, l'insieme dei numeri interi relativi: 0, 1, 1, 2, 2, infinito. m dove m e n sono elementi di. Le frazioni hanno tre

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1 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Lezioi / Gli isiemi umerici Gli isiemi umerici co i quali lavoreremo soo:, l'isieme dei umeri aturali: 0,,, ifiito, l'isieme dei umeri iteri relativi: 0,,,,, ifiito, l'isieme delle frazioi della forma m dove m e soo elemeti di. Le frazioi hao tre rappresetazioi pricipali: i forma di frazioe, ad esempio 7 5. I questa forma si può avere immediatamete l'idea del rapporto tra umeratore e deomiatore ed è molto adatta a situazioi i cui la divisioe è fissata a priori (per esempio, si sete spesso parlare di dodicesimi i questioi che soo riferite ai mesi dell'ao) i forma di umero decimale, limitato o illimitato periodico, ad esempio 0, Questa forma è particolarmete adatta al calcolo umerico i forma percetuale, ad esempio 7,4%. La forma percetuale è adatta alle situazioi i cui questo dato ha u sigificato particolare. La forma percetuale e quella decimale soo legate dal fatto che la prima si ottiee dalla secoda moltiplicado per 00 (e viceversa la secoda dalla prima dividedo per 00). Nelle varie situazioi è utile saper iterpretare lo stesso umero ei tre modi. I questi isiemi soo sempre possibili somme, sottrazioi e moltiplicazioi. Per quato riguarda la divisioe, l'uica precauzioe da predere è di o dividere per 0. ATTENZIONE: 3/0 o ha sigificato perché o esiste essu umero che moltiplicato per 0 dà 3. 0/3, ivece, è uguale a 0, perché l'uico umero che moltiplicato per 3 dia 0 è proprio 0. 0/0 o ha sigificato (il deomiatore è zero). Si faccia quidi molta attezioe a o cofodere le tre situazioi. Alcue ozioi legate alle poteze soo particolarmete comode per il calcolo e e redoo la struttura più compatta. Purtroppo, rimaedo el campo dei umeri razioali, o è possibile dare sigificato a questo tipo di espressioi per tutti i valori possibili delle gradezze i gioco. Per esempio, ua scrittura come a b = c ha seso se b è u umero itero, ma se è ua frazioe bisoga stare atteti al sego di a (la regola dei segi ifatti o può essere applicata perché di u umero razioale o si può dire se esso è pari o dispari). Ioltre, ache se la scrittura ha seso, potrebbe o avere u valore. Ad esempio, 3 b = ha perfettamete seso ma o esiste essu umero razioale che messo come espoete a 3 dia come risultato. Ua risposta parziale viee otteuta prededo i cosiderazioe u isieme più ampio di umeri, detti umeri reali., l'isieme dei umeri reali. Corrispode all'isieme di tutti i umeri decimali limitati e illimitati (periodici e o). I sottoisiemi dell'isieme più frequetemete usati soo gli itervalli. DEFINIZIONE: si dice itervallo chiuso di estremi a e b il sottoisieme dei umeri reali tali che a b. Lez0-0.doc

2 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi L'aggettivo chiuso deriva dal fatto che l'itervallo cotiee gli estremi a e b. DEFINIZIONE: si dice itervallo aperto di estremi a e b il sottoisieme dei umeri reali tali che a < < b. Gli itervalli sopra defiiti soo ache limitati, el seso che la loro immagie geometrica è u segmeto di retta. Gli itervalli della forma < b o a < che corrispodoo a semirette si dicoo ivece illimitati. All'itero dei umeri reali si possoo cosiderare alcue operazioi come l'estrazioe di radice - esima e il calcolo dei logaritmi i ua data base. Rimagoo comuque alcui limiti: o si può estrarre la radice di idice pari (quadrata, quarta, sesta, ecc.) di u umero egativo (perché o esiste essu umero che elevato ad ua poteza pari dia come risultato u umero egativo) o si può dividere per 0 o si può dare u sigificato uivoco ad espressioi del tipo a b = c quado a ha sego egativo. DEFINIZIONE: Il logaritmo di c i base a è quel umero che messo come espoete ad a dà come risultato c. Ad esempio, poiché 3 4 = 8allora log 3 8 = 4 (i altre parole, l'espoete che devo mettere a 3 per avere 8 è 4). Nel campo dei umeri reali possiamo dare sigificato ache ad espressioi come log Poiché 3 3 = 7 e 3 4 = 8, allora si può trovare u umero compreso tra 3 e 4 che messo come espoete a 3 dia 50. Questo umero esiste e il suo valore approssimato è circa 3, Nella pratica i logaritmi si usao solo i due basi: base Nome tasto sulla calcolatrice per il logaritmo tasto sulla calcolatrice per l'espoeziale e.788k logaritmi aturali l e 0 logaritmi decimali log 0 Il motivo per cui il umero e è stato scelto come base di u sistema di logaritmi sarà spiegato più avati el corso. Poiché i logaritmi o soo altro che gli espoeti di semplici relazioi, per essi valgoo delle proprietà aaloghe a quelle delle poteze. PROPRIETÀ DEI LOGARITMI (idipedeti dalla base) log + log y = log y (la somma dei logaritmi è uguale al logaritmo del prodotto) log log y = log (la differeza dei logaritmi è uguale al logaritmo del quoziete) y log = log (il logaritmo della poteza è uguale all'espoete moltiplicato il logaritmo della base) Esercizi (da svolgere co la calcolatrice) I primi due esercizi o presetao particolari difficoltà ma hao lo scopo di abituare all'uso della calcolatrice. È quidi auspicabile che essi vegao svolti ache co umeri diversi da quelli proposti, soprattutto da chi o ha particolare dimestichezza co lo strumeto. Lez0-0.doc

3 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Verificare co la calcolatrice che log 3 + log 4 = log (calcolare i due addedi, sommarli e verificare che il risultato coicide co il valore di log ). Rifare i coti co i logaritmi aturali.. Si può dimostrare che i due sistemi di logaritmi cosiderati (decimale e aturale) soo proporzioali. I altre parole, se calcoliamo il logaritmo decimale di u umero, ad esempio 3, e poi e calcoliamo il suo logaritmo aturale, i due logaritmi soo i u rapporto costate che o dipede dal umero di cui abbiamo calcolato il logaritmo (cioè 3 el ostro esempio). Svolgere i calcoli co i umeri 3 e 4 e trovare il coefficiete di proporzioalità tra i due logaritmi verificado che è uguale per 3 e 4. log 3. Quato vale log 3 3? Quato vale log 3? Quato vale 3 3? 3 4. (meo facile) Spiegare perché i logaritmi i due basi diverse soo proporzioali. Da ricordare Le defiizioi dei pricipali isiemi umerici La defiizioe di logaritmo Le proprietà dei logaritmi I tasti corrispodeti al logaritmo e all'espoeziale sulla calcolatrice Lez0-0.doc 3

