglia è un'quazion diffrnzial, ch non sappiamo ancora risolr. ( t) Pag. 7

18 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 8 Piuttosto ch affrontar lo studio di mtodi pr risolr l quazioni diffrnziali si prfrisc, non solo pr la difficoltà di tali mtodi ma anch prché n trarrmo di antaggi più gnrali, aggirar l'ostacolo utilizzando l Trasformat di aplac. diamo prima a lillo qualitatio cosa consist qusto mtodo. Si diidua un lgam matmatico ch faccia corrispondr ad ogni funzion nl domio dl tmpo una d una sola funzion nl domio di una nuoa ariabil. Tal lgam è sclto modo ch l quazioni, ch nl domio dl tmpo sono di tipo diffrnzial, dinto nl domio di qusta nuoa ariabil dll quazioni algbrich qudi siano di facil soluzion. Una olta troato l'andamnto dlla grandzza ch ci trssa (pr noi solitamnt la tnsion d'uscita) nl domio di qusta nuoa ariabil, pr troarn l'andamnto nl domio dl tmpo sarà sufficint compir l'oprazion rsa, antitrasformando il risultato troato. In Figura n. 8 è riportato uno schma ch tnta di tradurr isiamnt il procdimnto dscritto. (t) Equazion Diffrnzial out (t) Trasformata di PE ntitrasformata di PE (s) Equazion lgbrica out (s) Figura n. 8 Qudi la Trasformata di aplac è un lgam matmatico ch prmtt di far corrispondr ad ogni funzion dl tmpo f(t) una d una sola funzion di una nuoa ariabil complssa ch è chiamata solitamnt s. Tal lgam è dato dalla rlazion: st l [ f ( t) ] f ( t) dt F( s) (5.3) do s σ jω È idnt ch pr funzioni f(t) di una crta complssità anch troar la F(s) attrarso la (5.3) non sarà dl tutto agol. Esistono d'altra part su tutti i tsti ( qullo d Elttronica all pagg. 663 dl olum n. ) dll tabll ch riportano l Trasformat dll funzioni nl tmpo più comuni dll ntitrasformat di un gran numro di funzioni F(s). Qudi un crto numro di casi non sarà un problma né Trasformar una f(t) nlla corrispondnt F(s), né far l'oprazion rsa. iportiamo di sguito, snza dimostrarli, i Tormi prcipali sull Trasformat di aplac:. Torma di arità: a Trasformata dl prodotto di una costant k pr una funzion f(t) è data dal prodotto dlla costant k pr la Trasformata dlla f(t); cioè: l [ kf ( t) ] kl[ f ( t) ] kf( s) (5.4). Torma di Sorapposizion: a Trasformata dlla somma (diffrnza) di du funzioni è ugual alla somma (diffrnza) dll Trasformat; cioè: l [ ( t) ± f ( t) ] l[ f ( t) ] ± l[ f ( t) ] F ( s) F ( s) (5.5) f ± 3. Torma dlla Driata: a Trasformata dlla driata prima di una funzion f(t) è data da: ( t) df l sf (5.6) dt ( s) f ( ) Pag. 8

