CAPITOLO 1 PROPRIETÀ FISICHE DEI FLUIDI

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1 CAPITOLO POPIETÀ FISICHE DEI FLUIDI - ICHIAMI TEOICI - PAAMETI DI STATO - TASFOMAZIONI - COMPESSIBILITÀ 4- ISCOSITÀ Eecizi caitolo - ag i

2 - ICHIAMI TEOICI Maa La aa di u coo, eea i [kg], aeeta ua ua caatteitica iaiate, e o i eificao tafoazioi a liello icocoico atoico, che aue o u aetto di tio "ieziale" quado coae ella ecoda legge della diaica o u aetto di tio "gaitazioale" quado iece coae ella legge di gaitazioe uieale di Newto Maa oluica o deità di aa o deità Pe defiizioe la aa oluica o deità di aa o deità è data da d d kg doe d è la aa ifiiteia i [kg] coea el olue ifiiteio d i [ ] Itegata e aloi cotati, la elazioe ecedete dieta olue ecifico Pe defiizioe il olue ecifico è dato da kg () kg () Data l'iaiabilità della aa, la deiata del olue ecifico dieta e quidi d d d d d d d d d () Peo Pe defiizioe il eo G è dato da [ N] G g (4) doe g è l'acceleazioe di gaità i [/ ] Peo ecifico Pe defiizioe il eo ecifico γ, ediate le () e (4), è dato da γ G g g N () Teeatua Pe defiizioe la teeatua aeeta u idice dell'eegia cietica edia delle aticelle di u coo Se co [K], [], [ C], [ F] egoo aeetate iettiaete le uità di iua delle cale aolute Keli e akie e delle cale elatie cetigada e Faheheit, i hao le leggi di tafoazioe egueti T ( K) T( C) + 7, T( C) T( K) 7 (6) ( F) T T ( C), T( F) 8 T( C) + ; (7) 8 ( ) Peioe Pe defiizioe la eioe è data da T T ( K), T( ) 8 T( K) (8) 8 Eecizi caitolo - ag ii

3 df N Pa ds doe df i [N] è la foza ifiiteia che agice ull'aea ifiiteia ds i [ ] eedicolae alla etta d'azioe della foza Itegata e aloi cotati, la elazioe ecedete dieta F N Pa S (9) Equazioe di tato dei ga L'equazioe che lega i aaeti di tato di u ga è data da T T T T () doe è il olue ecifico olae i [ /ole], è la cotate caatteitica uieale dei ga i [J/(oleK)] e è la cotate caatteitica dei ga ifeita all'uità di aa i [J/(kgK)] Caloi ecifici ei ga La cotate caatteitica dei ga, ifeita all'uità di aa, aeeta la diffeeza fa i caloi ecifici a eioe e a olue cotate J c c () kg K ete il aoto fa i caloi ecifici a eioe e a olue cotati aeeta l'eoete della tafoazioe adiabatica γ c c γ () Tafoazioi teodiaiche Pe u ga efetto la legge delle tafoazioi è data da cot () doe l'eoete ale: - e la tafoazioe iobaa (a eioe cotate), - e la tafoazioe iotea (a teeatua cotate), - e la tafoazioe iocoa (a olue cotate), - e la tafoazioe geeica olitoica, - cao aticolae γ: tafoazioe adiabatica (eza cabio di caloe co l'eteo) Facedo icoo all'equazioe di tato dei ga () i hao le egueti leggi - tafoazioe iobaa T cot (4) - tafoazioe iotea cot () - tafoazioe iocoa T - cot (6) - tafoazioe olitoica Coeibilità La legge di coeibilità è data da d κ d + β dt cot - T cot T ( -) / cot (7) (8) (9) doe κ è il coefficiete di coeibilità iotea i [/Pa] e β è il coefficiete di dilatazioe oluetica i [/K] Sotituedo la () ella elazioe ecedete i ottiee d d d κ d + β dt () Eecizi caitolo - ag iii

4 e itegado la (), co aloi edi dei due coefficieti κ e di β, i ottiee l ( ) + β ( T ) l l κ T () Coeibilità iotea La legge della coeibilità iotea iee icaata dalla () tacuado il teie co la teeatua d d d d κ d () E doe E, ecioco di κ, è il odulo di elaticità oluetico i [Pa] Itegado la () i ottiee l l l κ E ( ) ( ) l l + l κ κ κ () + E l E l E l elocità del uoo Pe defiizioe la elocità del uoo c è la elocità co cui all'iteo di u coo i oagao le etubazioi E c κ (4) doe κ è il coefficiete di coeibilità iotea; el cao di ga efetto i ha tafoazioe iotea ( ) c T () tafoazioe adiabatica ( γ) c γ γ T (6) icoità Pe defiizioe la icoità "diaica" µ è data dalla legge di Newto df µ du ds dy σyx du dy N kg (7) doe σ yx è la teioe tageziale giacete ul iao (x-z) eedicolae alla y e dietta lugo la x, du/dy è il gadiete lugo la y della elocità lugo la x i [/], df è la foza che geea la teioe tageziale i [N] e ds è la ueficie del iao (x-z) u cui la foza è eecitata i [ ] Pe defiizioe la icoità "cieatica" ν è data da µ ν (8) doe è la aa oluica i [kg/ ] Fluidi o - ewtoiai La legge di Newto iee odificata el odo eguete σ yx - du du du du N k k η (9) dy dy dy dy doe k è detto idice di coiteza, idice caatteitico del fluido e η icoità aaete I fluidi ewtoiai hao k µ e ; ete i fluidi o - ewtoiai, e <, egoo detti "eudolatici" e, e >, egoo detti "dilatati" Eecizi caitolo - ag i

5 - PAAMETI DI STATO Eecizio U fluido ha ua aa 74 kg ed occua u olue 9 liti Calcolae: a) la aa oluica o deità ; b) il olue ecifico a) Dalla defiizioe di aa oluica, o deità, () i ha 74 kg kg b) Dalla defiizioe di olue ecifico () i ha 9 oue 8 kg 74 kg - Eecizio Calcolae il olue ecifico dell'aia i codizioi oali (cioè a ba e T C) Dalla defiizioe di olue ecifico () e dalla tab T, i cui iee letto il aloe della aa oluica, i ha kg Eecizio La legge co cui aia l'acceleazioe di gaità co l'altezza è data da g g + h doe g 9866 / è l'acceleazioe di ifeieto al liello del ae, 67 k è il aggio edio teete e h è l'altezza oa il liello del ae Calcolae la aiazioe ecetuale dell'acceleazioe di gaità all'altezza h k Dalla legge ecedete i ha g g g % g g + h 67 + Eecizio 4 U fluido ha ua aa kg ed occua u olue 6 Calcolae: a) la aa oluica ; b) il eo ecifico γ a) Dalla defiizioe di aa oluica () i ha b) Dalla defiizioe di eo ecifico () i ha kg 8 6 N g Eecizio U uoo ha ua aa 8 kg Calcolae il uo eo G Dalla defiizioe di eo (4) i ha G g N Eecizi caitolo - ag

