Lezione 3. Funzione di trasferimento

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1 Lezoe 3 Fuzoe d trasfermeto

2 Calcolo della rsposta d u sstema damco leare Per l calcolo della rsposta (uscta) d u sstema damco leare soggetto ad gress assegat, s possoo segure due strade Calcolo el domo del tempo Co metod dell aals matematca, s tegra l sstema d equazo dfferezal (equazo d stato) forzato dalle fuzo del tempo assegate (gl gress) Dalla trasformazoe d uscta s rcava qud l espressoe dell uscta Calcolo el domo delle trasformate Alla fuzoe del tempo u(t) s assoca, co metod matematc che vedremo, ua fuzoe U che prede l ome d trasformata del segale d gresso Dalle equazo del sstema damco è po possble rcavare faclmete l legame tra la trasformata U e la trasformata Y del segale d uscta Rcavata qud la trasformata Y, le s assoca la fuzoe del tempo y(t), che e costtusce l attrasformata, e che rappreseta la rsposta del sstema cercata u(t) eq dfferezal y(t) trasformata attrasformata U(s) eq algebrche Y(s) Fg : Calcolo della rsposta d u sstema damco leare Qual è l vataggo del metodo d calcolo el domo delle trasformate? Il vataggo, otevolssmo, è che l legame tra la trasformata dell gresso e la trasformata dell uscta è d atura algebrca e o dfferezale, come accade vece tra le rspettve fuzo del tempo Co l terme segale tedamo ua varable, scalare, fuzoe del tempo P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3 -

3 Trasformata d Laplace S cosder ua fuzoe reale f(t) della varable reale t, defta per t 0 La fuzoe della varable complessa s: Fs ( ) f ( te ) st dt 0 s dce trasformata d Laplace d f(t) e s dca co L[f(t)] La trasformata esste, geerale, solo per u seme d valor d s Esempo S cosder la fuzoe scalo: 0 t 0 f t sca t t 0 sca(t) t st e L[ sca st t ] e dt 0 s s 0 Fg : La fuzoe scalo S ot che l ultma eguaglaza è vera quado s è u umero complesso a parte reale postva (coè el sempao destro del pao complesso) Esempo S cosder la fuzoe mpulso: f t mp t 0, t 0 + f t dt Tale fuzoe può essere vsta come l lmte, per ε 0, della seguete fuzoe: ε 0 t ε fε t 0 t > ε P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3 -

4 f (t) ε /ε ε t Fg 3 : La fuzoe d cu l mpulso costtusce l lmte ε L[ mp t ] mp st t e dt lm f st st t e dt lm ε e dt ε 0 ε 0 0 ε 0 0 ε st e sε sε e se lm lm lm ε 0 ε s ε 0 sε ε 0 s 0 Propretà otevol della trasformata Leartà L[ αf t + αf t ] αl[ f t ] + αl[ f t ] Traslazoe el domo della varable complessa [ ] F( s) Se L f t, [ ] ( ) at allora L e f t F s a Traslazoe el domo del tempo [ ] F( s) Se L f t, [ ] ( ) allora L f ( t ) e s τ τ F s, per τ 0 Dervazoe el domo del tempo [ ] F( s) Se L f t, allora L df t sf s dt + 0 Dervazoe el domo della varable complessa [ ] F( s) Se L f t, df( s) allora L[ tf t ] ds f ( ) P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3-3

5 Trasformate otevol dove: f(t), t 0 F(s) mp(t) sca(t) /s ram(t) /s par(t) /s 3 e at /(s a) s(ωt) ω/(s +ω ) cos(ωt) s/(s +ω ) t t 0 t t 0 ram t par t 0 t < 0 0 t < 0 Pol e zer I pol d ua trasformata F(s) soo valor d s per cu F(s) Gl zer d ua trasformata F(s) soo valor d s per cu F(s) 0 Se F(s) è razoale, ossa esprmble come rapporto d due polom s, Ns ( ) Fs ( ), Ds ( ) pol soo le radc del deomatore D(s), gl zer le radc del umeratore N(s) P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3-4