19 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 9 do f( ) è il alor dl limit dstro dlla funzion f(t) all'istant. 4. Torma dll'intgral: a Trasformata dll'tgral di una funzion f(t) è data da: t F ( ) ( s l ) f t dt (5.7) diamo com sia concrtamnt utilizzabil quanto dtto. Partiamo dal circuito Figura n. 7 dall'equazion Diffrnzial (5.). Trasformando ntrambi i mmbri dlla (5.) d applicando il Torma di arità qullo di Sorapposizion si ha: d out ( t) d out ( t) l ( t) l[ ( t) ] l l[ ( t) ] l[ ( t) ] dt s out out dt (5.8) applicando ora il Torma dlla Driata considrando il condnsator izialmnt scarico, si ha: s ( s) ( s) ( s) ( s)( s ) ( s) (5.9) out out out S ora ogliamo troar l'andamnto dlla risposta dl circuito sam ad un particolar sgnal d'grsso, pr smpio un grado d ampizza bastrà troar dalla tablla all pagg. 663 dl libro di tsto la Trasformata dl nostro sgnal d'grsso. Troiamo ch ssa al s qudi, sostitundo qusto particolar alor alla (s) s ( s)( s ) ( s) ( s ) dlla (5.9), si ha: out out (5.) a (5.) ci da la Trasformata dlla tnsion d'uscita quando grsso poniamo un sgnal a grado d ampizza. Pr ar l'andamnto nl tmpo dlla tnsion d'uscita occorr ntitrasformar la out (s) troata nlla (5.). Mttndo idnza al dnomator si ha: ( s) (5.) out s s s s Ora, utilizzando la tablla all pagg. 663 dl libro di tsto ( particolar la n. 9 di pag. 6) si ha: s out t ( ) ( t) t ( ) [ ] [ ] (5.) a rlazion (5.) ci fornisc l'quazion nl tmpo dlla carica dl condnsator un circuito risposta ad un grado di tnsion d ampizza, quando il condnsator è izialmnt, cioè nll'istant nl qual arria il grado di tnsion, scarico. S al contrario il condnsator è izialmnt carico alla tnsion, occorr ripartir dalla rlazion (5.8). Infatti luogo dlla (5.9) si ha: [ sout ( s) ] out ( s) ( s) out ( s)( s ) ( s) (5.3) Smpr olndo ottnr la risposta ad un grado d ampizza qusto caso luogo dlla (5.) si ha: out ( s) (5.4) s( s ) s s s s Pag. 9

20 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga Ora utilizzando smpr la tablla all pagg. 663 dl libro di tsto ( qusto caso non solo la prcdnt ma anch la n. 7 dall'alto di pag. 6) si ha luogo dlla (5.): out t ( ) ( t) t ( ) t ( ) [ ] ( ) (5.5) a rlazion (5.5) è l'quazion gnral dlla risposta di un circuito, uscita su, ad un grado di tnsion. Da tal rlazion notiamo ch qusta risposta è dl tipo: t ( ) ( t) B (5.6) do: È I OE E TENSIONE SU ONDENSTOE SSUME PE T. NE NOSTO SO. B È I OE E TENSIONE SU ONDENSTOE SSUME 'ISTNTE INIZIE, IOÈ PE T ISTNTE NE QUE IENE OMMUTZIONE. NE NOSTO SO. B È DI ONSEGUENZ DIFFEENZ T I OE E TENSIONE SU ONDENSTOE SSUME 'ISTNTE INIZIE ED I OE E TE TENSIONE SSUME PE T. NE NOSTO SO B. Da quanto dtto siamo ora grado di troar l'quazion dlla risposta di un condnsator posto un circuito ad un grado di tnsion. Pr diffrnza possiamo troar l'quazion dll'andamnto dlla tnsion ai capi dlla rsistnza. Smpr dall quazion (5.6) possiamo calcolar l quazioni dlla risposta di un circuito ad una qualsiasi onda quadra. imandiamo al paragrafo 7 succssii lo studio di qusti casi particolari prosguiamo la trattazion dlla Trasformata di aplac. 6. a Funzion di Trasfrimnto (F.d.T.) di una rt Dalla (5.9) si ricaa: out ( s) ( s) s F( s) (6.) a F(s) prnd il nom di FUNZIONE DI TSFEIMENTO (di sguito F.d.T) dl circuito non è altro ch il rapporto tra la Trasformata dlla risposta di un sistma la Trasformata dlla corrispondnt sollcitazion d'grsso. Pr l'uso ch n farmo nl corso d Elttronica l grandzz d'grsso d'uscita saranno solitamnt ntramb dll tnsioni. om drmo succssiamnt dalla F.d.T. si ricaano un gran numro di formazioni sul comportamnto dl circuito, tanto ch solitamnt è proprio dalla ricrca dlla F.d.T. ch si part pr l'analisi o la stsi di una rt. Nl paragrafo prcdnt abbiamo isto com si possa arriar alla F.d.T. applicando i tormi sull Trasformat all'equazion diffrnzial ch rapprsnta il circuito o, più gnral, il sistma. aorando noi pralntmnt su circuiti lttronici, c trssa riuscir a troar la F.d.T. di una rt snza dor ogni olta ricrcar l'quazion diffrnzial. Qusto può ssr fatto Trasformando dirttamnt la rt, troando particolar l IMPEDENZE nl campo dlla ariabil s di componnti lmntari. Scriiamo di sguito il lgam tra la tnsion la corrnt pr sistnza, apacità d Induttanza nl domio dl tmpo: pr la ESISTENZ ( t) i ( t) (6.) Pag.