6 Eecizio 6 U uoo ulla Tea ha u eo G Tea 78 N Calcolae il uo eo u Mate G Mate, doe l'acceleazioe di gaità è g Mate 74 / Sui due Piaeti l'iteità del cao gaitazioale aia e effetto della legge di gaitazioe uieale, a la aa dell'uoo iae la tea Dalla defiizioe di eo (4) i ha GTea 78 8 kg G Mate gmate N g 9866 Tea Eecizio 7 U uoo di aa 8 kg è ottooto ad ua deceleazioe a g Calcolae la foza totale F agete u di eo La foza è data dalla ecoda legge della diaica F a g N Eecizio 8 U fluido ha u eo G 4 N ed occua u olue liti Calcolae il olue ecifico Dalla defiizioe di eo ecifico () i ha γ G 4 - N 8 e dalla defiizioe di olue ecifico () i ha γ g kg kg Eecizio 9 U olue di aia i toa alla teeatua T C Calcolae: a) la aa ; b) il eo G Dalla tab T, iteolado i aloi della aa oluica fa C e 4 C, i ha e dalla defiizioe di eo ecifico () i ha kg 6 N γ g a) Dalla defiizioe di aa oluica () i ha 6 6 kg b) Dalla defiizioe di eo (4), oue di eo ecifico (), i ha iettiaete g G 4 N γ 4 Eecizio U olue iiziale di aia iee otato, e coeioe, ad u aloe fiale 4 Calcolae le aiazioi ecetuali: a) del olue ecifico /; b) della aa oluica / Dalla elazioe (), aado da quatità ifiiteie a quatità fiite, i ottegoo le aiazioi ecetuali: Eecizi caitolo - ag i

7 a) del olue ecifico 4 % ; b) della aa oluica % Dato che la aa iae iaiata e il olue diiuice, il olue ecifico cala e la aa oluica cece Eecizio Calcolae la teeatua alla quale le cale cetigada e Faheheit hao lo teo aloe ueico Dalla legge di tafoazioe (7) i ha T 8 T + ( 8 ) T T 4 8 Eecizio Calcolae la teeatua coiodete a T C elle cale Keli, Faheheit e akie I bae alle leggi di tafoazioe (6), (7) e (8), i uò dedue che l'iteallo di teeatua fa i aloi di ifeieto della cala cetigada è diio i ati elle cale Celiu e aoluta e i 8 ati i quelle Faheheit e akie Nella figua è iualizzato quato aiee e le quatto cale ell'iteallo di teeatua fa C e C C K F Le iote alla doada oo quidi: T ( K) T( C) K ; ( F) 8 T( C) F ; ( ) 8 T( K) 8 [ T( C) + 7] 8 [ + 7] T T Eecizio All'iteo del "Paul Getty Mueu" di Lo Agele u teoeto ega la teeatua T 86 F Calcolae la teeatua i gadi cetigadi Dalla legge di tafoazioe (7) i ha ( F) T 86 T ( C) C 8 8 Eecizio 4 Ua foza F N agice u ua ueficie S d Calcolae la eioe edia Eecizi caitolo - ag ii

8 Dalla defiizioe di eioe edia (9) i ha F 4 Pa 4 ba 4 ba - S Ai fa, quado ea acoa utilizzato il itea atico (SP), la eioe eia iuata ache co alte uità: e eeio i cao eteoologico l'at, atofea eteoologica, coiodete alla eioe eecitata da ua coloa di ecuio alta 76 e i cao tecico l'ata, atofea aoluta, coiodete alla eioe eecitata da ua coloa d'acqua alta (edi caitolo - teoia) Nella tabella egoo iotati alcui fattoi di coeioe, tatti dalla tab C, fa le uità di iua dei due itei uità Pa ba at ata Pa ba at 7 ata La eioe ia deteiata aebbe auto ache i aloi egueti 4 ba at 4 ba ata Eecizio Su ua lata etallica aete ua ueficie S iee eecitata ua eioe ba Calcolae la foza totale F Dalla defiizioe di eioe (9) i ha F S N I cete alicazioi eccaiche la diffeeza di eioe ta le due facce di ua aete etallica uò aggiugee aloi ache eleati (i ei e eeio ad u baticafo ieo elle ofodità della foa delle Maiae oue ai cooeti di u iiato di iiezioe di u otoe a cobutioe itea ad acceioe otaea) e quidi uò dae oigie a foze ed a teioi itee el ateiale di etità oteole Eecizio 6 U cilido, coteete u ga alla eioe ba, oiede uo tatuffo di diaeto D Calcolae la foza F eete ullo tatuffo Dalla defiizioe di eioe (9) i ha D F S 4 - ( ) 7 N 7 kn Foze coì eleate iogoo olta attezioe el dieioaeto tuttuale dei cooeti eccaici ottooti ad alta eioe itea, i coiddetti eciieti i eioe 4 Eecizio 7 Ua ea idaulica e taae ati di autoobili u late etalliche eecita ua foza F 6 MN ediate u itoe deto il quale agice ua eioe di ogetto ai a MPa Nel cao i cui i tacui l'attito, calcolae il aloe iio del diaeto D del itoe eceaio a ceae la foza F di taaggio D F Dalla defiizioe di eioe (9) i ha Eecizi caitolo - ag iii

9 6 F 6 4 S 4 S D 4 6 π π Eecizio 8 I ua tazioe di eizio, foita di u iiato di aia coea alla eioe 6 kpa, dee eee dieioato u otacaichi euatico e olleae ettue fio alla aa di kg; il eccaio, foato dal itoe e dal cilido, aobe ua foza ai a 98 N Calcolae: a) il diaeto D del cilido; b) la eioe eceaia a olleae ua ettua di aa ' 89 kg D a) Dalla defiizioe di eioe (9) i ha F g S 67 6 D 4 S π doe la foza totale F è cotituita dal eo della ettua di ogetto e dalla foza diiatia b) Dalla defiizioe di eioe (9) i ha ache F' ' g Pa 9 kpa S D doe la foza totale F' è cotituita dal eo della ettua di aa ' e dalla foza diiatia π Eecizi caitolo - ag ix