6 Attrasformata d Laplace Data ua fuzoe F(s) d varable complessa, s vuole determare la fuzoe f(t) d cu F(s) costtusce la trasformata I seguet due teorem forscoo formazo parzal su f(t) Teorema del valore zale Se L f t F s, [ ] ( ) [ ] allora f( ) sf s 0 + s Se, ad esempo, ( ) Fs lm s + s+ 3 s + 3s + 4, + allora f ( 0 ) 3 s s s lm + + s 3 s + 3s + 4 Teorema del valore fale Se L[ f t ] F( s), e F(s) è razoale e ha pol tutt a parte reale egatva oppure ell orge del pao complesso, allora lm f t lm[ sf s ] t s 0 Se, ad esempo, s + s+ Fs ( ) 3, s + 3s + s F(s) ha pol 0, / e, per cu l teorema è applcable, e rsulta: s + s+ lm f t lm t s s + s+ 0 3 Metodo d Heavsde per fuzo razoal Cosete d rcavare l espressoe aaltca dell attrasformata quado la trasformata è ua fuzoe razoale, ossa u rapporto d polom s: ( ) Ns bs 0 + bs + L+ b Fs ( ) Ds ( ) s + as + L+ a Il metodo vee qu presetato solo per alcu cas partcolar P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3-5

7 ) Pol real semplc Il deomatore è fattorzzable come: ( )( ) ( ) D s s+ p s+ p L s+ p, p R, p pj Ne cosegue: Fs α α α + + L+ s + p s + p s + p S rcavao coeffcet α,, α medate cofroto tra questa espressoe e l espressoe orgara d F(s) Ife s attrasformao sgol term: pt pt pt f t α e + α e + L + α e, t 0 ) Pol real semplc e u polo reale multplo Il deomatore è fattorzzable come: k ( + ) ( + ) ( + ) R ( ) D s s p s p L s p, p, p p, m k Ne cosegue: Fs ( + ) m j α α k ( k ) α α αm + + L+ + + L+ k k s p s+ p s + p s + p s + p ( ) S rcavao coeffcet α k,, α, α, α m medate cofroto tra questa espressoe e l espressoe orgara d F(s) Ife s attrasformao sgol term: f t k k t pt t pt pt pt α k e + α e + + e + e + + me p m L α α L α t, t 0!! ( ) ( k k ) ( k ) 3) Pol real semplc e due pol compless e cougat semplc Il deomatore è fattorzzable come: D s ( s+ p)( s+ p)( s+ p) L ( s+ pm), p R( ), p pj, m Ne cosegue (posto p σ + jω): Fs α α α αm βs + γ α αm L+ + + L+ s + p s + p s + p s + pm s + σs+ σ + ω s + p s + pm s + σ m β + βσ + γ ω α α + + L+ s s+ + ω s + p s + p ( + σ) + ω ω ( σ) co β e γ parametr real opportu S rcavao coeffcet β, γ, α,, α medate cofroto tra questa espressoe e l espressoe orgara d F(s) Ife s attrasformao sgol term: t t p t f t e σ ( t) + βσ + γ e σ β cos ω s ( ω t) + α e + + αme p m L t, t 0 ω m m P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3-6

8 Fuzoe d trasfermeto Cosderamo u sstema damco leare forma vettorale: t t + t t t + t &x Ax Bu y Cx Du m p, x R, u R, y R Itroducamo vettor X(s), U(s), Y(s) che cotegoo le trasformate d Laplace delle compoet de vettor x(t), u(t), y(t), rspettvamete Osservado che rsulta: L [& t ] [ x& t ] x& t x 0 0 L sx s L [ ] sx s x x sx x M M L[ x& t ] sx s x 0 [ ax t + ax t + + ax t ] a x t + a x t + + a x t s L ax s ax s a X s L [ ] a X s a X s a X s L[ Ax t ] AX M M L[ ax t + ax t + + ax t ] ax s + ax s + + ax s e aalogamete per le altre trasformate d prodott matrce-vettore, s ottee, sfruttado la leartà della trasformata: 0 + s s + s sx s x AX s BU s Y CX DU S è qud otteuto u sstema algebrco elle trasformate delle varabl Per tutt valor d s dvers dagl autovalor della matrce A, rsulta: s ( s ) s + ( s ) ( 0) X I A BU I A x e qud: ( ) [ ] ( ) ( ) Y s C si A B+ D U s + C si A x 0 D partcolare teresse è la stuazoe cu lo stato zale è ullo (x(0) 0) Rsulta: s s s Y G U, dove la matrce (d dmeso p m): [ s ] s ( ) G C I A B+ D prede l ome d fuzoe d trasfermeto del sstema Nel caso SISO (mp), la fuzoe d trasfermeto dveta uo scalare e s può scrvere, sempre a stato zale ullo: Ys ( ) Gs ( ) Us ( ) P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3-7 s

