Elementi sollecitati assialmente

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1 Elementi sollecitati assialmente Questi elementi si risolvono molto semplicemente, tuttavia vengono esposti concetti basilari che poi saranno esportati ai casi di elementi monodimensionali sollecitati in modo più complesso VARIAZIONE DI UNGHEZZA elemento più semplice da immaginare è la molla, che può essere messa in trazione o compressione Si noti che la sua reazione non corrisponde alla tensione nelle spire (la quale è piuttosto derivante da torsione) Per carichi applicati non elevati la molla reagisce elasticamente: P k f k k = rigidezza [ N/m ] f = flessibilità [ m/n ] fp Una barra prismatica agisce come una molla; allungamento (+): accorciamento (-): P EA k ; E EA f EA

2 e variazioni di lunghezza sono in genere molto piccole - il che giustifica il riferimento alla lunghezza indeformata CAVI o FUNI Sono elementi particolari in quanto reagiscono a trazione, ma non supportano la compressione Esempio di proprietà funi e funi sono composte di trefoli intrecciati, che possono essere a loro volta intrecciati fra loro Dato il fatto che esistono spazi vuoti nell avvolgimento, il modulo elastico effettivo è minore di quello della barra di pari diametro nominale E effettivo 6 8 % E acciaio inch 5.4 mm lb/ ft 4.6 N / m lb 4.45 N e funi possono essere avvolte in tamburi senza produrre resistenza a flessione e sollecitazioni significative se i diametri di avvolgimento sono adeguati e normative indicano, per ogni tipologia, i diametri minimi di avvolgimento

3 Esempio a struttura a contrappeso ABC (rigida) è appoggiata su due elementi verticali BD e CE. e barre sono in acciaio con E= 5 GPa A BD = mm / A CE = 5 mm Calcolare il massimo carico che comporta spostamento in A di mm. BD CE 3P48mm 3 PBD P EA N mm mm BD 5 P6mm PCE.6 P EA N mm mm CE Soluzione: equilibrio dei momenti ci fornisce i due carichi di compressione e trazione, rispettivamente in BD e CE: mm.6 mm 45 FCE P P FBD P 3P 5 Entrambi gli spostamenti sono espressi in funzione del carico applicato P

4 Essendo rigido l elemento ABC, esso si inclina di un unico angolo per cui: BD CE tan P BC 5.8 tan 8.65 P A CE AA tan AC P 43.8 P mm P A N Con questo valore di P, l angolo di rotazione risulta molto piccolo:.9 rad =. N.B. Si è implicitamente assunto che la flessione dell elemento BD sia trascurabile ai fini dello spostamento verticale (piccoli spostamenti)

5 DEFORMAZIONE DI ASTE SOECITATE IN MODO COMPESSO Alla trave di figura sono applicati 3 carichi concentrati P D, P C, P B Sezionando le travi al centro di ogni tratto sollecitato in modo costante si possono determinare le forze interne: N PB PC PD ; N PC PD; N3 PD N EA N EA N 3 3 ; ; 3 tot 3 Sezioni variabili a tratti generalizzando tot EA n N i i EA i i Se invece la sezione e le sollecitazioni variano con continuità lungo l asse longitudinale x, la sommatoria diviene un integrale: d N x dx EA x tot N x dx EA x

6 V cono d h α Esempio asta conica Una asta conica supporta alla fine in una massa M ed è soggetta al peso proprio. Determinare la legge con cui varia la sollecitazione lungo l asse. x A x 4 d d Chiamando H la distanza tra la base in d angolo di semiconicità si ricava da d d d H tan d tan e il vertice cono (non disegnato): N x g M H x d d H d x d d d x N x EA x xd d x d g M x 3d 3 E x 4 d d ; x E x

7 acciaio m d m d m kg m M t 3 ; ;. ;.3 ; 78 / ; ; Nx x x x dx x Con le dimensioni assegnate, la massima sollecitazione si ha nella sezione più bassa (x=)

