Studio e progettazione di un filtro a microonde.

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1 Studio e progettazione di un filtro a microonde. con particolare riferimento ad un filtro a linee parallele accoppiate (parallel-coupled line filter) di Stefano Epifani (nominativo radioamatoriale IZØJIB) ver. 1.0 (gennaio 2014)

2 Indice Capitolo 1 - Richiami di teoria pag. 1.1 Testo del problema Introduzione Cenni storici sui filtri a parametri distribuiti Filtro passa basso prototipo (LPprototipo) Trasformazioni in frequenza Criteri di approssimazione Tipo Butterworth Tipo Chebyshev Reti a scala Trasformazioni inverse De-normalizzazione relativa all'impedenza di terminazione De-normalizzazione relativa alla frequenza Sintesi mediante modelli a parametri distribuiti Trasformazione di Richards Invertitori di immettenza Tipi di filtri in microstriscia Filtri a linee e stub Filtri a linee parallele accoppiate Filtri a estremità accoppiate Filtri a iride Filtri a forcella Filtri interdigitali Filtri a pettine e filtri a falso pettine Capitolo 2 - Calcoli di progetto e simulazioni 2.1 Formule di progetto per un filtro passa banda a linee accoppiate Approccio con invertitori di impedenza K Approccio con invertitori di ammettenza J Calcoli relativi al progetto Simulazioni relative al progetto Bibliografia... 44

3 Capitolo Testo del problema A titolo di esempio si consideri il seguente problema. Si richiede la progettazione di un filtro seguenti caratteristiche: - frequenza centrle: f cb = 3,5 GHz - ripple in banda: RP = 0,1 db - banda frazionaria: = 0,1 - attenuazione di almeno 25 db alla - impedenza caratteristica Z 0 = 50 Ω Si illustri la procedura di sintesi seguita. Si impieghi per la realizzazione un substrato con le caratteristiche seguenti: Nome FR4 ε r = 4,3 Tangδ = 0,018 passa banda (tipo Chebyshev) in microstriscia a linee accoppiate con le frequenza f a = 3,85 GHz H = 760 μm Tmet = 35 μm Metallo: rame 1.2 Introduzione I filtri rappresentano i circuiti elettronici più diffusi con applicazioni che spaziano dal settore audio a quello delle telecomunicazioni fino ad interessare il recente ambito della compatibilità elettromagnetica. Sono essenzialmente reti due porte che agiscono sulla frequenza in modo da consentire il trasferimento di potenza in determinate bande chiamate passanti e di inibirlo in altre chiamate opache. I filtri genericamente sono classificati in base alla propria funzione di trasferimento che almeno idealmente rientra sempre in uno de casi esposti di seguito. Fig Classificazione ideale dei filtri in base alla risposta in frequenza. 1

4 Storicamente la sintesi dei filtri si è evoluta attraverso tre approcci principali. Gli schemi elettrici più antichi, risalenti alla fine dell'ottocento, venivano progettati secondo il criterio del fattore Q. Questo perché le applicazioni principali erano legate alla telegrafia o alla radio dove il Q rappresentava una misura della selettività in frequenza del circuito di sintonizzazione. Con l'invenzione, nel 1920, dei filtri m-type ad opera dell'ingegnere elettrico Otto J. Zobel dei laboratori AT&T (American Telephone & Telegraph Company), i filtri iniziarono ad essere progettati con quella che oggi è nota come teoria classica ovvero combinando reti elementari caratterizzate preventivamente da parametri immagine [1]. Dopo la seconda guerra mondiale la metodologia dominante diventò la sintesi di rete (network synthesis). Questo approccio, oggi noto anche come teoria moderna, è dovuto essenzialmente a S. Darlington, ingegnere elettronico statunitense conosciuto anche per aver inventato la cascata di due transistor bipolari che prende il suo nome [2]. La teoria moderna prevede l'approssimazione della risposta ideale del filtro attraverso una funzione razionale definita dal rapporto di polinomi in ω 2. Questo metodo è di norma preferito ai primi due perché tiene conto, sin dall'inizio, delle impedenze di terminazione e del numero di elementi che andranno a comporre il circuito del filtro. Ad esempio nella teoria classica la funzione di trasferimento è calcolata inizialmente per una catena infinita di celle elementari che solo successivamente viene troncata secondo le caratteristiche di progetto. In questo caso l'esperienza del progettista è fondamentale per garantire un buon adattamento d'impedenza [3]. Con la teoria moderna è possibile sintetizzare filtri secondo importanti classi di risposta come quelle di tipo Butterworth, Chebyshev, Bessel, Cauer (o ellittico) e Chebyshev inverso [4]. La sintesi di rete richiede una complessa matematica per calcolare i valori dei coefficienti polinomiali che prima dell'avvento del computer era resa di più facile applicazione attraverso l'ausilio di articolate tavole, abachi e grafici di riferimento. Oggi con l'avvento dell'informatica questo approccio risulta nella maggior parte dei casi sintetizzato al computer attraverso specifiche applicazioni software. Al termine della sintesi, a prescindere dall'approccio adottato, il circuito che si ottiene è sempre a parametri concentrati e la funzione di trasferimento del filtro è definita secondo la teoria dei circuiti tradizionale. Quando le bande passanti diventano tali da raggiungere la gamma delle microonde questa teoria non trova più riscontro nella realtà e nascono quelli che in letteratura sono noti come filtri ad alta frequenza o filtri a microonde. In questi casi il progetto dei filtri necessita di ulteriori passaggi per tenere in conto di tutti quei fenomeni elettromagnetici che la teoria dei circuiti classica trascura [5]. I problemi diventano particolarmente complessi tanto da coinvolgere molteplici ambiti teorico-pratici oggetto ancora oggi di numerosi studi scientifici. Nei filtri a microonde non è più possibile considerare gli elementi circuitali come parametri concentrati, collegati da tratti di linea irrilevanti ma è necessario adottare un approccio a costanti distribuite dove ogni parte del circuito, compresi i collegamenti, hanno un' influenza sulla risposta finale del filtro. In altre parole, quello che prima veniva considerato un componente localizzato in un punto adesso è indissolubilmente combinato al tratto di linea che lo mette in connessione con l'elemento successivo. Partendo dai circuiti a costanti concentrate sarà necessario trovare un modo per "sostituire" ad ogni componente circuitale tradizionale un elemento a costanti distribuite che, nella banda di frequenza richiesta, ne implementi o almeno ne imiti la funzione caratteristica [6]. La metodologia che adotteremo per conseguire il circuito a parametri concentrati del 1.1 sarà secondo la teoria moderna. 1.3 Cenni storici sui filtri a parametri distribuiti Lo sviluppo dei filtri a microonde, e quindi dei filtri a parametri distribuiti, nasce nella prima metà del Novecento con la diffusione delle applicazioni radio ad alta frequenza. Il primo articolo scientifico, che spiega come impiegare tratti di linee per realizzare filtri e trasformatori di impedenza, fu pubblicato nel 1937 dagli ingegneri elettrici W. P. Mason e R. A. Sykes dei Bell Telephone Laboratories di New York [7]. Con lo scoppio della seconda guerra mondiale ( ) lo studio dei filtri a microonde subì una forte accelerazione legata soprattutto alle esigenze militari di filtraggio per applicazioni radar e di electronic countermeasure (ECM). Tuttavia i progressi concettuali più importanti, che fondarono le basi per una teoria dei filtri a parametri distribuiti più rigorosa, si hanno solo nel 1948 con P. I. Richards del Brookhaven National Laboratory di Long Island a New York [8]. Attraverso quella che poi venne definita come la trasformazione di Richards era possibile sostituire in maniera biettiva gli elementi a costanti concentrati con stub di linea terminati, a secondo del componente da surrogare, o in corto circuito o in circuito aperto. Poiché gli stub erano tutti della stessa lunghezza questo tipo di approccio è noto anche come teoria dei filtri commensurati. Tuttavia la presenza di stub in serie, per giunta collegati tutti in un unico nodo equipotenziale, rendeva i circuiti trasformati secondo Richard molto difficili da realizzare fisicamente. Questo problema venne risolto dal 2

5 giapponese K. Kudura attraverso alcune equivalenze fra circuiti a stub posti in differenti configurazioni note anche come Identità di Kodura. Il suo lavoro venne pubblicato nel 1955 in una tesi in giapponese mentre la sua comparsa in un articolo scientifico, in lingua inglese, sembra essere ad opera di H. Ozaki e J. Ishii nel 1958 [9]. Nel 1957, il radioamatore statunitense e pioniere del radar Leo C. Young (call-sign W3WV) del National Research Laboratory di Washington pubblico un metodo per la progettazione di filtri a partire da un prototipo a costanti concentrate i cui elementi erano separati da tratti di linea in quarto d'onda che fungevano da trasformatori d'impedenza [10]. Attraverso questo procedimento era possibile progettare filtri con larghezze di banda fino a un ottava, corrispondente a un Q di circa 1,3. Le procedure di Young riguardavano soprattutto risuonatori a cavità accoppiati da iridi induttive e molti dei parametri progettuali erano stati ottenuti empiricamente. Per una soluzione esatta del problema si dovranno attendere dieci anni quando nel 1967 R. Levy dell'università di Leeds, in Inghilterra, pubblicò una teoria formale sui filtri accoppiati [11]. Con l'introduzione, a metà del Novecento, della microstriscia e delle relative tecnologie planari la realizzazione dei filtri a microonde venne notevolmente semplificata e oltre alle strutture commensurate tradizionali iniziarono ad essere studiate configurazioni più complesse come i filtri a linee parallele accoppiate [12], i filtri interdigitali [13] e filtri combline[14]. Gran parte di questi lavori furono sviluppati dal gruppo di ricerca dell'università della California guidato dall'ingegnere elettrico George L. Matthaei che insieme a Young del National Research Laboratory di Washington scrissero nel 1964 un libro che ancora oggi è considerato il riferimento più importante per i progettisti di circuiti a parametri distribuiti (ovvero [15] e [20]). Già nel 1970, la maggior parte delle tipologie di filtri a microonde oggi conosciuta era stata descritta [16]. La ricerca degli ultimi anni del Novecento si è concentrata essenzialmente su nuove classi o varianti matematiche dei filtri come gli pseudo-ellittici e i Chebyshev generalizzati oltre a perfezionare le tecniche di implementazione con metodiche alternative come le stripline sospese e le finline [17]. 1.4 Filtro passa basso prototipo (LPprototipo) Nell'approccio moderno, per rendere la sintesi del filtro più agevole e per unificare i passaggi matematici, tutte le funzioni di trasferimento da implementare (siano esse di tipo passa banda, passa alto, arresta banda ecc...) vengono "distorte" in modo da diventare tutte di tipo passa basso con guadagno massimo, frequenza di taglio, resistenza d'ingresso e di carico unitaria. Questo particolare tipo di filtro è chiamato generalmente passa basso prototipo (LPprototipo). Come in un gioco di specchi deformanti la funzione di trasferimento iniziale viene manipolata in modo che diventi sempre la stessa rendendo la trattazione matematica unica a prescindere dalla risposta di partenza. La trasformazione ovviamente non dovrà rimuovere le particolarità della funzione di trasferimento iniziale come il ripple in banda e dovrà essere reversibile. Una volta ottenuto il circuito a costanti concentrate che implementa la funzione di trasferimento del filtro passa basso prototipo si opererà quindi la trasformazione inversa in modo da ottenere il circuito (sempre a costanti concentrate) che implementa la risposta di partenza data da progetto. 1.5 Trasformazioni in frequenza Per differenziare la funzione di trasferimento originale da quella distorna del passa basso prototipo si distinguono i domini con un indice. Normalmente con ω si rappresenta la funzione di progetto e con ω' quella dell'lpprototopo. Per trasformare la funzione originaria da ω al dominio modificato ω' basterà applicare una trasformazione del tipo: =() (1.1) con riferimento alla figura 1.1 si riportano di seguito le principali trasformazioni: da LP (low pass - passa basso) da HP (high pass - passa alto) da BP (band pass - passa banda) da BR (band rejected - arresta banda) = = = = a LPprototipo con = pulsazione di taglio per i filtri LP e HP con = per i filtri BP e BR Tab Trasformazioni in frequenza dei filtri di progetto in LPprototipo. 3