4 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Soluzioi. I valori da calcolare soo: log 3 = 0, log 4 = 0, log =, e i corrispodeti logaritmi aturali: l 3 =, l 4 =, l =, Ovviamete essi verificao le proprietà illustrate l 3 l 4. I rapporti e soo come detto uguali tra di loro. Il valore comue è, log3 log 4 Questo valore o è altro che l log 3 3 = perché l'espoete che bisoga mettere a 3 per avere 3 è proprio log 3 = perché 3 = = per le regole degli espoeti egativi log 3 3 =. Riflettiamo sul sigificato dell'espressioe log 3 : essa sta ad idicare il umero che messo come espoete a 3 dà come risultato. Ma allora, se mettiamo questo umero come espoete a 3 otteiamo proprio (per chi lo capisce è ovvio, per gli altri sempre u po' meo ) 4. Si cosideri u certo umero a fissato. Allora log a è quel umero che messo come espoete a 0 dà come risultato a. Chiamiamo questo umero, cioè 0 = a. Nei logaritmi aturali la base è il umero e. Lo stesso umero a quidi avrà u diverso logaritmo che chiameremo y. Sarà quidi e y y = a. Cofrotado le due uguagliaze si vede che deve essere 0 = e. Ache e deve avere u suo logaritmo aturale, cioè deve esistere u umero z per cui e z = 0. Allora z z y ( e ) = e = e 0 = e quidi z = y cioè il logaritmo aturale (y) è uguale al corrispodete logaritmo decimale () moltiplicato per z, che è il logaritmo aturale di 0. Lez0-0.doc 4

5 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Lezioi 3-4/7-8 Fuzioi DEFINIZIONE: Cosideriamo due isiemi, A e B. Ua relazioe che associa agli elemeti dell'isieme A gli elemeti dell'isieme B i modo tale che ad ogi elemeto dell'isieme A corrispoda al più u solo elemeto dell'isieme B si chiama fuzioe. Si scrive f : A B, per idicare che la relazioe associa elemeti di A ad elemeti di B e o viceversa. L'isieme A viee detto domiio della fuzioe e l'isieme B codomiio. Nel corso ci occuperemo soprattutto di fuzioi umeriche i cui gli isiemi A e B coicidoo etrambi co l'isieme dei umeri reali. I questi casi, si idica il geerico elemeto dell'isieme A co ua lettera, di solito e si dà l'espressioe aalitica esplicita per il calcolo dell'elemeto di B co riferimeto ad. Da questo puto di vista, la fuzioe può essere vista come ua "scatola era" i cui etrao i umeri (gli elemeti di A) ed escoo altri umeri (gli elemeti di B). Si dice quidi che la variabile è l'iput e f(), il risultato del calcolo a partire da, è l'output. Ioltre, lo stesso legame viee ache espresso dicedo che "f() è l'immagie di attraverso f". viee spesso chiamato argometo della fuzioe f. Poiché il ruolo svolto dai due umeri i igresso e i uscita o è simmetrico e il secodo è effettivamete calcolato a partire dal primo, alla variabile i igresso si dà il ome di variabile idipedete metre a quella i uscita si dà il ome di variabile dipedete. La situazioe è riassuta el grafico seguete: Facciamo qualche esempio. I u semplice modello di mercato, si può ipotizzare che la domada di u bee decresca al crescere del prezzo del bee. Sia p il prezzo del bee. La relazioe che esprime il legame associa ad u umero reale (il prezzo del bee) u altro umero reale (la quatità domadata): scriveremo allora: d : R R. Se coosciamo i dettagli della relazioe potremo scrivere la sua espressioe aalitica, cioè ua regola che permette di ricavare a partire dal prezzo la quatità domadata. Ad esempio, la domada d potrebbe essere legata al prezzo p dalla relazioe Lez doc

6 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi d( p) = 000 0p. Ad u certo valore di p corrispoderà ua certa quatità domadata: ad esempio per u prezzo di 0 uità corrispoderà ua domada di d ( 0) = = 800. U'azieda produce u bee per il quale sostiee i geere due tipi di costi: i costi fissi (costi idipedeti dalla quatità di bee prodotto) e i costi variabili (dipedeti dalla quatità di bee). Per esempio, u'azieda produttrice di scarpe potrebbe avere come costo fisso quello di u macchiario per il taglio del pellame. Questo costo è idipedete dal umero di scarpe prodotte; il costo del pellame, ivece, che pure è da sosteere, è variabile el seso che più scarpe si producoo più pellame bisoga acquistare. Si può dare di questa situazioe u modello semplificato cosiderado che i costi C, dipedoo dalla quatità prodotta q co ua relazioe del tipo C ( q) = a + bq. a e b soo due umeri positivi. La scrittura C(q) idica che il costo C dipede da q. Si osservi che il costo corrispodete ad ua produzioe di 0 scarpe (q = 0) o è ullo ma corrispode ad a. Questo è ragioevole se si pesa che comuque il macchiario va acquistato e il suo costo grava ache se o si producoo scarpe. Si osservi che la cosa che cota i questi esempi o è la lettera che è stata scelta per descrivere la fuzioe ma il legame stesso che la fuzioe esprime. I altre parole, le fuzioi C ( q) = a + bq e C ( ) = a + b (se domiio, codomiio, a e b soo gli stessi) soo esattamete la stessa fuzioe. Il modo più immediato di rappresetare ua fuzioe, oltre a quello di scrivere esplicitamete la sua espressioe aalitica, è quello grafico. I u grafico cartesiao, si possoo rappresetare i valori degli iput sull'asse e quelli i output sull'asse y. Se y = f(), il puto di coordiate (, y) è u puto della fuzioe. Uedo tutti i possibili puti si ottiee il grafico della fuzioe. Per le fuzioi più semplici, lo studio del grafico permette di stabilire le proprietà della fuzioe stessa seza bisogo di aalizzare l'eleco delle coppie di valori (peraltro di solito ifiito). OSSERVAZIONE: la defiizioe di fuzioe dice che ad u elemeto del domiio si associa al più u solo elemeto del codomiio. Quidi i corrispodeza di ua certa fissata deve esserci al massimo ua y (oppure o ci deve essere proprio). Pertato, il grafico di ua circofereza co cetro ell'origie e raggio uitario o è quello di ua fuzioe, perché ad ogi compresa tra - e soo associate due y ua sopra e ua sotto l'asse. OSSERVAZIONE: la defiizioe di ua fuzioe o deve ecessariamete essere u'uica 3 + per < espressioe aalitica. Per esempio, l'espressioe f ( ) = defiisce ua fuzioe 3 per Lez doc