8 ASTE DI UNIFORME RESISTENZA Sono elementi che presentano (approssimativamente) in ogni punto il medesimo stato di tensione P Anche se la sezione è variabile, con cautela si può presumere che essa sia sempre costante nella sezione (errore 3% se angolo = ) x A x Ax da x dx x Hp N x A x Ax? Si impone l equilibrio all elementino dx: A da A Adx da A Si separano le variabili e differenziali affini dx per poter integrare: A ln A x C Esponenziale: xc A e C e A x A e x x da dx C Condizione contorno A P C A

9 ASTE STATICAMENTE INDETERMINATE Finora sono state analizzate solo strutture la cui soluzione ha richiesto le sole equazioni di equilibrio - staticamente determinate In conseguenza di ciò le proprietà del materiale non hanno influenza sulla soluzione trovata In molti casi invece, le equazioni di equilibrio non sono sufficienti a determinare tutte le incognite F R R P vert A B Si può introdurre una condizione aggiuntiva relativa al fatto che l allungamento totale tra i due incastri è nullo, ottenendo la II equazione Equazioni di compatibilità AB AC CB RAa RBb EA EA R A Pb ; R B Pa Nelle equazioni di compatibilità compaiono esplicitamente le caratteristiche dei materiali (leggi costitutive) per collegare gli spostamenti ai carichi incogniti

10 Esercizio Una trave rigida AB è attaccata ad uno snodo C mediante due tiranti CB e CD. Determinare le tensioni sui due cavi. Soluzione: o schema di corpo libero AB evidenzia la presenza di 4 incognite equilibrio dei momenti in A consente di far comparire sole incognite M A T bsin T bsin Pb b b sin = ; sin = 5 b 5b Ma, dalla geometria (piccoli spostamenti): T b T b Pb 5 Equazione di compatibilità: Dopo la deformazione, i punti A D B debbono restare allineati

11 Dal teorema di Talete, si ha che egame costitutivo: Introducendo le T EA T EA sin sin lunghezze indeformate b/sin ; b/sin 5T 4T Tb EA 5T b EA Si può ora sostituire questa ultima nell eq. equilibrio ottenendo: T 4.46 ; P P T 5 T P Note le tensioni, le altre reazioni vincolari si determinano dal solo equilibrio forze orr/vert N.B. e caratteristiche del materiale (EA) non compaiono solo perché uguali nei due cavi

12 EFFETTI EGATI A VARIAZIONE DI TEMPERATURA Anche cambi di temperatura (rispetto a quella di riferimento montaggio) possono indurre deformazioni termiche e tensioni termiche T Se il blocco non è vincolato, si espande liberamente in tutte le direzioni, mantenendo la forma T T Se l espansione termica è impedita, si possono generare sollecitazioni molto elevate! T C acciaio T =. 6 3 impedimento provoca deformazione contraria (risultante nulla) dovuta al carico vincolare termica MPa

13 Se una struttura può espandersi liberamente non si instaurano sollecitazioni di coazione Stati di coazione invece si possono avere se sussistono gradienti termici, se vi sono vincoli che impediscono l espansione libera, se si hanno passaggi di fase con conseguenti cambi di proprietà del materiale Questa struttura risulta staticamente determinata (6 gdl, ++ gdv) In essa si possono avere variazioni di temperatura sulle due travi, senza che ciò comporti l insorgere di sollecitazioni su di esse o variazioni delle reazioni vincolari e strutture Staticamente Determinate non si tensionano per effetto di cambiamenti uniformi di temperatura e strutture Staticamente Indeterminate si possono o meno tensionare a seconda di come vengono applicati i cambiamenti di temperatura ΔT applicato a tutti i membri non produce tensioni ΔT applicato ad una sola asta produce tensioni

14 Da catalogo giunti per piping Semplice assorbitore per def. termica Effetto eccezionale ondata calore su ferrovia Giunzione su tratti di viadotto Montaggio giunzione su grande tubazione per recupero dilatazioni termiche