6 Si noti come la normalizzazione del filtro LPprototipo (ω C '=1) risulta verificata ogni qual volta la frequenza del filtro originale è quella di transizione: nell'lp e HP si ottiene =1 sostituendo ad ω il valore di ω c mentre nel BP e BR sostituendo ad ω il valore di ω 2 o equivalentemente di ω Criteri di approssimazione La funzione di trasferimento del filtro può essere progettata in modo da avere determinate caratteristiche, ovvero secondo classi di risposta che approssimano e rendono fisicamente realizzabile le funzioni di trasferimento ideali di figura 1.1. Di seguito tratteremo più in dettaglio la classe di tipo Butterworth e di tipo Chebyshev che come vedremo più avanti sono le uniche che permettono un'implementazione attraverso circuiti particolarmente semplici chiamati reti a scala. Essendo tutti i filtri originari deformati in un passa basso prototipo le approssimazioni sono riferite solo a quest'ultimo. Il filtro passa basso prototipo ha una risposta ideale come quella in figura 1.2 riportata appresso. c = Fig Risposta ideale del filtro passa basso prototipo Tipo Butterworth Il criterio di Butterworth è ottimizzatoo in modo da non presentare oscillazioni nella banda passante, per questo motivo i filtri approssimati secondo questo criterio vengono spesso identificati con il nome di filtri massimamente piatti (maximally flat). ( ) = ( ) dove: - è l'ordine del filtro. Le principali caratteristiche dell'approssimazione secondo Butterworth sono: - guadagno unitario in continua - tendenza a zero, al crescere della pulsazione, come 1 ( ) - valore di circa -3dB qualunque sia alla pulsazione di taglio ( =1) (1.2) Fig Risposta di un filtro Butterworth al variare dell'ordine [4, pag. 203]. 4

7 1.6.2 Tipo Chebyshev Il criterio di Chebyshev è ottimizzato in modo da presentare una pendenza più marcata rispetto a quello di tipo Butterworth, per contro presenta un ripple di ampiezza costante in banda passante. Per questo motivo i filtri approssimati secondo Chebyshev vengon no spesso identificati con il nome di filtri a ondulazione costante (equi-ripple). ( ) = ( ) dove: - è l'ordine del filtro -! è un parametro che determina l'attenuazione in banda passante (e quindi il ripple in banda passante) -" ( ) rappresenta il polinomio di Chebyshev di ordine Le principali caratteristiche dell'approssimazione secondo Chebyshev sono: - guadagno oscillante tra gli estremi 1 e (1#! ) $, ovvero in db, tra 0 e 10log (1#! ) nella banda passante - guadagno uguale a (1#! ) $ qualunque sia alla pulsazione di taglio ( =1) - guadagno sempre diverso da 1 (ovvero attenuazione sempre diversa da 0) in continua (ω'=0) e per pari (1.3) Fig Risposta di un filtro Chebyshev al variare dell'ordine [4, pag. 206]. 1.7 Reti a scala Una volta determinato il tipo di risposta desiderata e l'ordine del filtro è necessario procedere alla realizzazione circuitale vera e propria. Con il metodo della sintesi di rete è possibile realizzare la funzione di trasferimento prescelta attraverso un circuito passivo a parametri concentrati costituito da soli induttori e condensatori. Nel caso delle approssimazioni Butterworth e Chebyshev si ottengono dei circuiti che notoriamente vengono chiamati reti a scala, questo perché sembrano una scala a pioli posta in orizzontale come mostrato in figura 1.5. Le reti a scala possono essere di tue tipologie secondo quale cella circuitale si decide di replicare: tipo LC o tipo CL. L'ordine del filtro rappresenta il numero di componenti circuitali che costituisce il filtro. (a) 5

8 (b) Fig Esempi di reti a scala: (a) di tipo CL, (b) di tipo LC. Si noti come l'ultimo elemento è un condensatore o un induttore in base al valore di : se è dispari (odd) allora sarà sempre uguale al primo elemento mentre se è pari (even) allora sarà sempre uguale al secondo elemento. Si notino le terminazioni del circuito ( e ), già presenti negli schemi sin dall'inizio. Questo risulterà molto importante quando si dovrà poi realizzare praticamente il circuito. Normalmente in ingesso è sempre posta l'impedenza secondo Thevenin della rete antecedente il filtro e in uscita la resistenza di carico. Entrambe sono normalizzate a 1 e modellano rispettivamente il circuito a valle e a monte del filtro. Per il calcolo degli elementi dell' LPprototipo si possono impiegare le formule di tabella 1.2 ma esistono anche tavole con i valori già calcolati in base all'ordine del filtro (vedi ad esempio [20, pagg ]). Tab formule per il calcolo degli elementi dell'lpprototipo [4, pag. 211]. Ogni ) può essere un condensatore o un induttore in base alla tipologia di rete a scalaa implementata. L'ordine del filtro è ottenuto graficamente attraverso nomogrammi che mettono in relazione l'attenuazione con una determinata frequenza (tipicamente in banda opaca) preventivamente normalizzata secondo le formule di tabella 1.1. I filtri Chebyshev di ordine pari presentano in continua (ω'=0) un attenuazione sempre diversa da zero (vedi particolare di figura 1.4). A frequenza nulla i componenti dei circuiti a scala di figura 1.5 non fanno altro che realizzare un collegamento diretto tra la porta d'ingresso e quella di uscita. Pertanto l'unico modo perché l'attenuazione per ω'=0 sia diversa da zero è che l'impedenza della sorgente differisca da quella di carico. Questo normalmente non è richiesto dal progetto che auspica viceversa che l'impedenza di carico sia la medesima di quella di sorgente. Questo spiega perché i filtri di tipo Chebyshev, e per estensione naturale anche tutti gli altri, sono normalmente di ordine dispari. La scelta, invece, di replicare una cella LC piuttosto che una CL (dato che implementano la stessa funzione di trasferimento) è dettata essenzialmente da caratteri di ordine pratico che vedremo in seguito. In generale, tenendo conto dell'ordine dispari, avremo sempre uno dei seguenti casi: (a) 6

9 Fig LPprototipo realizzato con una rete a scala di ordine dispari: (a) di tipo CL, (b) di tipo LC dove nel caso dell' LPprototipo di tipo CL di figura 1.6 (a) sarà: * = =1 (1.4a) " = (1.4b) = (1.4c) " + = + (1.4d) ecc... e nel caso dell' LPprototipo di tipo LC di figura 1.6 (b) sarà: * = =1 (1.5a) = (1.5b) " = (1.5c) + = + (1.5d) ecc Trasformazioni inverse (b) Una volta ottenuta la rete a scala di ordine dispari del filtro prototipo, come in figura 1.6 (a) o (b), è necessario applicare le trasformazioni di frequenza inverse per permettere al sistema di implementare la funzione di trasferimento originale. Questo essenzialmente si risolve in una trasformazione dei compenti del circuito che subiscono un mutamento sia in termini di valore che di tipologia, pur rimanendo tutti a parametri concentrati. Il primo passo è una de-normalizzazione dei valori in modo che le resistenze di ingresso e di uscita del filtro diventino quelle del sistema reale che rappresenteranno poi le impedenze reali di chiusura del filtro. Tipicamente si tende a mantenere queste due resistenze uguali all'impedenza caratteristica * della linea (valori tipici sono 50 o 75 Ω) De-normalizzazione relativa all'impedenza di terminazione Per de-normalizzare la rete a scala dell'lpprototipo basterà imporre per ciascun componente la seguente relazione:, - =, - * (1.6) dove, - rappresenta il valore di impedenza del componente i-esimo del filtro LPprototipo mentre, - rappresenta il nuovo valore i-esimo di impedenza de-normalizzato. Nel caso degli induttori e dei condensatori avremo che l'impedenza sarà puramente reattiva, mentre nel caso della resistenza sarà puramente resistiva. Pertanto avremo: Per i resistori * - =* - * Per gli induttori Per i condensatori - = - * " - = " - * Tab Formule per la de-normalizzazione relativa all'impedenza di terminazione. 7

10 Una volta applicate le de-normalizzazioni di impedenza la rete a scala si presenta come in figura 1.7 riportata appresso. (a) (b) Fig LPprototipo de-normalozzato rispetto l'impedenza di terminazione: (a) di tipo CL, (b) di tipo LC De-normalizzazione relativa alla frequenza Per de-normalizzare la rete a scala dell'lpprototipo in termini di frequenza basterà imporre per ciascun componente la seguente relazione:, - ( )=, -.()/=, - () (1.7) impiegando le trasformazioni riportate in tabella 1.1. Da queste relazioni è possibile ottenere le seguenti trasformazioni: - " - - " - - = - " - = " - a LP (low pass - passa basso) da LP prototipo (de-normalizzato in impedenza) - " - " - - " - = = 1 " - a HP (high pass - passa alto) - 0- " = " - - " - " 0- = - - = " - " - " - = a BP (band pass - passa banda) 8 segue...

11 - " - 0- " 0- - " - 0- = ( ) - 1 " 0- = - a BR (band rejected - arresta 1 banda) - = " - " - = " - in ogni caso * - =* - Tab Formule per la de-normalizzazione relativa alla frequenza. 1.9 Sintesi mediante modelli a parametri distribuiti A questo punto il circuito a costanti concentrati implementa, secondo la teoria tradizionale dei circuiti, la risposta in frequenza desiderata ovvero quella di progetto. Il filtro così ottenuto apparterrà alla stessa classe di approssimazione del filtro prototipo da cui discende e anche le eventuali prerogative imposte sull'attenuazione e sul ripple saranno mantenute inalterate. È questo il momento, se siamo nel campo delle alte frequenze, di trasformare i componenti a parametri concentrati in elementi a parametri distribuiti. Vedremo nel come trovare una sorta di corrispondenza biunivoca tra i vari elementi circuitali e tronchi di linea in stub. Da questo punto in poi per linea si intende una qualsiasi struttura guidante compatibile con le frequenze in gioco. Tuttavia questo primo passaggio non è sufficiente a rendere il filtro pronto per la realizzazione ma è necessario operare un secondo passaggio che serve fondamentalmente a separare nello spazio i vari elementi circuitali che altrimenti risulterebbero collegati tutti ad un unico nodo equipotenziale. Questo secondo passaggio sarà descritto più in dettaglio nel Trasformazione di Richards Al fine di introdurre un metodo formale per effettuare il passaggio dal modello a parametri concentrati a quello a parametri distribuiti (per poi passare alla realizzazione pratica del filtro) è possibile utilizzare, almeno per il filtro passa basso(lp) e passa alto (HP) la cosiddetta trasformazione di Richards: 1=1tan con 7 = pulsazione di taglio dei filtri LP e HP. A titolo di esempio applichiamo la trasformazione di Richards ad una rete a scala di tipo LC., 09 =1 - =1 - tan5 9 =1" - =1 " - tan5 6 8=1,,- tan <==, - da cui,,- = - e = = > : :? : tan - A da cui,,- = 9 e = = > :? (1.8) (1.9) (1.10) dove la C di,,- sta ad indicare che l'impedenza caratteristica è ottenuta per trasformazione del Componente i- esimo. In altri termini la trasformazione di Richard consiste nell'eguagliare l'impedenza di un elemento a costanti concentrate con l'impedenza d'ingresso di un tratto di linea chiuso in C.C. o in C.A. In generale avremo: -,,- B 4,,- = - " -,,- 9,,- = 1 " - con B =2D E Tab corrispondenze per i filtri LP e HP fra i componenti a costanti concentrate e quelli a parametri distribuiti. B 4

