SIMULAZIONE I. 1. Abbiamo un campione di 400 aziende classificate secondo il capitale sociale e il fatturato. I dati sono: Fatturato

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1 SIMULAZIONE I Cognome e nome.. N. di matricola. 1. Abbiamo un campione di 400 aziende classificate secondo il capitale sociale e il fatturato. I dati sono: Capitale Fatturato sociale < > Vogliamo conoscere come sono legate queste due grandezze così da ricostruire alcuni dati mancanti nella nostra ricerca. Definiamo i seguenti eventi: A = avere un capitale inferiore o uguale a 250 B = avere un fatturato maggiore o uguale a 5000 a) Calcolare:,,,,,,,, b) Verificare se e perché A e B sono incompatibili c) Verificare se A e B sono indipendenti. 2. La tabella seguente mostra il numero di giorni, in un periodo di 50 giorni, durante i quali sono avvenuti, in una certa città, X incidenti automobilistici. Adattate una distribuzione di Poisson alla distribuzione data. Numero di incidenti Numero di giorni I negozi A e B della catena YX di elettrodomestici hanno rispettivamente scorte settimanali di 30 e 20 forni a microonde. Supponiamo che la domanda settimanale di questi elettrodomestici segue la distribuzione normale nel negozio A con media 25 e scarto quadratico medio 5; nel negozio B con media 16 e sqm 3,5. Con queste informazioni, il management vuole sapere quale dei due negozi ha la maggiore probabilità di esaurire le scorte di magazzino. 4. Da un indagine è emerso che alcune caratteristiche socio-demografiche influenzano la percezione che gli italiani hanno della pressione fiscale. In generale è emerso che il 60% di essi ritiene che la pressione fiscale sia troppo elevata mentre il 40% l ha definita giusta. Un gruppo di ricercatori vuole verificare se il livello di reddito influisca su tale percezione. Un campione di 1005 intervistati è stato suddiviso in due gruppi: il primo ha un reddito annuo inferiore a euro e il secondo superiore a euro annui. Pressione Reddito annuo Fiscale < euro > Totale Giusta Troppo elevata Totale

2 a) Vi è differenza sulla percezione della pressione fiscale tra i due gruppi di reddito (α = 0,05)? b) Calcolare il p-value e interpretarne il risultato. 5. L azienda XYZ produce barre d acciaio. Se il processo produttivo funziona in maniera corretta, vengono prodotte barre d acciaio di lunghezza media almeno pari a 2,8 metri. Le barre più lunghe di tale misura possono ancora essere utilizzate, per esempio accorciandole, mentre le barre più corte devono essere scartate. Si estrae un campione casuale di 25 barre la cui lunghezza media è pari a 2,73 metri e lo sqm campionario è di 0,20 metri. Vi è la necessità di aggiustare il processo di produzione? a) Se si effettua un test per l ipotesi nulla con un livello di significatività di 0,05, quale decisione si dovrebbe prendere riguardo al processo produttivo? b) Se si utilizza l approccio del p-value quale decisione si dovrebbe prendere in merito al processo produttivo? c) Quale tipo di errore si può commettere e quali sono le conseguenze di tale errore? SOLUZIONI I Esercizio 1 Per utilizzare la tavola introdotta prima dobbiamo calcolare i totali marginali e poi calcolare le frequenze relative, che diventano probabilità: Capitale Fatturato Totale Sociale < > Totale a) Usando la concezione classica di probabilità: casi favorevoli su casi possibili si ottiene: ,275; 10,2750,725; ,575; 10,5750,425; ,075; 0,2750,5750,0750,775; ,13; , ,130,87 Oppure ,87 Si possono ottenere gli stessi risultati utilizzando il teorema delle probabilità totali. 2

3 b) Se A e B sono incompatibili deve essere, cioè 0 ma, come si è visto prima, 0,075, per cui gli eventi sono compatibili. c) Se A e B sono indipendenti, si ha e ma 0,130 0,275 e 0,273 0,575 per cui i due eventi sono dipendenti. Esercizio 2 La funzione di probabilità della v.c. di Poisson èpr! " #$ Pr! " #$ dove il parametro ' è sia la media che la varianza della stessa v.c., per cui per ottenere ' basta calcolare la media aritmetica degli incidenti dalla tabella precedente. ' ) *+ * ,9 + * 50 A questo punto nella distribuzione di Poisson Pr! " #$,.! " #/,0 bisogna sostituire a X il %! %! numero di incidenti per trovare le probabilità corrispondenti e il numero degli incidenti teorici. I calcoli sono presentati nella tabella successiva. %! %! Numero di incidenti Pr (X incidenti) Valori teorici Valori osservati 0 0, ,33 o , ,30 o ,1647 8,24 o ,0494 2,47 o ,0111 0,56 o 1 1 Da notare che l adattamento della distribuzione di Poisson alla distribuzione data è piuttosto buono. Nella distribuzione di Poisson la varianza è '. Il calcolo della varianza della distribuzione data fornisce il valore 0,97 che è molto prossimo al valore trovato (0,90) e ciò può essere considerata come una ulteriore prova della bontà di adattamento della distribuzione di Poisson alla distribuzione campionaria data. Esercizio 3 Per risolvere il problema è necessario calcolare la probabilità di esaurimento delle scorte del negozio A utilizzando la distribuzione normale con media 25 e sqm 5 e calcolandone l area a destra di 30. Analogamente, per il negozio B si può trovare l area a destra di 20 sottesa alla distribuzione normale con media 16 e sqm 3,5. Infine, si devono confrontare queste due probabilità per vedere in quale negozio risulta esservi una maggiore probabilità di esaurimento scorte di magazzino. Per il negozio A, standardizzando il valore 30 otteniamo 1 ) ,00 5 Dalla Tavola della curva normale standardizzata troviamo che la P(z=1)=0,34134 per cui la probabilità che ci interessa (nella coda destra) è 0,5 0,34134 = 0,15866; 3

4 Per il negozio B, standardizzando il valore 20 otteniamo 1 ) ,14 3,5 Dalla Tavola della curva normale standardizzata troviamo che la P(z=1,14)=0,37286 per cui la probabilità che ci interessa (nella coda destra) è 0,5 0,37286 = 0, Quindi, il negozio A ha la maggiore probabilità di esaurire le scorte di forni a microonde. Esercizio 4 Si tratta di un confronto tra due percentuali e il sistema d ipotesi da sottoporre a verifica è 5 6 :8 9 8 : 6 9 :8 9 8 : Le elevate numerosità giustificano il ricorso alla statistica test (normale standardizzata): 9 : ; <=1= 1 > > + : Poiché l ipotesi alternativa è bidirezionale con α=0,05, i valori soglia sono 1,96 e + 1,96; la regola di decisione è: se il valore del test è interno all intervallo 1,96 e + 1,96 accetteremo l ipotesi nulla; se esterno la rifiuteremo. Innanzitutto calcoliamo la stima della percentuale (proporzione), comune ad entrambe le popolazioni: : : : ,5970 Dove 9 :? 0,5545 A : 0,64 Quindi ; 9 : <=1= 1 > > + : 0,5545 0,64 <0,597010,5970B C 2,7644 Decisione: poiché il risultato del test (-2,7644) è minore del valore soglia di sinistra (-1,96), si rifiuta H 0. C è sufficiente evidenza per affermare che vi è differenza tra la popolazione di adulti che ritiene che la pressione fiscale sia percepita diversamente tra i due gruppi di contribuenti. Il p-value = 0,0057 (dalla tavola della curva normale standardizzata9. La probabilità che si verifichi una differenza tra le popolazioni alla quale possa essere applicata una statistica test che si discosti da zero per un valore uguale o maggiore di 2,7644 in entrambe le direzioni è 0,0057, se non vi è alcuna differenza nella popolazione di adulti che ritiene che i due gruppi di contribuenti percepiscano in modo diverso la pressione fiscale. Esercizio 5 Si tratta verifica d ipotesi della media e il sistema d ipotesi da sottoporre a verifica è Il sistema d ipotesi è , E2,80 4

