273 CAPITOLO 18: PALI DI FONDAZIONE IN CONDIZIONI DI ESERCIZIO

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1 27 nrouzione Per i pali si può fare un iscorso analogo a quello viso per le fonazioni superficiali. Si è viso che nel caso elle fonazioni superficiali l analisi ella eformabilià ella sruura non poeva essere faa inipenenemene al comporameno el erreno. l problema viene affronao separano l analisi elle conizioni i equilibrio ella fonazione a quelle el erreno poi meiane il legame elasico passiamo alle rispeive eformazioni e solamene in un secono empo imponiamo le conizioni i congruenza all inerfaccia erreno fonazione. Da quesa iscussione eriva che non è possibile parlare i rigiià o i flessibilià i una fonazione in senso assoluo, ma quese caraerisiche evono essere messe in relazione con quelle el erreno. nolre bisogna osservare che molo spesso vengono compiui egli errori superiori nella scela ei parameri i escrizione i un problema rispeo a quelli ovui alla scela el moello. Penso a come si possa eerminare, o almeno simare, il moulo i elasicià el erreno per un maeriale come il erreno che non è né elasico né omogeneo e anomeno isoropo. Dapprima consieriamo il comporameno el palo singolo, poi eseneremo la iscussione al comporameno el gruppo i pali. Consieriamo i ceimeni i un palo singolo che risula caricao in irezione vericale, i quali si manifesano con l aumeno progressivo el carico applicao. Figura 18.1 Ribaiamo ancora che consieriamo separaamene il comporameno el palo e el erreno: iviiamo il palo e la superficie i conao con il erreno rispeivamene in un conci e anelli. Per ogni concio che consieriamo valuiamo le solleciazioni ageni sul concio i erreno (che sono quelle rasmesse al palo) e le solleciazioni ageni sul palo (che sono quelle rasmesse al erreno). Figura 18.2

2 274 Comporameno el palo singolo (conizione i equilibrio) Con riferimeno al seguene schema il palo è caricao in irezione vericale e è iviso in elemeni: i conci. Figura 18. Si noerà che a una cera profonià h esise uno srao rigio, queso serve per ribaire che il comporameno el palo è impuabile essenzialmene alla resisenza laerale e in misura minore alla resisenza i puna. Si scrive l equazione i equilibrio in irezione vericale el generico concio rascurano l effeo el peso proprio: Figura 18.4 Scriviamo l equazione i equilibrio in irezione vericale. σ σ z z A b σ A b pa L =0 l ifferenziale ella superficie laerale: L area ella base el concio: A b = π 2 2 σ z z π 4 p π z=0 4 A L = A L z= π z σ z = 4p Dove p rappresena le ensioni angenziali ageni sulla superficie laerale el palo.

3 275 Definiamo la eformazione vericale ɛ el palo, inichiamo con ρ lo sposameno el palo verso il basso, cioè il suo ceimeno, per effeo i uno sforzo i compressione σ. nichiamo il moulo i elasicià el palo con E p. Figura 18.5 Dove p rappresena le ensioni angenziali. ρ σ=e p ɛ= E p z Se ifferenziamo nuovamene oeniamo che: σ 2 ρ z = E p z 2 Sosiuiamo la relazione rovaa in preceenza all equilibrio el concio i palo: 2 ρ 4p = E p z 2 Oeniamo un equazione ifferenziale che lega le pressioni vericali ageni sulla superficie laerale el palo con il ceimeno el palo sesso. 2 ρ 4p z 2= E p Operiamo anche in queso caso una iscreizzazione alle ifferenze finie: ρ i = ρ 2ρ ρ i 1 i i 1 z 2 Riusciamo a sosiuire l equazione ifferenziale con un equazione algebrica. ρ i 1 2ρ i ρ i 1 = 4 z 2 E p p i p ρ = 4 E p p Possiamo scrivere per ogni concio la corrisponene equazione i equilibrio. È eviene alla comparsa ell inice i perchè ci riferiamo al concio i esimo. n efiniiva oeniamo un sisema i equazioni lineari in cui il numero i equazioni eve essere uguale al numero i conci in cui ho suiviso il palo. p = E p 4 Passano all inero palo oeniamo che: p ρ Azione presene su un concio el palo. p = E p n2 4 L 2 p ρ Y Carico agene sull inero palo. Tale espressione eermina il veore elle azioni applicae all inero palo. È a nore il faore moliplicaivo n 2 L 2 che mi permee il passaggio al singolo concio all inero palo. l ceimeno ρ è ancora quello elemenare, el singolo concio. Queso è uile perchè per la congruenza, sosiuirò l espressione i ρ che iene cono el comporameno el erreno. È sao inrooo il veore {Y }che rappresena il carico alla sommià el palo. Tale veore è quello che si oiene se venisse consierao un carico fiizio {Y } alla sommià el palo. l carico {Y } rappresena le conizioni al conorno el problema.