12 Per quanto riguarda invece i filtri passa banda (BP) e arresta banda (RP) è possibile dimostrare, sotto l'ipotesi # con (tipicamente con pari ad un ottava di ) le corrispondenze di tabella 1.6. A titolo di esempio consideriamo un circuito LC parallelo come in figura 1.8. ", pertanto avremo:,= J K = J 5$ K LMN M NO 8 Fig Esempio di circuito LC parallelo. ricordando che per un risuonatore (sia di tipo parallelo che di tipo serie): = 0 allora,,= = J P$ M Q M R J P M SM Q M R = J T (MS ponendoci in = # si ottienee =, pertanto,= J U MMS M M V trascurando, J SMQ )(M\M Q ) M ] Consideriamo un tronco di linea chiuso in corto circuito come quello mostrato in figura 1.9. <= (1.11) (1.12) (1.13) (1.14) (1.15), pertanto avremo:,=1, tan(<=) Fig Esempio di un tratto di linea chiuso in corto circuito. (1.16) con <= = 6 > = = 6W X Y = = X Y = e Z W ponendoci in = # si ottienee <= = Q X Y =# X Y = sapendo che =2D[ e imponendo il primo addendo della (1.18) sarà: 6 > Q > Q? = 6 il secondo addendo della (1.18) sarà, manipolando ulteriormente: > Q = X Y X Y? X Y W Q? = X Y = 6 X Y W Q? Q sfruttando le relazioni (1.19) e (1.20) la (1.18) può essere riscritta come: =[B intesa come velocità di fase = = > Q? con Z W =B [ <= = 6 #6 Q 10 (1.17) (1.18) (1.19) (1.20) (1.21)

13 sfruttando le proprietà goniometriche si può dimostrare che : tan <==tan = cotan5 6 8 Q Q 6 pertanto, 1, Q = Q_ Q 6 J6 Q ponendo in uguaglianza le relazioni (1.15) e (1.23) si ottiene: J = Q_ Q J6, = 6? Q (1.22) (1.23) (1.24) Pertanto un risuonatore come quello di figura 1.18 equivale ad uno stub chiuso in corto di lunghezza B 4 con impedenza caratteristica pari alla (1.24). Analogamente a quanto fatto per il risuonatore parallelo si può ottenere: 0- / - " 0- /" -,,- B 4,,- =? Q0 a9 6 per BP con c=d " per BR -/ 0-,,- = 6? a9 Q " -/" 0-,,- con = e B =2D E Tab Corrispondenze per i filtri BP e BR fra i componenti a costanti concentrate (in versione bipolo) e quelli a parametri distribuiti. I risuonatori possono essere impiegati anche come rete 2porte. Quando sono verificate particolari condizioni di chiusura degli elementi risuonanti. In particolare è possibile dimostrare le seguenti equivalenze: B 4 con c=d " per BP per BR,- ",- B 2,,-,,- = Q0 Q,9 6 quando l'impedenza di chiusura è,,- ",-,- B 2,,-,,- = 6 Q Q,9 quando l'impedenza di chiusura è,,- con = e B =2D E Tab Corrispondenze per i filtri BP e BR fra i componenti a costanti concentrate (in versione rete 2 porte) e quelli a parametri distribuiti. A differenza delle altre corrispondenze in quest'ultima tabella il pedice 0 dei componenti sta ad indicare che il loro valore è imposto a priori e non deriva da nessuna trasformazione (come quelle di tabella 1.4). Vedremo più avanti, nei filtri accoppiati, il loro impiego e in base a che criterio tali valori saranno scelti Invertitori di immettenza Per rendere il filtro fisicamente realizzabile è necessario separare fra loro i componenti in modo che non risultino tutti connessi allo stesso nodo potenziale. Questo ovviamente non deve alterare la risposta finale del filtro. 11

14 A tale scopo sono noti sostanzialmente due approcci: le Identità di Kodura e gli invertitori di immettenza. Nonostante i primi risultino matematicamente e formalmente più rigorosi trovano maggior applicazione i secondi che hanno il vantaggio intrinseco di trasformare, praticamente a piacimento, i valori dei componenti che costituiscono il filtro. Per questo tratteremo in dettaglio solo il secondo approccio. Un invertitore di impedenza K è una rete due porte che si comporta a tutte le frequenze come una linea B/4 di impedenza caratteristica K. con, = m _ n Fig Invertitore di impedenza K. In maniera duale un invertitore di ammettenza J è una rete due porte tale che: = o p n Fig Invertitore di ammettenza J. Il termine immettenza deriva dalla combinazione delle parole impedenza e ammettenza e normalmente è utilizzato per denotare un generico invertitore (K o J). Le proprietà più importanti da cui traggono significato le sostituzioni di tabella 1.8 e 1.9 sono le seguenti: J q =s, r Fig Proprietà dell'invertitore di ammettenza J. Con riferimento alla figura 1.12 q e, r sono noti a priori avremo: s=t p u _ v K K, r q Fig Proprietà dell'invertitore di impedenza K. Con riferimento alla figura 1.13 se, r q sono noti a priori avremo: w=t _ v p u Dalle proprietà di figura 1.12 e 1.13 è evidente il significato del nome 'invertitore' poiché quelli di ammettenza sono usati per trasformare una impedenza serie in una ammettenza parallelo e quelli di impedenza per trasformare un ammettenza parallelo in un impedenza serie. Lo scambio dei terminali nei circuiti di figura 1.12 e 1.13 rappresentano lo sfasamento di 180 che gli invertitori operano sulla rete oltre alla trasformazione di impedenza. La scelta del valore di impedenza o ammettenza, racchiusa dalla coppia di invertitori, è normalmente operata in base alle caratteristiche di implementazione pratica del componente stesso, ovvero secondo i circuiti a parametri distribuiti che ne riproducono ad alta frequenza il comportamento. 12

15 Di fatto si andrà a scegliere il valore e la tipologia del componente racchiuso fra gli invertitori in base alle caratteristiche di trasformazioni di tabella 1.5, 1.6 e 1.7 (come vedremo più in dettaglio nel e 2.1.2). - s=y ",- - " - s=y " -,- 0- / - " 0- /" - s=t Q,9 0 a9 per BP con c=d " per BR Tab Corrispondenze fra i bipoli serie a costanti concentrate e le coppie di invertitori J. - w=y - ",- " - w=y,- " - " -/" 0- -/ 0- w=t 0 Q,9 a9 Tab Corrispondenze fra i bipoli parallelo a costanti concentrate e le coppie di invertitori K. Come in tabella 1.7 anche in questo caso il pedice 0 sta ad indicare che i valori dei componenti a costanti concentrate racchiuse dagli invertitori sono imposti a priori e non derivano da nessuna trasformazione. Come prima gli invertitori di ammettenza J trasformano elementi serie in elementi parallelo mentre gli invertitori di impedenza K scambiano i componenti parallelo con quelli serie. Per questo motivo la coppia di invertitori posti agli estremi del componente vengono comunemente chiamati trasformanti. Abbinando le sostituzioni delle tabelle 1.8 e 1.9 con le seguenti proprietà è possibile ottenere l'impedenza desiderata anche per quei componenti non racchiusi dalla coppia di invertitori trasformanti (come vedremo più in dettaglio nel e 2.1.2). 13 con c=d " per BP per BR

16 J J J J Fig Proprietà di variazione dei livelli di ammettenza inclusa fra due invertitori. Con riferimento alla figura 1.14 zzz={ q allora s =s {=st p u zzz p u K K K K Fig Proprietà di variazione dei livelli di impedenza inclusa fra due invertitori. Con riferimento alla figura 1.15 se zzz={, r, r allora w7 =w{=wt _ v _ v L'idea generale è quella di trasformare la rete a scala (de-normalizzata in impedenza e frequenza) in una rete che abbia tutti componenti serie o tutti componenti parallelo che oltre ad essere separati, in modo tale da non risultare connessi ad un unico nodo equipotenziale, possano essere realizzati tutti con un unica tecnica implementativa fra quelle presentate in tab. 1.5, 1.6 e 1.7. Oltre a ciò le proprietà di figura 1.14 e 1.15 hanno l'ulteriore vantaggio di modulare a piacimento il valore di tutti i componenti della catena. Anche gli invertitori di immettenza, così come i componenti (che abbiamo già visto nel 1.9.1), dovranno essere realizzati con elementi a parametri distribuiti. L'implementazione pratica in questo caso è molto variabile e dipende essenzialmente dalla tecnologia adottata per la realizzazione del filtro. Di seguito riportiamo alcune idee di implementazione. Invertitore K zzz Invertitore J B 4, } =w B } = 1 =s, }, } con B=d B per LP e HP B per BP e BR, } con B=d B per LP e HP B per BP e BR, Ф= arctg 2c Ф= arctg 2,,, Tab Principi di implementazione degli invertitori. Il pedice I di, },- sta ad indicare che l'impedenza caratteristica è ottenuta per trasformazione dell'invertitore i-esimo Tipi di filtri in microstriscia Vedremo appresso come partendo dalle reti a scala, quindi da filtri approssimati secondo Butterworth o Chebyshev e combinando le varie implementazioni a parametri distribuiti presentate nel e nel si possono ottenere tutta una serie di filtri con diverse particolarità e specificità. In particolare focalizzeremo l'attenzione sull'implementazione in microstriscia che ad oggi rappresenta la tecnica realizzativa più diffusa per la sua semplicità ed estrema economicità Filtri a linee e stub (stub filters) Quando gli invertitori di immettenza vengono realizzati con tratti di linea a B/4 (con B=B per i filtri LP - HP e B=B per i filtri BP - BR) e gli elementi circuitali a costanti concentrate sono realizzati con stub allora si parla di filtri a linee e stub. Rappresenta la tecnica di realizzazione più semplice e si adatta ad ogni tipo di filtro. Normalmente sono adottati quando la banda passante è inferiore all'ottava che rappresenta il limite per cui un 14