5 la statistica test da adottare per verificare l ipotesi è F 2 G 2,732,80 1,75 > 0,2 + > 25 Dalla tavola della T di Student in corrispondenza di 24 gdl e di α=0,10 (l ipotesi alternativa è unidirezionale per cui per trovare il valore soglia di sinistra occorre raddoppiare il livello di significatività), il valore soglia è 1,711. Poiché il valore del test (-1,75) è inferiore al valore soglia, si rifiuta l ipotesi nulla. Quindi, bisognerà intervenire per aggiustare il processo produttivo. Il p-value è inferiore al 5% ma superiore al 2,5 % (per la precisione è 0,0464) e la decisione naturalmente non cambia. L errore che si può commettere è l errore di I tipo, cioè rifiutare l ipotesi nulla mentre in realtà è vera. La conseguenza è quella di interrompere il processo produttivo per apportare gli opportuni aggiustamenti, mentre in realtà non era necessario. 5

6 SIMULAZIONE II 1. Viene condotta un indagine per studiare le scelte fatte nella selezione dei fondi comuni di investimento. A studenti universitari e laureati sono stati presentati fondi comuni di investimento tutti indicizzati sul FTSE MIB e tutti simili tranne i costi di gestione. I risultati parziali sono mostrati nella seguente tabella: Fondi di Studenti investimento Studenti univer Laureati Alti costi Bassi costi a) Sapendo che uno studente è universitario, qual è la probabilità che scelga un fondo con alti costi di gestione? b) sapendo che uno studente sceglie un fondo con alti costi di gestione, qual è la probabilità che sia universitario? c) Spiegare la differenza nei risultati in a) e b). d) I due eventi, titolo di studio e scelta del fondo di investimento, sono indipendenti? (Giustificare la risposta). 2. Una teoria riguardante l indice S&P 500 afferma che se l indice chiude in rialzo la prima settimana di contrattazioni dell anno è probabile che l indice presenti una performance positiva nell intero anno. Dal 1950 al 2007, l indice ha chiuso in rialzo nella prima settimana dell anno per 38 volte. In questi 38 anni, per 32 volte l indice ha avuto una performance annuale positiva. Qual è la probabilità che l indice abbia una performance annuale positiva per 32 anni su 38 se la probabilità che l indice abbia una buona performance è pari a : a) 0,50 b) 0,70 c) 0,90 d) Sulla base dei risultati da a) a c), che idea ci si può fare in merito alla probabilità che l indice in questione abbia una performance annuale positiva se si osserva un guadagno nella prima settimana dell anno? Giustificare la risposta. 3. La tabella seguente mostra la statura di un campione di studenti. Adattate una distribuzione normale alla distribuzione data. Classi di Studenti statura Fino a Oltre Due appezzamenti di uno stesso frutteto sono stati trattati con due diversi fertilizzanti. In ciascun appezzamento è stato scelto a caso un campione di piante controllandone il peso della produzione. 6

7 1 campione 25,3 32,6 18,7 29,4 2 campione 31,5 23,4 29,2 34,6 27,5 Supponendo che nelle due popolazioni il peso della produzione abbia distribuzione normale: a) Preliminarmente testare la uguaglianza delle due varianze al livello di significatività pari all 1%; b) successivamente stabilire se tra i pesi medi vi è una differenza al livello di significatività pari al 5%. 5. L ufficio del personale di una grande società intende stimare le spese dentistiche familiari dei suoi impiegati per valutare la possibilità di attuare un programma di assicurazione per tali spese. Per un campione di 40 impiegati si osservano le seguenti spese dentistiche (in euro) per l anno passato: a) Calcolate un intervallo di confidenza di livello 90% per la media delle spese dentistiche familiari per tutti gli impiegati della società; b) Calcolate un intervallo di confidenza di livello 95% per la media delle spese dentistiche familiari per tutti gli impiegati della società; c) La spesa media sostenuta dalla società nel precedente anno è stata di 250 euro..ritenete che ci sia una differenza significativa rispetto alle spesa media dell anno corrente? SOLUZIONI II Esercizio 1 Per utilizzare la tavola introdotta prima dobbiamo calcolare i totali marginali e poi calcolare le frequenze relative, che diventano probabilità: Fondi di Studenti investimento Stud. Univer. Laureati TOTALE Alti costi Bassi costi TOTALE Usando la concezione classica di probabilità: casi favorevoli su casi possibili si ottiene: a) :I 0,27; 9 b) :I :IJ9? 0,6 c) Gli eventi condizionati sono in ordine inverso d) Poiché Pr(scelta del fondo con alti costi di gestione/è un universitario)=0,27 non coincide con Pr(scelta del fondo del fondo con alti costi di gestione /laureato) =0,225 I DUE EVENTI NON SONO INDIPENDENTI ( ricordiamo che se A e B sono indipendenti, si ha e. Esercizio 2 La v.c. che ci consente di calcolare le probabilità richieste è la Binomiale. a) 8 0,

8 Pr K32L 38 ) M0,5N 0,5 OPN 0,0001 Bisogna sostituire a x i valori che vanno da 32 a 38 e sommare le probabilità corrispondenti. b) 8 0, Pr K32L 38 ) M0,7N 0,3 OPN 0,03595 Bisogna sostituire a x i valori che vanno da 32 a 38 e sommare le probabilità corrispondenti. c) 8 0, Pr K32L 38 ) M0,9N 0,1 OPN 0,92005 Bisogna sostituire a x i valori che vanno da 32 a 38 e sommare le probabilità corrispondenti. d) Sulla base dei risultati la probabilità che l indice MIB abbia una prestazione positiva se si verifica un rialzo iniziale nei primi cinque giorni di contrattazione è verosimilmente vicina a 0,90 e questo dà luogo a una probabilità del 92% che in almeno 32 anni su 38 l indice abbia una performance positiva per tutto l anno. Esercizio 3 La funzione di densità di probabilità della v.c. Normale è Y 9!#T U R :S AP UV U dove il parametro 2 è la media e il parametro σ 2 è la varianza (σ è lo scarto quadratico medio) della stessa v.c. Per adattare la distribuzione data ad una normale, occorre preliminarmente calcolare media e varianza della distribuzione data. Classi di statura Studenti Valore centrale x i n i (x i -µ) 2 n i ,5 2287,5 3828, ,5 6300,0 4818, , ,0 76, ,5 8520,0 3909, ,5 3187,5 6153,161 2 O ìx9 ) *+ * ,5 3 : ) *2 : + * 18784,9 93,9; 3 Y93,99, A questo punto occorre calcolare le aree al di sotto della curva normale per ognuna delle classi di statura che rappresentano le rispettive probabilità: 1 NP] U Pr [ [155\ 3 28 AP :R U P^ Standardizzando, abbiamo PrB [;[ )2 3 CPrL [;[155168,5 MPr [;[1,39 9,7 Dalla tavola B troviamo che P(z=-1,39)=0,41774; per cui la probabilità cercata è 0,5 0,41774 = 0, Analogamente calcoliamo le altre probabilità: 8