15 Esempio Un dado è avvitato sulla vite finché non si ha il recupero totale dei giochi su un elemento cavo di materiale con coefficiente di espansione maggiore della vite. Determinare le tensioni e l allungamento del complessivo in seguito a un ΔT Soluzione: Per risolvere il problema dovremo: (i) eliminare un vincolo (testa vite), (ii) lasciare la libera espansione, (iii) inserire i carichi e l uguaglianza degli spostamenti alla testa vite T V S P S 3 EA S S 4 P V E A V T V + Ora si esprime la condizione che la somma degli spostamenti per vite e elemento sia = P V Tot 3 4 P P S V ST VT ES AS EV AV

16 Finora non si sono utilizzate le equazioni di equilibrio, ma solo la condizione di congruenza S V P P P Per le tensioni deriva S V P P E A T E E A A E A S S V V T E E A S V S S V V AS ES AS EV AV compressione S V S V P S V V S V S AV ES AS EV AV trazione Si noti che le tensioni non dipendono dalla lunghezza T E E A Per le deformazioni si riprende la congruenza, sostituendo P Tot 3 4 SES AS V EV AV T E A E A S S V V Come verifica si può notare che se i materiali fossero gli stessi, la soluzione si semplifica in modo corretto S V Tot T

17 ENERGIA DI DEFORMAZIONE a definizione dell energia di un sistema è di fondamentale importanza. Mediante le formulazioni energetiche si possono risolvere rapidamente molti problemi statici e dinamici Se un carico viene applicato in regime quasi statico fino ad un valore massimo, esso si deforma raggiungendo allo stesso tempo l elongazione massima Il lavoro compiuto è la somma di tutti gli elementari prodotti carico spostamento W Pd Il lavoro compiuto dall esterno produce deformazione e viene totalmente immagazzinato in energia di deformazione Geometricamente = area sottesa U W Pd Se il carico applicato supera il punto A, di elasticità o di reversibilità, alla rimozione dello stesso si ha solo un parziale recupero In ogni caso allo scarico la legge costitutiva torna ad essere elastica lineare ma si ha una deformazione permanente OD

18 ENERGIA nel caso di comportamento lineare elastico area sottesa risulta semplicemente quella di un triangolo: P U W ma P U EA U P EA EA A parità di carico! Aumentando la lunghezza si Aumentando E o A diminuisce incrementa l energia assorbita l energia assorbita energia si può sommare nel caso di segmenti prismatici o integrare nel caso di sezioni variabili U N n i i i EA i i U o N x E x A x dx Si noti comunque che l energia non è una funzione lineare del carico applicato Se vengono applicati più carichi, l energia non può essere calcolata dalla sovrapposizione semplice degli effetti

19 DENSITÀ DI ENERGIA DI DEFORMAZIONE Non è altro se non l energia elastica immagazzinata per unità di volume Per una trave prismatica soggetta a trazione-compressione tale densità è costante U u V P EA E u Ricordando le definizioni di tensione e deformazione u u E E a densità di energia immagazzinabile in un volume unitario da un materiale al limite di elasticità proporzionale è detta modulo di resilienza u r pr E a resilienza è la capacità di un materiale di assorbire energia in campo elastico a densità di energia immagazzinabile da un materiale al limite della rottura (la relazione dipende dalla forma della curva tensione-deformazione) è detta modulo di duttilità ud R d a duttilità è la capacità di un materiale di assorbire energia prima del cedimento

20 Esempio i ii Si calcoli l energia immagazzinata per effetto (i) del solo peso proprio e (ii) del peso proprio con un carico aggiuntivo. i N x A x x Identico risultato si poteva ottenere dalla densità energia: u N x A x A U dx dx EA EA 6E x x E ii N x A x P 3 U udv Adx V E A x P 3 A P P U dx EA 6E E EA Termine dovuto al solo peso proprio N x x x A Termine misto aggiuntivo Pertanto, si vede come sulla energia non si può applicare la semplice sovrapposizione degli effetti Termine dovuto al solo carico P