7 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi per tutti i valori reali di. Per i valori miori di, la fuzioe associa ad il valore 5 +, per i valori maggiori o uguali a, il valore 3. La defiizioe o è ambigua e quidi si tratta effettivamete di ua fuzioe. Il suo grafico sarà formato da ua semiretta per le miori di e da u arco di parabola per le maggiori di. Campo di esisteza DEFINZIONE: L'isieme dei valori del domiio per cui ua fuzioe è defiita si chiama campo di esisteza della fuzioe. Quado di ua fuzioe si dà la sola espressioe aalitica si dà ache implicitamete il suo campo di esisteza el seso che si sottitede che essa è defiita el domiio più ampio possibile all'itero dei umeri reali. Così, se si scrive semplicemete f ( ) = 3 +, si itede la fuzioe f = 3 + co domiio tutto l'isieme dei umeri reali. E, allo stesso modo, se si scrive ( ) f ( ) = si itede la fuzioe ( ) = f co domiio i umeri reali maggiori o uguali a. I questo caso si parla di "domiio aturale" della fuzioe. Il problema, i questi casi è quello di trovare, data la fuzioe, il suo domiio aturale. I geerale questo problema si risolve co l'aiuto di disequazioi. Altrimeti, la defiizioe della fuzioe deve icludere ache l'idicazioe del domiio i cui essa è defiita. I alcui casi, ifatti tale idicazioe proviee dal particolare sigificato che la fuzioe ha ell'applicazioe cosiderata. ESEMPIO: la fuzioe d( p) = 000 0p è defiita per 0 < p < 50 perché o ha seso parlare di prezzi egativi é di domada egativa. Il suo grafico, quidi, o è quello di ua retta ma di u segmeto di retta. Lez doc 3

8 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Possiamo allora dire che ua fuzioe è defiita o solo dalla sua espressioe aalitica ma ache dal suo domiio di defiizioe. Fuzioi che hao la stessa espressioe aalitica ma diverso domiio soo quidi diverse. Esercizi 3 ) Data f ( ) = calcolare f( ), f(0) f() f() f(3), f(4) ) Data f ( ) = + calcolare f(0) f( 3/4) f( ) f(/), /f() 3) Calcolare il campo di esisteza delle segueti fuzioi a) 3 f ( ) = b) f ( ) = + c) f ( ) = d) f ( ) = l( 3) e) f ( ) = + f) f ( ) = 9 g) + f ( ) = log + 3 Le fuzioi elemetari Fuzioi lieari DEFINIZIONE: Si dicoo fuzioi lieari le fuzioi la cui espressioe aalitica è y = m. f ( ) = m o Lez doc 4

9 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Le fuzioi lieari soo rappresetate da rette passati per l'origie degli assi. Il umero m prede il ome di coefficiete agolare della retta ed è legato all'icliazioe della retta stessa rispetto all'asse (m è la tagete trigoometrica dell'agolo tra la retta e il verso positivo dell'asse ). Le fuzioi lieari esprimoo il legame di proporzioalità diretta tra due gradezze: al raddoppiare, triplicare, ecc. dell'ua, ache l'altra raddoppia, triplica, ecc. Valgoo poi due importati proprietà. Le fuzioi lieari soo additive, cioè f ( + ) = f ( ) + f ( ) (i altre parole l'immagie della somma è la somma delle immagii) omogeee, cioè f a ) = af ( ) ( Queste due proprietà caratterizzao completamete le fuzioi lieari, el seso che se ua fuzioe ha queste due proprietà ecessariamete è ua fuzioe lieare. Fuzioi lieari affii DEFINIZIONE: Si dicoo fuzioi lieari affii le fuzioi la cui espressioe aalitica è f ( ) = m + q o y = m + q. Le fuzioi lieari affii soo rappresetate da rette o passati per l'origie degli assi. Il umero m prede il ome di "coefficiete agolare della retta" ed è legato all'icliazioe della retta stessa rispetto all'asse (m è la tagete trigoometrica dell'agolo tra la retta e il verso positivo dell'asse ). Il umero q prede il ome di "ordiata all'origie" o di "itercetta". Esempi di fuzioi lieari affii soo quelli sopra illustrati. Per abuso di liguaggio, spesso le fuzioi lieari affii si chiamao semplicemete lieari U'applicazioe delle fuzioi lieari affii all'ecoomia U problema che si preseta spesso i ecoomia è quello della determiazioe del prezzo di equilibrio fra domada e offerta i u mercato i libera cocorreza. I ecoomia si parla di cocorreza perfetta quado il mercato soddisfa ad alcui requisiti fodametali: omogeeità di prodotto traspareza del mercato (ogi operatore deve cooscere le codizioi di domada, di offerta e il relativo prezzo) libertà di igresso (ogi operatore deve essere libero di etrare o uscire dal mercato secodo le propria coveieza) frazioameto della domada e dell'offerta (devoo essere preseti sul mercato molti produttori e molti cosumatori i modo che essu sigolo operatore possa ifluire sul prezzo del bee) Quado u mercato soddisfa queste caratteristiche il prezzo di u bee è determiato dall'icotro tra domada e offerta. Il modello più semplice per u mercato i libera cocorreza è quello i cui le fuzioi di domada e di offerta soo lieari affii co variabile il prezzo. La fuzioe domada è q d = a bp dove a e b soo quatità positive. a prede il ome di "mercato poteziale" (tutta la domada a merce regalata). Al crescere di p la domada dimiuisce. La fuzioe offerta è q o = c + dp dove c e d soo quatità positive. a prede il ome di "mercato poteziale" (tutta la domada a merce regalata). Al crescere di p l'offerta aumeta. Per i valori di p iferiori a c/d l'offerta è egativa e quidi o ha sigificato (o coviee vedere a prezzi troppo bassi) Lez doc 5