9 Pr155[[165\ AP NP] U :R U PrB ) 92 [;[ ) :2 3 3 CPrL155168,5 [; [ ,5 MPr1,39[;[0,36 9,7 9,7 Dalla tavola B troviamo che P(z=-1,39)=0,41774; mentre P(z=-0,36)=0,14058 per cui la probabilità cercata è 0, ,14058 = 0, Pr165[[175\ AP NP] U :R U PrB ) 92 [; [ ) :2 C PrL165168,5 [;[ ,5 MPr0,36[; [0, ,7 9,7 Dalla tavola B troviamo che P(z=-0,36)=0,14058; mentre P(z=0,69)=0,25175 per cui la probabilità cercata è 0, ,25175 = 0, NP] U Pr175[[185\ 3 28 AP :R U PrB ) 92 [;[ ) :2 C PrL175168,5[;[ ,5 MPr0,69[;[1, ,7 9,7 Dalla tavola B troviamo che P(z=0,69)=0,25175; mentre P(z=1,70)=0,45543 per cui la probabilità cercata è 0, ,25175 = 0, ^ 1 NP] U Pr185[[ \ 3 28 AP :R U PrB ) 92 [;[ C PrL ,5 [; [ MPr1,70[;[ 3 9,7 Dalla tavola B troviamo che P(z=1,70)=0,45543 per cui la probabilità cercata è 0,5-0,45543 = 0, Nella tabella seguente, riportiamo i dati utili per l esercizio Classi di statura Pr (X studenti) Valori teorici Valori osservati Fino a 155 0, , , , , , ,7 48 Oltre 185 0, ,9 17 Da notare che l adattamento della distribuzione Normale alla distribuzione data è piuttosto buono. Esercizio 4 Calcoliamo le medie e le varianze campionarie: ) 9 O` ìx9 ) 9* ,5 G 9 : ) 9*) 9 : 36,

10 ) : O U ìx9 ) :* : 5 29,2 G : : ) :*) : : 17,7 + : 1 a) Per poter supporre che le due varianze delle popolazioni siano ignote ma uguali, 3 9 : 3 : : 3 : dobbiamo effettuare un test di confronto tra varianze. Il sistema d ipotesi è : 3 : : : 3 : : Il test da utilizzare è a bù bu che rappresenta una v.c. F di Snedecor e Fisher con n 1-1 e n 2-1 gradi di U libertà, il cui risultato bisogna confrontarlo con il valore soglia dalla tavola della F in corrispondenza della colonna con 3 gdl e la riga con 4 gdl. Essendo il valore empirico a bù bu _, 2,03 abbondantemente inferiore al valore soglia U 9I,I F 3,4,001 =56,18, possiamo accettare tranquillamente l ipotesi nulla e quindi supporre che le due varianze siano uguali (omoschedasticità). b) Prima di effettuare il test sulle medie occorre stimare la varianza comune attraverso la media ponderata delle due varianze dei campioni: Quindi S = 5,05 c : c 9 : + 9 1c : : + : : , ,54 Il sistema d ipotesi è : : Trattandosi di piccoli campioni, la statistica test da adottare per verificare l ipotesi è F 9 : 26,529,2 G< ,05< 1 0,81 : Dalla tavola della T, in corrispondenza di 7 gradi di libertà e di un livello di significatività del 5%, troviamo i valori soglia 2,365 e + 2,365. Decisione: poiché il valore empirico è interno ai valori soglia, si accetta l ipotesi nulla. Tale decisione è supportata dal valore del p-value, il quale è compreso tra il 40 e il 50%. Non vi è differenza significativa di peso delle piante nei due appezzamenti. Esercizio 5 Si tratta di determinare l intervallo di confidenza della media con varianza ignota. La v.c. di riferimento è la T di Student con n-1 gradi di libertà, ma trattandosi di grande campione, possiamo tranquillamente fare riferimento alla v.c. normale standardizzata Preliminarmente calcoliamo la media e la varianza campionarie: ) ) * ; G: ) * ) : ,154 ;

11 G Y8578,15492,6 a) L intervallo cercato è G G d5) 1e > : + [2[) 1e > : + f1g d52101,645 92,6 [2 [2101,64592, f0,90 dh185,9[2[234,1i0,90 Con una probabilità pari al 90% l intervallo precedente potrebbe essere uno di quelli che contiene la media incognita. b) L intervallo cercato è G G d5) 1e > : + [2[) 1e > : + f1g d52101,960 92,6 [2 [2101,96092, f0,95 dh181,3[2[238,7i0,95 Con una probabilità pari al 95% l intervallo precedente potrebbe essere uno di quelli che contiene la media incognita. c) Il sistema d ipotesi è5 6 : :2 E250 Il test da utilizzare è ; ) 2 G ,73 > 92,6 + > 40 Dalla Tavola della curva normale standardizzata otteniamo: Pr(z=-2,73)=0,49683 per cui il p-value = 0,5 0,49683 = 0, Con un p-value così basso, dobbiamo rifiutare l ipotesi nulla. Rispetto alla spesa media sostenuta lo scorso anno, quella dell anno corrente sembra significativamente inferiore. 11