17 tratto di linea B/4 si comporta come invertitore di immettenza. Se costruiti in microstriscia, dove sono da evitare per la loro difficoltà realizzativa gli stub in serie, sarà necessario trasformare tutti gli elementi serie in elementi parallelo impiegando le trasformazionii di tabella 1.8. Per sfruttare la proprietà che ha l'invertitore di ammettenza di trasformare a piacimento i valori dei componenti che costituiscono il filtro è preferibile realizzare la rete a scala partendo da una cella LC in modo tale che il primo elemento sia subito trasformato da una coppia di invertitori e del primo stub sia subito gestibile il valore di impedenza caratteristica. Con questo approccio esistono sostanzialmente tre soluzioni progettuali: - il primo consiste nello scegliere il valore dei componenti parallelo racchiusi dagli invertitori, e quindi l'impedenza caratteristica dello stub, in modo che siano tutti uguali. Questo ovviamente a scapito degli invertitori e quindi della loro impedenza caratteristica che sarà per ogni invertitore diversa. Avremo una linea di impedenza caratteristica variabile a cui sono applicati stub con stessa impedenza caratteristica. Questo approccio è normalmente da evitare. - il secondo, più diffuso, consiste nello scegliere il valore dei componenti parallelo racchiusi dagli invertitori, e quindi l'impedenza caratteristica dello stub, in modo che il valore di J sia sempre lo stesso. In questo modo avremo una linea di impedenza caratteristica costante a cui sono applicati stub con impedenza caratteristica variabile. - il terzo, che può essere considerato una combinazione dei primi due, consiste nello scegliere i valori degli stub e delle linee che realizzano gli invertitori tutti diversi. Normalmente questo approccio è usato in fase di ottimizzazione quando o non è possibile raggiungere con la tecnologia adottata i valori di impedenza caratteristica richiesta o si cerca di migliorare e ripulire la funzione di trasferimento del filtro. In entrambi i casi è necessario l'impiego di strumenti software di simulazione. (a) Fig Esempi reali di filtri a linee e stub (stub filter) realizzati in microstriscia: (a) con stub terminati in circuito aperto, (b) con stub terminati in corto circuito attraverso dei fori metallizzati terminali verso il piano di massa. Si noti come per limitare l'accoppiamento fra gli stub questi vengono disposti tipicamente in maniera alternata rispetto ai tratti di linea che implementano gli invertitori. In molte applicazioni pratiche, per realizzare particolari valori di impedenza caratteristica, si pongono nello stesso punto due stub in parallelo. In quest'ultimo caso l'alternanza non è più possibile e si dovranno tenere in conto degli accoppiamenti parassiti. (b) Fig Esempio di filtro a linee e stub (stub filter) realizzato in microstriscia con 6 degli 8 stub posti in parallelo a coppie. Per ottenere una larghezza di banda più ampia gli stub lineari di tipo tradizionale possono essere sostituiti da stub radiali che hanno il vantaggio di avere una risonanza per una banda più ampia. Quando due stub radiali sono posti in parallelo vengono chiamati stub a farfalla per via della particolare forma che assumono [18 pagg ]. Fig Esempio di filtro a linee e stub (stub filter) realizzato in microstriscia con 6 stub radiali posti in parallelo a coppie equivalenti a 3 stub a farfalla. 15

18 Filtri a linee parallele accoppiate (parallel-coupled line filters) Questa particolare tecnica implementativa si applica esclusivamente ai passa banda. I risuonatori, siano essi paralleli o serie, vengono realizzati con tratti di linea a B /2 e gli invertitori sono realizzati accoppiando queste linee fra loro in modo longitudinale. Rappresenta la tecnologia di implementazione più diffusa in ambito ingegneristico per realizzare filtri passaa banda ad alta frequenza. Come vedremo più in dettaglio nel e la relazione che si sfrutta per realizzare questo tipo di filtri è quella mostrata nella seguente figura: Fig Equivalenza circuitale per la realizzazione degli invertitori nei filtri a linee parallele accoppiate. Questa tecnica è possibile perché l'invertitore di impedenza (K) presenta in ingresso sempre una impedenza piccola rispetto a quella di chiusura, che tipicamente è Z 0. Per questo l'implementazione di tabella 1.7 riga 1 diviene applicabile. Viceversa si impiega l'implementazione di tabella 1.7 riga 2 quando l'invertitore è di ammettenza (J) che presenta in ingresso sempre una impedenza grande rispetto a quella di chiusura. Se si scelgono gli invertitori K è preferibile, per sfruttare la proprietà che ha l'invertitore di trasformare i valori dei componenti, realizzare la rete a scala partendo da una cella CL. Viceversa se si scelgono gli invertitori J è preferibile partire da una cella LC. In questo modo già il primo elemento è subito trasformabile, attraverso una coppia di invertitori, e quindi è subito gestibile il valore di impedenza caratteristica del primo tratto di linea. Normalmente si scegliere il valore dei componenti serie e quindi l'impedenza caratteristica della linea in modo che siano tutte uguali. Questo ovviamente a scapito degli invertitori e quindi dell'accoppiamento fra le linee che sarà in generale diverso per ogni invertitore. Avremo una linea di impedenza caratteristica costante con accoppiamenti variabili. Fig Esempio reale di un filtro a linee parallele accoppiate (parallel-coupled filter) realizzato in microstriscia. Questo filtro viene normalmente stampato in diagonale, come mostrato in figura 1.21 in modo da ridurre al minimo lo spazio occupato sul substrato dielettrico della microstriscia. Tuttavia questa particolarità non è una caratteristica essenziale ai fini della risposta finale del filtro. Fig Esempio di un filtro a linee accoppiate parallele (parallel-coupled filter) realizzato in diagonale per ottimizzare lo spazio occupato sul substrato. 16

19 Per ottenere filtri con basso Q (quindi con ampia larghezza di banda) è necessario ridurre lo spazio di accoppiamento fra le linee e questo spesso può essere limitato dai processi tecnologici di stampa del conduttore. Una soluzione a questo problema è quello di realizzare le linee su più strati di dielettrico sovrapposti. In questo modo, non solo si possono ridurre notevolmente le distanze, senza incorrere nell'accidentale contatto, ma è addirittura possibile sovrapporle aumentando di molto il fattore di accoppiamento. [15, pagg ] Teoricamente i filtri a linee parallele accoppiate non hanno il problema della banda passante spuria attorno alla frequenza 2f cb dove con f cb denotiamo la frequenza di centro banda. Nella pratica tuttavia la disuguaglianza tra velocità di propagazione nei tratti di linea accoppiate dei modi pari e di quelli dispari porta inevitabilmente a valori diversi da zero. [19, pag. 252] Filtri a estremità accoppiate (end-coupled filters) Anche in questo caso la tecnica è applicabile solo ai passa banda e si basa sulla stesso principio dei filtri a linee accoppiate. L'unica differenza che l'invertitore, questa volta solo di tipo ammetenza (J), è realizzato accoppiando le linee in modo trasversale invece che longitudinale (diremo di testa). Questo è possibile sfruttando l'idea di implementazione dell'invertitore J rappresentata in tabella 1.10 e riportata di seguito. Fig Idea di principio per l'implementazione pratica dell'invertitore di ammettenza J. Non a caso questo tipi di filtri sono noti anche con il nome di capacitive gap filters, ovvero filtri a gap capacitivo. Questa implementazione fa uso solo degli invertotori J perchè l'accoppiamento è caratterizzato da un elevata impedenza d'ingresso e l'unica implementazione possibile per i componenti è quella di tabella 1.7 riga 2 ovvero quella che trasforma un risuonatore parallelo in un tratto di linea lungo B /2 lasciato aperto. Pertanto per sfruttare la proprietà che ha l'invertitore di ammettenza di trasformare a piacimento i valori dei componenti che costituiscono il filtro è preferibile realizzare la rete a scala partendo da una cella LC. In questo modo già il primo elemento è subito trasformabile e quindi è subito gestibile il valore di impedenza caratteristica del primo tratto di linea. Normalmente si scegliere il valore dei componenti parallelo e quindi l'impedenza caratteristica della linea in modo che siano tutte uguali. Questo ovviamente a scapito del valore dei condensatori che implementano l'invertitore e quindi a scapito dell'accoppiamento che sarà per ogni invertitore diverso. Avremo una linea di impedenza caratteristica costante con valori di reattanza per l'accoppiamento variabile. Si noti come il termine Ф di figura 1.22, che rappresenta lo sfasamento dovuto alla linea e quindi la sua lunghezza, è un valore negativo che dovrà quindi essere sottratto alla linea lunghe B /2 che implementano i risuonatori paralleli. Fig Esempio reale di un filtro a estremità accoppiate (end-coupled filter) realizzato in microstriscia. Le prestazioni di questa tecnologia sono limitate dalla banda passante che di norma non scende sotto valori di Q pari a 5. Il limite è essenzialmente legato a due fattori: il primo dovuto all'elevato livello di perdita di inserzione, l'altro alla difficoltà nel realizzare la larghezza del gap per bande passanti più ampie che diviene sempre più piccolo. Anche in questo caso la limitazione è legata alla risoluzione della tecnologia di stampa dei circuiti [15, pagg. 422, ]. 17

20 Filtri a iride (iris filters) La versione duale del filtro end-coupled è il filtro ad iride. In questo caso per realizzare l'invertitore di immettenza si impiega la seguente uguaglianza: Fig Idea di principio per l'implementazione pratica dell'invertitore di impedenza K. Questa implementazione riflette una bassa impedenza in ingresso rispetto a quella di chiusura. Per questo l'unica implementazione possibile è quella di tabella 1.7 riga 1 ovvero quella che trasforma un risuonatore serie in un tratto di linea lungo B /2 chiuso in corto. Per questo motivo, e per sfruttare la proprietà che ha l'invertitore di trasformare i valori dei componenti del filtro, è preferibile realizzare la rete a scala partendo da una cella CL. La sua implementazione in microstriscia è praticamente impossibile (poiché si dovrebbe inserire un elemento induttivo fra il piano di massa e la linea attraverso il substrato) e normalmente è realizzato in guida d'onda. Si scegliere il valore dei componenti serie, e quindi dell'impedenza caratteristica della linea, in modo che siano tutte uguali. Questo ovviamente a scapito degli invertitori e quindi degli induttori che saranno in generale diversi. Avremo una linea di impedenza caratteristica costante con induttori per l'accoppiamento variabili. Nella guida d'onda questi induttori sono realizzati da una sorta di diaframmi ad apertura variabile (da cui il nome del filtro) posti lungo la guida come mostrato in figura 1.25 riportata appresso. Fig Esempio di un filtro a iride (iris filter) realizzato in guida d'onda Filtri a forcella (hairpin filters) Sono identici in tutto e per tutto ai filtri a linee accoppiate parallele con l'unica differenza che per rendere la struttura più compatta i tratti di linea B /2, che modellano i risuonatori, sono ripiegati ad "U" come a formare una forcella per capelli, da cui il nome del filtro. L'accoppiamento rimane sempre di tipo longitudinale. Ovviamente in questo caso si dovrà tener conto dell'inevitabile accoppiamento che nasce anche fra i due tratti a B /4 appartenenti alla stessa linea che è stata ripiegata. Fig Esempio reale di un filtro a forcella (hairpin filters) realizzato in microstriscia. 18

21 Filtri interdigitali (interdigital filters) Questo tipo di filtri rappresenta il duale di quelli a linee parallele accoppiate. Anche in questo caso i risuonatori vengono realizzati con tratti di linea a B /2 e gli invertitori di immettenza sono realizzati accoppiando queste linee fra loro in modo longitudinale. L'unica differenza è che questa volta le terminazioni delle linee accoppiate, invece di essere lasciate semplicemente scollegate, vengono poste a massa. La relazione che si sfrutta per realizzare questo tipo di filtri è quella mostrata nella seguente figura: Fig Equivalenza circuitale per la realizzazione degli invertitori nei filtri interdigitali. Come per i filtri a linee parallele accoppiate è possibile sviluppare il filtro in modo longitudinale, come in figura 1.28, oppure ripiegando ad "U" i tratti di linea come in figura Quest'ultima tecnica, mutuata dai filtri a forcella, rappresenta la più diffusa poiché semplifica notevolmente la realizzazione dei collegamenti a massa che nelle versione longitudinale devono essere realizzati con dei fori metallizzati disseminati sul substrato. In questo caso i tratti ripiegati possono essere assimilati (a causa del collegamento a massa) ad un unico tronco di linea costituito dal parallelo dei tratti ripiegati. Fig Schema di principio per la realizzazione dei filtri interdigitali (interdigital filters) longitudinali [20, pag. 643]. Fig Schema di principio per la realizzazione dei filtri interdigitali (interdigital filters) a linee ripiegate, ovvero i filtri interdigitali più noti [20, pag. 643]. 19