21 Esempio Se la struttura è elastica, un solo carico agisce e lo spostamento richiesto è quello di applicazione del carico, si può ricavare lo spostamento applicando direttamente l eq. energia Il carico supportato da ciascuna delle due aste è N P cos energia immagazzinata è fornita dalla N x N P H U dx EA EA 4EAcos Per questo solo caso si può = l energia immagazzinata con il lavoro esterno compiuto da P 3 W P 4EAcos P H 3 PH 3 EAcos Questa soluzione è quindi molto particolare e non va estesa a casi più generali!

22 CARICHI DI IMPATTO Carichi statici Carichi dinamici È il caso di carichi applicati molto lentamente senza innescare vibrazioni o altri effetti dinamici Possono essere causati da impatto: urti fra corpi, oggetti che cadono, Possono essere variabili nel tempo: macchine rotanti, terremoti, vibrazioni, Esaminiamo il semplice caso di un grave che impatta su una flangia terminale di una trave prismatica a soluzione non approssimata di questo problema è assai complessa, ma con alcune semplificazioni si può risolvere facilmente Si cerca una soluzione in chiave energetica assumendo che: ) energia cinetica alla fine impatto venga tutta assorbita dalla trave prismatica ) energia elastica assorbita dal collare è immagazzinata in modo simultaneo da tutti i punti 3) Il collare ha un urto perfettamente plastico con la flangia senza rimbalzi 4) Ogni effetto dissipativo sia trascurabile e la massa della trave sia trascurabile rispetto M

23 Si uguaglia l energia potenziale del grave = energia elastica trave W Mg W h max EA max Equazione di II grado Due soluzioni, di cui una positiva: max W W W h EA EA EA Si vede già che l allungamento aumenta con il carico W e diminuisce con il modulo di rigidezza trave EA W EA st max st st h st allungamento risulta ben maggiore di quello statico! Dipende da h che è in genere >> st se h= 4 st max = st a precedente si può semplificare se h >> st Mg max hst h EA EA Mv ultima relazione semplificata si poteva ottenere direttamente omettendo nel calcolo della energia potenziale la deformazione aggiuntiva

24 a sollecitazione massima si calcola dalla: max E max st W A max W W WE h A A A hea max st W Ancora si può semplificare se h >> st max he st Mv E A Viene chiamato fattore di impatto il rapporto tra la tensione max / tensione statica Esso assume valori anche superiori a aumento del volume o di A e separatamente, causa una diminuzione della sollecitazione massima ma l aumento di A causa un incremento del fattore di impatto In pratica, per diminuire gli effetti deleteri dell impatto conviene adottare elementi flessibili e non rigidi Un caso del tutto particolare si ha quando il carico è applicato improvvisamente, da altezza h = max st st st max st st st applicazione subitanea del carico provoca un raddoppio degli effetti statici!

25 Esempio Un ascensore discende verticalmente con velocità v costante. All improvviso la puleggia subisce un subitaneo arresto. Determinare la massima tensione supportata dal cavo nel transitorio Soluzione: Come punto di partenza occorre specificare che il cavo, prima dell arresto, non è a riposo ma supporta il peso W della cabina a soluzione prevede il calcolo della energia immagazzinata prima del blocco ed il suo trasferimento integrale all energia elastica immagazzinata nel cavo E cin W g v Si trascura l E.C. del cavo e della puleggia con tutti gli organi rotanti pot max st E W Energia disponibile per l ulteriore allungamento del cavo a blocco E strain st EA st Energia di deformazione accumulata per sostentamento statico W EA EA E v W E g st max Tot prima max st Tot dopo

26 W EA st W EA EA v g max st max st st Wv v max st st gea st gst Questa ultima, riscritta in termini tensionali, ci fornisce la tensione massima E gw max max st v EA Il fattore di impatto può essere anche molto grande Aumenta sempre più significativamente al decrescere della lunghezza del cavo svolto Cresce con la velocità della cabina Soffre incrementi di rigidezza del cavo (EA) W kg; d cm; acciaio