9 La fuzoe d trasfermeto può essere calcolata co la formula precedete (rcavado qud le matrc A, B, C, D e vertedo ua matrce ) oppure trasformado le sgole equazo membro a membro (a stato zale ullo), e rcavado l legame tra Y(s) e U(s) medate elmazoe delle X (s) Rpredamo gl esemp d sstem damc elemetar trattat precedeza, lmtadoc aturalmete a quell lear: Resstore ( ) yt R ut Gs Ys Us ( ) R Iduttore &x t L ut Ys ( ) yt x t Gs Us ( ) Ls Codesatore &x t C ut Ys ( ) yt x t Gs Us ( ) Cs Massa x& t x t x& t M ut Ys ( ) yt x t Gs Us ( ) Ms Oscllatore meccaco x& t x t x& t ( Kx t Dx t + u t ) M Ys ( ) yt x t Gs Us ( ) Ms + Ds + K Serbatoo cldrco &x t A ut S Ys ( ) yt x t Gs Us ( ) As S P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3-8

10 Struttura della fuzoe d trasfermeto S cosder u sstema SISO, per cu la fuzoe d trasfermeto è uo scalare: [ C I A B ] ( ) Gs s + D Osservamo che: ( si A) det ( si A) L L k s k s k s k s k s k s, M M O M k s k s L k s dove polom k j (s) soo complemet algebrc della matrce (si A) ed hao, per costruzoe, grado o superore a (metre l determate a deomatore ha ovvamete grado ) Nel formare lo scalare ( s ) C I A B s combao learmete polom k j,, otteedo u polomo che o può avere grado maggore de sgol polom A questa espressoe va po sommato D, se l sstema o è strettamete propro Cocludamo qud che la fuzoe d trasfermeto è razoale (rapporto d polom): Ns ( ) Gs ( ), Ds ( ) che l deomatore D(s) ha grado, metre per l umeratore: Ns ( ) polomo d grado, se l sstema è strett propro ( D 0) polomo d grado, se l sstema o è strett propro ( D 0) S osserv qud che l grado del umeratore o può ma eccedere quello del deomatore S rcorda oltre che u polomo d grado a coeffcet real ammette el pao complesso radc, real o a coppe complesse e cougate (teorema fodametale dell algebra) Gl zer della fuzoe d trasfermeto soo le radc del umeratore N(s) (e qud soo umero more o uguale a ) I pol della fuzoe d trasfermeto soo le radc del deomatore D(s) (e qud soo umero uguale a ) I pol, quato radc del determate della matrce (si A), cocdoo co gl autovalor della matrce A Queste cocluso o cotemplao esplctamete l caso cu umeratore e deomatore abbao ua o pù radc comu Nel formare l espressoe della fuzoe d trasfermeto tal radc s semplfcao, per cu l deomatore avrà grado more d (e l umeratore grado more o uguale a quello del deomatore) I questo caso pol della fuzoe d trasfermeto formao u sottoseme degl autovalor della matrce A P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3-9

11 Nel pao complesso, pol vegoo d orma rappresetat co ua crocetta, gl zer co u pallo La fuzoe d trasfermeto: ( ) Gs s + 3 s + 3s + s, preseta due zer, s j e s j, e tre pol, s 0, s e s, rappresetat come fgura: Im j Re 0 j Fg 4 : Dsposzoe d pol e zer P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3-0