10 - TASFOMAZIONI Eecizio La aa olae M di u ga coiode alla aa di ua ole e i iua i [kg/ole] Se oli di aia, di aa olae M 9 kg/ole, oo alla teeatua T 4 C e alla eioe ba, calcolae il olue da ee occuato Dall'equazioe di tato dei ga efetti () e dalla tab T, i cui iee letto il aloe della cotate caatteitica dei ga, i ha T T M T ( 7 + 4) M T Eecizio I u eciiete di olue i toa la aa 8 kg d'aia alla teeatua T C Calcolae la eioe aggiuta Dall'equazioe di tato dei ga efetti () e dalla tab T, i cui iee letto il aloe della cotate caatteitica dei ga, i ha ( 7 + ) T Pa 4 ba Eecizio I u eciiete di olue liti i toa aia alla eioe aoluta kpa ed alla teeatua T C Calcolae la aa Dall'equazioe di tato dei ga efetti () e dalla tab T, i cui iee letto il aloe della cotate caatteitica dei ga, i ha kg T 87 - ( 7 + ) Eecizio 4 I u eciiete di olue 4 i toa aidide caboica alla eioe ba ed alla teeatua T C Calcolae: a) la aa ; b) il eo G a) Dall'equazioe di tato dei ga efetti () e dalla tab T, i cui iee letto il aloe della cotate caatteitica dei ga, i ha b) Dalla defiizioe di eo (4) i ha 4 49 kg T 89 ( 7 + ) G g N Eecizio I u eciiete di olue i toa la aa 7 kg di azoto alla eioe ba Calcolae: a) il olue ecifico ; b) la teeatua T i [ C] a) Dalla defiizioe di olue ecifico () i ha 7 kg b) Dall'equazioe di tato dei ga efetti () e dalla tab T, i cui iee letto il aloe della cotate caatteitica dei ga, i ha Eecizi caitolo - ag x

11 T 4K 48 C 97 Eecizio 6 I u eciiete di olue i toa il eo G 4 N di oigeo alla eioe ba Calcolae: a) il olue ecifico ; b) la teeatua T i [ C] a) Dalla defiizioe di eo ecifico () e di olue ecifico () i ha G 4 N γ 8 kg γ g kg b) Dall'equazioe di tato dei ga efetti () e dalla tab T, i cui iee letto il aloe della cotate caatteitica dei ga, i ha 6 T 6 K 89 C 6 Eecizio 7 Ua ceta quatità di etao i toa alla teeatua T 8 C e alla eioe 8 ba Calcolae: a) il olue ecifico ; b) la aa oluica ; c) il eo ecifico γ a) Dall'equazioe di tato dei ga efetti () e dalla tab T, i cui iee letto il aloe della cotate caatteitica dei ga, i ha 8 66 T 9 b) Dalla defiizioe di olue ecifico () i ha c) Dalla defiizioe di eo ecifico () i ha ( 7 + 8) kg kg N γ g Eecizio 8 Ua ceta quatità di elio i toa alla teeatua T C e alla eioe ba Calcolae: a) il olue ecifico ; b) la aa oluica ; c) il eo ecifico γ a) Dall'equazioe di tato dei ga efetti () e dalla tab T, i cui iee letto il aloe della cotate caatteitica dei ga, i ha 64 T 88 b) Dalla defiizioe di olue ecifico () i ha c) Dalla defiizioe di eo ecifico () i ha ( 7 + ) kg kg 6 64 N γ g Eecizio 9 U ga aete u olue ecifico 7 /kg i toa alla teeatua T C ed alla eioe Eecizi caitolo - ag xi

12 ba Calcolae: a) la aa oluica ; b) il eo ecifico γ; c) la cotate caatteitica ifeita all'uità di aa a) Dalla defiizioe di olue ecifico () i ha b) Dalla defiizioe di eo ecifico () i ha kg 48 7 N γ g c) Dall'equazioe di tato dei ga efetti () i ha 7 J 489 ; T 7 + kg K Cofotado il iultato co i dati della tab T, i ede che la cotate caatteitica del ga i aicia olto a quella dell'aoiaca Eecizio Coideado l'aia coe u ga efetto, calcolae i caloi ecifici: a) a eioe cotate c ; b) a olue cotate c a) Sotituedo la elazioe (), citta el odo eguete c γ c doe γ aeeta l'eoete della tafoazioe adiabatica, ella elazioe () e ededo il aloe della cotate caatteitica dalla tab T, i ha 87 J γ c c + c ( γ ) c 79 γ 4 kg K b) Dalla elazioe ecedete i ha c J γ c 4 79 kg K Eecizio U olue iiziale 4 liti di aia alla teeatua T K 77 C i eade i odo adiabatico fio ad u olue fiale Calcolae i aloi fiali: a) della teeatua T ; b) della eioe ; c) del olue ecifico Dalla tab T, iteolado i aloi della aa oluica fa 6 C e 8 C, i ha 7 7 kg Dall'equazioe di tato dei ga efetti () e dalla tab T, i cui iee letto il aloe della cotate caatteitica dei ga, i ha T 87 Pa ba a) Dalla legge della tafoazioe olitoica (8) co γ e dalla tab T4, i cui iee letto il aloe dell'eoete γ, i ha - γ- γ- 4 T T T T K γ- 4 b) Dalla legge della tafoazioe olitoica (9) co γ i ha Eecizi caitolo - ag xii

13 ( -γ) / γ ( -γ) / γ ( -γ )/ γ ( -γ ) T T / γ T T T T c) Dall'equazioe di tato dei ga efetti () i ha γ/ ( -γ ) 4/ ( -4 ) 7 Pa T 87 7 kg Eecizio Co i dati dell'eecizio calcolae i aloi ichieti el cao i cui l'eaioe aega i odo ioteo a) Dalla defiizioe di tafoazioe iotea i ha T T K b) Dalla legge della tafoazioe iotea () i ha 4 84 Pa c) Dall'equazioe di tato dei ga efetti () i ha T kg Eecizio U ga, atedo dalla teeatua iiziale T C, ubice u oceo e cui la ua eioe i addoia e il uo olue ecifico decece del 44/ Calcolae: a) la teeatua fiale T ; b) l'eoete della tafoazioe a) Le elazioi fa le eioi e i olui ecifici iiziali e fiali oo 6 e facedo il aoto fa le equazioi di tato () elatie alla fie e all'iizio della tafoazioe i ha T T T T T 6 ( 7 + ) 6 6 K 89 C b) Dalla legge geeica delle tafoazioi teodiaiche () i ha log log log log log( 6) log Eecizio 4 Allo coo di idue il couo di cobutibile el taffico cittadio, i ta tudiado il coiddetto itea di "taiioe ieziale" Quado il coducete alleta o fea, le uote ediate oe igoo olio el ebatoio di u coeoe i odo da auetae la eioe dell'aia i eo itaolata; le oe quidi agicoo da feo Quado la eioe aggiuge u aloe efiato, il ebatoio uò foie eegia alle oe che i queto odo agicoo da otoe ulle uote quado il coducete accelea Se i alletaeti e le feate o oo ufficieti a fa aggiugee il aloe efiato della eioe, il otoe oede a queta icobeza Co queto itea i eede che ella guida i città i oao addoiae i chiloeti fatti co u lito di bezia Si uoga che iizialete il olue di aia el ebatoio ia 8 liti e che la eioe elatia e la Eecizi caitolo - ag xiii