21 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga pr la PITÀ i ( t) pr l INDUTTNZ ( t) d dt di dt ( t) ( t) (6.3) (6.4) Trasformando qust tr rlazioni utilizzando i Tormi isti, particolar qullo dlla Driata, si ottin: pr la ESISTENZ ( s) I ( s) (6.5) s pr la PITÀ I ( s) s ( s) ( ) ( s) I ( s) s ( ) (6.6) pr l INDUTTNZ ( s) si ( s) i ( ) (6.7) Dall rlazioni (6.5), (6.6) (6.7) si ricaa ch pr trasformar gli schmi dal domio dl tmpo a qullo dlla ariabil s dobbiamo sostituir a sistnza, apacità d Induttanza i circuiti riportati nlla Figura n. 9. I (s) I (s) I (s) /s s (s) (s) (s) ()/s i () ESISTENZ s PITÀ s INDUTTNZ s Figura n. 9 Nl caso l condizioni iziali siano null, cioè la tnsion izial ai capi dl ondnsator o la corrnt izial nll'induttanza siano null, l Impdnz di componnti lmntari sono dfit com sgu: ESISTENZ s Z( s) ( s) ( s) (6.8) I PITÀ s Z( s) I ( s) ( s) s (6.9) INDUTTNZ s Z( s) I ( s) ( s) s (6.) Utilizzando l ultim tr rlazioni è possibil trasformar un qualsiasi circuito dal domio dl tmpo nl domio dlla ariabil s qudi troar da qust'ultimo la Funzion di Trasfrimnto. Pag.

22 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga Inoltr dall stss rlazioni notiamo ch: l Impdnz ricaat nl domio dlla ariabil s, cocidono con l impdnz ricaat pr il sgnal susoidal, s sostituiamo alla s la quantità jω. Qudi, una olta troata la F.d.T. F(s), la F(jω), ottnuta sostitundo a s jω, ci dà la risposta dl circuito al sgnal susoidal. I(s) /s (s) (s) out Figura n. 8 Tornando al circuito di Figura n. 7 già samato, abbiamo ch sso s dinta qullo riportato Figura n. 8. Scrindo l'quazion dlla maglia si ha: ( s) I( s) I( s) (6.) s I ( s) ( s) s s s ( s) da cui si ricaa: qudi: out s s s s s ( s) I( s) ( s) ( s) ( s) out (6.) ( ) F s out ( s) ( s) s (6.3) Notiamo ch oiamnt la (6.3) è idntica alla (6.) ricaata dall Equazion diffrnzial. Sostitundo nlla (6.3) al posto dlla s il trm jω troiamo: F ( jωs) out ( jω ) ( jω ) jω (6.4) rlazion ch lga la tnsion d'uscita a qulla d'grsso nl caso qust'ultima sia un sgnal susoidal. lla (6.4) raamo già arriati con la (3..) attrarso lo studio fatto a partir dall sol conoscnz d Elttrotcnica sui mtodi d analisi dll rti rgim altrnato susoidal. 6. Poli Zri di una Funzion di Trasfrimnto Pr i sistmi ch sono dscritti da quazioni diffrnziali lari, la F.d.T. è smpr data dal rapporto di du polomi. ioè è dl tipo: F ( s) b s b s n n n n m m ams am s... bs bs b... a s a s a (6..) Pag.