10 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Il puto di equilibrio è dato dall'icotro tra domada e offerta e quidi corrispode alla soluzioe qd = a bp del sistema tra le tre equazioi. qo = c + dp. qd = qo OSSERVAZIONE: la costruzioe di modelli matematici i ecoomia è ua procedura molto delicata che spesso tiee coto delle umerose variabili i gioco. I modelli soo di solito costruiti dopo u'atteta aalisi statistica delle serie storiche e i ogi caso rappresetao solo parzialmete la realtà dei fatti. Compito dell'ecoomista è quello di valutare i risultati otteuti e la loro validità. Si osservi ioltre che metre la matematica lavora co i umeri reali, la realtà ha quasi sempre a che fare co umeri iteri. La ricerca di soluzioi ottimali ell'ambito dei umeri reali per passare poi, tramite arrotodameti, ai umeri iteri più vicii, potrebbe o essere ua strada corretta per la risoluzioe di particolari problemi (ad esempio, la programmazioe lieare). Fuzioi quadratiche DEFINIZIONE: Si dicoo fuzioi quadratiche le fuzioi la cui espressioe aalitica è f ( ) = a + b + c o y = a + b + c. Le fuzioi quadratiche soo rappresetate da parabole co asse parallelo all'asse delle y. La forma della parabola dipede dal coefficiete a. Se b e c soo etrambi ulli, si ottiee la relazioe f ( ) = a che esprime la proporzioalità quadratica, cioè il fatto che di due gradezze ua sia proporzioale al quadrato dell'altra. La situazioe è effettivamete possibile come mostra il seguete esempio. ESEMPIO (del moopolista): i regime di moopolio, il prezzo di vedita può essere stabilito dal produttore. Chiamiamo co q la quatità prodotta di u certo bee e suppoiamo che essa sia iteramete veduta al prezzo uitario p. Suppoiamo che q dipeda liearmete da p, cioè che q = a bp, dove a e b soo umeri positivi. La quatità decresce al crescere di p, come è ovvio. Ache i costi dipedoo dalla quatità q e suppoiamo acora che essi siao lieari: C = f + vq (dove abbiamo idicato co f i costi fissi e co v i costi variabili). Il ricavo otteuto è uguale alla R = p a bp e quidi quatità prodotta (che viee iteramete veduta) per il prezzo uitario: ( ) l'utile del moopolista è uguale a U p = R C = p( a bp) ( f + v( a bp) ) = ap bp ( ) f av + bvp Come si vede si tratta di ua fuzioe quadratica. Fissido dei particolari valori dei parametri q = 000 0p, C = 0 + 5q. si ottiee U ( p) = 0 p + 00p 500 Lez doc 6

11 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Osserviamo le particolarità del grafico. Al prezzo ullo corrispode u utile egativo: ifatti i questo caso si devoo sosteere i costi seza avere u ricavo. All'aumetare del prezzo l'utile aumeta e diveta positivo da u certo puto i poi. Al crescere ulteriore del prezzo, l'utile aumeta acora fio a raggiugere il suo massimo ma poi decresce e diveta uovamete egativo. Il motivo è il seguete: all'aumetare del prezzo, la quatità domadata dimiuisce e di cosegueza dimiuisce ache il profitto. Proporzioalità iversa DEFINIZIONE: due gradezze, e y soo i legame di proporzioalità iversa quado il loro prodotto è costate, cioè y = k. Il grafico di ua tale legge è quello di u'iperbole avete per asitoti gli assi cartesiai. Nel campo ecoomico, ua tale legge può essere cosiderata quado si studia il legame tra la domada di ua merce e il suo prezzo. Se il legame è apputo di proporzioalità iversa il prodotto tra le due gradezze (domada e prezzo) è costate (cioè il fatturato o cambia se vedo meo a prezzi più alti) Fuzioi poteza Il caso che geeralizza le fuzioi lieari e quelle quadratiche è quello delle fuzioi poteza,. a f ( ) = k. Esse, i geerale, soo defiite solo per > 0 e per a 0, ma almeo per i valori iteri di a si cosiderao defiite per tutti gli reali (i casi particolari soo quelli corrispodeti ad a itero positivo, a itero egativo e a = ). I grafici di queste fuzioi soo particolarmete importati e devoo essere ricordati co precisioe. U esempio importate, sul quale toreremo elle prossime lezioi, è dato dal cosiddetto problema delle scorte. U'azieda si trova a doversi approvvigioare aualmete di ua quatità S di ua data materia prima. Il costo uitario di trasporto per l'approvvigioameto è dato da u certo valore g, metre il costo di stoccaggio è dato da ua certa quatità m. Si capisce che se si ordia troppo di rado i costi di stoccaggio divetao eccessivi, metre el caso opposto, cioè ordiado troppo di frequete, soo i costi di trasporto a divetare eccessivi. Faremo vedere che il costo miimo si trova più o meo a metà tra questi estremi, e per la precisioe el puto corrispodete ad ua quatita Lez doc 7

12 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Sg per ordiazioe uguale a Q =. I questo caso, quidi, la dipedeza di Q da m è del tipo di m ua fuzioe poteza co a =. Di seguito i grafici delle fuzioi poteza co k = e a rispettivamete uguale a, /,,. Fuzioe espoeziale DEFINIZIONE: Si dice fuzioe espoeziale la fuzioe f ( ) = a, dove a è u umero reale positivo diverso da. Quado a > il grafico della fuzioe espoeziale è mostrato ella figura seguete Lez doc 8

13 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi L'asse è u asitoto per la fuzioe espoeziale, cioè il grafico della fuzioe si avvicia idefiitamete ad essa seza toccarlo. Quado ivece 0 < a < il grafico è il simmetrico del precedete rispetto all'asse delle y. Etrambi i grafici passao per il puto di coordiate (0, ). Fuzioe logaritimica DEFINIZIONE: Si dice fuzioe logaritmica la fuzioe f ( ) = loga, dove a è u umero reale positivo diverso da. Quado a > il grafico della fuzioe logaritmica è mostrato ella figura seguete Il caso della base miore di è aalogo. Lez doc 9

14 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Etrambi i grafici passao per il puto di coordiate (, 0). Come si vede dal cofroto co il precedete grafico dell'espoeziale, se la base è uguale i grafici soo idetici ma cambia l'orietameto. Ritoreremo su questa osservazioe ella prossima lezioe. Di solito i grafici logaritmici che si usao più spesso soo quelli elle basi 0 ed e. Fuzioe valore assoluto La fuzioe valore assoluto è molto semplice ed associa ad u umero reale il suo valore assoluto che è il umero stesso preso comuque co il sego positivo. Il valore assoluto si idica co il simbolo f ( ) =. Pertato, = e 3 = 3. Naturalmete, per tutti i umeri reali positivi la fuzioe valore assoluto associa al umero il umero stesso, metre ai umeri egativi associa il loro opposto (che è positivo essedo i umeri egativi). Co u liguaggio u po' impreciso, potremmo dire che il valore assoluto trasforma tutto ciò che è egativo i positivo lasciado le quatità positive itatte. Il grafico della fuzioe valore assoluto coicide co la retta y = per le positive e co la retta y = per le egative. Lez doc 0