14 teeatua iao kpa e T C Duate le feate lugo la dicea da ua collia il olue dieta 4 liti e la eioe elatia aggiuge il aloe 6 kpa Toae: a) la teeatua fiale dell'aia T e i eifica ua edita di aia, douta a tafilaeti, ai a kg; b) l'eoete della tafoazioe a) Dall'equazioe di tato dei ga efetti () e dalla tab T, i cui iee letto il aloe della cotate caatteitica dei ga, i ha T e dalla defiizioe di aa oluica () i ha + 87 kg 46 ( 7 + ) kg La aa fiale di aia, e effetto delle edite, dieta e dalla defiizioe di aa oluica () i ha ifie dall'equazioe di tato dei ga efetti () i ha kg 74 kg 68 ; T 6 K 8 C b) Dalla legge geeica delle tafoazioi teodiaiche () i ha log log + 6 log log + 4 log log 8 Eecizio Nel cao del oblea 4 i uoga che il olue iiziale di aia el ebatoio ia 8 liti e che la eioe e la teeatua iao kpa e T C Il otoe a bezia addoia la eioe el ebatoio e fa diiuie il olue dell'aia a liti Calcolae: a) la teeatua fiale dell'aia T ; b) l'eoete della tafoazioe a) Dall'equazioe di tato dei ga efetti () e dalla tab T, i cui iee letto il aloe della cotate caatteitica dei ga, i ha T 87 e dalla defiizioe di aa oluica () i ha kg 46 ( 7 + ) kg Se o i eificao edite di aia e tafilaeti, dalla defiizioe di aa oluica () i ha ifie dall'equazioe di tato dei ga efetti () i ha 4 kg 84 ; Eecizi caitolo - ag xi

15 Eecizi caitolo - ag x C 9 66 K T b) Dalla legge geeica delle tafoazioi teodiaiche () i ha 48 8 log log log log log log

16 - COMPESSIBILITÀ Eecizio Ua ceta quatità di acqua iee otata da uo tato iiziale di eioe ba e di teeatua T C ad uo tato fiale di eioe ba e di teeatua T C Calcolae la aiazioe ecetuale di olue / Poiché il olue è ua fuzioe di tato, il aloe del logaito ella legge di coeibilità () è idiedete dal caio celto e effettuae le due itegazioi dell'equazioe (), el eo che ia i uò calcolae l'itegale da a lugo T e oi l'itegale da T a T lugo oue ia l'itegale da T a T lugo e oi l'itegale da a lugo T Pe l'acqua allo tato liquido elle codizioi iiziali e fiali del oblea i coefficieti κ e β auoo i aloi della tabella eguete Dalla legge della coeibilità () i ha [ ba] T [ C] κ [ /Pa] β [ /K] l e cui el cao del io ecoo i ha l ( ) + β ( T T ) κ + β t κ -9 ( 4 + ) ( ) e el cao del ecodo ecoo i ha l alla fie i ha ( ) ( 8 + 4) ; % Se ci foe tata olo la coeioe, l'aueto di teeatua aebbe tato cetaete tacuabile e la cotazioe di olue u o' iù eleata; ifatti dalla legge della coeibilità iotea () i aebbe otteuto ( 4 + ) l ( ) % -9 Eecizio U olue d'acqua i toa i u abiete alla teeatua cotate T C, ete la eioe iee otata da u aloe iiziale ba a u aloe fiale ba Calcolae la aiazioe di olue Il odulo di elaticità oluetico E dell'acqua, alla eioe at, aue i fuzioe della teeatua i aloi della tab T6 e, alla teeatua T C, aue i fuzioe della eioe i aloi della tab T7 Dalla legge elificata di coeibilità iotea () i quatità fiite e dalla tab T6, i cui iee letto il aloe del odulo di elaticità oluetico E alla teeatua ichieta, i ha Eecizi caitolo - ag xi

17 ( ) 8 9 E Queto aloe o è olto lotao da quello iù eatto che i otteebbe calcolado il aloe edio E fa le eioi iiziale e fiale i bae ai dati foiti dalla tab T7; ifatti iteolado fa ba e ba i ha E 7 E E Pa e quidi E E + E ( + 7) Pa ( ) 7 9 E 9 La elificazioe è coetita eché l'iflueza della eioe ul aloe del odulo di elaticità oluetico E è olto ifeioe a quella della teeatua Eecizio Ua ceta quatità di acqua aa i odo ioteo da uo tato iiziale di ba (eioe a liello del ae) ad uo tato fiale di ba (eioe ad ua ofodità di cica ) Calcolae la aiazioe ecetuale di aa oluica Dalla tab T7, i cui iee letto il aloe del odulo di elaticità oluetico E alle eioi e, i ha il aloe edio E E + E e dalla legge di coeibilità iotea () i ha ( + 8) 9 9 Pa l E ( ) ( ) 98 9 ; ifie i ha % Eecizio 4 I ocei idutiali, e tagliae ateiali ietoi o ateiali cooiti, oo uati getti d'acqua ad alta elocità co eioi che aggiugoo aloi ache ai a ba Da u uto di ita igegeitico i quete ituazioi è agioeole e i calcoli auee cotate la aa oluica dell'acqua? Dalla legge della coeibilità iotea () i ha E l ex ex E ( ) 9 quado il aloe del odulo di elaticità oluetico è eo cotate e ai a quello della eioe iiziale dato dalla tab T, ete iece i ha E l ex ex E ( ) 9 quado il aloe del odulo di elaticità oluetico è eo ai a quello edio, icaato dalla tab T7, fa la eioe iiziale e quella fiale Eecizi caitolo - ag xii