4 276 Comporameno el erreno (conizione i equilibrio) Chiamerò anello la superficie cilinrica i un concio i palo. l problema si riconuce al calcolo, con riferimeno a un anello, egli effei che il carico prouce sul erreno. Non si raa i un analisi rigorosa perchè consiera che all inerno ella superficie cilinrica anello vi è erreno e non il palo. Fra le soluzioni isponibili per la valuazione ello sao i sforzo nel semispazio vi è la soluzione i Minlin che si riferisce al caso i una forza concenraa applicaa all inerno el semispazio. n paricolare si è ineressai a quella relaiva al carico vericale. Figura 18.6 Secono Minlin la isribuzione elle ensioni su ogni anello può essere consieraa uniforme. Vi sarà una una forza P isribuia e agene sull anello e una pressione P b agene sulla base el cilinro. Secono quesa soluzione per ogni anello i sezione circolare che simula la isribuzione egli sforzi nel erreno si può rovare una relazione ra gli sposameni e i carichi. Ora consiero ei conci i erreno, cioè la pare i erreno inerna ai relaivi anelli sui quali insise una isribuzione i sforzi. l ceimeno ρ ij rappresena il ceimeno el concio i esimo per effeo el carico applicao sull anello j esimo. l coefficiene ij rappresene il coefficiene influenza. La formulazione i Minlin consene i calcolare il coefficiene influenza anano a inegrare la soluzione, fornia i Minlin sesso, riferenoci a un anello circolare: si scrive l egualianza fra il ceimeno prooo in corrisponenza el concio i inice j per il carico applicao sul concio i inice i e il ceimeno inoo al carico applicao sul concio i inice j. Figura 18.7 ρ ij = p j ij l ceimeno ρ ib rappresena il ceimeno el concio i esimo per effeo el carico applicao sulla base. l coefficiene ib rappresene il coefficiene influenza, è sao oenuo ipoizzano una isribuzione ei carichi i pressione uniforme alla base el palo, la soluzione è saa oenua ricorreno a Minlin. ρ ib = p b ib Per eerminare il ceimeno oale el concio i esimo sommiamo ui i conribui i ceimeno eneno cono che ne esise uno relaivo al carico i base; avremo quini che: n ρ i = j=1 n ρ ij = j=1 p E j ij p E b ib = n j=1 Possiamo riassumere quesa relazione in ermini mariciali: ρ = p Ceimeno el concio el erreno. p j ij p b ib

5 Conizione i congruenza 277 A queso puno è possibile imporre la conizione i congruenza ra il palo e il erreno. Le ue relazioni appena rovae riporano, senza peice, il ceimeno ρ, ovviamene uno si riferisce al palo menre l alro si riferisce al erreno, la congruenza ra palo e erreno richiee che: ρ p = ρ. A ale scopo possiamo sosiuire l equazione relaiva al erreno nella equazione el palo: Da cui: p = n2 4 L 2 E p p p Y n2 2 E p 4 L 2 E p p = Y p = n2 4 L 2 k p 1 Y Veiamo i singoli ermini cosa significano: p é il veore i carichi applicai sul piano i posa; è la marice ienià; n è il numero i conci; L è la lunghezza el palo; è il iamero el palo; L è la snellezza el palo; k= E p è il rapporo ei mouli i elasicià, elle rigiezze; p Y marice ei coefficieni influenza el palo; marice ei coefficieni influenza el erreno; veore che iene cono el carico applicao sulla esa el palo. La soluzione el problema ipene al rapporo k ra le rigiezze el palo e el erreno. Una vola noo il veore ei carichi {p } è possibile sosiuire ale soluzione nella: ρ = p allo scopo i calcolare i ceimeni ρ p = ρ el palo o el erreno. La fonazione su palo viene scela quano una superficie non garanisce l efficienza ella sruura nei confroni el conrollo ei ceimeni. l ceimeno ella fonazione su pali è suiao come se fosse una moifica el ceimeno i una fonazione superficiale; il palo può essere consierao un elemeno che aumena la rigiezza el erreno.