12 SIMULAZIONE III 1. In una catena di montaggio si eseguono due operazioni in sequenza. L'esito della prima non dipende da quello della seconda. Le probabilità che le operazioni riescano senza difetti sono rispettivamente 0.9 e 0.8. Calcolare la probabilità che: a) nessuna delle due operazioni riesca; b) almeno una delle due operazioni non riesca; c) riesca esattamente una delle due. 2. Un azienda deve verificare i propri ordini di vendita. Così vengono osservati n ordini presi a caso. Secondo l esperienza pregressa, la probabilità di avere un ordine errato è pari a 0,1. Come risulta comprensibile, gli esiti di osservazioni diverse non si influenzano ovvero sono indipendenti. Si calcoli: a) la probabilità di osservare 3 ordini errati su 4; b) la probabilità di osservare almeno 3 ordini errati su 4; c) la probabilità di osservare meno di 3 ordini errati su 4; 3. Un produttore di cosmetici ha 1500 venditori porta a porta, che mediamente nell ultimo mese hanno realizzato vendite per un valore pari a µ = 3100, con uno s.q.m. σ = 700. Se si estrae un campione di 36 venditori, qual è la probabilità che questo gruppo abbia realizzato nell ultimo mese a) Vendite per un valore inferiore a 3000 ; b) Vendite per un valore compreso tra 2900 e 3300 ; c) Vendite per un valore non inferiore a d) Come cambierebbero le probabilità se il campione fosse di 64 venditori. 4. Un ricercatore di mercato per una società di prodotti elettronici intende studiare il tempo che i residenti di una piccola città dedicano alla televisione. Si seleziona un campione di 50 intervistati e a ciascuno si chiede di registrare in maniera dettagliata quanto guardano la televisione durante una settimana. Si ottengono i seguenti risultati: - Tempo dedicato alla televisione in una settimana: ) 15,3 jda, G 3,8 jda - 25 intervistati guardano la televisione almeno 3 sere. Sulla base di questi risultati, si determini: a) un intervallo di confidenza al 95% per stimare il numero medio di ore dedicato alla televisione alla settimana in questa città; b) un intervallo di confidenza al 95% per stimare la percentuale di soggetti che guarda la televisione almeno per tre sere alla settimana. 5. Una banca deve fare in modo che i suoi bancomat contengano l ammontare di contante necessario per far fronte ai prelievi dei suoi clienti. Tuttavia, se viene immobilizzato un ammontare eccessivo di contante, la banca deve rinunciare a effettuare degli investimenti e a realizzare i relativi interessi. Supponete che l ammontare medio settimanale di denaro prelevato (per cliente) dal bancomat di una filiale sia uguale a 160 con uno scarto quadratico medio della popolazione uguale a 30. a) Specificate l ipotesi nulla e l ipotesi alternativa; b) Se, per un campione di 36 clienti, si osserva che la media campionaria dei prelievi è uguale a 172, si può concludere che la media dei prelievi non è uguale a 160? (usate un livello di significatività pari a 0,05); c) Come rispondereste al punto b) se lo scarto quadratico medio fosse uguale a 24? d) Calcolando il p-value cambia la decisione assunta nei punti b) e c)? 12

13 SOLUZIONI III Esercizio 1 Poniamo: R i = l'operazione i-esima riesce; a) Si deve calcolare R i = l'operazione i-esima non riesce. P( R ) 1 R2 Poiché gli eventi sono indipendenti avremo: P ( R1 R2) = P( R1) + ( R2) ma k * 1k * per cui: k 9 k : k 9 k : b) Dobbiamo calcolare la probabilità che non ne riesca almeno una, cioè: o non riesce una, o non riesce l'altra, o non riescono entrambe ossia: k 9 k : Soluzione 1 Per il teorema delle probabilità totali avremo che: k 9 k : k 9 k : k 9 k : c) Ne riesce solo una, o l'una o l'altra, in simboli: k 9 k : k 9 k : Soluzione 1 Per il teorema delle probabilità totali scriviamo k 9 k : k 9 k : k 9 k : per cui la probabilità cercata sarà: k 9 k : k 9 k : Esercizio 2 Per calcolare le probabilità richieste dobbiamo utilizzare la v.c. Binomiale la cui funzione di probabilità è Prp O N q8n 18 OPN π = 0,1; 1 π = 0,9; n = 4 a) Pr) 3B 4 3 C0,1 0,9 9 r,rrst b) Pr) K3Pr) 3d) 40,00360,0001r,rrsu vjwa d) 4B 4 4 C0,1 0,9 0,0001 c) Pr) E3 Pr) 0d) 1d) 20,65610,2916 0,0486r,xxts Esercizio 3 Si tratta di calcolare la probabilità che la media di un campione assuma un determinato valore. La distribuzione campionaria della media, essendo un campione di grandi dimensioni, secondo il teorema del limite centrale assume forma normale con y 2 A wzd 3: > +, per cui standardizzando abbiamo:; N P]. R > O 13

14 a) ) [3000 {1 [ P9 0,85 0,5 0,30234r,}xutt I > _ b) 2900[)[3300 { :.P9 2r,x}r~t I > _ [1[ P9 I > _ 1,71[1[1,710,45543 c) ) K2800 {1 K :?P9 2,57 r,r, x x r,xx x d) ca + 64,z ƒz j: I > _ e) ) [3000 {1 [ P9 1,14 0,5 0,37076r,} x I > _ a) 2900[)[3300 { :.P9 2r,xuu I > _ [1[ P9 I > _ 2,28[1[2,280,48870 b) ) K2800 {1 K :?P9 3,42 r,r, xxt~r,xxxt~ I > _ Esercizio 4 a) Si tratta di determinare l intervallo di confidenza della media con varianza ignota. La v.c. di riferimento è la T di Student con n-1 gradi di libertà, ma trattandosi di grande campione, possiamo tranquillamente fare riferimento alla v.c. normale standardizzata L intervallo cercato è G G d5) 1e > : + [2[) 1e > : + f1g d515,31,96 3,8 3,8 [2 [15,31, f0,95 dh14,25[2[16,36i0,95 Con una probabilità pari al 95% l intervallo precedente potrebbe essere uno di quelli che contiene la media incognita. b) Si tratta di determinare l intervallo di confidenza della percentuale. La v.c. di riferimento è la Binomiale, ma trattandosi di grande campione, per il teorema di DeMoivre-Laplace, possiamo fare riferimento alla v.c. normale standardizzata. L intervallo di confidenza della percentuale per grandi campioni è: 1g Pr =1e > =1= [8[=1e : > + =1= : + p=3/25=0,12 Pr 0,121,96 0,1210,12 50 [8[0,121,96 0,1210,12 0,95 50 d0,03[8[0,210,95 Con una probabilità pari al 95% l intervallo precedente potrebbe essere uno di quelli che contiene la percentuale incognita. 14

15 Esercizio 5 Si tratta della verifica d ipotesi per la media. Il sistema d ipotesi è a) 5 6 : :2 ˆ160 b) Il test da utilizzare è ; ) ,4 > 30 + > 36 Nella tavola della curva normale standardizzata in corrispondenza di α=0,05 il valore soglia è 1,645 (trattandosi di una verifica con l ipotesi alternativa unidirezionale destra, occorre considerare 2 volte α). Essendo il valore del test superiore al valore soglia, si rifiuta l ipotesi nulla, ovvero la media dei prelievi (172 ) è significativamente diverso dalla media supposta, per cui la banca dovrebbe aumentare l ammontare di contante nel bancomat. c) ; N P] / R 9I:P9_ : > > O _ 3 Questo risultato conferma ancora di più la decisione di rifiutare l ipotesi nulla. d) Il p-value nel caso c) è 0,0082, mentre nel caso c) è 0, In ambedue i casi la probabilità di commettere l errore di I tipo (rifiutare l ipotesi nulla mentre in realtà è vera) è così bassa per cui la decisione di rifiutare l ipotesi nulla risulta corretta. 15