12 Parametr caratterstc della fuzoe d trasfermeto S è vsto che la fuzoe d trasfermeto d u sstema damco è ua fuzoe razoale della varable complessa s, ossa è l rapporto d due polom: Ns β0s + βs + L+ β Gs Ds s + γs + L+ γ Alteratvamete s può utlzzare la seguete espressoe equvalete: Gs ( s+ z) ( s+ p ) ρ dove le produttore corroo su tutt gl zer e su tutt pol, rspettvamete, metre: ρ: costate d trasfermeto z : zer p : pol S osserv che parametr z e p possoo ache essere compless Per otteere ua rappresetazoe co solo umer real è suffcete accorpare term compless e cougat (a umeratore e a deomatore), e polom d secodo grado a radc complesse Quest polom, a loro volta soo espress per mezzo d due parametr partcolarmete sgfcatv, dcat co ζ e ω : s + ζω s+ ω, dove ω è u umero postvo Per compredere l sgfcato de due parametr, osservamo che le radc del polomo soo: s, ζω ± jω ζ, e rsultao effettvamete complesse e cougate se ζ < Il sgfcato de parametr ζ e ω è allora llustrato dalla seguete fgura: ζω ω α Im Re ζ cos(α) Fg 5 : Sgfcato de parametr ζ e ω ω, pulsazoe aturale: è l modulo delle due radc, ossa la loro dstaza dall orge ζ, smorzameto: è l coseo dell agolo α formato dalla cogugete l orge co le radc, rspetto al semassse reale egatvo P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3 -

13 Poché la parte reale de pol vale ζω e ω è u umero postvo, s ha: ζ>0: due radc el sempao sstro ζ0: due radc sull asse mmagaro ζ<0: due radc el sempao destro Possamo a questo puto esprmere la fuzoe d trasfermeto per mezzo d sol parametr real ella seguete forma: Gs ρ ( s+ z ) ( s s ) + ζzω z + ωz ( s+ p) ( s + ζ pωps+ ωp) co ω, ω > 0, ζ, ζ z p z p, U ulterore espressoe della fuzoe d trasfermeto è la seguete: Gs ( + s ) ( + st ) µ τ g s dove le produttore corroo su tutt gl zer e su tutt pol dvers da zero, rspettvamete, metre: µ: guadago g: tpo τ : costat d tempo degl zer T : costat d tempo de pol S osserv che l rapporto delle due produttore valutato s 0 è par a Per otteere questo rsultato s soo raggruppat gl evetual pol o zer s 0 el terme a deomatore s g Pertato g è u umero tero, uguale, se postvo, al umero d pol s0, se egatvo, al umero d zer s0 (se è ullo o v soo é pol é zer s0) Se g0, rsulta oltre: µ lm Gs G0 CA B + D, s 0 espressoe che prede l ome d guadago statco, quato corrspode al rapporto tra gresso e uscta all equlbro Pù geerale: g µ lm [ sgs] s 0 Ache questa forma della fuzoe d trasfermeto può essere espressa term solo d parametr real: All equlbro rsulta 0 Ax + Bu, y Cx + Du, per cu, elmado x, s ottee l rsultato P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3 -

14 Gs µ g s ζz s + + s+ ω ω ( sτ ) ζ p s + + s + ωp ω ( st ) z z p, co ω, ω > 0, ζ, ζ z p z p P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3-3

15 Calcolo delle rsposte temporal Dato u sstema damco leare ed u gresso trasformable secodo Laplace, è possble rcavare l espressoe aaltca dell uscta del sstema damco forzata da tale gresso Occorre: Rcavare, se o è gà data, la fuzoe d trasfermeto G(s) del sstema Rcavare la trasformata U(s) dell gresso 3 Calcolare la trasformata dell uscta Y(s) G(s)U(s) 4 Attrasformare Sa ad esempo: s + Gs ( ) ut, sca t s + 5s+ 4 Sappamo allora che: s + Us ( ), Ys ( ) GsUs ( ) ( ) s ss + 5s+ 4 s + ( ) ss ( + )( s+ 4) Applchamo l metodo d Heavsde per l attrasformazoe d Y(s): Ys ( s+ )( s+ 4) + ss ( + 4) + ss ( + ) s + ss ( + )( s+ 4) ss ( + )( s+ ) α α α α α α + + s s + s Impoedo l uguaglaza de due umerator, partcolare e put s 0, s, s 4, s ottee: 4α α 4 3α α 3 α3 7 α3 7 Pertato: yt t 7 4t t 7 4t sca t + e e + e e, t P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3-4