18 E ( + 44) 9 Ua aiazioe ecetuale della aa oluica ai a E + E 9 Pa uò o eee ufficiete e ua buoa eciioe dei calcoli iguadati le alicazioi idutiali i oggetto % Eecizio Olio lubificate è utilizzato coe fluido di laoo i u itea idaulico alla eioe ba Da u uto di ita igegeitico i quete ituazioi è agioeole e i calcoli auee cotate la aa oluica dell'olio? Dalla legge della coeibilità iotea () i ha E l ex ex E ( ) 9 44 quado il aloe del odulo di elaticità oluetico è eo cotate e ai a quello della eioe iiziale dato dalla tab T; u aloe iù bao del aoto fa le ae oluiche i otteebbe e i edee il odulo di elaticità edio fa la eioe iiziale e quella fiale Couque, ua aiazioe ecetuale della aa oluica ai a uò eee ufficiete e ua buoa eciioe dei calcoli iguadati le alicazioi idutiali i oggetto % Eecizio 6 Co i dati degli eecizi e calcolae i aloi edi del odulo di elaticità oluetico E i bae alla legge della coeibilità iotea Dalla legge di coeibilità iotea () e l'eecizio (cao della eaioe adiabatica) i ha E 7 l l - 4 e e l'eecizio (cao della eaioe iotea) i ha E Pa l l - 4 Da otae che el cao della tafoazioe adiabatica, i cui aia ia la eioe che la teeatua, iee coglobato el odulo, olte l'effetto della eioe, ache l'effetto della teeatua Pe cofoto co i aloi otteuti, dalla tab T i legge che il odulo E i codizioi oali ale 6 Pa 6 Pa Eecizio 7 Acqua dolce i toa alla eioe atofeica ed alla teeatua T C Calcolae la elocità del uoo c Dalla legge della elocità del uoo (4) e dalle tabb T e T6, i cui egoo letti iettiaete i aloi della aa oluica e del odulo di elaticità oluetico E dell'acqua dolce i fuzioe della teeatua, i ha E c Eecizi caitolo - ag xiii

19 Eecizio 8 Calcolae la elocità co cui i oaga u'oda di eioe i u liquido aete aa oluica 8 kg/ e odulo di elaticità oluetico κ -9 /Pa La elocità di oagazioe dell'oda di eioe coiode alla elocità del uoo c; alloa dalla legge della elocità del uoo (4) i ha c -9 κ 8 Eecizio 9 U liquido di olue e di aa oluica iiziali ai a e iettiaete a 9 kg/, e effetto di u aueto di eioe ba, diiuice il uo olue di liti Calcolae la elocità del uoo c Dalla legge della coeibilità iotea () i ha il coefficiete di coeibilità iotea edio κ - l l l ( ) 6 κ κ e il aoto fa le ae oluiche fiale e iiziale -9 Pa l -9 ( ) ex( κ ) ex( 6 ) κ [Nota Si aebbe otuto calcolae il aoto ecedete ache dalla defiizioe di aa oluica () ] - Duate la fae di coeioe i uò coideae la aa oluica cotate e uguale a oue i uò edee il uo aloe edio el io cao i ha e el ecodo kg 9 ; c c κ co ua diffeeza ecetuale tacuabile -9 κ 6 9 c c % c Eecizio Aia i toa alla teeatua T - 9 C Calcolae la elocità del uoo c i cao di oceo: a) ioteo; b) adiabatico a) Dalla legge della elocità del uoo () e dalla tab T, i cui iee letto il aloe della cotate caatteitica del ga, i ha Eecizi caitolo - ag xix

20 c T 87 ( 7 9) 7 b) Dalla legge della elocità del uoo (6) e dalle tabb T e T4, i cui egoo letti iettiaete i aloi della cotate caatteitica del ga e dell'eoete della tafoazioe adiabatica γ, i ha c γ T 4 87 ( 7 9) 6 Eecizi caitolo - ag xx

21 4- ISCOSITÀ Eecizio 4 U fluido di icoità µ N/ labice ua aete fea co ua elocità U / ad ua ditaza Y 4 Calcolae il gadiete della elocità du/dy ella iotei che la ditibuzioe della elocità ia: a) lieae; b) aabolica Calcolae iolte: c) la teioe tageziale σ yx eecitata dal fluido ulla aete y Y u a) L'equazioe della elocità u i fuzioe della ditaza y dalla aete ella ditibuzioe lieae è ua etta aate e i uti (u, y ), (u U, y Y) u u y y u y u y e quidi il gadiete di elocità dieta U u U y Y 4 u du dy b) Nella ditibuzioe aabolica l'equazioe è ua aabola che aa e gli tei uti e i iù la ua deiata i aulla el uto (u U, y Y) u a + b y + c y y y u a y Y 4 u U du du b + c y y Y 4 dy dy e quidi il gadiete di elocità ulla aete dieta du du 6 y 6 dy dy c) Dalla legge di Newto (7), e la ditibuzioe lieae, i ha e, e la ditibuzioe aabolica, iettiaete i ha σ yx du N µ dy du N σ yx µ 6 dy b 6 c 7 Dai due aloi otteuti e la teioe, doio el cao della ditibuzioe aabolica ietto a quello della ditibuzioe lieae, i eice l'iotaza che aue il gadiete della elocità i iciaza della aete olida Eecizio 4 Ua lata ifiita i uoe co elocità U / oa ua ecoda lata co uo tato iteoto di liquido aete uo eoe Y ; e uo eoe iccolo dello tato (coe quello dell'eeio ooto) i uò auee ua ditibuzioe lieae della elocità La icoità del liquido è µ 6 cetioie 6 - kg/() e la ua aa oluica è 88 kg/ Calcolae: a) la icoità cieatica ν; b) la teioe ulla lata ueioe e u quella ifeioe σ yx ; c) il eo delle teioi otteute el uto b ecedete Eecizi caitolo - ag xxi

22 y σ yx σ yx Y U x a) Dalla defiizioe di icoità cieatica (8) i ha - µ 6 ν b) Il gadiete di elocità du/dy ulle uefici ueioe e ifeioe ale du u u dy y y Y u Y y eciò dalla defiizioe di icoità diaica (7) i ha U Y - ; du - N σ yx µ 6 6 dy c) Il eo della teioe diede dai egi del gadiete e della oale alla ueficie ietto alla quale iee calcolata Nel cao i eae il gadiete della elocità è oitio eché la elocità cece co la coodiata y e di coegueza i ei delle teioi hao lo teo ego delle oali; ifatti ulla ueficie della lata ueioe la teioe è dietta el eo egatio delle x eché la oale è dietta el eo egatio delle y (egatio olte oitio), ete ulla ueficie della lata ifeioe la teioe è dietta el eo oitio delle x eché la oale è dietta el eo oitio delle y (oitio olte oitio) Eecizio 4 La legge della elocità i u oto laiae fa due late aallele è data dalla elazioe eguete (edi i caitoli 8 della teoia e degli eecizi) u y Uax Y doe u è la elocità geeica, U ax è la elocità aia, y è la ditaza geeica a atie dall'oigie oizioata a età tada fa le due late e Y è la ditaza fa le due late Il fluido è acqua alla teeatua T C e la ueficie delle late è S, ete U ax / e Y Calcolae ulle late: a) i gadieti della elocità du/dy; b) le teioi tageziali σ yx ; c) i ei delle teioi; d) le foze y x σ yx σ yx U ax Y a) Deiado la legge data, i gadieti della elocità alle ditaze y ± Y/, coiodeti alle uefici delle late ueioe e ifeioe, algoo du 8 U dy Y ax y du dy du dy y+ Y/ y Y/ 4 U Y 4 U + Y ax ax b) Dalla defiizioe di icoità (7) e dalla tab T9, i cui iee letto il aloe della icoità µ, i ha Eecizi caitolo - ag xxii