16 SIMULAZIONE IV 1. Un investitore deve scegliere tra tre portafogli alternativi (A, B e C). Nella seguente tabella sono riassunti i profitti (in euro) stimati dei portafogli alternativi sotto tre diverse condizioni economiche: recessione, stabilità, espansione. Portafogli alternativi Evento A B C Recessione Stabilità Espansione Sulla base della sua esperienza l investitore assegna le seguenti probabilità a ciascuna situazione economica: Pr(recessione) = 0,30 Pr(stabilità) = 0,50 Pr(espansione) = 0,20 a) Determinare la migliore scelta di portafoglio dell investitore in base al valore atteso; b) Calcolare lo scarto quadratico medio per ciascuna scelta di portafoglio; c) Alla luce di questi ultimi risultati, quale portafoglio siete portati a suggerire all investitore? Perché? 2. Per i fast-food, la precisione nella registrazione degli ordini nel servizio di asporto in auto è un elemento di fondamentale importanza. Ogni mese, una rivista specializzata pubblica i risultati della sua indagine. La precisione delle ordinazioni viene misurata attraverso la percentuale di ordini compilati correttamente. Recentemente, la percentuale di ordini compilati correttamente nelle catene di un fast-food è stata approssimativamente del 91%. Se viene preso un campione di tre ordini. a) Quali sono la media e lo scarto quadratico medio della distribuzione relativi al numero di ordini compilati correttamente? b) Supponiamo che tre amici, in modo indipendente vadano al fast-food ed effettuino una ordinazione di asporto in auto, qual è la probabilità che gli ordini siano compilati correttamente? c) qual è la probabilità che nessuno degli ordini siano compilati correttamente? d) qual è la probabilità che almeno due degli ordini siano compilati correttamente? 3. La XYZ Resort è una catena di 5 alberghi esclusivi situati in 2 isole. In una delle due isole, la XYZ Resort possiede due alberghi, Levante e Ponente. Si è interessati a valutare il livello di soddisfazione della clientela, dal quale si può dire dipenda il futuro dell attività. Per questo motivo, il responsabile dei rapporti con i clienti decide di far compilare ai clienti un questionario di valutazione del servizio. In particolare, l attenzione è concentrata su una domanda: Hai intenzione di visitare di nuovo il nostro albergo? I risultati del questionario sono di 163 clienti disposti a ritornare su 227 nel primo albergo (Levante) e 154 su 262 nel secondo albergo (Ponente). Attraverso l interpretazione del p-value, si può affermare che esiste una differenza tra i livelli di soddisfazione nei due alberghi (misurata dall intenzione di tornare nell albergo)? 4. Di seguito sono riportati i dati relativi al costo del pernottamento in hotel e al costo dell affitto di un auto durante una settimana per 20 città italiane. 16

17 Città Hotel Auto Milano Torino Genova Firenze Aosta Trieste Verona Trento Venezia Modena Bologna Ancona Perugia Roma Napoli Bari Potenza Palermo Reggio Calabria Cagliari a) Costruire un intervallo di confidenza al 95% per il costo medio di pernottamento in Hotel; b) Costruire un intervallo di confidenza al 95% per il costo medio di affitto di un auto; 5. Nelle informazioni nutrizionali stampate su una lattina di 400 ml di una bibita dietetica, si afferma che vi sono soltanto 35 mg di sodio. Per affermare legittimamente ciò, si mantiene il contenuto di sodio nell acqua a µ = 34,5 mg. e σ = 0,24 mg. Durante i regolari controlli di qualità, si selezionano casualmente dieci lattine della linea di produzione e tra le altre analisi, se lo scarto quadratico medio del campione è significativamente maggiore (con α = 0,05) di 0,24 mg, la linea di produzione viene fermata e il dosaggio del processo viene riaggiustato. Effettuando il controllo si riscontra s = 0,29 mg, si determini se è necessario il riaggiustamento. SOLUZIONI IV Esercizio 1 a) E(X 1 ) = Σ x 1i p i = 0,30* ,50* ,20*2000 = 1050 E(X 2 ) = Σ x 2ipi = 0,30*(-2000) + 0,50* ,20*5000 = 1400 E(X 3 ) = Σ x 3i p i = 0,30*(-7000) + 0,50*8-1000) + 0,20*20000 = 1400 Considerando il valore atteso dei tre portafogli, il maggiore profitto si ottiene dai portafogli B e C. b) 3 9 < p) 9* y 9 q : = * 17

18 Y : 0, : 0, : 0,20522,02 3 : < p) :* y : q : = * Y : 0, : 0, : 0, ,99 3 < p) * y q : = * Y : 0, : 0, : 0, ,09 c) La variabilità calcolata mostra come i tre portafogli alternativi sono molto diversi. Per questo occorre distinguere gli investitori in: propensi, contrari o neutrali al rischio. L investitore con una bassa o nulla propensione al rischio dovrebbe scegliere il portafoglio A che, pur avendo un rendimento assai minore rispetto agli altri, presenta una variabilità contenuta. Il contrario avviene per i portafogli B e C che hanno un rendimento atteso più alto ma con una variabilità elevata e quindi con un rischio più forte, soprattutto per il portafoglio C. Esercizio 2 La v.c. da utilizzare è la Binomiale la cui funzione di probabilità è Prp O N q8n 18 OPN π = 0,91; 1 π = 0,09; n = 3 a) 2 y30,91,us; 3 Y zdy+818y30,910,09r, xu b) Pr 3dp q0,91 0,09!!P! 0,91 r,ust c) Pr 0dp q0,91 0,09!!P! 0,09 r,rrru d) Pr K2Pr 2Pr 30,22360,7536r,xuu dove Pr 2dp : q0,91: 0,09 9!!P:! 0,91: 0,09 9 0,2236 Esercizio 3 Si tratta di un confronto tra due proporzioni. Il sistema d ipotesi è Il test è 5 6 :8 9 8 : 6 9 :8 9 8 : = 9 = : ; <=1=B 1 1 C : dove e Abbiamo, quindi: = ,718 = : ,588 = 9 : : ,648 0,718 0,588 ; <0,64810,648B , C 18

19 Il p-value quando Z=3,01 è pari a 0, Questo indica che se H 0 fosse vera (cioè se le due proporzioni fossero uguali tra loro), la probabilità che la realizzazione della statistica Z sia inferiore a -3,01 è pari a 0,00131, e la probabilità di osservare una statistica Z maggiore di +3,01 è di 0,00131 (ricordiamo che quando il test è a due code o bidirezionale, il p-value si ottiene sommando le due probabilità ottenute 0,00131*2=0,00262). In altre parole, essendo il p-value molto basso (inferiore al 0,2%) bisogna rifiutare l ipotesi nulla: esiste una differenza significativa tra le due proporzioni e, quindi, tra i livelli di soddisfazione dei clienti nei due hotel; la proporzione di clienti soddisfatti del Levante è maggiore della proporzione di clienti soddisfatti nel Ponente. Esercizio 4 a) Calcoliamo la media e la varianza campionarie delle spese di pernottamento: ) O ìx9 ) * ,4 G: ) *) : 37236,8 1959, La v.c. di riferimento è la T di Studenti con 19 gradi di libertà, la quale con un livello di confidenza del 95% presenta i valori -2,093 e +2,093. L intervallo cercato è G G PrL) Še :,OP9 + [2[) Še :,OP9 + M1g PrL182,42,093 44,27 20 [2[182,42,09344,27 20 M0,95 d161,68[2[203,120,95 b) Calcoliamo la media e la varianza campionarie del costo d affitto dell auto: ) O ìx9 ) * G: ) *) : ,53 La v.c. di riferimento è la T di Studenti con 19 gradi di libertà, la quale con un livello di confidenza del 95% presenta i valori -2,093 e +2,093. L intervallo cercato è G G PrL) Še :,OP9 + [2[) Še :,OP9 + M1g PrL452,093 10,03 20 [2[452,09310,03 20 M0,95 d40,31[2[49,690,95 Esercizio 5 Si tratta di una verifica d ipotesi sulla varianza: d) Il sistema d ipotesi è5 6 :3 : 0,24 : 6 9 :3 : ˆ0,24 : Il test da utilizzare è 19