16 Stabltà Sa dato u sstema leare, all equlbro all state t0 S applch qud, all state t0 u mpulso all gresso del sstema (ossa ua perturbazoe d ampezza molto elevata e d durata brevssma) S possoo presetare tre tpologe d comportamet per l adameto temporale dell uscta y, rportate fgura: y (c) (b) (a) t Fg 6 : Dfferet comportamet della rsposta all mpulso (a) l uscta coverge al valore zale (supposto ullo); (b) l uscta o coverge al valore zale, ma o dverge; (c) l uscta dverge Quest comportamet corrspodoo, rspettvamete, a u sstema: (a) astotcamete stable; (b) semplcemete stable (o stable, ma o astotcamete); (c) stable Per sstem damc lear, d cu c stamo occupado, la stabltà o è legata al partcolare puto d equlbro cu s trova l sstema el mometo cu s dà l mpulso gresso (tutt put d equlbro soo equvalet tra d loro) Cò o è evdetemete vero per u sstema o leare (s pes ad u pedolo e a suo dfferet put d equlbro) Ne cosegue che per u sstema leare la propretà d stabltà deve essere deducble dall espressoe matematca del sstema damco, ed partcolare dalla sua fuzoe d trasfermeto Lmtamoc, per brevtà, al caso d sstem co pol semplc (ossa radc o multple del deomatore) Rcordado che la trasformata dell mpulso vale, s ottee: P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3-5

17 Ys GsUs Gs ρ ( s+ z ) ( + ) α s p s+ p Attrasformado, s rcava l espressoe aaltca della rsposta all mpulso: pt yt e α, t 0 Se p è complesso, ossa p α + jβ, rsulta: pt α t ( ( β ) ( β )) e e cos t js t Naturalmete sarà presete ache l terme cougato e cotrbut mmagar allo svluppo s elderao Ora, se tutt pol soo real egatv (p >0) o compless a parte reale egatva (α >0), tutt gl espoezal covergoo a zero e, base alla defzoe, l sstema è astotcamete stable; se tutt pol soo egatv, a meo d uo che è ullo (p 0) o d ua coppa che è mmagara (α 0), l espoezale co espoete ullo dà luogo ad u terme costate metre quell co espoete mmagaro dao luogo a term susodal, e qud la rsposta o coverge a zero, ma o dverge: l sstema è pertato semplcemete stable; se, fe, almeo u polo è reale postvo (p <0) o complesso co parte reale postva (α <0), l espoezale relatvo a tale polo dverge, facedo dvergere la rsposta all mpulso: l sstema è qud stable Estededo, co ragoamet aalogh, le cocluso al caso d pol multpl, s può formulare l seguete teorema: U sstema è: astotcamete stable: se e solo se tutt pol della sua fuzoe d trasfermeto hao parte reale egatva; semplcemete stable: stable: se e solo se tutt pol della sua fuzoe d trasfermeto hao parte reale egatva o ulla, almeo uo ha parte reale ulla, e tutt pol a parte reale ulla soo semplc; se e solo se almeo u polo della sua fuzoe d trasfermeto ha parte reale postva oppure ha parte reale ulla ed è multplo L aals d stabltà s rduce qud all aals della poszoe de pol della fuzoe d trasfermeto Esstoo crter per valutare se u polomo ( questo caso l deomatore della fuzoe d trasfermeto) ha tutte le radc a parte reale egatva, coè el sempao sstro del pao complesso C lmtamo a dare ua codzoe ecessara (che, come tale, ha teresse solo quado vee volata) Codzoe ecessara perché l polomo: Ds ( ) s + γ s + γ s + L+ γ abba tutte le radc a parte reale egatva è che coeffcet γ, γ,, γ sao tutt postv P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3-6