23 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 3 In una F.d.T. prndono il nom di ZEI gli n alori fiti di s ch annullano il Numrator dlla (6..), cioè ch mandano a zro la F.d.T. In una F.d.T. prndono il nom di POI gli m alori fiti di s ch annullano il Dnomator dlla (6..), cioè ch mandano ad fito la F.d.T. S chiamiamo z, z,..., z n gli n ZEI p, p,..., p m gli m POI, la (6..) può ssr scritta anch nlla forma: ( ) F s b a m ( s z)( s z ) ( s zn ) ( s p )( s p ) ( s p ) n m (6..) ch a sua olta può ssr scritta nlla forma:: F ( s) a b m n z z p p z p n m s z s p s z s p s z n s p m (6..3) s z K s p s z s p s z n s p m la costant K, cocidndo con il alor ch la F.d.T. assum pr s, in anch chiamata K statico. 6. icrca di poli dgli zri di una F.d.T. a ricrca di poli dgli zri di una F.d.T. può ssr condotta ssnzialmnt du modi: TONDO PE I NITI F.D.T. DE IUITO, SIENDO NE FOM IPOTT NE (6..3) E QUINDI INDIIDUNDO POI, ZEI E OSTNTE K; TONDO DIETTMENTE D ETE I POI, GI ZEI ED I OE DE OSTNTE K. Mntr il primo mtodo non richid particolari approfondimnti, trattandosi di fatto di applicar i tormi d i prcipi studiati Elttrotcnica ai circuiti Trasformati, il scondo mrita c di ssr illustrato compiutamnt. 6.. Numro di poli Il numro di poli di una F.d.T. di una rt cocid con il numro d lmnti rattii dipndnti prsnti nlla rt. Sono considrat dipndnti l capacità o l duttanz ch, una olta rsi flunti i gnratori dipndnti di tnsion di corrnt, qudi cortocircuitati qulli di tnsion d aprti qulli di corrnt, non siano riconducibili ad un solo lmnto, capacitio od duttio, mdiant oprazioni di sri paralllo. 6.. Numro dgli zri Notiamo ch la F.d.T., nll ari form algbrich da noi scritt, è smpr data dal rapporto di du polomi. Il grado dl polomio al numrator cocid con il numro dgli zri dlla F.d.T., mntr il grado dl polomio al dnomator cocid con il numro di poli. Da quanto dtto ricordando ch il limit pr x ch tnd ad fito dl rapporto di du polomi nlla ariabil x, tnd a: UN OSTNTE SE I GDO DE NUMETOE È UGUE GDO DE DENOMINTOE; ZEO SE I GDO DE DENOMINTOE È MGGIOE DE GDO DE NUMETOE; INFINITO SE I GDO DE NUMETOE È MGGIOE DE GDO DE DENOMINTOE. Pag. 3

24 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 4 Da quanto dtto si ricaa un mtodo pr ricaar dirttamnt dalla rt s il numro dgli zri è maggior, mor o ugual al numro di poli: Si fa tndr ad fito la ariabil s si troa dalla rt s la F.d.T. tnd ad una costant non nulla, a zro o ad fito.. S tnd ad una costant allora il numro dgli zri cocid con il numro di poli. S tnd a zro il numro di poli è maggior dl numro dgli zri. 3. S tnd ad fito il numro dgli zri è maggior dl numro di poli alor di poli In gnral il alor di poli è dato dall soluzioni dll'quazion ch si troa guagliando a zro l'mmttnza ista ai capi di uno qualsiasi dgli lmnti dlla rt, comprndndo l'lmnto stsso. Solitamnt si scgli uno dgli lmnti rattii. I poli sono qudi gnral di numri complssi. S, com ni casi ch analizzrmo izialmnt, siamo prsnza di un solo lmnto rattio o d lmnti rattii dtti "non tragnti" la ricrca di poli di una rt si smplifica d qusto caso: il polo associato ad ogni sgolo lmnto rattio è un numro ral ngatio d il suo modulo, cioè la pulsazion dl polo, è dato dll'rso dlla costant tmpo (prodotto dlla apacità pr la sistnza ch si d ai suoi capi o dll'induttanza pr l'rso dlla sistnza ch si d ai suoi capi) associata all'lmnto rattio qustion. Più lmnti rattii sono dtti "non tragnti" s ognuno di ssi d ai suoi capi una pura rsistnza non anch l'impdnza dgli altri lmnti rattii alor dgli zri Pr troar il alor dgli zri occorr troar dalla rt l condizioni circuitali ch annullano l'uscita pur prsnza di un sgnal d'grsso. I alori fiti di s ch soddisfano tali condizioni circuitali sono gli zri dlla F.d.T Il Kstatico sta da troar la costant K ch si ricaa: imponndo alla F.d.T., troata a mno dl K dalla conoscnza di alori di poli dgli zri, il alor, s costant non nullo, ch la nostra rt assum quando s al zro o pr s ch tnd ad fito. drmo a partir dal paragrafo n. 8 com è applicato quanto dtto all rti. Ora torniamo al circuito pr troar com sso risponda all ariazioni brusch di tnsion applicat grsso. 7. isposta di un circuito all ariazioni brusch di tnsion. 7. isposta al grado di tnsion ttrarso l utilizzo dlla Trasformata di aplac abbiamo troato l quazion (5.6) ch dscri l andamnto nl tmpo dlla tnsion sul ondnsator sulla sistnza quando all grsso dl circuito poniamo un grado di tnsion di alor, cioè un sgnal com qullo riportato Figura n. 9. Tal sgnal rapprsnta una ariazion brusca, toricamnt istantana, tra du lilli di tnsion contua:nl caso figura la tnsion passa nll'istant dal alor al alor ch abbiamo chiamato. Pag. 4