22 Per semplificarne la realizzazione spesso il filtro è circondato da un anello di massa, come visibile in figura 1.30, collegato al piano metallico inferiore da alcuni fori metallizzati. A questo anello gli stub si connettono in modo alternato per realizzare lo schema di figura Il nome del filtro trae origine dal disegno di quest'ultima implementazione che ricorda appunto un'impronta digitale con i caratteristici tratti di linea che si intersecano in modo alternato. Ovviamente una struttura come quella in figura 1.30 dovrà tener conto di tutta una serie di accorgimenti progettuali che modellino le capacità parassite che nascono fra le terminazioni lasciata libera e l'anello di massa. Fig Esempio reale di un filtro interdigitale (interdigital filters) con anello di massa realizzato in microstriscia. La realizzazione attraverso un anello metallico apre la strada anche a implementazioni tridimensionali che si prestano ad un assemblaggio molto più facile entro scatole metalliche che possono fungere anche da package per il filtro. In questo caso gli stub sono realizzati da bacchette di metallo avvitate in modo alternato alle pareti di una scatola metallica opportunamente progettata. In questo caso le capacità parassite sono relative a tutte le pareti della scatola e un'analisi progettuale può essere effettuata solo attraverso specifici software di simulazione. Fig Esempio reale di un filtro interdigitale (interdigital filters) tridimensionale realizzato a bacchette racchiuse da una scatola metallica. Con questa tecnica le bacchette risultano immerse in aria e non essendo necessario l'impiego di ulteriori sostegni isolanti le perdite dielettriche si riducono notevolmente. Per entrambe le realizzazioni (planare e tridimensionale) è difficile ottenere valori di Q al di sotto di 1,4. [15, pagg. 424, ] [6, pag. 140]. Spesso per la taratura finale del filtro sono impiegate delle capacità variabili poste sulle sommità libere di ciascun stub che in fase di collaudo vengono variate in modo da compensare gli eventuali difetti, tolleranze di fabbricazione e tutti quei complessi fenomeni di accoppiamento elettromagnetico trascurati dal simulatore. Nella versione tridimensionale le capacità sono realizzate con dei bulloni avvitati al contenitore metallico con l'estremità interna posta di fronte alla terminazione libera di ciascuna bacchetta. Si dovrà aver cura di serrare il bullone in modo che non entri mai in contatto elettrico con il corrispettivo stub. 20

23 Filtri a pettine (comb-line filters) e filtri a falso pettine (pseudo comb-line filters) Rappresentano entrambi l'evoluzione del filtro interdigitale e sfruttano lo stesso principio di accoppiamento. I filtri a pettine hanno la particolarità di avere gli stub collegati a massa tutti dallo stesso lato con l'estremità opposta caricata da un condensatore come mostrato in figura Fig Schema di principio di un filtro a pettine (comb-line filters) [22, pag. 145]. Nei filtri a falso pettine il collegamento a massa degli stub e trasformato in un circuito aperto allungando di B /4 gli stub originali come mostrato in figura Sono considerati a falso pettine perché manca il collegamento di massa sottostante che metteva in connessione tutti i "denti" del pettine. Fig Schema di principio di un filtro a falso pettine (pseudo comb-line filters) [22, pag. 150]. Il vantaggio di queste configurazioni è quello, se non di risolvere, almeno di attenuare il problema della banda passante spuria sulle armoniche doppie rispetto alla frequenza di centro banda e quindi realizzare quella che in gergo è chiamata una band-stop più ampia nella banda di interesse. [15, pagg. 424, ] Fig Esempio reale di un filtro a pettine (com-line filters) realizzato in microstriscia. 21

24 Si noti come tutte le categorie di filtri appena presentate, ad eccezione di quella a linee e stub, sono tutte applicabili esclusivamente a filtri di tipo bassa banda. Questo limite è evidente anche da una semplice ispezione visiva dei collegamenti elettrici o delle strutture reali con cui i filtri sono realizzati che di fatto impedisco sempre il passaggio della componente continua. 22

25 Capitolo Formule di progetto per un filtro passa banda a linee accoppiate Il primo passo nella progettazione di un filtro è definire l'ordine, ovvero il numero di elementi che andranno a costituire il filtro. L'ordine influisce sulla pendenza dei fronti di discesa della funzione di trasferimento del filtro e pertanto il suo valore è normalmente scelto in base all'attenuazione desiderata in corrispondenza di una particolare frequenza in banda opaca. Poiché la progettazione è standardizzata per un passa basso prototipo si dovrà normalizzare questa frequenze secondo le formule di tabella 1.1. Per i filtri di tipo Chebyshev risulta particolarmente importante anche il valore del ripple in banda passante. In questi casi la scelta dell'ordine è legata alla combinazione di attenuazione in banda opaca e del ripple in banda passante. Tipicamente la scelta dell'ordine avviene per via grafica attraverso nomogrammi come quelli riportati di seguito ricordando che è preferibile scegliere sempre un ordine dispari come spiegato più in dettaglio nel 1.7. Fig Monogramma per il calcolo dell'ordine dei filtri di tipo Butterworth. Fig Monogramma per il calcolo dell'ordine dei filtri di tipo Chebyshev con ripple in banda pari a 0,10 db. Si noti come i monogrammi sono dati esclusivamente per la banda opaca ovvero per > = Approccio con invertitori di impedenza K Come descritto nel per i filtri ottenuti con gli invertitori di tipo K è consigliabile partire sempre da un circuito LPprototipo di tipo CL, questo perché permetterà di sfruttare appieno la capacità che hanno gli invertitori di modificare a piacimento il valore dei componenti che implementeranno poi il filtro finale. 23

26 Fig LPprototipo di tipo CL. La scelta del valore dei componenti può essere effettuata secondo Butterworth o Chebyshev a seconda delle indicazioni di progetto, in ogni caso avremo: * = =1 Ω (2.1a) " = (2.1b) = (2.1c) " + = + (2.1d) ecc... Anche in questo caso esistono tabelle e grafici che semplificano il calcolo dei coefficienti -, viceversa possono essere impiegate le formule di tabella 1.2, imponendo: n = ordine del filtro precedentemente ricavato. A questo punto si applica la de-normalizzazione in termini di impedenza in modo da ottenere il seguente circuito. Fig LPprototipo di tipo CL de-normalizzato in termini di impedenza. le impedenze di terminazioni sono quelle reali e pari all'impedenza caratteristica di progetto mentre per il resto avremo: * =* =50 Ω (2.2a) " = K Q (2.2b) = * (2.2c) " + = Q (2.2d) ecc... Sfruttando le trasformazioni di tabella 1.4 si ottiene, secondo la teoria dei circuiti tradizionale, il filtro passa banda desiderato. Fig Filtro passa banda de-normalizzato in termini di impedenza e frequenza. 24

27 con: = ( $ K ) Q Q K " = K ( $ K ) Q (2.3a) 0 = Q ( $ K ) ecc... " 0 = ( $ K ) Q Q (2.3b) A questo punto è necessario separare i risuonatori di figura 2.5 in modo che non risultino connessi ad un unico nodo equipotenziale. Applicando le trasformazioni di tabella 1.9 si può ottenere: Fig Filtro passa banda ottenuto trasformando i risuonatori parallelo in risuonatori serie con due invertitori di impedenza. Si noti come il valore dei componenti che costituiscono i risuonatori non convertiti dalla coppia di invertitori trasformanti rimangono inalterati sia nel valore che nella configurazione (vedi ad es. 0 e " 0 ). Questi ultimi verranno trattati nel successivo passaggio. Il valore dei componenti per il risuonatore serie, originato da quello parallelo attraverso la trasformazione con la copia di invertitori, è scelto in modo tale che il tratto di linea che poi lo andrà a realizzare abbia come impedenza caratteristica quella di progetto, ovvero:, =* (2.4a) Con riferimento alla figura 2.6 imponiamo:,- = (2.4b) con i = 1,3,5,7...,n ",- =" (2.4c) Poiché gli invertitori K presentano in ingresso una bassa impedenza d'ingresso si può impiegare la relazioni di tabella 1.7 riga 1:, - =, = Q0 Q 6 Ricordando che: =* per ogni i = 1,2,3,4...,n (2.5) = ˆ0 Q Q (2.6) dalla (2.5) si ricava: = Q6 Q " = = Q 0 Q Q Q 6 (2.7) (2.8) dalla tabella 1.9 combinando le (2.3) con la (2.7) otteniamo: w =w =t 0 Q,K =t 0 Q OK OK w + =w +? =t 0 Q, =t 0 Q O O =* t 6( $ K ) Q K =* t 6( $ K ) Q (2.9a) (2.9b) ecc... 25

28 Sfruttando la proprietà rappresentata in figura 1.15 è possibile trasformare in e " anche i risuonatori serie rimasti inalterati a scapito ovviamente del valore K degli invertitori che lo includono. In questo modo tutti i risuonatori sono resi uguali e possono essere realizzati con tratti di linea a impedenza caratteristica costante. A parte il primo e l'ultimo tutti gli invertitori della catena risultano modificarti e per questo vengono indicati con una sopralineatura. Imponendo: Fig Filtro passa banda con risuonatori serie tutti uguali separati da invertitori di impedenza modificati. = 0 Q Q = 0 N9 N9 applicando le relazioni di figura 1.15 con le (2.3) e la (2.7), otteniamo: w =* t 6( $ K ) Q K zzzzz=w y J0 Q K w LMOQ J0 N K zzzzz=w + y J0 Q K w + LMOQ J0 N K zzzzz=w +? y J0 Q K w +? ecc... ricordando che: LMOQ J0 N K per i = 1,2,3,4...,n Q K t 0 Q LMO N =* t 6( $ K) Q t 0 Q LMO N =* t 6( $ K) Q t 0 Q LMO N =* t 6( $ K) 0 N =* 6( $ K ) Q 0 N =* 6( $ K ) Q 0 N =* 6( $ K ) Q K ˆ ˆ (2.10) (2.11a) (2.11b) (2.11c) (2.11d) = $ K Q = W $W K W Q con = e [ =ˆ[ [ (2.12) in generale con * =, avremo: m QK _ Q =t 6 Š K = m,\k _ Q m zzzzzzzz, \K = 6 Š _ Q ˆ 9 9\K con n = ordine del filtro i = 1,2,3,4...,n (2.13a) (2.13b) Sapendo (tabella 1.7 riga 1) che i risuonatori serie possono essere trasformati con tratti di linea lunghezza B 2 aventi impedenza caratteristica pari a *, avremo: Fig Filtro passa banda con risuonatori serie realizzati da tratti di linea B 2 separati da invertitori di impedenza modificati. 26

29 Questo circuito può essere scomposto per comodità come in quello rappresentato dalla figura 2.9 riportata appresso. Fig I tratti di linea B 2 vengono scomposti per comodità concettuale in due tratti di lunghezza B 4. In questo modo è possibile impostare l'uguaglianza di figura 2.10 che permette di realizzare l'invertitore e i tratti di linea di lunghezza B 4ad esso afferenti in un elemento circuitale a costanti distribuite costituito da una coppia di linee longitudinali realizzate in microstriscia e collegate come rete due porte ovvero con i terminali 1 e 4 scollegati. Fig Implementazione a linee accoppiate di un invertitore di impedenza incluso fra due tratti di linea B 4. Da [4, pag. 192], raccordando la denominazione delle porte con quella in grassetto di figura 2.10, e quindi imponendo: Œ =Œ ++ Œ =Œ + (2.14) Œ =Œ + Œ =Œ si ottiene che il sistema con linee accoppiate di figura 2.10 ha una matrice di impedenza pari a :.,/ Žq $ - = 1_ Q _ Q 1 _ Q $_ Q dove : cot 1 _ Q $_ Q 1 _ Q _ Q cot š (2.15) - =<= = 6 = rappresenta lo sfasamento dovuto alla lunghezza del tratto accoppiato > - = la lunghezza del tratto accoppiato -, e, rappresentano le impedenze di modo pari (even) e dispari (odd) delle linee accoppiate I valori di, e, sono impedenze caratteristiche fittizie relative a due ipotetiche linee di trasmissione indipendenti che modellano rispettivamente i modi pari e i modi dispari che si propagano sulle linee reali in particolari condizioni. Precisamente i modi pari si ottengono ponendo fra le linee accoppiate, sul piano di simmetria, un conduttore magnetico mentre quelli dispari sono ottenuti con un conduttore elettrico. Dalla sovrapposizione dei modi pari e di quelli dispari è possibile ottenere le soluzioni dei modi che si propagano effettivamente sulle linee accoppiate in condizioni normali. Questa trattazione è valida se i tratti di linea sono simmetrici e quindi hanno ciascuno la stessa impedenza caratteristica,, infatti avremo:,, =, (2.16) dove: -, rappresenta l'impedenza caratteristica di ciascun tratto di linea accoppiato 27

