Università degli Studi di Cassino, Anno accademico Corso di Statistica 2, Prof. M. Furno

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1 Unverstà degl Stud d Cassno, Anno accademco Corso d Statstca, Pro. M. Furno Eserctazone del 5//005 dott. Claudo Conversano Eserczo Ad un certo tavolo d un casnò s goca lancando un dado. Il goco consste nel lancare un dado regolare, cu possbl est danno luogo alle seguent vncte o perdte: Esto della prova Uscta della acca uno Uscta della acca due Uscta della acca tre Uscta della acca quattro Uscta della acca cnque Uscta della acca se Vncta o perdta Il gocatore paga 00 euro Il gocatore vnce 00 euro Il gocatore paga 00 euro Il gocatore vnce 00 euro Il gocatore paga 00 euro Il gocatore vnce 00 euro Il sgnor X ntende partecpare al goco. a) Costrure la varable casuale che descrve la Vncta/perdta al goco n un lanco del dado; b) Calcolare l valore atteso e la varanza della varable casuale costruta al punto a); c) Calcolare la probabltà d vncere 00 Euro eettuando due prove; SVOLGIMENTO La prova consste nel lanco d un dado, per cu lo spazo camponaro è costtuto dall nseme de E =, KK, 6 l evento uscta della acca nel lanco numer compres tra e 6. Indchamo con ( ) del dado. I possbl rsultat della prova, le probabltà e gl est del goco sono: E : " uno" " due" " tre" " quattro" " cnque" " se" x : ( x ) : La v.c. relatva a rsultat del goco sarà: x : ( x ) : b) Calcolare l valore atteso e la varanza della varable casuale costruta al punto a); E( X) = x ( x) = = 0 = ( ) ( ) ( ) ( ) Var X = E X E X = x x 0 = ( 00) 6 ( 00) 6 ( 00) = =

2 c) Calcolare la probabltà d vncere 00 Euro eettuando due prove; Per calcolare la probabltà d vncere 00 Euro dopo due prove bsogna consderare la probabltà dell unone de due event ncompatbl relatv all uscta della acca due nel prmo lanco e della acca se nel secondo, oppure all uscta della acca se nel prmo lanco e della acca due nel secondo lanco: ( ) ( ) P E E6 E6 E = /6 /6+ /6 /6 = 0.05

3 Eserczo In un casnò un goco consste nel lancare smultaneamente tre monete. Per ogn acca testa l gocatore paga 40 Euro, mentre per ogn acca croce l gocatore vnce 50 Euro. a) Denre la varable casuale che rappresenta rsultat del goco e rappresentare gracamente la unzone d probabltà e la unzone d rpartzone. b) Calcolare l valore atteso e la varanza della varable casuale denta al punto a). c) Calcolare la probabltà d vncere 0 Euro eettuando due prove. SVOLGIMENTO a) Denre la varable casuale che rappresenta rsultat del goco e rappresentare gracamente la unzone d probabltà e la unzone d rpartzone. Per costrure la varable casuale che rappresenta rsultat del goco bsogna dapprma consderare tutt possbl rsultat del goco, e qund lo spazo camponaro. {(,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, ) (,, )} S= TTT TCT TTC CTT TCC CTC CCT CCC Consderando che nel lanco d una moneta al rsultato Testa corrsponde una perdta d 40 Euro ed al rsultato Croce un ntroto d 50 Euro, assocamo ad ogn evento dello spazo camponaro l rsultato del goco e la relatva probabltà. ( x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) E : TTT,, TCT,, TTC,, CTT,, TCC,, CTC,, CCT,, CCC,, x : : La v.c. relatva a rsultat del goco sarà: x : ( x ) ( ) F x : /8 4/8 /8 /8 : /8 5/8 7/8 Rappresentamo gracamente la unzone d probabltà e la unzone d rpartzone ( ) x 4/8 /8 / x

4 ( ) F x 7/8 /8 / x b) Calcolare l valore atteso e la varanza della varable casuale denta al punto a). ( ) ( ) E X = x x = ( 0) 8 + ( 0) =.75 = ( ) ( ) ( ) ( ) Var X = E X E X = x x.75 = = ( 0) 8 ( 0) = = = c) Calcolare la probabltà d vncere 0 Euro eettuando due prove. L evento vncta d 0 Euro dopo due prove s verca nel caso nel caso n cu s vncono 60 Euro nella prma prova e se ne perdono 0 nella seconda, oppure nel caso nverso (-0 Euro nella prma prova e +60 Euro nella seconda). S denscono gl event: 60 E + : vncta d 0 Euro nella prma prova; 0 E 60 E + 0 E : perdta d 0 Euro nella prma prova; : vncta d 60 Euro nella seconda prova; : perdta d 0 Euro nella seconda prova. La probabltà d vncere 0 Euro dopo due prove è: P = /8 4/8+ 4/8 /8= 0.5 4

5 Eserczo Sa data un urna contenente 0 pallne dentche a meno del atto che cnque sono dentcate dal valore, dec dentcate dal valore e qundc dal valore. a) Calcolare la probabltà d estrarre con rentroduzone, due pallne con lo stesso numero; b) Calcolare la probabltà d estrarre con rentroduzone, due pallne la cu somma de puntegg è due; c) Costrure la varable casuale per la somma de numer present sulle acce delle due pallne nel caso d estrazone d due pallne con rentroduzone e calcolarne l valore atteso e la varanza. SVOLGIMENTO a) Calcolare la probabltà d estrarre con rentroduzone, due pallne con lo stesso numero; La composzone dell urna può essere rappresentata nella gura seguente: L evento estrazone d due pallne con lo stesso numero s verca se nelle due estrazon s estraggono due pallne contrassegnate dal numero oppure due pallne contrassegnate dal numero oppure due pallne contrassegnate dal numero. Denamo gl event elementar: E : estrazone d una pallna contrassegnata dal numero ; E : estrazone d una pallna contrassegnata dal numero ; E : estrazone d una pallna contrassegnata dal numero. Poché lo schema d estrazone è con rentroduzone, le sngole estrazon sono da consderas tra loro ndpendent, per cu la probabltà rchesta può essere calcolata come unone d event compost relatv all estrazone d due pallne contrassegnate rspettvamente da numer, e. ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) P E E E E E E P E P E P E P E P E P E = + + = b) Calcolare la probabltà d estrarre con rentroduzone, due pallne la cu somma de puntegg è due; L evento estrazone d due pallne la cu somma de puntegg è due s verca se n ognuna delle due estrazon s estrae una pallna contrassegnata dalla acca, per cu la probabltà rchesta è: 5 =

6 5 P( E E) = P( E) P( E) = = c) Costrure la varable casuale per la somma de numer present sulle acce delle due pallne nel caso d estrazone d due pallne con rentroduzone e calcolarne l valore atteso e la varanza. Per costrure la varable casuale che rappresenta rsultat del goco bsogna dapprma consderare tutt possbl rsultat del goco, e qund lo spazo camponaro. ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( E E E E E E S = E E E E E E) E E E E E E ) ) Assocamo ad ogn evento dello spazo camponaro l rsultato dell espermento e la relatva probabltà: ( ) E x x 5 0 = = = E ( E ) 5 6 = La v.c. relatva a rsultat del goco sarà: x ( x ) ( ) F x : : :

7 Calcolo del valore atteso e della varanza: ( ) ( ) E X = x x = = 4.67 = ( ) ( ) ( ) ( ) Var X = E X E X = x x 4.67 = = = = = =.44 7

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