Capitolo 5. Funzioni. Grafici.

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1 Capitolo 5 Funzioni. Grafici. Definizione: Una funzione f di una variabile reale,, è una corrispondenza che associa ad ogni numero reale appartenente ad un insieme D f R un unico numero reale, y R, denotato con f() che si chiama immagine del punto secondo la funzione f. L'insieme di tutti i valori assunti dalla funzione f quando varia nell'insieme D f si chiama immagine della funzione e si denota con f( D f ) D f dominio o insieme di definizione della funzione f. = valore di ingresso, variabile indipendente f() = valore di uscita, variabile dipendente Esempi: f : D f R un solo y = f() f(d f ) R f : R y = f() = m + q retta funzione lineare in quanto la variabile compare alla prima potenza, l'insieme immagine è ancora tutto R f : R - {0} y = (iperbole), Df = R - {0} e così pure l'insieme immagine f(d f ) Le coppie [, f()] individuano punti nel piano cartesiano, in questo modo si costruisce il grafico della funzione f. Grafici della retta m>0 m<0 Grafico dell iperbole y y = f() =

2 y = f() = =, 0 funzione valore assoluto -, < 0 y Il dominio è tutto R L'insieme immagine è R + - Funzioni Monotone f() crescente: f( ) f( ) (< strettamente crescente) f() decrescente: f( ) f( ) (< strettamente decrescente) Negli esempi fatti y = m +q, m < 0, f è strettamente decrescente, m>0 strettamente crescente y = è strettamente decrescente per > 0 e strettamente crescente per < 0 y =, f è strettamente crescente per 0 e strettamente decrescente per <0 Funzioni elementari (le più comuni funzioni di una variabile reale) Funzione potenza con esponente n N y = f() = n n = f() = (parabola) n = f() = (cubica) (n, n non lineare, es. f()= f( + ) = + + f( )+f( )= + ) f( ) = strettamente crescente per 0, D f = R, l'immagine=r + strettamente decrescente per < 0

3 f() = strettamente crescente per R, D f = R, l'immagine=r Funzione potenza con esponente razionale f() = m/n con m,n N. Nota: se n è un intero dispari allora m/n è definita anche per < 0, se n è pari allora il dominio di f è solo R + cioè 0. Esempi : (-) 5/ = ( ) 5 = = -, invece (-) / = ( ) = non ha significato nell ambito dei numeri reali y f() = / =, D f = R, immagine f(d f ) = R + Se 0 possiamo anche definire - m/n = con m,n N m n Infine si può definire la funzione potenza con esponente reale, definita solo per > 0 Es. f() = f() = α con α qualsiasi numero reale, anche irrazionale

4 Funzione inversa Se accade che ad ogni y = f() f(d f ) corrisponde un unico D f allora si dice che la funzione è invertibile e la funzione che ad ogni y associa l unico tale che f() =y si chiama funzione inversa di f e si denota con f, f : y =f() f(d f ) = f - (f () ) = f ( y) f(d f ) ) y - Esempi : y = + = y = invertibile f (y) = l operazione di inversione fornisce nuovamente una retta. y - = Invece y =, per esempio 4 = ( ± ) = +, = -, due valori non invertibile 4 se però considero y = con 0 allora si ha solo = + Nota che in questo caso la funzione è monotona (strettamente cresc.) ) - e si ha che 4 (4) / = + Quindi la funzione inversa della funzione potenza con n= è la funzione radice quadrata : f (y) = y (y) / = il dominio di f è R +. = (solo se il dominio di f è ristretto a R +, cioè 0). Nota che anche Quindi: Se f è strettamente monotona (crescente o decrescente) allora è invertibile. Quindi ad esempio y =f() = / =, f (f () ) ( / ) / =, cioè f = f() = è invertibile su tutto R, f ( e viceversa) ( ) > 0 Nota : il grafico della funzione inversa è simmetrico rispetto alla bisettrice y =.

5 Se invece di far variare la base facciamo variare l esponente abbiamo la funzione esponenziale f() = a, a > 0 Nota: a > 0 R. se se a >, a è strettamente crescente a <, a è strettamente decrescente. Y a> a< a 0 = Come abbiamo fin qui visto, se una funzione è strettamente monotona allora la funzione inversa. La funzione inversa di a è definita da: f = log a (logaritmo in base a di ) il cui dominio è R + (se a = e = numero di Nepero =,788 irrazionale, si ha quindi e e log (la base è sottintesa)) Viceversa : la funzione inversa di log a è a. Quindi per la definizione di funzione inversa si ha : f - f() = log a a = e a log a =, E quindi per = risulta log a a = e a log a =, cioè log a = 0. Inoltre si evince che log a b = b log a

6 y =f() = log a Nota bene : il dominio di log a = insieme immagine a è R + ( a sono tutti numeri positivi al variare di ). e per = 0 il logaritmo non è definito. Dalla proprietà delle potenze ricaviamo le proprietà del log a. Esempio: infatti posto a a = a + log a ( ) = log a + log a y = log a, y = log a a y =, a y = quindi ma a y a y = a y + y = log a a (y + y ) = log a ( ) log a a (y + y ) = y + y = log a + log a. Cioè il logaritmo del prodotto è uguale alla somma dei logaritmi. Analogamente si può dimostrare che log a = log a - log a

7 Nota sui grafici: y()=f() -f() grafico simmetrico rispetto all asse delle f(-a) traslazione del grafico a destra di a unità di lunghezza f(+a) traslazione del grafico a sinistra di a unità di lunghezza c +f() traslazione del grafico in alto di c unità di lunghezza -c + f() traslazione del grafico in basso di c unità di lunghezza Esercizi Verificare la Nota sui grafici delle funzioni elementari con a= e c= Disegnare i grafici delle seguenti funzioni, indicare il loro dominio, indicare gli intervalli dove sono crescenti e dove decrescenti: f() = -, f() =, f() = log (logaritmo naturale, in base e) Calcolare la funzione inversa di f()= 4, indicare il suo dominio e quello della f - e disegnare i grafici di f e di f -. Calcolare log 9, log 6, log log 5 7

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