6 Comporameno i ue pali 278 Valuiamo ora il comporameno i ue pali: vogliamo conoscere i ceimeni che insorgono su i un palo per effeo ell applicazione el carico sull alro palo. l ceimeno el palo singolo in forma iniciale è: n forma mariciale: n ρ i = i=1 ij P j ib P b ρ i = p P Se consieriamo ue pali con il meesimo carico, il problema è simmerico, cosicchè il ceimeno è: ρ i = 1p 2p P j l ermine: 1p è la marice ei coefficieni che consierano il ceimeno i un concio generico i el palo per effeo el carico applicao su un alro concio j el palo sesso. Figura 18.8 l ermine: 2p è la marice ei coefficieni che consierano il ceimeno che avviene sul generico concio i inice i per effeo el carico applicao sul concio j esimo, però applicao sull alro palo. n efiniiva il ceimeno ella coppia i pali è maggiore el ceimeno el palo singolo. Teneno cono elle caraerisiche ei pali è possibile eerminare ei coefficieni correivi che consierano la presenza i pali aiaceni. Si inrouce il FATTORE D NTERAZONE α efinio come rapporo ra: ρ palo aiacene α= ρ palo singolo Dove con ρ palo aiacene ineniamo l incremeno i ceimeno prooo ai carichi sul palo aiacene.

7 279 Comporameno el gruppo i pali l ceimeno el gruppo i pali è ovuo, con riferimeno al palo singolo, al ceimeno prooo al carico applicao sul palo sesso a cui si somma il ceimeno prooo ai carichi applicai sui pali aiaceni, il uo correlao ai relaivi coefficieni influenza. nicano con ρ 1 =ρ P=1 il ceimeno sul palo singolo (il k esimo palo) per effeo i un carico uniario. l ceimeno el k esimo palo all inerno ella palificaa è: n ρ k =ρ 1 P k 1=1 α i ρ 1 P i Dove inichiamo con ρ 1 P k il ceimeno prooo sul palo k (che è un ceimeno sul palo singolo) per effeo el carico applicao sul palo k sesso. Con la sommaoria n 1=1 α i ρ 1 P i inichiamo i ceimeni ovui ai pali aiaceni. Con ρ 1 P i inichiamo il ceimeno el palo generico ρ i. Si consieri il caso i carichi uguali su ui i pali, è noa la isribuzione ei carichi menre è incognia l enià ei ceimeni. Figura 18.9 Figura pali cenrali risenono maggiormene ell effeo ei pali aiaceni, il palo laerale (a) risene in misura minore ell effeo el palo (), in misura neamene minore ell effeo el palo (e). L anameno ei ceimeni ella palificaa è ale a avere ceimeni maggiori al cenro e minori ai lai ella palificaa sessa. Figura Piasra flessibile e carichi con inesià variale per uniformare i ceimeni. Figura Piasra rigia. Se si meono ei pali soo una piasra, e quesa piasra è infiniamene flessibile, l anameno ei ceimeni è come quello ei pali senza piasra: i pali cenrali presenano un anameno ei ceimeni abbasanza uniforme, menre i pali periferici presenano ceimeni minori, i conseguenza conviene applicare carichi al cenro per eerminare minori ceimeni ifferenziali. Non è proprio il caso i avere i pilasri che insisono sui pali cenrali che si abbassano i più ei pilasri o ei muri perimerali ell eifico, porebbero insorgere fenomeni fessuraivi, ma si porebbero generare sai ensionali aggiunivi a secona ell ipersaicià ella sruura. Per avere i ceimeni uniformi è necessario incremenare i carichi all esremià, ciò appiaisce l anameno ei ceimeni: il risuleao finale è che per avere ceimeni uniformi il carico applicao sui pali laerali è neamene superiore a quello ei pali cenrali.