23 σ yx µ du dy du ( σ ) µ 4 ( 4) yx y+ Y/ du N ( σyx ) µ 4 ( + 4) + 76 y Y/ dy dy y+ Y/ y Y/ N 76 c) Le teioi, oo diette etabe el eo delle x oitie eché ulla lata ueioe, doe la oale alla ueficie è dietta el eo egatio delle y, il gadiete è ache egatio e ulla lata ifeioe, doe la oale alla ueficie è dietta el eo oitio delle y, il gadiete è ache oitio d) Il aloe aoluto delle foze è dato da e il loo eo è cocode a quello delle teioi F σyx S 76 8 N Eecizio 44 Uo tatuffo, di aa kg, di diaeto D 78 e di lughezza L, ta ciolado eo il bao all'iteo di u tubo di diaeto D t 74 Lo tatuffo è cocetico co il tubo e u fil d'olio, di icoità µ 7 - N/, è iteoto fa lo tatuffo e il tubo Calcolae la elocità teiale w T dello tatuffo, cioè la ua elocità cotate di equilibio Si tacuao gli effetti della eioe dell'aia e i aue all'iteo del fil fluido u ofilo lieae della elocità z D t - D L D D t w Lo eoe h del fil d'olio è dato da ete il gadiete della elocità dw/d è dato da quidi dalla legge di Newto (7) i ha ete l'aea S della aete dello tatuffo è data da Dt D h, dw w w w ; d h D t D dw w σ z µ µ, d D D S π D L Nella codizioe di equilibio, che i eifica quado lo tatuffo aggiuge la elocità teiale, il eo G dello tatuffo uguaglia la foza icoa F Alloa i ha t G F g σ w z S w g µ D D t π D L - - D t D T g 9866 D L Eecizi caitolo - ag xxiii

24 Eecizio 4 Uo tatuffo di feo, di diaeto D e di lughezza L, ta ciolado eo il bao all'iteo di u tubo u u fil d'olio, di eoe h, iteoto fa il cilido e il tubo Nell'itate i cui il cilido ha la elocità w 6 /, la ua deceleazioe è a 6 / Calcolae la icoità µ dell'olio Si tacuao gli effetti della eioe dell'aia e i aue che lo tatuffo ia cocetico co il tubo e che all'iteo del fil fluido il ofilo della elocità ia lieae z G L D h Il gadiete della elocità dw/d è dato da quidi dalla legge di Newto (7) i ha ete l'aea S della aete dello tatuffo è data da e la aa dello tatuffo è data da dw w w ; d h dw w σ z µ µ, d h S π D L π D 4 doe è la aa oluica del feo Nella codizioe di equilibio, i cui lo tatuffo ha la elocità w e la deceleazioe a, il eo G dello tatuffo uguaglia la foza icoa F e la foza d'iezia F i Alloa i ha L G F + F i g σ z S a π D 4 L g µ w h π D π D L 4 - D h g a N w 4 6 L a Eecizio 46 Uo tatuffo, di diaeto D 67 e di lughezza L 7, i uoe all'iteo di u tubo, di diaeto D t 7, alla elocità u 6 / Il fil di olio che li eaa ha ua icoità µ 9 N/ Calcolae la foza F eceaia a ateee il oto Si tacuao gli effetti della eioe dell'aia e i aue che lo tatuffo ia cocetico co il tubo e che all'iteo del fil fluido il ofilo della elocità ia lieae L D D t x Lo eoe h del fil d'olio è dato da Dt D h, Eecizi caitolo - ag xxi

25 ete il gadiete della elocità du/d è dato da quidi dalla legge di Newto (7) i ha ete l'aea S della aete dello tatuffo è du u u u ; d h D t D du u σ x µ µ, d D D S π D L Nella codizioe di equilibio, che i eifica quado lo tatuffo atiee la elocità u cotate, la foza ichieta F uguaglia la foza icoa F Alloa i ha u 6 - F x S D t L N D D t t Eecizio 47 U albeo eticale uota all'iteo di u cucietto ad eo cocetico U fil d'olio, di icoità µ N/, eaa i due cooeti co u eato di eoe h L'albeo uota alla elocità ω ad/ e ha il diaeto D, ete il cucietto ha la lughezza L Calcolae la oteza P diiata Si tacuao gli effetti della foza cetifuga e delle eteità del cucietto e i aue all'iteo del fil fluido u ofilo lieae della elocità z L D h La elocità tageziale dell'albeo è data da ete il gadiete della elocità d/d è dato da quidi dalla legge di Newto (7) i ha ete l'aea della ueficie di cotatto S è La foza tageziale T (di atua icoa) è data da D ω, d ω D ; d h h h d ω D σ ϑ µ µ, d h S π D L ω D π ω D L T σ ϑ S µ π D L µ, h h il oeto tocete eitete M (di atua icoa) è dato da Eecizi caitolo - ag xx

26 D π ω D L M T µ 4 h e la oteza P diiata (ee di atua icoa) è data da - - ( ) 84 W D L P M 4 h 4 - Eecizio 48 U albeo di diaeto d 749 uota i u cucietto di diaeto D 7 e di lughezza L Fa albeo e cucietto iee ieito olio lubificate di icoità µ 96 kg/() Se l'albeo uota a 4 gii/i, calcolae la oteza P uata e icee la eiteza icoa Si aue che la elocità all'iteo del eato abbia adaeto lieae e che l'albeo e il cucietto iao cocetici (altezza del eato cotate) D d L Il gadiete della elocità d/d è dato da quidi dalla legge di Newto (7) i ha ete l'aea di cotatto S è data da La foza tageziale T di attito è data da e la oteza P diiata e attito è T σ ϑ d ; d D d d σ ϑ µ µ, d D d S π D L D S µ π D L π µ L D d D d D P T π µ L D d Poiché la elocità agolae ω i fuzioe del ueo di gii è data da ω π e oiché la elocità tageziale i fuzioe di quella agolae ω è data da la oteza P dieta D P π µ L D d D π π µ L d D d 6 6 d d π ω π d, 6 6 π 6 D d µ L D d - ( 7 749) - ( 749 ) π W 6 kw - 6 Eecizi caitolo - ag xxi