20 : +1G: 3 : 1010,29: 0,24 : 13,14 Dalla Tavola della vc. χ 2 in corrispondenza di 9 gradi di libertà e α=0,05 (ipotesi alternativa unidirezionale destra) il valore soglia è 16,92. Per cui si accetta l ipotesi nulla in quanto il valore del test è inferiore al valore soglia. Non c è alcuna evidenza empirica ad un livello di significatività di 0,05 che lo scarto quadratico medio campionario sia maggiore di quello richiesto. Quindi non è necessario alcun aggiustamento del processo di produzione. 20

21 SIMULAZIONE V a) Un azienda produce DVD che hanno probabilità 0,02 di essere difettosi, indipendentemente l uno dall altro. La confezione di vendita contiene 20 pezzi presi a caso dalla produzione totale. La garanzia afferma che se è presente più di un pezzo difettoso la scatola verrà restituita. a. Che percentuale di confezioni si prevede ritornerà? b. Se compro 5 confezioni con che probabilità ne dovrò restituire una? c. Qual è la probabilità che in tutte le confezioni non ci siano DVD difettosi? d. Se ne compro 10 con che probabilità ne dovrò restituire una? b) Ad una prova di concorso, il voto medio dei partecipanti è stato di 72 e lo scarto quadratico medio 9. I voti si distribuiscono secondo la legge normale. Calcolate la probabilità che: a) Un partecipante abbia conseguito una voto minore di 65; b) Un partecipante abbia conseguito un voto compreso tra 65 e 75; c) Un partecipante abbia conseguito un voto non minore di 70; d) Considerando che il migliore 10% dei partecipanti sarà promosso, qual è il voto minimo che un partecipante deve ottenere per superare la prova? c) In un fabbrica di generi alimentari, si vuol determinare il valore medio di grasso totale (in grammi) in una confezione regolare di patatine. Si analizza un campione di 51 sacchetti e si ottengono i seguenti risultati :) 18.2Œ G : 0.56Œ :. Assumendo che la popolazione di tali misurazioni sia distribuita normalmente, si determini: a) L intervallo di confidenza della media con un livello di confidenza pari a 0,90; b) L intervallo di confidenza della varianza con un livello d confidenza pari a 0,90. d) Nel passato una macchina ha prodotto rondelle aventi uno spessore di 0,127 cm. Per determinare se la macchina è a punto, viene estratto un campione di rondelle che fornisce i seguenti dati: 0,140 0,126 0,140 0,138 0,126 0,138 0,139 0,138 0,140 0,125 Provate l ipotesi che la macchina sia a punto usando un livello di significatività dell 1%. Sulla base della decisione assunta, quale tipo di errore si può commettere? e) Una società che produce batterie è interessata al confronto tra performance di due diverse batterie per cellulari, una batteria Nickel-Cadmium e una batteria Nickel-Metal Hydride. Queste batterie vengono testate su cellulari della stessa marca, e si valuta per ciascuna il tempo di carica. Nickel-Cadmium Nickel-Metal Hydride 54,5 71,0 67,0 78,3 103,0 79,8 67,8 41,7 56,7 95,4 81,3 91,1 64,5 69,7 86,8 69,4 46,4 82,8 70,4 75,4 74,9 87,3 82,3 71,8 72,5 81,0 76,9 62,5 83,2 77,5 64,9 40,8 104,4 85,0 85,3 74,3 83,3 90,4 82,0 85,3 85,5 86,1 72,8 71,8 58,7 72,1 112,3 74,1 72,2 74,4 77,9 41,1 77,5 71,0 68,8 66,6 65,8 66,4 88,9 59,6 a) Assumendo che le due popolazioni abbiano la stessa varianza, si può affermare che esiste una differenza nei tempi medi di carica dei due tipi di batterie (α = 0,05); 21

22 b) Calcolare il p-value e interpretare il valore. Esercizio 1. SOLUZIONI V Il numero dei pezzi difettosi in una scatola di 20 DVD, segue la distribuzione Binomiale con 8 0,02: PrB + ) C8N 18 OPN Così abbiamo: a) P(X>1) = 1 P(X=0) P(X=1) = 1 :!!:P! 0,02 10,02 :P :! 9!:P9! 0,029 10,02 :P9 0,06 b) Ogni scatola viene resa con probabilità pari a circa 0,06. Allora se compriamo 5 scatole la probabilità di renderne una sarà: Pr 1 L 5 1 M0,069 0,234 c) La probabilità che in tutte le scatole non ci siano DVD difettosi è: Pr 0 L 5 0 M0,06 0,733 d) Su 10 confezioni la probabilità di restituirne una è: Esercizio 2. a) ) [65 B1 [ b) 65[) [75 B Pr 1 L 10 1 M0,069 10,06 9P9 0,348 0,78C0,5 0,28230r, }uu [1[ C0,78[1[0,330,282300, r, }}t c) ) K70 B1 K IPI:. 0,22C0,50,0878r,~u~ d) Bisogna calcolare la votazione che individua l ultimo 10% della distribuzione. Dalla tavola della curva normale standardizzata occorre trovare il valore di z quando la Pr=0,40: 1 1,285 =Ad Žƒ ) , ,565~ 22

23 Esercizio 3. a) Si tratta di determinare l intervallo di confidenza della media con varianza ignota. La v.c. di riferimento è la T di Student con n-1 gradi di libertà; ma, trattandosi di grande campione, possiamo fare riferimento alla curva normale standardizzata. L intervallo cercato è: G G d5) 1e > : + [2[) 1e > : + f1g d 18,21,645 Y0,56 51 dh18,03[2[18,37i0,90 [2 [18,21,645Y0, ,90 Con una probabilità pari al 90% l intervallo precedente potrebbe essere uno di quelli che contiene la media incognita. b) Si tratta di determinare l intervallo di confidenza della varianza con media ignota. La v.c. di riferimento è la : con n-1 gradi di libertà. L intervallo cercato è d G: +1 OP9,e/: : [3 : [ G: +1 : 1g OP9,9P e : d5 0, ,505 [3: [ 0, ,764 f0,90 dh0,41[3 : [0,81i0,90 Con una probabilità pari al 90% l intervallo precedente potrebbe essere uno di quelli che contiene la varianza incognita. Esercizio 4. Si tratta della verifica d ipotesi per la media. Il sistema d ipotesi è a) Il test da utilizzare è 5 6 : :2 2 F ) 2 G > + Preliminarmente occorre stimare la media e la varianza campionarie: 23