8 280 Si consieri una piasra soo la quale sia applicao un sisema i 9 pali, si supponga un palo soo ogni pilasro. n conizione i isribuzione uniforme i carichi, il palo maggiormene caricao è quello cenrale (1). l palo che cee in misura minore un po minore è il (2); quello che cee meno i ui è il (). L area i carico più rioa è quella ai verici; l area i carico el palo cenrale è quella maggiore. P cosane w 1 > w 2 > w Figura 18.1 Se i pali sono collegai a una piasra rigia, i ceimeni ei pali sessi sono uguali. l palo maggiormene caricao è quello che si rova in corrisponenza el verice (), il palo meno caricao è quello che si rova al cenro (1). Se la piasra rigia fosse caricaa uniformemene si iniviuano aree i compeenza per ciascun palo che sono via via più piccole passano al palo al palo 2 al palo 1. w cosane P 1 < P 2 < P Figura 18.14

9 281 Come varia nel empo il sisema erreno sruura Le conizioni iniziali el erreno sono quelle non renae, le sovrapressioni non si issipano all isane e quini la variazione i volume in quella fase è nulla. Ci sono ei ceimeni iniziali all ao i applicazione el carico e poi il ceimeno cresce nel empo (ceimeno i consoliazione). l ceimeno iniziale è ovuo a una isorsione el erreno la quale avviene a volume cosane. w 0 rappresena il ceimeno iniziale che avviene a volume praicamene cosane. Figura Maneneno le ipoesi i comporameno elasico lineare e i mezzo isoropo, aniamo a valuare le eformazioni. parameri che caraerizzano il comporameno meccanico sono i segueni:, ν. Possiamo quini scrivere che: ɛ x = ν σ y σ z ɛ y = σ y ν σ z ɛ z = σ z ν σ y = ν σ y σ z 1 2ν u = σ y ν σ z 1 2ν u = σ z ν σ y 1 2ν u n queso caso il problema è quello i efinire il valore elle pressioni neure u; variazione i volume eve essere nulla e quini può essere imposa l equazione: ɛ x ɛ y ɛ z =0 imponeno quesa equazione si oiene che: 1 2ν σ y σ z 1 ν u=0 Da cui oeniamo che: u 0 = σ y σ z Che rappresena il primo invariane ello sao i sforzo. Possono quini essere scrii ui i ermini i eformazione: ɛ x = ν σ y σ z 1 2ν σ y σ z = per =0 sappiamo però che la = 1 1 2ν ν 1 2ν σ z σ y = 2 1 ν 1 ν = σ y σ z = 2 1 ν Possono quini essere scrii ui i ermini i eformazione: 1 2 σ y σ z

10 282 ɛ x = 2 1 ν 1 2 σ y σ z ɛ y = 2 1 ν σ y 1 2 σ z ɛ z = 2 1 ν σ z 1 2 σ y Sao i eformazione in ermini i ensioni oali scrio nell isane =0. n ermini i ensioni efficaci possiamo però scrivere anche lo sao i eformazione per : ɛ x = 1 ν σ y σ z ɛ y = 1 σ y ν σ z ɛ z = 1 σ z ν σ y Confronano le ue relazioni possiamo pensare i efinire per l isane =0 ei paricolari valori el moulo i Young E u e el coefficiene i Poisson ν u: E u = 2 1 ν ν u = 1 2 Se supponiamo che E u > allora si può scrivere che: 2 >E 1 ν ν >1 1 ν < 2 ν < 1 2 Nel caso in cui ν u = 1 2 allora risula che E u =. Nel caso ei pali si ha che w 0 >0,8 0,9 w e queso significa che il ceimeno iniziale può essere valuao come l 80 90% el ceimeno oale. Queso significa che i ceimeni nei pali i fonazione sono quasi per inero ai a ceimeni immeiai.