30 Applicando le trasformazioni [4, pag.123] per passare dalla matrice delle impedenze.,/ a quella catena.{" /, avremo: T { " ] Žq $ - _ Q _ Q cos 1 (_ Q _ Q ) _ = Q $_ Q (_ Q $_ Q ) 1 0 _ Q $_ Q ž #1(_ Q $_ Q ) š (2.17) Da [4, pag. 125] sappiamo che un generico tronco di linea ha: l T { " ] - cos 1, sin = 1 1 sin cos š, (2.18) dove : - =<= = 6 = rappresenta lo sfasamento dovuto alla lunghezza del tronco di linea > - = la lunghezza del tronco di linea da [6, pag. 55], sappiamo che per un generico invertitore di impedenza si ha: T { " ] m$-x Ÿ = 0 1 w 1/w 0 (2.19) dove : - w rappresenta il valore dell'invertitore di impedenza Moltiplicando la matrice catena della linea con quella dell'invertitore K e di nuovo con quella della linea si ottiene la matrice.{" / di un invertitore K delimitato da due tratti di linea di lunghezza generica l come mostrato nella figura 2.11 riportata appresso. Pertanto avremo: T { " ] =T { m$ÿ Ÿ " ] - ovvero: T { " ] m$ÿ Ÿ = Fig Invertitore K incluso fra due tratti di linea di lunghezza generica l. T { " ] m$-x Ÿ T { " ] - sin cos 5 _ Q + m _ Q m _ Q m + 15 m _ Q ž m 8 #sin cos 5_ Q m + m _ Q 8 se imponiamo l'uguaglianza della matrice catena (2.21) con la matrice catena (2.17) T { " ] =T { m$ÿ Ÿ " ] Žq $ - si ottiene: 28 (2.20) wcos 8 š (2.21) (2.22)

31 (_ Q _ Q ) (_ Q $_ Q ) _ Q _ Q _ Q $_ Q = sin 5 _ Q m + m _ Q 8 ž # _ Q $_ Q = _ Q = m _ Q $_ Q _ ž Q m 0= sin cos 5 _ Q m + m _ Q 8 poiché nel nostro caso = = > Q? quindi =6 avremo: m wcos k (2.23) sin =sin 6 =1 (2.24) cos =cos 6 =0 (2.25) Se avessimo operato le semplificazioni dovute a (2.24) e (2.25) prima di eguagliare le matrici catena, la prima equazione del sistema (2.23) sarebbe risultata nulla. Viceversa operando le semplificazioni dopo l'uguaglianza il sistema diviene il seguente: _ Q _ Q =5 _ Q + m 8 _ Q $_ Q m _ Q _ Q $_ Q k (2.26) = _ Q m = m _ Q $_ Q _ Q 0=0 La seconda e la terza equazione del sistema (2.26) sono uguali pertanto verrà presa in considerazione solo la seconda. L'ultima equazione di (2.26) è un'identità sempre verificata pertanto ininfluente. Di conseguenza avremo: _ Q _ Q =5 _ Q + m 8 _ Q $_ Q m _ Q k (2.27) _ Q $_ Q = _ Q m risolvendo questo sistema si ottiene:, =, U5 _ Q m 8 _ Q m +1V (2.28a), =, U5 _ Q m 8 + _ Q m +1V (2.28b) generalizzando avremo, per ogni w -,- del filtro, le seguenti impedenze:, -,- =,, -,- =, 9,9\K Q 9,9\K Q + 9,9\K #1ª (2.29a) Q n = ordine del filtro con i = 0,1,2,3...,n 9,9\K Q +1ª (2.29b) Una volta caratterizzato l'accoppiamento dei tratti di linea con le impedenze fittizie, e, è necessario, per l'implementazione in microstriscia, definire tutti quei parametri fisici che permettono di ottenere praticamente tale accoppiamento. In altre parole è necessario ottenere tutte quelle misure di lunghezza, distanza e larghezza delle linee che permettono di realizzare l'accoppiamento desiderato. Normalmente per ottenere questi valori si impiega un software di simulazione abbinato al calcolo del coefficiente di accoppiamento e ad un modello circuitale a 4 porte come quello mostrato in figura

32 Il coefficiente di accoppiamento è un parametro che esprime l'influenza dovuta alla contiguità delle linee. Da [4, pag. 192] è possibile definire il coefficiente di accoppiamento come segue: " = _ Q $_ Q _ Q _ Q (2.30) Impiegando le formule (2.29) è possibile generalizzare la (2.30) in modo da associare un coefficiente di accoppiamento ad ogni invertitore del filtro, pertanto avremo: " -,- = _ Q 9,9\K $_ Q 9,9\K _ Q 9,9\K _ Q 9,9\K con i = 0,1,2,3...,n (2.31) dove : -, -,- e, -,- rappresentano le impedenze di modo pari (even) e dispari (odd) relative all'invertitore w -,- - n ordine del filtro. Fig Tratto di linee accoppiate configurata come rete 4 porte. Sempre da [4, pag. 192], raccordando la denominazione delle porte con quella in grassetto di figura 2.12, e quindi imponendo: = ++ = + + = +?? = + = + = + =?? = + =?+ + =? ++ =?? +? =?? = +? =?+ =??? = si ottiene che il sistema a linee accoppiate di figura 2.12 ha una matrice di scattering.«/ pari a: (2.32)? q Ÿ.«/ Žq $ - = 0 J $ ž J $ $ ž J dove: - " è il coefficiente di accoppiamento - =<= = 6 > 0 J $ ž J $ $ ž J $ $ ž J J $ ž J = lo sfasamento dovuto alla lunghezza del tronco di linea 0 $ $ ž J J $ ž J 0 ± (2.33) Se imponiamo, come nel nostro caso, = = > Q e quindi = 6, la matrice(2.33) si semplifica come segue:?? q Ÿ.«/ Žq $ - ² ³ 0 " 1 1 " 0 " " = ± 1 1 " 0 0 " " " 0 (2.34) Dalla matrice (2.34) è facile verificare come la rete 4 porte di figura 2.12, realizzata da due tratti di linea di lunghezza B 4, ha il parametro di scattering = = +? =?+ pari al coefficiente di accoppiamento ". Il generico parametro di scattering è definito da [4, pag. 117] come: 30

33 -J = k 9 µ L K ² ² ², L dove: -¹ J rappresenta l'onda entrante nella porta j-esima -º - rappresenta l'onda uscente dalla porta i-esima -» numero delle porte (2.35) In altre parole la (2.35) prescrive per il calcolo del parametro di scattering -J che tutte le porte siano adattate tranne quella dove viene valutata l'onda uscente (i-esima). Le considerazioni relative alla (2.35) e quelle relative alla (2.34) suggeriscono che modellando al simulatore un sistema 4 porte con i terminali 3 e 4 adattati (come quello mostrato in figura 2.13) la stima del coefficiente di scattering (o equivalentemente ) corrisponde alla stima del coefficiente di accoppiamento ". Imponendo " pari a quello desiderato è possibile leggere dal simulatore tutte quelle misure fisiche che caratterizzano le linee accoppiate che implementino proprio quel particolare valore di accoppiamento. * * Fig Tratto di linee accoppiate configurato come rete 4 porte e predisposto per la misura dei parametri di scattering o. Poiché il parametro di scattering dipende in generale dalla frequenza tipicamente l'uguaglianza di " si impone in corrispondenza del valore di centro banda, ovvero a f cb. Questa metodo, come vedremo più in dettaglio nel 2.3, è particolarmente utile anche per evitare che i parametri fisici scendano sotto le soglie limite imposte dai processi tecnologici impigati Approccio con invertitori di ammettenza J Come descritto nel è possibile impiagare per la realizzazione dei filtri a linee parallele accoppiate anche gli invertitori di ammettenza. La trattazione analitica è del tutto analoga a quella con gli invertitori di impedenza con la differenza che in questo caso è consigliabile partire da un circuito LPprototipo di tipo LC. Questo permette, come al solito, di sfruttare appieno la capacità che hanno gli invertitori di modificare a piacimento il valore dei componenti che implementeranno poi il filtro finale. Poichè la trattazione con i J-inverter è completamente sovrapponibile a quella presentata nel (con i K- inverter) riporteremo di seguito solo i passaggi fondamentali e le formule conclusive. in questo caso avremo: * 1 Ω " + + ecc... Fig LPprototipo di tipo LC. 31 (2.36a) (2.36b) (2.36c) (2.36d)

34 Operando la de-normalizzazione in termini di impedenza e quella in termini di frequenza si ottiene (tabella 1.4): Fig Filtro passa banda de-normalizzato in termini di impedenza e frequenza. Scegliendo di separare i risuonatori con gli invertitori di ammettenza J è possibile applicare le trasformazioni di tabella 1.8 in modo da ottenere: Fig Filtro passa banda con risuonatori parallelo tutti uguali separati da invertitori di ammettenza modificati. Imponendo come per gli invertitori di impedenza le relazioni (2.4) e (2.10), sfruttando la proprietà di figura 1.14, e ricorrendo questa volta alla relazione di tabella 1.7 riga 2:, -, 6 * (2.37) Q Q per i = 1,2,3,4...,n si ottiene: s Q t 6( $ K ) Q K zzzzs y J Q K s LMNQ J O K zzzzs + y J Q K s + LMNQ J O K zzzzs +? y J Q K s +? LMNQ J O K Q K t Q LMN O Q t 6( $ K) LMN O Q t 6( $ K) O Q t Q O Q t Q LMN O Q t 6( $ K) O Q 6( $ K ) Q Q 6( $ K ) Q Q 6( $ K ) Q K ˆ ˆ (2.38a) (2.38b) (2.38c) (2.38d) ecc... ricordando che: $ K Q W $W K W Q con e [ ˆ[ [ (2.39) in generale con *, avremo: zzzz s, t 6 Š s,, K zzzzzz, 6 Š s ¼,¼ ˆ 9 9\K con n = ordine del filtro i = 1,2,3,4...,n (2.40a) (2.40b) dalla (2.19) sostituendo a K=1/J otteniamo che per un generico invertitore di ammettenza si ha: T { " ] o$-x Ÿ 0 1/ s 1 s 0 32 (2.41)