15 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Fuzioi trigoometriche Le fuzioi trigoometriche soo soprattutto adatte a descrivere feomei di atura periodica. Esse soo di solito itrodotte el modo seguete. Si cosidera la circofereza di cetro l'origie e di raggio uitario. Misuriamo i puti a partire dal puto di coordiate (, 0) i seso atiorario. La fuzioe che associa alla lughezza l'ascissa del puto si chiama coseo di e viee idicata co f ( ) = cos( ). La fuzioe che associa alla lughezza l'ordiata del puto si chiama seo di e viee idicata co f ( ) = se( ). Il grafico delle due fuzioi è il seguete (i blu il coseo, i rosso il seo) Le fuzioi trigoometriche soo periodiche perché da u certo puto i poi (dopo u giro) i valori si ripetoo uguali a se stessi. Ioltre, le due curve soo di fatto la stessa curva traslata orizzotalmete di ua quatità uguale a π/. Poiché alla lughezza dell'arco si può associare immediatamete l'agolo al cetro che sottede l'arco, si parla di solito di "seo dell'agolo " e di "coseo dell'agolo ". Questa misurazioe degli agoli si chiama "misurazioe i radiati" e ha il o trascurabile vataggio di essere ua misura decimale (e o sessagesimale, come avviee per i gradi solitamete usati). Esercizi. Sia f() ua fuzioe lieare. Determiare l'espressioe aalitica di f sapedo che f( ) = e che f() = 3. Sia f() ua fuzioe quadratica. Determiare l'espressioe aalitica di f sapedo che f(0) =, che f() = 0 e che f(3) = 5 3. Come è oto, egli Stati Uiti la temperatura viee di solito misurata i gradi Fahreheit. Si sa che a 0 C corrispode ua temperatura di 3 F e che a 00 C corrispode ua temperatura di F. Stabilire le due leggi (lieari) che permettoo di calcolare la temperatura i gradi cetigradi a partire da quella i gradi Fahreheit e viceversa. 4. Tracciare il grafico della fuzioe logaritmica di base 0. A quali ordiate corrispodoo i puti del grafico di ascissa 00? 000? 5000? 0000? 5. Tracciare il grafico della fuzioe logaritmica di base e. A quali ascisse corrispodoo i puti del grafico di ordiata?? 3? Lez doc

16 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi 6. La domada di u bee è data dalla fuzioe d = p e l'offerta dalla fuzioe o = 0 + 6p. Trovare il prezzo di equilibrio e il corrispodete valore della domada e dell'offerta. Da ricordare La defiizioe di fuzioe e i cocetti ad essa associati (domiio, codomiio, proprietà grafiche, simbologia) Le fuzioi elemetari (lieare, affie, poteza, logaritmiche e espoeziali) e i loro grafici co le proprietà esseziali Lez doc

17 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Soluzioi. Poiché f() è ua fuzioe lieare la sua espressioe aalitica è del tipo f ( ) = a + b. Il problema ci dice che f( ) = e che f() = 3. Quidi dovrà essere f ( ) = a + b = e f ( ) = a + b = 3. Si ha così u sistema di due equazioi i due icogite: a + b = a + b =. 3 Ricavado b dalla prima equazioe e sostituedo ella secoda si ottiee b = + a cioè a + + a = 3 b = + a b =, da cui 3 5. La fuzioe cercata è quidi f ( ) = +. 3a = 5 5 a = Poiché f() è ua fuzioe quadratica la sua espressioe aalitica è del tipo f ( ) = a + b + c. Il problema ci dice che f(0) =, che f() = 0 e che f(3) = 5. Quidi dovrà essere f ( 0) = c =, f ( ) = a + b + c = 0 e f ( 3) = 9a + 3b + c = 5. Si ha così u sistema di tre equazioi i tre c = icogite: a + b + c = 0. Sostituedo c ella secoda e ella terza equazioe si ha 9a + 3b + c = 5 c = c = a + b =. Ricavado b dalla secoda equazioe e sostituedo ella terza, b = a 9a + 3b = 4 9a 3 3a = 4 c = c = da cui b = a cioè b = 6a = La fuzioe cercata è quidi f ( ) = a = 6 3. Se vogliamo scrivere la fuzioe che permette di calcolare i gradi Fahreheit a partire dai gradi cetigradi, dobbiamo cercare ua fuzioe lieare, aalogamete all'esercizio, per cui f(0) = 9 3 e che f(00) =. Co u procedimeto simile si ottiee f ( ) = 3 +. Per l'altro caso, le codizioi soo f(3) = 0 e che f() = 00 e si ottiee f ( ) = Ai puti del grafico di ascissa 00, 000, 5000, 0000 corrispodoo rispettivamete i puti di ordiata, 3, 3, e Ai puti di ordiata, e 3 corrispodoo i puti di ascissa e, e e e Il problema si risolve semplicemete co l'equazioe p = p (uguagliaza tra domada e offerta). La soluzioe è p = 0 a cui corrispode ua domada di 00 (e u'offerta uguale, visto che si tratta del puto di equilibrio) Lez doc 3

18 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Lezioe 5-6 Caratteristiche e proprietà delle fuzioi I questa lezioe elecheremo le caratteristiche che le fuzioi possoo avere. Prima di iiziare è opportua ua importate precisazioe. DEFINIZIONE: quado le proprietà soo valide soo i viciaza di u puto si parla di proprietà locali; quado ivece le proprietà soo valide dovuque, si parla di proprietà globali. Fuzioi pari e dispari DEFINIZIONE: Ua fuzioe si dice pari se f ( ) = f ( ). I termii grafici, la relazioe precedete sigifica che i valori che la fuzioe assume i puti simmetrici rispetto all'origie soo uguali; ad esempio, il valore di f(3) è uguale al valore di f( 3). Il grafico della fuzioe è quidi simmetrico rispetto all'asse y. DEFINIZIONE: Ua fuzioe si dice dispari se f ( ) = f ( ). I termii grafici, la relazioe precedete sigifica che i valori che la fuzioe assume i puti simmetrici rispetto all'origie soo opposti; ad esempio, il valore di f(3) è uguale a f( 3). Il grafico della fuzioe è quidi simmetrico rispetto all'origie. ESEMPI: le fuzioi poteza co espoete pari soo tutte fuzioi pari, metre quelle co espoete dispari soo tutte fuzioi dispari. La fuzioe f ( ) = se è ua fuzioe dispari; la fuzioe f ( ) = cos è ua fuzioe pari. Le fuzioi f ( ) = l e f ( ) = e o soo é pari é dispari. Fuzioi limitate DEFINIZIONE: si dice superiormete limitata ua fuzioe il cui grafico sta tutto sotto ua retta di equazioe y = k. I formule: f ( ) k DEFINIZIONE: si dice iferiormete limitata ua fuzioe il cui grafico sta tutto sopra ua retta di equazioe y = k. I formule: f ( ) k DEFINIZIONE: si dice limitata ua fuzioe il cui grafico è compreso i ua striscia del piao cartesiao defiita da due rette y = a e y = b. I formule: a f ( ) b ESEMPI: la fuzioe f ( ) = l o è limitata; la fuzioe f ( ) = e è limitata iferiormete ma o superiormete; la fuzioe f ( ) = è limitata superiormete ma o iferiormete; le fuzioi f ( ) = se, f ( ) = cos e f ( ) = soo tutte limitate (sia superiormete che + iferiormete) Fuzioi cresceti, decresceti, mootoe DEFINIZIONE: Ua fuzioe si dice crescete oppure o decrescete se per ogi coppia di umeri a e b apparteeti al domiio della fuzioe tali che a < b succede che f ( a) f ( b). Lez05-06.doc