27 Eecizio 49 La ita all'eteità ifeioe di u albeo eticale di diaeto D i caica ulla aete di fodo di u alloggiaeto aticato i u dico iatto taite u fil d'olio eo h L'albeo uota a gii/i e la icoità dell'olio è µ kg/() Calcolae la oteza P aobita e attito Si tacua l'effetto fa l'albeo e la aete lateale dell'alloggiaeto d ω D z h Il gadiete della elocità d/dz è dato da quidi dalla legge di Newto (7) i ha d π π ω ; dz z h h 6 h h d z dz h h ϑ, ete l'aea ifiiteia ds della ueficie di cotatto è data da La foza tageziale ifiiteia di attito dt è data da il oeto tocete ifiiteio di attito dm è dato da ds π d dt zϑ ds d d, h h π dm dt µ e la oteza ifiiteia diiata e attito dp è data da π π π dp dm ω µ d µ d ; h 6 4 h ifie la oteza P diiata, itegado ul aggio da a, è data da h d - 4 ( ) 6 W π π 4 π 4 π P dp µ d D - 4 h µ µ 8 h 88 h 88 Eecizio 4 La ditibuzioe della elocità i u tubo di aggio uò eee eea dalla legge y u Uax doe u è la elocità i u uto ditate y dalla aete e U ax è la elocità ull'ae Toae le leggi e: a) la otata oluetica G ; b) la elocità edia u Diotae oi che: c) u tubo di Pitot, iteato u u aggio ai a dalla aete, egita la elocità edia co uo cato del ± 6 % quado è coeo fa 4 e / Eecizi caitolo - ag xxii

28 y d Dalla figua i ota che y d dy a) La otata oluetica G è data da G / y π u π d U π ax ax / U ax π / + + / + / ( y)( dy) U y dy + y dy + U b) La elocità edia, quidi, è data da ax + π / U + ax π / ( + ) ( + ) Uax π ( + )( + ) ( + )( + ) c) Quado 4: u G Uax π ( + )( + ) e cui l'eoe ecetuale e è dato da ete quado : e cui l'eoe ecetuale e è dato da / /4 y ax U ax 77U ax u U 4 U ax U 7U u ax ax ( + )( + ) ( 4 + )( 4 + ) u u 77 7 e 66 % ; u 77 / / y ax U ax 876 U ax u U U ax U 868 U u ax ax ( + )( + ) ( + )( + ) u u e % u 876 Eecizio 4 U cubo di feo, di lato L, litta lugo u iao icliato, di agolo ϑ, u u fil, di eoe Eecizi caitolo - ag xxiii

29 Y, foato da olio alla teeatua T C Calcolae la elocità teiale u e (di equilibio) del cubo e il ofilo della elocità ello eoe del fil è coideato lieae y u G x F ϑ Y x G Il gadiete della elocità du/dy è dato da du u u y Y u y dy y Y quidi dalla legge di Newto (7) i ha u Y ; du u σ yx µ µ, dy Y ete il eo del cubo è dato da G g g L e la ua ueficie di aoggio ul iao icliato è data da S L Nella codizioe di equilibio, che i eifica quado il cubo aggiuge la elocità teiale, la cooete lugo il iao icliato del eo del cubo G x uguaglia la foza di eiteza icoa F Alloa, uado ache la tab T9, i cui iee letto il aloe della icoità µ dell'olio, i ha G x F G iϑ σ yx S g L iϑ µ u Y L ( ) g L iϑ Y i u e 4 µ 9 - Eecizio 4 I u cotatoe il oieto del eccaio di iua è ozato da u dico, otate co il eccaio, ieo i u coteitoe ieito di olio aete icoità µ 8 - N/ La elocità agolae del eccaio è ω ad/, il diaeto del otoe è D 7 e la ditaza fa otoe e tatoe è h Calcolae il oeto ozate M Si tacuao gli effetti di bodo del dico otate z D h Il gadiete della elocità d/dz è dato da h d ω dz h h h h doe è il aggio geeico; quidi dalla legge di Newto (7) i ha d ω σz ϑ µ µ, dz h ete l'aea ifiiteia totale ds della ueficie di cotatto è data dalla oa di quella ifeioe e di quella Eecizi caitolo - ag xxix

30 ueioe ds π d + π d 4 π d La foza tageziale ifiiteia icoa dt è alloa data da ω ω dt σzϑ ds µ 4 π d 4 π µ d, h h ete il oeto ifiiteio icoo dm è dato da ω dm dt 4 π µ d ; h ifie il oeto M ozate, itegado ul aggio da a, è dato da ( 7 ) 99 N M dm 4 d D 8 h h 6 h 6 - Eecizio 4 Pe l'aaecchiatua dell'eecizio 4 iluae u'eeioe che deteii il oeto ozate i fuzioe della ditaza z fa il iao edio del dico otate e la ua oizioe cetale z h+z Se il dico ozatoe o è cetato, le altezze dei fil d'olio ulle due facce del dico ooo eee ee i fuzioe della ditaza z fa il uo iao edio e la ua oizioe cetale h h + z, h h z ; i tal odo i gadieti della elocità du/dh e du/dh da itodue ella legge di Newto (7) i coiodeza del aggio geeico oo du dh u u u ω du u u u ω, h h h h + z dh h h h h z Le teioi tageziali σ zϑ e σ zϑ ulle aeti del dico oo h-z du du zϑ, zϑ, dh h + z dh h z ete le due aee della ueficie ifiiteia di cotatto ds, ua ueioe ed ua ifeioe, i coiodeza del aggio geeico oo ogua La foza tageziale ifiiteia icoa dt * è alloa dt ds π d h + z h z ( σ + σ ) ds π µ ω + d π µ ω d ' zϑ zϑ, ete il oeto tocete eitete ifiiteio (di atua icoa) dm ' è dm il oeto ozate, itegado ul aggio da a, è M h ' h z h ' dt ' π µ ω d ; h z π 4 4 dm ' π µ ω d µ ω µ ω D M h h z π 6 h h h z h z ( z / h) Eecizi caitolo - ag xxx

31 Se z, e quidi il dico è cetato, i ottiee la elazioe dell'eecizio ecedete, ete e z i ottiee il diagaa della figua eguete M ' M z h Dal diagaa i ota che il oeto ozate è iio e z e che eo aueta all'auetae di z fio a tedee all'ifiito e z tedete ad h; quado z h i ha il cotatto di ua ueficie del dico co ua del coteitoe Eecizio 44 U icoieto è cotituito da due cilidi coaiali alti h c e eaati da u'itecaedie t ; il cilido iteo ha u diaeto d c Calcolae il oeto tocete M che dee eee alicato ad uo dei due cilidi e falo uotae alla elocità di 4 gii/i ietto all'alto feo quado l'itecaedie ia ieita di acqua, di gliceia o di aia alla teeatua T C M d t σ ϑ σ ϑ h ϑ σ ϑ ϑ σ ϑ Il oeto tocete alicato ul cilido iù iteo (di atua eccaica) i taette al cilido iù eteo taite il fluido iteoto ed è uguale a quello eitete diiatio (di atua fluidodiaica) che i ilua all'iteo del fluido teo Il oeto tocete eccaico M e la teioe eccaica σ ϑ oo dati da M σϑ S σϑ π h σϑ M π doe σ θ è la teioe tageziale agete ul iao eedicolae alla coodiata adiale e oizioata lugo la coodiata cicofeeziale θ ed S è la ueficie di giacitua della teioe; dalla legge di Newto (7) la teioe fluidodiaica è data ache da σ ϑ µ doe è la elocità cicofeeziale del fluido Uguagliado i due aloi della teioe, quella eccaica oitia eché il cilido uota el eo oitio delle ϑ e quella fluidodiaica egatia eché il gadiete della elocità è egatio ietto all'ae, e eaado le aiabili, i ha l'equazioe di equilibio d d h Eecizi caitolo - ag xxxi