25 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 5 olt GDINO DI TENSIONE t tmpo t t Figura n. 9 Poiché la ariazion di tnsion ain un tmpo nullo d all istant t, nlla figura abbiamo diiduato, oltr all istant dlla commutazion, gli istanti t t cioè l istant t prima dopo la commutazion. iportiamo l'quazion (5.6) do: () ( t τ ) ( t) B (7..) τ È PENDE I NOME DI OSTNTE TEMPO DE IUITO ED È DT D PODOTTO. I TEMINE "E" È BSE DEI OGITMI NEPEINI. I TEMINI E B SONO DEE OSTNTI E SI INO DE ONDIZIONI INIZII (OE DEE TENSIONI 'ISTNTE DE OMMUTZIONE) E FINI (OE DEE TENSIONI PE T E TENDE D INFINITO). Nl caso dl grado riportato figura n. 9 posto grsso ad un circuito, supponndo il ondnsator izialmnt scarico, si ha: icordiamo fatti ch: ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) t ( ) ( t ). il condnsator istantanamnt rispond all ariazioni brusch di tnsion comportandosi com un corto circuito, s izialmnt scarico, più gnral com un gnrator idal di tnsion, di alor polarità pari alla tnsion prsnt ai suoi capi all'istant dlla commutazion;. nl lungo priodo, quando il tmpo tnd cioè ad fito, il condnsator si comporta com un circuito aprto; 3. ogni istant con rifrimnto all polarità dlla Figura n., è smpr ro ch: ( t) ( t) ( t) Pag. 5

26 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 6 (t) i(t) (t) (t) Figura n. olndo troar l'quazion dll'andamnto di (t), bastrà troar i alori dll costanti B prsnti nlla (7.), imponndo i alori iziali fali: ( τ ) ( t ) B B (*) ( t τ ) ( t ) B (**) (*) ricordiamo ch qualsiasi numro lato a zro è ugual ad. x (*) ricordiamo ch lim lim x x x Dal sistma tra l du ultim quazioni si ricaa: B Qudi, sostitundo i alori troati di B nlla (7..), si ha ch, nl caso sam, l'quazion dll'andamnto dlla funzion dl tmpo è il sgunt: In modo dl tutto analogo si ricaa l'andamnto di (t). [ ] ( t τ ) ( t τ ) ( t) (7..) ( τ ) ( t ) B B Dal sistma tra l du ultim quazioni si ricaa: ( t τ ) ( t ) B B Qudi, sostitundo i alori troati di B nlla (7..), si ha ch, nl caso sam, l'quazion dll'andamnto dlla funzion dl tmpo è il sgunt: ( τ ) ( t) t (7..3) Pag. 6