35 Combinando, come in figura 2.17, la matrice catena (2.18) della linea generica con quella del J-inverter (2.41) e di nuovo con quella della linea generica si ottiene: T { " ] o$ÿ Ÿ Fig Invertitore J incluso fra due tratti di linea di lunghezza generica l. 5 o_ Q +s, 8sin cos 15s, sin o cos 8 15 o_ Q sin scos 8 5 o_ Q +s, 8sin cos š (2.42) se imponiamo l'uguaglianza della matrice catena (2.42) con la matrice catena (2.17) T { " ] T { o$ÿ Ÿ " ] Žq $ - si ottiene: _ Q _ Q 5 +s, _ Q $_ Q o_ 8sin Q (_ Q _ Q ) ž + _ Q $_ Q (_ Q $_ Q ) (2.43) s, sin o cos k (2.44) _ Q $_ Q o_ Q sin scos 05 o_ Q +s, 8sin cos poiché nel nostro caso = > Q? quindi 6 avremo: sin sin 6 1 (2.45) cos =cos 6 =0 (2.46) Si noti come se avessimo operato le semplificazioni dovute a (2.45) e (2.46) prima di eguagliare le matrici catena, la prima equazione del sistema (2.44) sarebbe risultata nulla. Viceversa operando le semplificazioni dopo l'uguaglianza il sistema diviene il seguente: _ Q _ Q =5 +s, _ Q $_ Q o_ 8 Q _ Q $_ Q =s, k (2.47) = _ Q $_ Q o_ Q 0=0 La seconda e la terza equazione del sistema (2.47) sono uguali pertanto verrà presa in considerazione solo la seconda. L'ultima equazione di (2.47) è un'identità sempre verificata pertanto ininfluente. Di conseguenza avremo: _ Q _ Q =5 +s, _ Q $_ Q o_ 8 Q k (2.48) =s, _ Q $_ Q risolvendo questo sistema si ottiene: _ Q _ Q =s, s, +1 (2.49a) 33

36 _ Q _ Q s, +s, +1 (2.49b) generalizzando avremo, per ogni s -,- del filtro, le seguenti impedenze:, -,- =T½s -,-, ¾ s -,-, +1], (2.50a) n = ordine del filtro con, -,- =T½s -,-, ¾ i = 0,1,2,3...,n +s -,-, +1], (2.50b) A questo punto il calcolo del coefficiente di accoppiamento e quindi la tecnica di simulazione che permette di ottenere le misure dei parametri reali è completamente identica a quella del Calcoli relativi al progetto Con riferimento ai dati di progetto riportati nel 1.1 e applicando le formule del espletiamo di seguito i calcoli numerici relativi al problema del 1.1. Dal monogrammi di figura 2.2 si ottiene: ordine = 5 Con riferimento alla figura 2.3 avremo: * = =1 Ω (2.51a) " 1,1468= Á =" Á (2.51b) = =1,3712=? =? (2.51c) " + = + =1,9750 (2.51d) * = Å =1 Ω (2.51e) È importante precisare come normalmente la banda frazionaria dei filtri è espressa rispetto la frequenza ci centro banda, ovvero: = $ K :n = W $W K W :n con [ = W KW (2.52) invece la banda frazionaria che abbiamo impiegato nei calcoli è definita come: = $ K Q = W $W K W Q con [ =ˆ[ [ (2.53) dalla (2.50) imponendo =0,1 e [ =3,5 GHz si ricava che nel nostro caso: [ =3,325 GHz [ =3,675 GHz con la (2.53) calcoliamo la banda frazionaria di nostro interesse: = W $W K = +,ÅÆÁ$+,+Á =0,1001 (2.54) ˆW K W +,?ÇÅ Come si può notare dalla (2.54) la differenza fra e è trascurabile tanto che in molti problemi si considera. Tuttavia noi adotteremo sempre dove richiesto. Applicando le formule (2.13), con, =*, si ottiene: m QK Q =t 6 Š K =t, 6,?ÅÉ =0,3703=m ÊË Q (2.55a) mzzzzz K = 6 Š = 6, Q K,?ÅÉ,+Æ =0,1254=m zzzzz Ê mzzzzz = 6 Š = 6, Q ˆ,+Æ,ÇÆÁ =0,0955=m zzzzz Q (2.55b) Q (2.55c) 34

37 k k k k k dalle (2.29), imponendo, * si ottiene:, *, =* 5 QK ÌQ 8 5 QK + 5 QK ÌQ 8 5 QK ÌQ 8 +1ª=50T ÌQ 8 +1ª=50T (,+Æ+) (,+Æ+) +,+Æ+ +1]=279,61=, ÁÅ,+Æ+ +1]=549,66=, ÁÅ (2.56a), =*, * zzzzzz 5 K ÌQ 8 zzzzzz 5 K zzzzzz + 5 K ÌQ 8 zzzzzz 5 K ÌQ 8 +1ª=50T ÌQ 8 +1ª=50T (,Á?) (,Á?) +,Á? +1]=2830,89,?Á,Á? +1]=3628,34,?Á (2.56b), + *, + =* zzzzzz 5 ÌQ 8 zzzzzz 5 zzzzzz + 5 ÌQ 8 zzzzzz 5 ÌQ 8 +1ª=50T ÌQ 8 +1ª=50T (,ÇÁÁ) (,ÇÁÁ) +,ÇÁÁ +1]=5008,75=, +?,ÇÁÁ +1]=6055,87=, +? (2.56c) Se al posto dei w avessimo impiegato gli invertitori s, dalle formule (2.40), avremmo avuto: s * =t 6 Š K t, 6,?ÅÉ =0,3703=s ÁÅ* zzzz * 6 Š s s + zzzz * = 6 Š, 6 =0,1254=s K?Á,?ÅÉ,+Æ 6, =0,0955=s ˆ +?,+Æ,ÇÆÁ zzzz* zzzz* (2.57a) (2.57b) (2.57c) e quindi dalle (2.50), imponendo, =* avremmo ottenuto: Í, =. s * s * +1/* =. 0,3703 0,3703+1/50=38,34=, ÁÅ, =. s k * +s * +1/* =. 0, ,3703+1/50=75,37=, ÁÅ (2.58a) Í, =. s zzzz* szzzz* +1/* =. 0,1254 0,1254+1/50=44,52=,?Á, =. s zzzz* +szzzz* +1/* =. 0, ,1254+1/50=57,06=,?Á (2.58b) Í, + =. s zzzz* + szzzz* + +1/* =. 0,0955 0,0955+1/50=45,68=, +?, + =. s zzzz* + +szzzz* + +1/* =. 0, ,0955+1/50=55,23=, +? In entrambi i casi si noti come dalla (2.31) risulta il medesimo valore del coefficiente di accoppiamento: " = _ Q QK $_ Q QK = Á?Ç,ÅÅ$ÆÇ,Å = ÆÁ,+Æ$+É,+? =0,33=" _ Q QK _ Q QK Á?Ç,ÅÅÆÇ,Å ÆÁ,+Æ+É,+? ÁÅ " = _ Q K $_ Q K = +ÅÉ,+?$É+,ÉÇ = ÁÆ,Å$??,Á =0,12=" _ Q K _ Q K +ÅÉ,+?É+,ÉÇ ÁÆ,Å??,Á?Á " + = _ Q $_ Q = ÅÁÁ,ÉÆ$ÁÉ,ÆÁ = ÁÁ,+$?Á,ÅÉ =0,09=" _ Q _ Q ÅÁÁ,ÉÆÁÉ,ÆÁ ÁÁ,+?Á,ÅÉ +? (2.58c) (2.59a) (2.59b) (2.59c) Nonostante un completo parallelismo è evidente come la progettazione con gli invertitori J è da preferire a quella con gli invertitori K in quanto con gli invertitori di ammettenza viene rispettata la relazione (2.16) e le impedenze di modo pari e di modo dispari assumono quindi anche un significato fisico. 35

38 Tramutiamo le relazioni 2.57 in terminii logaritmici, di più agevole impiego: " Î 20 log " = 9,63 Ï= " Î =20 log " = 18,42 Ï " + Î 20 log " + = 20,92 Ï= " ÁÅ Î "?Á Î " +? Î (2.60a) (2.60b) (2.60c) 2.3 Simulazioni relative al progettoo Per le simulazioni abbiamo impiegato l'applicazione commerciale Microwave Office della software house statunitense AWR Corp. con sede principale a El Segundo in California. L'attuale compagnia deve il suo nome all'acronimo della società originale Applied Wave Research Inc. fondata nel 1994 da Joseph E. Pekarek e un team di progettisti di componenti MMIC (Monolithic Microwave Integrated Circuit) tra cui Paul Cameron della Hughes Aircraft Co., società aerospaziale californiana. Microwave Office è stato presentato al pubblico per la prima volta nel 1998 e attualmente è considerato uno fra i migliori strumenti software per l'eda (Electronic Design Automation) ovvero per la progettazione, simulazione e ottimizzazione al calcolatore di circuiti elettronici complessi. Dal 2011 la AWR Corp. è una società del gruppo National Instruments. Oltre a Microwave Office sono della stessa società anche strumenti software come Visual System Simulator (VSS), Analog Office, APLAC, AXIEM e Analyst. La versione impiegata per le seguenti analisi è la 9.00r buid 4847 rev.1 dell'anno Fig Tratto di linea in microstriscia con indicati i parametri fisici che lo caratterizzano. Il primo passo da compiere con il software di simulazione è il calcolo dei parametri fisici che una linea in microstriscia, come quella di figura 2.18, deve avere affinché, ad una determinata frequenza, presenti una prestabilita impedenza caratteristica e una prefissata lunghezza elettrica. A tale scopoo si impiega lo strumento di Microwave Office denominato Txline. Inserendo le caratteristiche del substrato riportate nel 1.1 il programma fornisce i seguenti valori: -W =11,872 ÐÐ Ñ -W =1,4408 ÐÐ (2.61a) (2.61b) Questi parametri verranno di seguito chiamati di riferimento perché saranno impiegati come punto di partenza per le simulazioni successive. Noti i valori di e Ñ per definire un tratto costituito da due linee accoppiate non resta che conoscere «, ovvero la spaziatura fra le linee come mostrato in figura Poiché nell'implementazione del filtro ogni accoppiatore è legato ad un invertitore identificheremo i valori di larghezza Ñ, lunghezza e distanza «con il pedice dell'invertitore che il tratto di linee accoppiate realizza. Fig Tratto di linee accoppiate realizzato in microstriscia con riportati i parametri fisici che lo caratterizzano. 36

39 Per definire il parametro «di ciascun invertitore si impiega, come descritto dettagliatamente nel 2.1.1, il circuito di figura 2.13 imponendo l'uguaglianza fra il parametro e il relativo coefficiente di accoppiamento ". L'identità è ottenuta variando la spaziatura «e valutando il parametro in corrispondenza del valore di centro banda. Tipicamente si agisce manualmente "tunando" il valore di «tramite un cursore. Tuttavia mantenendo i parametri e Ñ pari a quelli di riferimento difficilmente si ottiene un valore di «fisicamente ammissibile e quindi replicabile con le normali tecniche litografiche e di incisione del conduttore. I limiti legati alla tecnologia impiegata per realizzare un filtro a linee accoppiate sono: Ñ -Ò 0,700 ÐÐ (2.62a) «-Ò 0,120 ÐÐ (2.62b) Per evitare che «scenda al disotto del limite è necessario, per eguagliare " a, variare anche il valore di Ñ. Il valore di agisce principalmente sulla banda passante del filtro e per il momento è lasciato pari a -W. Variando Ñ è evidente che non è più rispettata la condizione di impedenza caratteristica prefissata, con lo strumento TXline di Microwave Office, secondo il valore di progetto; ma questo è un inevitabile compromesso da accettare. Il circuito descritto in figura 2.13 viene realizzato sullo schematico di Microwave Office come mostrato in figura 2.20 impiegando il blocco MCLIN, i componenti RES e PORT abbinati all'elemento di substrato MSUB, tutto impostato con i parametri di progetto del 1.1 e secondo il valore di calcolato precedentemente, ovvero secondo la (2.59a). I valori Ñ e «sono resi variabili attraverso un cursore. Fig Schematico implementato in Microwave Office per il calcolo dei parametri e. Per modificare con cognizione di causa il valore Ñ è bene graficare, assieme all', anche il parametro che dovrà essere tenuto il più basso possibile in quanto rappresenta il coefficiente di riflessione sulla porta di ingresso della linea accoppiata. Dal "tunaggio" dei parametri «e Ñ si ottengono per ciascun invertitore i seguenti valori: " Î = 9,63 Ï = -W Ñ =1,063 ÐÐ «=0,120 ÐÐ Fig Grafico dei parametri e relativi al primo invertitore, ovvero al coefficiente di accoppiamento " Î. 37