32 d π µ h d M ; itegado l'equazioe di equilibio fa i liiti dei due cilidi i ha π µ h d π µ h ( ) ( ) d M h M π µ + M + Le elocità dei cilidi iteo ed eteo oo date da 4 7 4, 6 6 ete i aggi iteo ed eteo oo dati da - d - 7, + t ; i cocluioe dalla tab T8, i cui iee letto il aloe della icoità µ, e l'acqua i ha M ( ) π ( 4) π µ h 84 N, acqua ete e la gliceia e e l'aia i ha iettiaete M N M 669 N gliceia aia Nel cao i cui il oeto tocete foe alicato al cilido iù eteo, uguagliado i due aloi delle teioi, quella eccaica oitia eché il cilido uota el eo oitio delle ϑ e quella fluidodiaica oitia eché il gadiete della elocità è oitio ietto all'ae, e eaado le aiabili, i aebbe l'equazioe di equilibio d π µ h d M ; itegado l'equazioe di equilibio fa i liiti dei due cilidi i ha π µ h d π µ h ( ) d M h ( ) M M π µ + + Le elocità dei cilidi iteo ed eteo oo date da, ; 6 6 i cocluioe e l'acqua i ha M ( ) π ( 8 ) π µ h 88 N, acqua ete e la gliceia e e l'aia i ha iettiaete M 8 N M 678 N gliceia aia Eecizio 4 U cubo di feo, di lato L, litta lugo u iao icliato, di agolo ϑ, u u fil, di eoe Y, foato da olio alla teeatua T C Se il ofilo della elocità all'iteo dello eoe del fil d'olio è coideato lieae, calcolae le leggi del oto del cubo di feo iguadati: a) lo azio ; b) la elocità ; c) l'acceleazioe a Eecizi caitolo - ag xxxii

33 y u G x F ϑ Y x G La legge del oto ella diezioe x, eché la elocità u è fuzioe della ditaza x, dieta du Fx G x F dt doe G x è la cooete della foza eo G lugo il iao icliato e F è la foza di eiteza douta al fil liquido Poiché la foza attia è data da e la foza eitete è data da F G x G iϑ g iϑ du dt du u u µ u S S µ S µ S µ S dy y Y Y σ yx, doe S è la ueficie di aoggio del cubo ul liquido, i ha Si eaao le aiabili e i itega µ u S du g iϑ dt u µ u S d g iϑ du t Y u Y t µ dt µ µ dt u S S u S g iϑ g iϑ Y Y µ u S u g i Y u S ϑ µ t S l g i [ t] l Y µ t S ϑ Y, µ g iϑ Y i aa all'eoeziale e i ha doe µ u S µ S g iϑ g iϑ ex t Y Y Y µ S u g iϑ ex t µ S Y A B µ S A g iϑ, B Y L'acceleazioe i toa e deiazioe della elocità ietto al teo [ ex( B t) ] du d A µ S a t dt dt B e lo azio ecoo e itegazioe della elocità el teo [ ex( B t) ] A ex( B t) g iϑ ex Y Eecizi caitolo - ag xxxiii

34 t A d u dt d B [ ex( B t) ] dt Y Y µ S [ ex( B t) ] g iϑ t g iϑ ex A A t t B B µ S µ S Y La elocità di equilibio u e iee aggiuta quado la foza attia G x uguaglia la foza eitete F, cioè quado µ u e S g iϑ Y A g iϑ u e Y µ S B Lo teo iultato iee otteuto coideado che la codizioe di aullaeto dell'acceleazioe i eifica quado l'eoeziale i aulla ( B t) ex( B t) a A ex e che, ieedo queta codizioe ella legge della elocità, i ottiee A A u [ ex( B t) ] B B Dalla tab T9, i cui iee letto il aloe della icoità µ, i ha L kg, A g iϑ 9866 i( ) 49, e quidi, i fuzioe del teo, i ottegoo le eeioi egueti a A ex u A B A ( B t) 49 ex( 49 t) [ ex( B t) ] 4 [ ex( 49 t) ] A t B B A u e 4 B S L 4 µ S 9 4 B Y 64 [ ex( B t) ] 4 t 4 [ ex( 49 t) ] Si eiee quidi alla tabella e al diagaa egueti da cui i ota che: a) l'acceleazioe, doo u io tatto i cui la tagete diiuice i odo ee eo ouciato, dieta quai ulla quado il teo è di cica ecodi; b) la elocità, doo u io tatto i cui la tagete diiuice i odo ee eo ouciato, dieta ai a quai quella di equilibio quado il teo è di cica ecodi; c) lo azio ecoo, doo u io tatto i cui la tagete aueta i odo ee eo ouciato, coicia a cecee i odo oozioale ietto al teo quado il teo è di cica ecodi t [] a [/ ] u [/] [] Eecizi caitolo - ag xxxi

35 u a 4 a u t Eecizio 46 Pe oae fluidi o - ewtoiai è uato fequeteete u icoieto a coo, foato da u iatto e da u coo otate co u agolo di aetua olto ottuo (α ) Il etice del coo tocca il iatto e il fluido i oa ieie lo azio fa il coo e il iatto Toae le eeioi: a) della teioe tageziale σ zϑ ; b) del oeto tocete M che dee eee alicato al coo z ω α a) Data l'eiguità dell'agolo α e quidi dell'altezza dello tato fluido, il ofilo della elocità ello eoe del fil uò eee coideato lieae; dalla legge di Newto i ha d ω ω z µ µ µ µ µ µ dz z z z tgα tgα σ ϑ b) Il oeto tocete eleetae dm che dee eee alicato u ua cooa cicolae di eoe ifiiteio d è dato da dm e quidi il oeto totale M è dato da df σ zϑ ω ds µ tgα π ω tgα π ω π d µ tgα π ω tgα dm µ d µ M d Eecizi caitolo - ag xxx