27 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 7 ISPOST IUITO ON IN INGESSO UN GDINO /5olt (olt) 5KΩ; nf (t) (t) t msc Figura n. 'andamnto dl tmpo dll funzioni (7..) (7..3) è riportato nlla Figura n., ricaata simulando con µp3 un circuito con 5KΩ nf al qual è stato posto grsso un grado /5olt ch commuta a tmsc. quazioni (7..) (7..3) ci dicono ch l tnsioni sul condnsator sulla rsistnza impigano un tmpo fito a raggiungr i alori fali, ch nl caso sam sono 5 pr (t) pr (t). In pratica prò dall stss quazioni si ricaa ch dopo ch è trascorso un tmpo pari a 4τ tali tnsioni sono arriat al 98.7% dl loro alor fal, dopo 5τ sono arriat al 99.33%, dopo 6τ sono arriat al 99.75%. Tali risultati possono ssr approssimatiamnt rificati anch dai grafici dlla simulazion, ricordando ch qusto caso τ al 5KΩ*nF 5msc. È pr qust ragioni ch: il condnsator si considra solitamnt compltamnt carico dopo ch sia trascorso un trallo di tmpo pari a 56 olt τ dall'istant dlla commutazion. (olt) Nuoo istant t. 4 8 t msc 6 Figura n. Supponiamo ora ch, trascorso un tmpo pari a T dall'istant dlla prima commutazion, il grado torni al alor zro. Nl caso riportato nlla Figura n. il grado torna a zro dopo msc dalla prima commutazion, cioè dopo ch è passato un tmpo pari a τ dall'istant nl qual ra anuta la prima commutazion. Pr troar l nuo quazioni dll'andamnto di (t) (t) dobbiamo pr prima cosa troar i alori ch aano raggiunto tali tnsioni nll'istant immdiatamnt prcdnt la nuoa commutazion. Utilizzando l quazioni (7.) (7.3) si troa: [ ] ( T τ ) ( T τ ) ( t T ) Nl caso particolar ch stiamo considrando abbiamo 5, T msc, τ5msc, qudi: ( m sc 5m sc) ( m sc) 5 [ ] 4. 3 Pag. 7

28 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 8 a tnsion sulla rsistnza allo stsso istant la possiamo troar pr diffrnza (ricordiamo ch ogni istant la somma dlla tnsion sulla rsistnza di qulla sul condnsator d ssr ugual alla tnsion posta grsso, 5 nl nostro caso). Si ricaa: (msc).68. llo stsso risultato si giung partndo dall'quazion (7..3): ( t τ ) ( m sc 5m sc) ( t) ( t m sc) Pr smplificar la forma dll quazioni ch dobbiamo andar a troar, riposizioniamo l'orig dll'ass di tmpi nll'istant dlla nuoa commutazion. hiamiamo gnral i alori raggiunti dall tnsioni sul condnsator sulla rsistnza all'istant dlla nuoa commutazion. I alori dll tnsioni nl nuoo istant si troano ricordando ch istantanamnt il condnsator si comporta com un gnrator idal di tnsion, giacché è ora izialmnt carico, mntr nl lungo priodo tnd a comportarsi com un circuito aprto. bbiamo: ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) Da tali rlazioni si ricaano l nuo costanti B. ' ' ' ( τ ) ( t ) B ( t ) ( t ) ( t ) ' ' B ' ' ' ( t τ ) ( t ) B ' Dal sistma tra l du ultim quazioni si ricaa: ' ' B Qudi, sostitundo i alori troati di À B' nlla (7.), si ha ch, nl caso sam, l'quazion dll'andamnto dlla funzion dl tmpo è il sgunt: ' ( τ ) ( t) t (7..4) In modo dl tutto analogo si troa l'andamnto dlla tnsion sulla rsistnza. ' ' ' ( τ ) ( t ) B ' ' B ' Dal sistma tra l du ultim quazioni si ricaa: ' ' ( t τ ) ( t ) B ' ' B ' Qudi, sostitundo i alori troati di B nlla (7.), si ha ch, nl caso sam, l'quazion dll'andamnto dlla funzion dl tmpo è il sgunt: Pag. 8

29 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 9 INGESSO IMPUSO /5, DUT msc (Figura n. ) (olt) 5KΩ; nf (olt) (t) ( ) ( ) ( ) (t) (t). 3.. ( ) (t). 4 8 t msc Figura n. 3 ' ( τ ) ( t) t (7..5) Qust'ultima rlazion si pota troar anch pr diffrnza. a Figura n. 3 riporta l andamnto dll tnsioni sul ondnsator sulla sistnza ricaat simulando con µp3 il circuito con 5KΩ nf al qual è stato posto grsso l impulso di tnsion riportato Figura n.. ESEIZIO: Sia dato un circuito, con KΩ nf. In grsso a tal circuito è posta la forma d'onda riportata Figura n. 4. Troar l quazioni disgnar i grafici su carta millimtrata dll'andamnto di (t) di (t). Si considri il condnsator izialmnt scarico. olt t msc Figura n. 4 ESEIZIO N.3: ll'grsso di un circuito, con KΩ 4.7nF, è posta la forma d'onda riportata Figura n. 5. Troar l quazioni disgnar i grafici su carta millimtrata dll'andamnto di (t) di (t), considrando il ondnsator izialmnt scarico. Si calcoli oltr la tnsion sul condnsator pr tµsc qulla sulla rsistnza pr t8µsc. Pag. 9

