Tullia Norando. imparare la matematica. S. Giovanni Valdarno Montevarchi Figline Valdarno febbraio 2008

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1 Il piacere di insegnare, il piacere di imparare la matematica S. Giovanni Valdarno Montevarchi Figline Valdarno febbraio 2008

2 Proporzioni Numeri Valore estetico Natura Arte 2

3 Rapporto tra misure semplici Canone Scala naturale Uguaglianza tra due rapporti Palladio Euclide Leonardo Tracciato regolatore Tracciato costruttore Modulor Le Corbusier 3

4 4

5 La scala pitagorica si basa sui rapporti semplici: 2:1 3:2 4:3 che corrispondono rispettivamente alle consonanze fondamentali: ottava, quinta, quarta 5

6 Metodi per definire l altezza di una stanza a pianta rettangolare di lati e media aritmetica tra e : medio geometrico tra e : medio armonico tra e : 6

7 Della sezione aurea Euclide tratta una prima volta nel Libro II. Nella proposizione II. 11 viene posto il seguente problema: Dividere una retta data in modo tale che il rettangolo compreso da tutta la retta e da una delle parti sia uguale al quadrato della parte rimanente 7

8 Questo stesso problema della costruzione della sezione aurea viene riconsiderato da Euclide nel libro VI. All inizio dello stesso libro si parla di sezione aurea sotto termini di retta divisa in estrema e media ragione. Assegnato il segmento AB dicesi parte aurea di AB il segmento medio proporzionale tra l intero segmento e la parte rimanente Significa che bisogna determinare il segmento AX che sia medio proporzionale del segmento AB, ovvero tale che AB:AX=AX:XB 8

9 A queste figure Euclide applica la proposizione che afferma: Nei parallelogrammi equivalenti ed aventi gli angoli rispettivamente uguali, i lati intorno agli angoli uguali sono inversamente proporzionali quindi sussiste la proporzione KH:HG = AH:HB, tenendo conto che KH= AB ed HG=AH risulta AB:AH = AH:HB. Quindi H è il punto cercato. 9

10 La stessa costruzione permette di rispondere anche al problema inverso Costruire un segmento del quale si conosca la sezione aurea Basta prolungare il segmento AB di un segmento BC uguale alla sua sezione aurea AH Si tratta della proprietà del comporre delle proporzioni AB:AH = AH:HB. (AB+AH):AB = (AH+HB):AH AC:AB=AB:BC 10

11 Costruzione di Euclide Riportata da L.B. Alberti Costruzione di Erone riportata da Luca Pacioli 11

12 ! 12

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14 #$% &! 14

15 ' Griglia Aurea Griglia A3-A4-A5 15

16 ( 16

17 ) φ è la misura della sezione aurea del segmento unitario 1: φ = φ : 1 ( φ ) Ovvero φ è la soluzione positiva dell equazione Φ = 1/φ è la soluzione positiva dell equazione x 2 2 =1 x =1+ x x 5 1 φ = 0,618 2 Φ = ,618 17

18 ) Un segmento unitario è diviso in due parti di cui la sezione aurea è la parte maggiore. In modo approssimativo le misure sono Il numero aureo e il suo reciproco sono numeri irrazionali 18

19 " * Algoritmo noto ai babilonesi per calcolare 2 n. x(n) radice 2 1, ,5 2 1, , ,

20 + Una successione numerica in cui il rapporto tra ogni termine e il consecutivo converge ad un numero reale n. F(n) F(n)/F(n+1) F(n+1)/F(n) , , , ,6 1, ,625 1, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , Una storia di conigli 20

21 + La successione di Fibonacci ha molte altre proprietà e applicazioni. Ralph Elson Elliot elaborò una teoria di previsione dei mercati finanziari nota come Teoria delle onde di Elliot Invece di giocare in borsa, si potrebbe provare il gioco dei numeri di telefono, della somma, o delle potenze 21

22 +! 22

23 Realizzato da Federico Nicolosi - LS Vittorio Veneto - MI progetto 23

24 (,-./0,-.. 24

25 Il valore estetico Test 1871 G.T. Fechner Metodo della scelta Metodo della produzione Metodo dell uso Argomenti di contestazione Ordine Orientazione Colore Casualità del campione dimensione Conclusioni 25

26 Il valore estetico Teorie estetiche Optical feeling Movimenti oculari Ipotesi perimetrica Sensazioni fisiche Contaminazioni culturali Valori estetici misurabili Messa in discussione di tutte le figure geometriche pure 26

27 Il problema della misura Bisogna essere Φedeli : Errori nel rilievo della misura: Difetti di costruzione Deformazioni successive Imprecisione della misura 27

28 Il corpo umano 28

29 Il problema della misura Rapporto tra lunghezze: Errore sulla misura diretta; Errore sulla misura indiretta; Valutazione dell incertezza. Esempio misure di rapporti nel corpo umano 29

30 Leggenda 30

31 o Realta` 31

32 Il volo del. calabrone Gli insetti che hanno occhi composti si dirigono verso una sorgente luminosa mantenendo costante l angolo formato dal raggio luminoso che colpisce l occhio e dal vettore che descrive in ogni istante la direzione del moto. In dipendenza dalla posizione iniziale si possono calcolare le traiettorie. La rapidità di avvicinamento dipende dall angolo. 32

33 Fuga dal mare La nebbia è calata all improvviso sul mare. Il nuotatore sceglie il percorso che rende minimo il massimo tempo di fuga. Articoli di Steven R. Finch (2005) 33

34 Una questione di controllo In un convoglio di automezzi a guida automatica, l automezzo di testa si blocca. L automezzo che segue sarà bloccato in tempo dal controllo automatico o si avrà un urto? 34

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