24 ) ) * + 1, ,135 ; G: ) * ) : 0, , ;G 0, F ) 2 G 0,1350,127 3,88 > 0, Dalla tavola della T di Student in corrispondenza di 9 gradi di libertà e di α=0,01 troviamo i valori soglia -3,25 e +3,25; per cui, essendo il valore del test maggiore del valore soglia di destra, possiamo rifiutare l ipotesi nulla, ovvero sarebbe consigliabile registrare la macchina, o almeno estrarre un altro campione. Possiamo commettere un errore di I tipo ovvero rifiutare l ipotesi nulla mentre in realtà è vera. Esercizio 5. Il sistema d ipotesi è H H 0 1 : µ = µ 1 : µ µ Calcoliamo le medie e le varianze campionarie: ) 9 O` ìx9 ) 9* 70,9 G : + 9 ) 9*) 9 : 165, ) : O U ìx9 ) :* 78,5 G : + : ) :*) : : 210,3 : + : 1 x1 x 2 70,9 78,5 La statistica test è Z = = = 2, S 187, n n ( x1 i x1) + ( x2i x2 ) 2 ( n1 1) S1 + ( n2 1) S 2 i= 1 i= 1 165,8(29) + 210,3(29) Dove S = = = = 187, 69 n + n 2 n + n n1 1 La statistica, se è vera H 0, si distribuisce approssimativamente come una t di Student con n 1 +n 2-2 gradi di libertà. La t di Student in questo caso (grande campione) può essere approssimata ad una normale standardizzata. Quando α = 0,05 z è compreso tra -1,96 e +1,96, per cui rifiuto H 0. Il P value è = 0, = 0, Questo risultato ci suggerisce di rifiutare l ipotesi nulla, in quanto la probabilità di sbagliare (commettere l errore di prima specie) è di poco superiore all 1,5%; quindi possiamo afferma che i due tipi di batteria hanno una durata media diversa. n2 2 24

25 SIMULAZIONE VI 1) Si consideri la variabile casuale doppia (X,Y) con funzione di probabilità congiunta riportata nella seguente tabella: X Y totale ,1 0,05 0, ,05 0,2 0, ,2 0,25 a. Calcolare E(X), E(Y), Var(X), Var(Y) e Cov(X,Y). b. Calcolare E(X/Y=4); c. Considerando la v.c. combinazione lineare Z = 2X + 3Y, calcolare E(Z) e Var(Z). 2) Nelle vendite per telefono si utilizza un sistema di chiamata casuale per contattare i numeri dell elenco telefonico. Una società per le interviste telefoniche riporta che la probabilità di trovare qualcuno a casa effettuando una telefonata sia pari a 0,2. Le chiamate sono indipendenti. Un venditore decide di effettuare cinque chiamate. a) Qual è la probabilità che non riesca a trovare nessuno? b) Qual è la probabilità che riesca a trovare esattamente 2 persone? c) Qual è la probabilità che riesca a trovare non meno di 2 persone? d) Quando vengono effettuate delle chiamate nella città di Bari, la probabilità di trovare qualcuno è soltanto 0,08. Qual è la probabilità che, facendo le cinque chiamate a Bari, non si riesca a contattare nessuno? 3) La distribuzione dei rendimenti annuali delle azioni è approssimativamente simmetrica e vicina ad una distribuzione normale, con un rendimento medio annuo pari al 13% e deviazione standard circa pari al 17%. a) Qual è la probabilità che il rendimento medio annuo delle azioni per i prossimi anni sia superiore al 15%? b) Qual è la probabilità che sia inferiore al 10%? c) Qual è la probabilità che sia compreso tra l 11% e il 15%? d) Qual è la probabilità che sia non inferiore al 12%? 4) I produttori di bevande cercano nuove soluzioni per evitare che le bibite perdano dolcezza durante la conservazione. Ci sono dei degustatori appositamente addestrati per verificare i livelli di dolcezza prima dell apertura e dopo un periodo di conservazione. Di seguito riportiamo le perdite di dolcezza secondo 10 degustatori: 2,0 0,4 0,7 2,0-0,4 2,2-1,3 1,2 1,1 2,3 Questi dati evidenziano una reale perdita di dolcezza? (Suggerimento: il P-value ti consentirà di rispondere a questo quesito). 25

26 5) Una macchina dovrebbe produrre pezzi il cui peso nominale è di 50g e con una varianza pari a 9,8g 2. Sono stati scelti casualmente nella produzione di un particolare giorno 16 pezzi, i cui pesi sono i seguenti: Sapendo che gli scostamenti dei pesi effettivi dal peso medio si distribuiscono normalmente, dire se la macchina in questione è stata ben tarata, sia per quanto riguarda il peso medio che la varianza a livello di significatività del 5%. Esercizio 1 SOLUZIONI VI a) E(X) = 1*0,2+3*0,35+5*0,45=3,5 E(Y) = 1*0,15+2*0,25+4*0,35+6*0,25=3,55 Var(X) = (1-3,5) 2 *0,2+(3-3,5) 2 *0,35+(5-3,5) 2 *0,45=2,35 Var(Y) = (1-3,55) 2 *0,15+(2-3,55) 2 *0,25+(4-3,55) 2 *0,35+(6-3,55) 2 *0,25=3,147 Cov(X,Y) = E(XY)-E(X)*E(Y)= 1*1*0,1+1*3*0,05+2*1*0,05+2*3*0,2+4*1*0,05+4*3*0,1+4*5*0,2+6*5*0,25)-3,5*3,55=2,025 b) E(X/Y=4) = (1*0,05+3*0,1+5*0,2)/0,35=3,857 c) E(Z) = E(2X+3Y) = E(2X) + E(3Y) = 2E(X) +3E(Y) = 2*3,5+3*3,55=17,65 Var(Z) = Var(2X+3Y) = Var(2X) + Var(3Y) = 2 2 Var(X) Var(Y) = 4*2,35 + 9*3,147 = 37,723 Esercizio 2 La funzione di probabilità della v.c. Binomiale è Prp O N q8n 18 OPN π = 0,2; 1 π = 0,8; n = 5 a) Pr0B 5 0 C0,2 r,s ut~ b) Pr2B 5 2 C0,2: 0,8 r, r ~ c) Pr K21 PrX0PrX1 1 0,327680,4096 r, t u Dove Pr(X=1) = B 5 1 C0,29 0,8 0,4096 d) π = 0,08 1 π = 0,92; n = 5 Pr0B 5 0 C0,08 r,txr Esercizio 3 a) d) ˆ15dB1 ˆ 9I Cd1ˆ0,11764= 0,50,120,50,0478r,. 26

27 b) d) E10dB1 E 9P9 9I Cd1E0, ,50,180,50,0714r, ~t c) d11e)e15db 99P9 9I 0, r,rxr d) d) ˆ12dB1 ˆ 9:P9 9I Cd1ˆ0,058= 0,50,050,50,01994r,}xx Esercizio 4 Il sistema d ipotesi è La statistica test è E1E 9I Cd0,12E1E0,12 H H 0 1 : µ = 0 : µ 0 x =1,02 s 2 =1,1969 T = x µ 0 s n 1,02 0 = 1, = 2,70 Il P-value per t=2,70 è l area che sta a destra di tale valore della curva della distribuzione T di student con 9 gdl. Non è possibile trovare il valore P esatto, tuttavia è possibile trovare i due valori vicini tra loro tali che il P-value sia al loro interno. Infatti: α = 0,05 => t = 2,262 α = 0,02 => t = 2,821 Per cui il P associato a t=2,70 è compreso tra 5% e il 2%. In definitiva possiamo affermare che se dovessimo rifiutare l ipotesi nulla potremmo commettere un errore di I tipo inferiore al 5% e poco superiore al 2%. Possiamo quindi dire che c è una forte evidenza di perdita di dolcezza. Esercizio 5 Il sistema d ipotesi è Occorre preliminarmente calcolare sia la media che lo scarto quadratico medio campionario: 27