27 CONCENTRAZIONI DI TENSIONE Come si vede dalla figura, solo ad una certa distanza dal punto di applicazione del carico lo stato tensionale è quello ipotizzato in precedenza Spostandosi di una quantità circa pari alle dimensioni caratteristiche, la tensione diventa quella nominale In generale, carichi concentrati o discontinuità agiscono in un arco spaziale limitato Definire un coefficiente di concentrazione delle tensioni K che rapporti la tensione massima e quella nominale Tensione nominale max K nom Esistono tabelle e grafici dove vengono raccolti i coeff. conc. per varie disuniformità geometriche calcolati con soluzioni analitiche, metodi numerici avanzati, sperimentazione, Il progettista utilizza le soluzioni di St Venant amplificando poi i valori locali mediante K

28 Foro in una piastra sottile Piastra con raccordo sulla larghezza Albero con riduzione di diametro In sollecitazioni statiche, nell uso di materiali fragili si utilizzano i fattori K tabellati nell uso di materiali duttili i fattori K vengono considerati spesso unitari (ridistribuzione plastica)

29 ANAISI EASTO - PASTICA Approssimare gli acciai dolci da costruzione in materiali elasto plastici perfetti è una buona approssimazione: Utilizziamo la struttura iperstatica a fianco per illustrare come si può operare in una analisi elasto plastica F F P Equazioni di equilibrio: Equazioni di congruenza: Per bassi carichi, il comportamento è totalmente elastico A A A F F ; F F EA EA Risolvendo le due equazioni assieme: F P ; F P A A P ; P e precedenti sono vere finché la = snervamento P y ya

30 Nell incipiente snervamento della barra, l allungamento è y F EA E y Ulteriori incrementi di carico comportano che la F rimanga costante e le altre aumentino Ad un certo punto tutte e tre le barre saranno plasticizzate e non si avranno ulteriori incrementi Dal confronto delle due posizioni A e B, si evincono i rapporti: P F F y A; Ppl 3y A pl pl pl y P y y pl y E 3 3 a pendenza del tratto AB è minore della precedente OA, l estensione dello stesso tratto è tanto maggiore quanto maggiore è la differenza fra e Si noti che se il carico è rimosso dopo aver superato il primo snervamento (pt A) il sistema non torna alla configurazione iniziale si instaurano tensioni residue

31 Vediamo se insorgono tensioni residue allo scarico ) Allungamento oltre il valore δ pl (grandi spostamenti e deformazioni) Sotto carico le tensioni in tutte le barre valgono sn Δ e lunghezze finali sono Dal punto di vista delle deformazioni vere: ln ln e dimensioni finali delle sezioni sono (Hp. Conservazione del volume in plasticità) ln A A A A ln A A A A Per rimuovere il carico si applica una forza -P pl che provoca il seguente stato tensionale P pl A P pl A e tensioni residue risultano: Sostituendo i valori finali di carico Res y Res y 3 3 y 3 3 y

32 y Vediamone un diagramma nel caso particolare: A cm m m ; ;.8 ; 35 MPa; E GPa; Ci sono tensioni residue piccole - ma non nulle - dovute agli spostamenti non infinitesimi e aste lunghe hanno residua trazione e quella corta compressione (più consistente) P Δ e tensioni che derivano sono: ) Allungamento compreso tra δ y e δ pl (piccole deformazioni) In questo caso i carichi variano da P y ya a P 3 e lunghezze finali sono EE y pl A y P y E A

33 Alla rimozione del carico (aggiunta di -P) la reazione è tutta in campo elastico in piccoli spostamenti rispetto alla configurazione iniziale: P A P A e tensioni residue risultano dalla E A Res somma delle due tensioni precedenti: Res y P P A Risolvendo le due equazioni assieme: E globalmente per tutto il campo elastoplastico e plastico