40 " 18,42 Ï -W Ñ 1,335 ÐÐ «0,736 ÐÐ Fig Grafico dei parametri e relativi al secondo invertitore, ovvero al coefficiente di accoppiamento " Î. " + 20,92 Ï + -W Ñ + 1,350 ÐÐ «+ 0,985 ÐÐ Fig Grafico dei parametri e relativi al terzo invertitore, ovvero al coefficiente di accoppiamento " + Î. Risulta evidente, come mostrato anche dalle formule (2.59), che per la simmetria dovuta agli invertitori è possibile imporre le seguenti uguaglianze: Ñ Ñ ÁÅ Ñ Ñ?Á Ñ + Ñ +? ÁÅ?Á + +? 38 «Ñ ÁÅ «Ñ?Á «+ Ñ +? (2.63) Una volta ottenute le caratteristiche dimensionali dei vari accoppiatori non resta altro che implementare lo schematico del filtro completo, secondo la sequenza definita dalla figura 2.9 e ricordando che ogni accoppiatore equivale praticamente ad un invertitore di impedenza o ammettenza incluso fra due tratti di linea lunghe B 4. Poiché il valore Ñ dei vari accoppiatori risulta mutato rispetto a Ñ -W possono nascere fra un tratto di linee accoppiate e il successivo possibili fenomeni di disadattamento elettromagnetico. Per questo stesso motivo anche lo stadio d'ingresso, e per simmetria lo stadio d'uscita, risultano disadattati rispetto alla linea a 50 Ω che collega il filtro al resto del circuito. Per giunta il valore di Ñ che più si discosta da quello di riferimento è proprio quello relativo al primo e all'ultimo blocco, questo perché hanno il coefficiente " più alto degli altri e non è possibile ottenere valori così elevati di accoppiamento senza agire massicciamente su Ñ. Per tenere conto in fase di

41 simulazione di questi fenomeni di disadattamento, sia fra gli accoppiatori che fra lo stadio di ingresso/uscita e il resto del circuito, vengono impiegati nello schematico di Microwave Office i blocchetti funzionali MSTEP$. Questi vengono interposto fra gli accoppiatori e fra le porta I/O e gli stadi terminali. Non conoscendo da progetto le caratteristiche del circuito dove il filtro andrà inserito gli stadi terminali sono modellati da una tradizionale linea in microstriscia secondo i valori -W e Ñ -W ottenuti precedentemente. Riportiamo di seguito lo schematico completo del filtro implementato in Microwave con tutti gli elementi utili alla simulazione. Fig Schematico implementato in Microwave Office per le simulazioni del filtro completo. Ogni accoppiatore è individuato sullo schema da un codice identificativo del tipo TLx con x un numero che parte da 1 per il primo accoppiatore fino a 6 per l'ultimo. Il numero 0 e 7 è impiegato per identificare le due linee terminali non accoppiate. I parametri più importanti per caratterizzare un filtro sono l'attenuazione e il return-loss *. Il primo esprime quanta potenza il filtro dissipa rispetto a quella di ingresso mentre il secondo esprime quanta potenza torna verso il generatore. Entrambi queste due quantità sono legate ai parametri e dalle seguenti relazioni: 10log 20log r K r K *10log 20log r KK r KK l'attenuazione a cui si fa riferimento nei dati di progetto di 1.1 è: (2.64) [ 25 Ï (2.66) si noti come graficando al posto di r K si avrà: 20log (2.67) analogamente * 20log (2.68) pertanto dalla (2.65) è evidente il seguente legame con l'attenuazione di progetto del [ (2.69) Da un primo run di simulazione, ottenuto con i parametri dimensionali definiti in figura 2.21, 2.22 e 2.23, si giunge al grafico Risulta evidente che questi valori non producono la risposta in frequenza desiderata in quanto c'è un evidente traslazione della banda passante verso frequenze più basse rispetto a quelle di progetto. Il centro banda risulta essere di 3,428 GHz, in luogo di 3,5 GHz imposto nel 1.1, pur mantenendo una banda passante prossima a quella desiderata di 0,1. Questa slittamento in frequenza è spiegabile dal fatto che gli accoppiatori non sono più valutati singolarmente ma nel loro complesso e quindi risultano influenzati da fenomeni di accoppiamento elettromagnetico mutuo oltre che dai suddetti problemi di adattamento dovuti ai differenti valori 39

42 di Ñ. La traslazione della risposta verso frequenze più basse porta evidentemente ad avere la specifica di attenuazione ampiamente al di sotto dei 25 db richiesti da progetto con un valore di pari a -40,8 db in corrispondenza della frequenza [ di 3,85 GHz. Fig Grafico dei parametri e relativi al filtro completo non ottimizzato. Dal grafico di figura 2.25 risulta evidente come anche il parametro non raggiunge valori del tutto soddisfacenti in quanto in banda passante, nel punto di massimo locale a 3,286 GHz, è di poco inferiore ai -16 db. Per un buon filtro tipicamente si richiedono valori * pari almeno a 20 db. Il parametro più importante che influisce sulla banda passante del filtro è evidentemente quello della lunghezza che in questo caso risulta per tutti gli accoppiatori pari a -W. Un primo passo per riportare la banda passante nelle specifiche di progetto può essere allora quello di impostare un processo di ottimizzazione sul parametro che abbia come obiettivo un determinato valore di nella banda passante di interesse. Questo obiettivo è chiamato dai programmi di simulazione goal ed è sempre associato ad un costo computazionale legato alla difficoltà di raggiungimento del valore prefissato. Imporre per un goal superiore al massimo ottenuto in figura 2.25 (pari a - 15,67 db) permette al simulatore di raggiungere un'ottimizzazione di senza costi eccessivi. Un buon compromesso è dato dal valore da 10 db imposto nella banda passante fra 3,325 e 3,675 GHz. Il risultato di questa prima ottimizzazione è riportato in figura 2.26 dove si può notare per il parametro la soglia imposta dal goal rappresentata da una barra orizzontale retinata dello stesso colore del tratto di linea a cui si riferisce. Fig Grafico dei parametri e relativi al filtro completo con L ottimizzato. 40

43 Il valore di risultato dall'ottimizzazione di a -10 db nella banda passante risulta essere: qÿô 11,161 ÐÐ (2.70) In questo modo si è riportato il centro banda del filtro al valore di progetto lasciando inalterato tutto il resto come ad esempio il return-loss che nel punto peggiore rimane sempre pari a 15,67 db come nel grafico precedente di figura Nonostante l'allineamento verso destra l'attenuazione in corrispondenza di [ 3,85 GHz rimane ampiamente sopra il limite di progetto attestandosi a 31,82 db. A questo punto si può tentare di migliorare il return-loss cercando di innalzarlo al valore più apprezzato di 20 db. Un modo per raggiungere questo obiettivo è impostare un nuovo processo di ottimizzazione con i parametri Ñ e «svincolati e fissato, per tutti gli accoppiatori, al valore qÿô appena trovato. Essendo il primo e l'ultimo accoppiatore quelli con il coefficiente " più alto si dovrà aver cura che il valore di «e «ÁÅ non scenda mai al disotto di «-Ò. Per questo motivo i parametri «del blocco TL1 e TL6 dello schematico di figura 2.24 sono stati esclusi dall'ottimizzazione. Il goal per è imposto a -20 db nella banda passante con l'aggiunta di un ulteriore vincolo sul parametro imposto a -25 db da [ 3,85 GHz in poi. Il risultato di questa ottimizzazione è riportato in figura 2.27 dove è facile appurare come gli obiettivi prefissati non siano stati pienamente rispettati: l'ottimizzazione si è conclusa con un valore di di poco maggiore ai -20 db prestabiliti attestandosi, nel massimo locale, a -19,74 db. Fig Grafico dei parametri e relativi al filtro completo con Ñ e «ottimizzati ma qÿô per tutte le linee. I parametri fisici del filtro, ottenuti al termine della simulazione, sono riportati (in μm) in tabella 2.1 dove sono segnalati con un segno di spunta quelli vincolati (constrained), che quindi risultano immutati, e quelli oggetto dell'ottimizzazione (optimize), che quindi sono stati affinati rispetto a quelli iniziali di figura 2.21, 2.22 e Tab Valori risultati dalla simulazione del filtro completo con Ñ e «ottimizzati ma qÿô per tutte le linee. 41

44 I parametri optimize risultano in generale minori rispetto a quelli iniziali e sono state infrante tutte le simmetrie imposte in (2.63) rendendo di fatto gli accoppiatori tutti diversi fra loro. Anche per i tratti di linea che implementano gli stadi terminali del filtro, ovvero per TL0 e TL7 si è impiegato in questa simulazione qÿô al posto di -W. A questo punto si è provato ad effettuare un'ulteriore ottimizzazione lascando i parametri Ñ, «e di ciascun accoppiatore completamente svincolati e quindi assegnati al simulatore come optimize. I goal diventano sempre più stringenti con imposto a -25 db nella banda passante e invariato. In questo caso il costo computazionale risulta molto altro e dopo due ore di run il simulatore è stato in grado di soddisfare tutti i goal. Il risultato dell'ottimizzazione è riportato in figura Fig Grafico dei parametri e relativi al filtro completo con Ñ, «e ottimizzati. Si noti come il filtro ottenuto presenta adesso un return-loss minimo di 25,17 db e un'attenuazione in corrispondenza di [ 3,85 GHz pari a 26,79 db. I parametri ottimizzati sono riportati in tabella 2.2. Tab Valori risultati dalla simulazione del filtro completo con Ñ, «e ottimizzati. 42

45 Nessuno dei valori di tabella 2.2 risulta inferiore a Ñ -Ò e -Ò definiti in (2.62a) e (2.62b) e pertanto il filtro risulta perfettamente realizzabile. A tale scopo si riporta in figura 2.29 il layout finale del filtro. 9,33 cm 1,28 cm Fig Layout finale del filtro con Ñ, «e ottimizzati. Per verificare che il ripple in banda sia effettivamente quello richiesto di 0,1 db abbiamo eliminato tutte le perdite del substrato imponendo nel blocco MSUB dello schematico Rho = 0 e Tangδ = 0. Il primo termine rappresenta la resistività del metallo normalizzata a quella dell'oro mentre il secondo rappresenta la tangente di perdita del dielettrico. Con i valori ottimizzarti di tabella 2.2 si ottiene il grafico di figura Si noti come in corrispondenza delle frequenze che delimitano la banda passante effettivamente il ripple si attesta attorno agli 0,1 db richiesti. Nel caso di [ 3,325 GHz abbiamo -0,14 db mentre per [ 3,675 GHz si ottiene -0,16 db. Fig Grafico dei parametri e relativi al filtro completo privo di perdite con Ñ, «e ottimizzati. Annullando le perdite il return-loss tende ad aumentare attestandosi nel caso peggiore attorno ai -20,09 db. Questo è legato al fatto che i parametri di tabella 2.2 sono stati ottimizzati per un tipo di microstriscia diversa da quella simulata in questo particolare caso. Si noti tuttavia come la specifica sull'attenuazione in banda opaca rimane ancora verificata. 43

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