30 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 3 olt t µsc Figura n isposta di un circuito ad un'onda quadra simmtrica a alor mdio nullo olt KΩ, nf. USIT SU ONDENSTOE (t) (t) (t) t µsc Figura n. 6 In Figura n. 6 è riportata l'uscita sul condnsator di un circuito alimntato con un'onda quadra simmtrica a alor mdio nullo ( D.5%). ogliamo troar l'quazion di tal forma d'onda. Partiamo dalla rlazion gnral: () ( t τ ) ( t) B Partndo dalla figura a fianco, considriamo la prima commutazion, nlla qual la tnsion d grsso passa dal alor basso ( ) a qullo alto ( ). bbiamo chiamato la tnsion sul condnsator nll istant di qusta prima commutazion dl sgnal d grsso. icaiamo l costanti B dall condizioni iziali fali. Nlla prima commutazion, l condizioni iziali fali sono l sgunti: ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) t ( ) ( t ) olndo troar l'quazion dll'andamnto di (t), bastrà troar i alori dll costanti B, imponndo i alori iziali fali: ( t ) B ( t ) Pag. 3

31 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 3 dal sistma tra l du ultim quazioni si ricaa: B Qudi, sostitundo i alori troati di B, si ha ch, nl caso sam, l'quazion dll'andamnto dlla (t) è: ( t τ ) ( t) ( ) (7..) Pr troar basta imporr ch (t), pr tt/, sia ugual a, ch nl nostro caso d ssr ugual a. Si ha: Da cui si ricaa: ( T τ ) ( T ) ( ) ( T τ ) ( T τ ) (7..) ( T τ ) ( T τ ) (7..3) Pr diffrnza si ricaa (t): ( t τ ) ( t τ ) ( t) ( t) ( ) ( ) 'andamnto dlla tnsion sulla rsistnza è riportato Figura N. 7. (7..4) olt KΩ, nf; USIT SU ESISTENZ (t) (t) '(t) t µsc Figura n. 7 Nl scondo smipriodo, l condizioni iziali fali sono l sgunti: ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) ( t ) t ( ) ( t ) cioè sono l stss dl primo smipriodo, solo scambiando con icrsa. Qudi si possono dirttamnt scrir l quazioni: ( t τ ) ( t) ( ) ' (7..5) Pag. 3

32 Prof. Pirluigi D mico ppunti di EETTONI lassi QUTE ondnsator, Induttanza, ircuiti, Trasformata di aplac Paga 3 ( t τ ) ( t) ( ) ' (7..6) ESEMPIO: pplichiamo l rlazioni troat all'onda quadra riportato nll Figur nn. 6 7, cioè ad un sgnal 5,5 di frqunza Kz D.. 5% applicato ad un circuito con.kω nf. Dalla formula (7..) si ricaa 4.7. Da qusti alori si ricaa anch ch nl primo smipriodo la tnsion sulla rsistnza part dal alor 9.7 (54.7) d arria al alor.93 (54.7). Nl scondo smipriodo la tnsion sulla rsistnza part dal alor 9.7 (54.7) d arria al alor.93 (54.7). ESEIZI: Progttar i circuiti grado di fornir, s alimntati grsso con l form d'onda (t), l form d'onda out(t) sotto riportat nll Figur nn (t) (olt) FOME D OND N. out (t) out(t) (olt) (t) t msc Figura n. 8 (olt)..6. FOM D OND N. out (t) (t) t µsc 8 9 Figura n isposta di un circuito ad un'onda quadra a alor mdio non nullo Nlla Figura n. 3 è riportata l'uscita sul condnsator di un circuito, al qual è stata posta grsso un'onda quadra a alor mdio non nullo. Pag. 3