18 Per esempo: ( ) Gs ( ) Gs ( ) Gs s + 3 o è astotcamete stable; s + s + s s + 3 o è astotcamete stable; s + s + s + 3 o s può cocludere ulla dalla codzoe ecessara s + s + s+ A completameto delle ote sulla stabltà osservamo che: se l sstema è dato forma d equazo d stato, la dscussoe sulla stabltà può ache essere codotta sugl autovalor della matrce A Ifatt pol della fuzoe d trasfermeto cocdoo co tal autovalor, asseza d cacellazo d radc el formare la fuzoe d trasfermeto I preseza vece d cacellazo, se qud pol soo u sottoseme degl autovalor d A, la defzoe d stabltà qu trodotta duce a rteere essezal a f della valutazoe della stabltà la poszoe el pao complesso degl autovalor cacellat (cotao solo pol) I realtà ua defzoe pù geerale d stabltà (stabltà alla Lyapuov), che fa rfermeto al sstema espresso term d equazo d stato, coduce alla coclusoe che l sstema è astotcamete stable alla Lyapuov se e solo se tutt gl autovalor d A soo a parte reale egatva Potremo allora dre che se tutt pol della fuzoe d trasfermeto soo a parte reale egatva ma v soo autovalor cacellat a parte reale o egatva, l sstema è astotcamete stable esteramete ma è presete ua o astotca stabltà tera I questo corso o s dao defzo d stabltà d stat d equlbro per sstem o lear, é strumet per valutarla E tuttava evdete che lo studo della stabltà del sstema learzzato ell toro dello stato d equlbro forsce chare dcazo del comportameto del sstema o leare perturbato rspetto alla codzoe d equlbro P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3-7

19 Esercz Eserczo 3 S calcol la fuzoe d trasfermeto dall gresso u all uscta y per la rete elettrca dell eserczo, cu s poga R, L, C Eserczo 3 S calcol la fuzoe d trasfermeto dall gresso u all uscta y per l seguete sstema damco: + x t x& t x t x& t x t 3 x& t x t x t x t u t 3 3 yt Eserczo 33 S determo tpo, guadago, costat d tempo degl zer e de pol per la seguete fuzoe d trasfermeto: Gs s s ( s+ )( s + 6s+ 8) Eserczo 34 S dscuta la stabltà de sstem descrtt dalle seguet fuzo d trasfermeto: 3 G s G s s + 5 s + s 5 8s G3 s G s 4 4 s + 3s + s+ s + s+ Eserczo 35 S scrvao le equazo (el domo del tempo) d u sstema damco che ammette la seguete fuzoe d trasfermeto: 3 Gs s + 4 Eserczo 36 S calcol l espressoe aaltca della rsposta all mpulso della seguete fuzoe d trasfermeto: 4s + Gs s + 5s+ 6 P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3-8

20 Tracca delle soluzo Eserczo 3 Trasformado secodo Laplace etramb membr delle equazo, s ottee: sx X X + U sx X X Y X da cu, elmado X e X, s ottee: Ys Us s + s+ Eserczo 3 Trasformado secodo Laplace etramb membr delle equazo, s ottee: sx sx X X 3 sx X X X + U 3 3 Y X da cu, elmado X, X e X 3, s ottee: Ys 3 Us s + s + s+ Eserczo 33 Rscrvedo la fuzoe d trasfermeto ella forma: Gs µ g s ( + st ) z ( + stp)( + stp)( + stp3) s ottee: s ( 05 s) Gs ( ), 4 ( + s)( + 05 s)( + 05 s) da cu s deduce: Tpo: g Guadago: µ /4 Costate d tempo dello zero: T z 05 Costat d tempo de pol: T p, T p 05, T p3 05 P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3-9

21 Eserczo 34 G e G 4 soo astotcamete stabl (hao pol el sempao sstro), G e G 3 o lo soo, quato o soddsfao la codzoe ecessara (per la precsoe, soo stabl) Eserczo 35 Ua possble (o uca) soluzoe è la seguete: xt &x t xt ut yt Eserczo 36 Poché la trasformata d Laplace dell gresso (mpulso) vale, la trasformata d Laplace dell uscta cocde co la fuzoe d trasfermeto G(s) S applca l metodo d attrasformazoe d Heavsde: Gs Ys ( + )( + ) ( s+ 3) + ( s+ ) ( s+ )( s+ 3) 4s + α α α α + s s 3 s + s + 3 Cofrotado umerator, ua volta s e ua volta s 3, s ottee: α 7, α, da cu: t 3t yt 7e + e t 0 P Rocco - Dspese d Automatca Lez 3-0

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