19 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi ATTENZIONE: il termie più adatto per questa defiizioe è probabilmete quello di "o decrescete". Ifatti la relazioe f ( a) f ( b) garatisce solo che spostadosi verso destra sul grafico la quota o dimiuisca: o ecessariamete essa deve aumetare. Secodo questa defiizioe, la fuzioe costate y = è ua fuzioe crescete. DEFINIZIONE: Ua fuzioe si dice decrescete oppure o crescete se per ogi coppia di umeri a e b apparteeti al domiio della fuzioe tali che a < b succede che f ( a) f ( b). DEFINIZIONE: Se elle defiizioi precedeti valgoo le relazioi di f ( a) < f ( b) o di f ( a) > f ( b) le fuzioi si dicoo strettamete cresceti o decresceti. DEFINIZIONE: ua fuzioe che sia crescete o decrescete (i seso stretto o meo) si dice mootòa. ESEMPI: le fuzioi f ( ) = l e f = ( ) e soo strettamete mootòe cresceti; le fuzioi f ( ) =, f ( ) = se, f ( ) = cos e f ( ) = o soo mootòe. Tuttavia, ad + esempio, la fuzioe f ( ) = è localmete crescete i tutti i puti < 0 e localmete decrescete i tutti i puti > 0. Fuzioi cocave e covesse DEFINIZIONE: ua regioe del piao si dice covessa se presi comuque due puti apparteeti alla regioe, il segmeto che li uisce è tutto coteuto ella regioe. I caso cotrario, la regioe si dice cocava. DEFINIZIONE: si chiama epigrafico di ua fuzioe f l'isieme dei puti del piao che stao al di sopra del grafico della fuzioe stessa. DEFINIZIONE: ua fuzioe f si dice covessa se il suo epigrafico è ua regioe covessa, metre si dice cocava se la fuzioe f è covessa. La defiizioe di covessità o ha particolare sigificato per le rette, per le quali il segmeto che uisce due puti qualsiasi del grafico è tutto coteuto el grafico stesso. Se la fuzioe cosiderata o cotiee segmeti di rette, la fuzioe si dice strettamete covessa (o strettamete cocava). DEFINIZIONE: u puto 0 per cui la fuzioe è cocava (o covessa) alla siistra del puto e covessa (o cocava) alla sua destra si dice puto di flesso. Lez05-06.doc

20 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi ESEMPIO: Il caso più semplice di ua fuzioe co u puto di flesso è quello della fuzioe 3 poteza y =. Massimi e miimi DEFINIZIONE: ua fuzioe f possiede u puto di massimo globale (o assoluto) el puto 0 se per ogi valore di el domiio vale la disuguagliaza f ( 0 ) f ( ). Aalogamete si dà l'altra defiizioe. DEFINIZIONE: ua fuzioe f possiede u puto di miimo globale (o assoluto) el puto 0 se per ogi valore di el domiio vale la disuguagliaza f ( 0 ) f ( ). Queste defiizioi soo "globali" e quidi trattao proprietà che valgoo per la fuzioe i tutto il suo domiio. Graficamete il massimo è "il puto più alto" della fuzioe metre il miimo è "il puto più basso". Il fatto che le disuguagliaze cotegao l'uguale lascia aperta la possibilità al fatto che il puti di massimo (o di miimo) o sia uico. Secodo la termiologia correte, 0 è il "puto di massimo" metre f ) è il "valore massimo di f" o semplicemete "il massimo di f". ( 0 ESEMPI: la fuzioe f ( ) = + è ua parabola co vertice ell'origie; essa ha u miimo assoluto el puto di ascissa 0 e tale miimo vale. la fuzioe f ( ) = è ua parabola cocava, co vertice el puto di ascissa. Il vertice è il puto di massimo assoluto della fuzioe e vale 4. f ( ) = e o ha massimi é miimi assoluti π f ( ) = se ha ifiiti puti di massimo assoluto ei puti + kπ e ifiiti puti di miimo π assoluto ei puti π + k. I puti di ascissa π + k π (e ordiata ulla) soo puti di flesso. la fuzioe f ( ) = preseta u miimo assoluto ell'origie. + per < 0 la fuzioe f ( ) = ha u massimo assoluto el puto di ascissa 0; il massimo per 0 vale. Si faccia attezioe al fatto che la fuzioe el puto di ascissa 0 vale (guardare il sego dell'uguale ella defiizioe della fuzioe). Il puto di ascissa 0 è quidi effettivamete Lez05-06.doc 3

21 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi u puto di massimo. No esistoo ivece puti di miimo assoluto. Le defiizioi di massimo e miimo assoluto soo modificate come segue per redere coto delle particolarità locali delle fuzioi. DEFINIZIONE: ua fuzioe f possiede u puto di massimo locale (o relativo) el puto 0 se esiste u itoro del puto 0 i cui per ogi valore di ell'itoro vale la disuguagliaza f ( 0 ) f ( ). DEFINIZIONE: ua fuzioe f possiede u puto di miimo locale (o relativo) el puto 0 se esiste u itoro del puto 0 i cui per ogi valore di ell'itoro vale la disuguagliaza f ( 0 ) f ( ). Ovviamete u massimo (miimo) globale è ache u massimo (miimo) locale metre o è vero il cotrario. Lez05-06.doc 4

22 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi ESEMPIO: 3 la fuzioe f ( ) = + ha il seguete grafico: Si tratta di ua cubica. Essa preseta u massimo relativo (uguale a 0) per = e u miimo relativo ( 3/7) per =. No esistoo massimi é miimi assoluti. 3 Esercizi Altri esercizi sugli argometi di questa lezioe sarao proposti alla fie della lezioe 9. Delle segueti fuzioi, dire quali soo pari e quali soo dispari: a) f ( ) = + b) f ( ) = + c) f ( ) = d) f ( ) = + 4. Delle segueti fuzioi dire quali soo limitate (superiormete, iferiormete o etrambi) a) f ( ) = + b) f ( ) = + 4 c) f ( ) = + d) f ( ) = + + Lez05-06.doc 5

23 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Da ricordare Tutte le defiizioi della lezioe e i loro sigificati geometrici La distizioe tra proprietà locali e globali Lez05-06.doc 6