28 ) O ìx9 ) * u,~ G ) *) : 164,44 Y11, Quindi S = 3,3 Dato che il tempo X si distribuisce normalmente con σ ignoto, la statistica test da adottare per verificare l ipotesi è F 2 G 47,850 2,64 > 3,3 + > 16 La distribuzione T di Student in corrispondenza di 15 g.d.l. con α=0,05 presenta i valori soglia -2,13 e +2,13. Essendo -2,64 < -2,13 rifiutiamo l ipotesi nulla, ovvero possiamo affermare che la macchina non è ben tarata, con una probabilità di errore (I tipo) inferiore al 5%. (Il p-value calcolato con Excel è 0,018558; quindi la probabilità di errore è inferiore al 2%). Svolgiamo ora la verifica d ipotesi sulla varianza: Il sistema d ipotesi è5 6 :3 : 9,8 6 9 :3 : ˆ9,8 Il test da utilizzare è : +1G: : ,8 3 9,8 Dalla Tavola della vc. χ 2 in corrispondenza di 15 gradi di libertà e α=0,05 (ipotesi alternativa unidirezionale destra) il valore soglia è 24,996. Per cui si accetta l ipotesi nulla in quanto il valore del test è inferiore al valore soglia. Non c è alcuna evidenza empirica ad un livello di significatività di 0,05 che lo scarto quadratico medio campionario sia maggiore di quello richiesto. Dal punto di vista della variabilità non è necessario alcun aggiustamento del processo di produzione. 28

29 SIMULAZIONE VII 1. In una scarpiera ci sono 9 scarpe, di cui 2 scarpe sinistre e 7 scarpe destre. CalcolAre la probabilità che: a) Estratte casualmente due scarpe senza reimmissione, siano entrambe destre; b) Estratte casualmente due scarpe con reimmissione, siano entrambe destre; c) Estratte casualmente due scarpe senza reimmissione, una sia destra e l altra sinistra; d) Estratte casualmente tre scarpe senza reimmissione, siano tutte e tre sinistre; e) Estratte casualmente tre scarpe con reimmissione, siano tutte e tre sinistre; 2. Se il 3% delle lampadine prodotte da una fabbrica è difettoso, trovate la probabilità che, in un campione di 100 lampadine: a. 0 lampadine siano difettose; b. Al massimo 2 lampadine siano difettose; c. Almeno 4 lampadine siano difettose; d. Tra 1 e 3 lampadine siano difettose; e. Determinare la media e la varianza della distribuzione delle lampadine difettose. 3. Supponete che il tempo necessario per ristrutturare un appartamento di 200 metri quadrati da parte di una società di costruzioni sia distribuito secondo la legge normale con µ = 40 ore e con uno s.q.m. σ = 5 ore. Calcolate: a) La probabilità che la ristrutturazione sia completata in meno di 35 ore; b) La probabilità che la ristrutturazione duri tra le 28 e 32 ore; c) La probabilità che la ristrutturazione duri tra le 35 e 48 ore; d) Il primo 20% dei progetti richiede un numero di ore pari almeno a?; e) Cosa succede ai punti precedenti se σ = 10 ore. 4. Per le prossime elezioni c è un nuovo candidato alla carica di presidente. Egli chiede ad una società di sondaggi di opinione di condurre un sondaggio telefonico casuale su base nazionale per determinare la percentuale di potenziali elettori che voterebbero per lui invece che per il presidente in carica. A conclusione del sondaggio, la società ottiene i seguenti risultati: voterebbero per il nuovo candidato; per il presidente in carica; sono ancora indecisi. Sulla base di questi risultati, a) si determini un intervallo di confidenza al 95% per la percentuale della popolazione dei potenziali elettori per il nuovo candidato; b) considerando che per vincere le elezioni è necessario almeno ottenere il 40% dei consensi, verificare la possibilità del nuovo candidato di essere eletto sulla base dei sicuri elettori del campione. 5. Un azienda che fornisce energia elettrica è interessata a confrontare il consumo in elettricità nella stagione estiva nelle casi uni-familiari di due province. Estratto un campione di case per ciascuna provincia, si osservano i seguenti risultati: 29

30 Provincia 1 Provincia s n a. Si può affermare che la spesa media nella seconda provincia è maggiore di 80, al livello dell 1%? b. I dati evidenziano l esistenza di una differenza fra le varianze delle spese nelle due province al livello del 1%? c. I dati evidenziano che le spese medie mensili sono maggiori nella prima provincia al livello del 1%? Esercizio 1 a) Pr(2 scarpe destre)= Ị š _? 0,5833 b) Pr(2 scarpe destre)= Ị š I? 0,6049 SOLUZIONI VII c) Pr(1 destra e 1 sinistra)= Ị š :? :. š I? 0,3889 d) Pr(3 sinistre)=0 e) Pr(3 sinistre)= :. š :. š :. 0,011 Esercizio 2 Trattasi di applicazione della v.c. binomiale, ma considerando che n è grande e p piccolo, possiamo applicare la distribuzione di Poisson, la cui funzione di probabilità è: )A P! λ=n*p = 0,03*100 = 3, abbiamo: N! P / a) 0A 0,049! : P! N! b) P(x 2) = NXA 0,416 0A P/! 0,049 1A P` 9! 0,147 P U 2A 0,220 :! c) P(x 4) = 1 - NXA P! 0,364 N! 0A P/! 0,049 1A P` 9! 0,147 30

31 P U 2A 0,220 :! 3A P! 0,220 d) 1[)[3 NX9A P! 0,587 N! 1A P` 0,147 9! P U 2A 0,220 :! e) µ = σ 2 = λ = 3 Esercizio 3 3A P! 0,220 La funzione di densità della v.c. normale è œ) 9!#T U R :S AP UV U µ = 40 e σ = 5 a. ) [35 B1 1C0,5 b. 28[)[32 B 0, ,44520r,r tt [1[ :P c. 35[)[48 0, ,44520r,u~t d. ; NP] ; ) μ13; P(0,30) z = 1,285 R e. x = 40 0,845*5 = 35,775 ore Con l aumentare di σ, la curva si appiattisce per cui la probabilità in corrispondenza dei valori centrali diminuisce, mentre quella delle code aumenta: a) 0,308; b) 0,097; c) 0,4796; d) 31,55 Esercizio 4 a) L intervallo di confidenza della percentuale per grandi campioni è: n= =1068 Quindi: 1g Pr =1 e =1= + = ,36 0,95Pr 0,361,96 0,36 0, [8[=1 e =1= + r,xžÿr,ss[ [r,sx [8[0,361,96 0,36 0,

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