24 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Soluzioi. a) f ( ) = + è pari (cambiado i il valore della fuzioe o cambia) b) f ( ) = + è dispari (cambiado i etrambi gli addedi cambiao sego e quidi il valore della fuzioe cambia sego) c) f ( ) = è dispari (cambiado i il umeratore cambia sego metre il deomiatore o. Il quoziete, quidi, cambia sego) d) f ( ) = o è é pari é dispari + 4. a) f ( ) = + è limitata iferiormete da b) f ( ) = o è limitata é sup. é if. (il grafico è quello di u'iperbole equilatera) + 4 c) f ( ) = + o è limitata é sup. é if. d) f ( ) = + + è limitata iferiormete da Lez05-06.doc 7

25 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Lezioe 7-8 Composizioe di fuzioi Le fuzioi elemetari ovviamete o esauriscoo il paorama delle fuzioi che si studiao elle scieze ecoomiche. Spesso ua fuzioe è i realtà otteuta compiedo due o più operazioi a catea sulla variabile di igresso. Ad esempio, ella fuzioe + soo idicate due operazioi: la prima associa alla variabile di igresso, l espressioe + ; la secoda prede questo risultato e e calcola la radice quadrata. Naturalmete, perché ciò sia possibile è ecessario che il risultato della prima operazioe sia ammissibile come valore di iput per la secoda. DEFINIZIONE: date due fuzioi, f : A B e g : C D tali che ogi valore immagie di f cada ell isieme C, si applichi f e successivamete g. Si dice fuzioe composta di f e g la fuzioe otteuta associado alla variabile di iput di f l output della g e si idica co g ( f ( )). Nell esempio appea descritto f e g soo etrambe fuzioi reali di variabile reale, f ( ) = + e g ( ) =. L applicazioe di f porta i + ; la successiva applicazioe di g porta al risultato fiale +. Si riesce a compredere bee il sigificato delle operazioi di composizioe se si pesa alle fuzioi come a delle regole di svolgimeto dei calcoli. I questo seso, la f del precedete esempio associa ad u umero la somma del umero stesso e del suo quadrato, metre la g associa ad u umero la sua radice quadrata. OSSERVAZIONE: la composizioe delle fuzioi o è commutativa, el seso che se si iverte l ordie di applicazioe delle fuzioi, i geerale il risultato è diverso. Ad esempio, siao ( ) = f e g ( ) =. Si ha ( ) g ( f ( )) = g( ) =, metre 4 f ( g( )) = f ( ) = La spiegazioe è la seguete. Nel primo caso si applica prima f e poi g. La f porta i e lo dà come valore di iput a g. La g opera elevado al quadrato il suo argometo e quidi eleva al quadrato dado come risultato ( ). Nel secodo caso si applica prima la g che porta i e lo dà come valore di igresso a f. La f opera elevado al quadrato il suo argometo e 4 è e quidi il risultato fiale è 4. sottraedo. Il quadrato di I qualche caso, la composizioe di fuzioi si estede a più di due fuzioi, ad esempio el caso + della fuzioe m ( ) = log che può essere cosiderata composta dalle fuzioi + f ( ) =, g( ) = log e h ( ) = secodo la relazioe m ( ) = h( g( f ( ) )). Iversioe di fuzioi Ua fuzioe associa ad u valore di u uico valore di y. I questo modo viee fissato u legame tra le coppie e y. Questo legame può essere visto ache el seso opposto, cioè partedo dal codomiio e arrivado el domiio. Da questo puto di vista, opposto rispetto al precedete, il Lez07-08.doc

26 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi legame può dare origie a ua fuzioe ma o è ecessariamete così. Si cosiderio i segueti esempi. Sia data la fuzioe lieare f ( ) = 3; questa fuzioe associa ad u umero il suo doppio dimiuito di 3. Così, ad esempio, f associa al umero 4 il umero 5 (il doppio di 4 meo 3). È evidete che, se volessimo seguire il percorso a ritroso partedo dal 5 (e voledo risalire al 4) dovremmo svolgere le operazioi iverse ell'ordie iverso e cioè prima sommare 3 e poi dividere per (ifatti diviso fa effettivamete 4). Il legame iverso dà quidi origie ad u'altra fuzioe che, per quato abbiamo scritto, può essere ragioevolmete chiamata "iversa di f". essa 3 viee idicata co f ( ) ed i questo caso è data da ( ) + f =. La procedura per trovare ua tale fuzioe è particolarmete semplice se ell'espressioe che defiisce la f si sostituisce al posto di f () la y e poi si cerca di risolvere rispetto a l'equazioe. + 3 Così, ell'esempio cosiderato, si avrebbe y = 3 da cui = y + 3 e ifie = y. Poiché per covezioe siamo soliti attribuire alla lettera il ruolo di variabile idipedete e alla y quello di variabile dipedete, scambiado la i y e viceversa si ottiee di uovo il risultato che avevamo già trovato precedetemete co u po' di ragioameto. È iteressate osservare che questa procedura ha u'importate spiegazioe grafica. Cosideriamo ifatti il grafico della fuzioe f ( ) = 3 Partedo dalla si arriva alla y muovedosi i verticale fio a raggiugere il grafico della fuzioe (la retta i questo caso) e poi orizzotalmete fio a raggiugere l'asse y dove si legge il valore della fuzioe. Nella figura, i blu è idicato il percorso che porta dal puto (.5, 0) al puto (0, ). La fuzioe iversa segue il percorso opposto: parte dall'asse y, icotra il grafico e arriva sull'asse. Nella figura, i rosso è idicato il percorso che porta dal puto (0, ) al puto (, 0); ifatti f ( ) =. No è difficile ituire che i questo caso, cioè quello delle fuzioi lieari e lieari affii, ua tale procedura è sempre eseguibile eccetto per le fuzioi "costati", quelle cioè il cui grafico è ua retta orizzotale. La procedura per costruire l'iversa di ua fuzioe el caso geerale è la stessa descritta sopra, sia da u puto di vista algebrico sia da u puto di vista grafico. Tuttavia, ci soo casi i cui questa Lez07-08.doc

27 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi procedura o può essere eseguita perché o darebbe luogo ad ua fuzioe. Cosideriamo, ad esempio, il caso della fuzioe f ( ) =, il cui grafico è quello di ua parabola co il vertice ell'origie degli assi. Come si vede o è possibile arrivare uivocamete ad u puto sull'asse delle partedo da u puto sull'asse delle y. Per esempio, i rosso soo mostrati i due percorsi che si potrebbero fare a partire dal puto (0, 4) e che portao ai puti (, 0) e (, 0). L'impossibilità di costruire ua iversa per la fuzioe f ( ) = risulta ache aaliticamete, perché posto y = si può risolvere rispetto ad solo estraedo la radice quadrata ma allora rimae il problema del sego da attribuire alla radice: bisoga porre = y o = y? Si può risolvere la questioe igorado il ramo di parabola che giace el secodo quadrate. I questo caso (cosiderado cioè solo le positive) la fuzioe risulta ivertibile e la sua iversa è y =. Riassumedo, perché ua fuzioe risulti ivertibile i u dato itervallo è ecessario che su di esso la corrispodeza tra i valori della e della y sia biuivoca, cioè ad ogi corrispoda ua sola y e viceversa. Se tracciamo sullo stesso grafico ua fuzioe e la sua iversa otiamo ua particolarità: i due grafici soo simmetrici rispetto alla bisettrice del primo e del terzo quadrate (i figura i grafici di f ( ) = (i rosso) e della sua iversa f ( ) = (i blu) isieme co la bisettrice y =. Lez07-08.doc 3

28 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi ATTENZIONE: o si cofoda il simbolo ( f ) co che rappreseta tutt'altra cosa che la f ( ) fuzioe iversa. I geerale, gli espoeti applicati subito dopo il simbolo della fuzioe o hao valore algebrico ma simbolico. Allo stesso modo, f ( ) o vuol dire f ( ) f ( ) ma f ( f ( )). Dopo questa luga discussioe, possiamo dare fialmete la defiizioe di fuzioe ivertibile e di iversa di ua fuzioe. DEFINIZIONE: ua fuzioe f : A B si dice ivertbile quado essa è ua corrispodeza biuivoca tra gli elemeti di A e di B. I questo caso, la fuzioe che associa ad ogi elemeto y di B l'elemeto (uico) di A tale che f ( ) = y si chiama fuzioe iversa e si idica co il simbolo f ( ) Nella lezioe precedete abbiamo già icotrato alcue "coppie" di fuzioi, ua l'iversa dell'altra. a Ad esempio, le fuzioi poteza soo iverse a coppie (ogi fuzioe del tipo ha come iversa a ad esempio, l'iversa di è = ). Ioltre la fuzioe logaritmica e quella espoeziale soo ua l'iversa dell'altra (ovviamete se hao la stessa base!). Ifatti, posto ad esempio y = e si ha per defiizioe = l y Da ricordare Le defiizioi di fuzioe composta e di fuzioe iversa Quado ua fuzioe è ivertibile (corrispodeza biuivoca tra domiio e codomiio aalogia grafica) Simmetria dei grafici di ua fuzioe e della sua iversa Procedura per il calcolo dell'iversa di ua fuzioe Esercizi. Date f ( ) = e g( ) = scrivere l'espressioe aalitica di f ( g( )) e di g ( f ( )). Scrivere e come fuzioe composta Lez07-08.doc 4

29 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi 3. Scrivere le fuzioi iverse delle segueti fuzioi: a) y = + 3 b) y = c) y = l d) per 0 y = per > 0 Lez07-08.doc 5

30 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Soluzioi. f ( g( )) = f ( ) = ( ) = e g ( f ( )) = g( ) =. Se f ( ) = e e g ( ) = allora f ( g( )) = e 3. a) 3 y = + 3 quidi = y 3 e allora la fuzioe iversa è f ( ) = b) = y quidi = y +. No si può estrarre la radice quadrata seza itroddure ambiguità: decidiamo di limitarci alle sole positive (aalogamete al caso della parabola). Poiamo quidi = y + e quidi la fuzioe iversa è f ( ) = + c) l y y = quidi = e y cioè = e. La fuzioe iversa è duque f ( ) = e d) Il grafico della fuzioe è rappresetato i figura. Poiché per ogi y esiste ua sola corrispodete, la fuzioe è ivertibile. Per le egative l'iversa coicide co la fuzioe stessa. Per le positive la fuzioe è il ramo di parabola per 0 y = che ha come iversa y =. La fuzioe iversa è quidi y = per > 0 Lez07-08.doc 6

31 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Lezioe 9 Trasformazioi di fuzioi A partire dalle fuzioi elemetari si possoo costruire alcui grafici di altre fuzioi che o differiscoo molto dalle prime. Esamiiamo cocretamete alcui casi immagiado di partire dalla fuzioe espressa ella forma y = f (). Traslazioe orizzotale REGOLA: Se sostituiamo co c ell'espressioe di ua fuzioe il grafico risulta traslato a destra di ua quatità pari a c. Se sostituiamo co + c ell'espressioe di ua fuzioe il grafico risulta traslato a siistra di ua quatità pari a c ESEMPIO: Il grafico di y = si può otteere semplicemete partedo dal grafico di y = e traslado il grafico di due uità verso destra. La fuzioe y = è quidi defiita solo per. ESEMPIO: Il grafico di y = l( + 3) si può otteere semplicemete partedo dal grafico di y = l e traslado il grafico di tre uità verso siistra. La fuzioe y = l( + 3) è quidi defiita per > 3 ed ha come asitoto verticale la retta + 3 = 0. Lez09.doc

32 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Lez09.doc

33 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Traslazioe verticale REGOLA: Se sostituiamo y co y c ell'espressioe di ua fuzioe il grafico risulta traslato i alto di ua quatità pari a c. Se sostituiamo y co y + c ell'espressioe di ua fuzioe il grafico risulta traslato i basso di ua quatità pari a c ESEMPIO: Il grafico di y = e (cioè grafico di y = e e traslado il grafico di u'uità verso l'alto. La fuzioe asitoto orizzotale la retta y =. y = + e ) si può otteere semplicemete partedo dal y = + e ha come 3 ESEMPIO: Il grafico di y + = si può otteere semplicemete partedo dal grafico di traslado il grafico di due uità verso il basso. 3 y = e Lez09.doc 3

34 Uiversità Boccoi. Ao accademico Corso di Matematica Geerale Prof. Fabrizio Iozzi Dilatazioe e cotrazioe orizzotale REGOLA: Se sostituiamo co c ( c > 0 e ovviamete c ) ell'espressioe di ua fuzioe, le distaze orizzotali del grafico rispetto all'asse delle ordiate risultao moltiplicate per c. Quidi: se c > le distaze orizzotali si riducoo se c < le distaze orizzotali aumetao ESEMPIO: Il grafico di y = ( ) + si può otteere semplicemete partedo dal grafico di y = + e dimezzado le distaze orizzotali tra i puti del grafico. I altre parole, il grafico risulta "compresso" orizzotalmete i modo che le distaze tra i puti si dimezzio. Lo zero rimae al suo posto. ESEMPIO: Il grafico di y = l si può otteere semplicemete partedo dal grafico di y = l 3 e triplicado le distaze orizzotali tra i puti del grafico. Lez09.doc 4

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