Corso di Geometria BIAR, BSIR Esercizi 3: soluzioni

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1 Corso di Geometria - BIAR, BSIR Esercizi : soluzioni Rango e teorema di Rouché-Capelli Esercizio. Calcolare il rango di ciascuna delle seguenti matrici: ( ) ( ) ( ) A =, A =, A =, A 4 = ( ). a a a Soluzione. Rango,,, rispettivamente. Esercizio. Calcolare il rango di ciascuna delle seguenti matrici (nella prima, supporre a ): A = a a a, A = 4 5 6, A =. b b b Soluzione. Rango,,, rispettivamente. Esercizio. Calcolare il rango della matrice A = Gauss). Soluzione. Il rango vale. 4 (usare l algoritmo di

2 Esercizio 4. oppure no: S : Stabilire in ciascun caso se il sistema omogeneo indicato ammette autosoluzioni { x + y = { x + y z = x y =, S : x + y + z =, S = x + y + z = x y + z = x + z = Soluzione. S : solo la soluzione nulla. S ammette autosoluzioni: il numero delle incognite è maggiore del numero delle equazioni. S ammette autosoluzioni: è quadrato e il determinante della matrice dei coefficienti è uguale a zero. Esercizio 5. Discutere le soluzioni del seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z al variare del parametro k: x + ky = kx + y = k x + kz = k k Soluzione. Matrice dei coefficienti: A = k. Si ha det A = k( k)( + k) dunque, se k k / {,, } il rango è. Si verifica che negli altri casi il rango è. Matrice completa: k A = k k. k k Per k / {,, } il rango è. Per k = è ancora, mentre per k =, le prime due righe sono dipendenti, dunque il rango è. Conclusione: Se k,, la soluzione è unica, Se k = il sistema è incompatibile, Se k =, si hanno soluzioni. Esercizio 6. Discutere al variare di k, le soluzioni del sistema: x ky = x kz =. kx kz =

3 k k Soluzione. Matrice dei coefficienti A = k e matrice completa A = k. k k k k Si ha det A = k (k ) quindi rka = rka = se k,. Se k = il rango di A è mentre quello di A è (sistema incompatibile), se k = il rango di A è mentre quello di A è (sistema incompatibile). Dunque: Se k, si ha un unica soluzione, Se k =, il sistema è incompatibile. Esercizio 7. Discutere, al variare di h, k, le soluzioni del sistema nelle incognite x, x, x, x 4 : x + x = h x + x + x = x + x x = x + x + x 4 = k Soluzione. Rango di A uguale a per ogni h, k. Rango di A uguale a se h = e uguale a 4 se h. Dunque: Se h = si hanno soluzioni (per ogni k), Se h il sistema è incompatibile. Esercizio 8. a) Sia A = k dove k è un parametro reale. Calcolare il rango di k A al variare di k. b) A è la matrice completa di un sistema lineare di tre equazioni in tre incognite. Scrivere esplicitamente tale sistema e discutere le sue soluzioni al variare di k. Soluzione. a) Il rango di A è uguale a per ogni k (vedi minore a est). b) La matrice dei coefficienti è A = k ; calcolando il suo determinante vediamo che k se k = ha rango mentre se k ha rango. Usando Rouche -Capelli, concludiamo che: Se k = il sistema è incompatibile; se k il sistema è compatibile, e ha un unica soluzione. Esercizio 9. Sia A una matrice 7.

4 a) Supponiamo che rka =. È vero che il sistema omogeneo AX = ammette autosoluzioni? b) Supponiamo che rka =. È vero che il sistema AX = B è compatibile per ogni B R? c) Supponiamo ora che rka =. Dimostrare che il sistema omogeneo AX = ammette 5 soluzioni. Soluzione. a) Si, perché il numero delle incognite è maggiore del numero delle equazioni (e quindi del rango). b) Si : la matrice completa del sistema è 8 e contiene A. Se rka = allora anche rka = e il sistema è compatibile. c) Per il teorema di Rouche -Capelli, le soluzioni sono n r, dove n è il numero delle incognite (cioè 7), e r è il rango di A (che vale ). Esercizio. Sono date le matrici A = e A =. a) Verificare che rka =. b) Verificare che rka = (usare il metodo degli orlati). c) Verificare che le colonne v, v, v della matrice A sono linearmente dipendenti, ed esprimere v come combinazione lineare di v e v. Soluzione. c) v = v + v. Dipendenza e indipendenza lineare Esercizio. Sono dati i vettori v =, v =, v = 4 di R. 4 a) Calcolare le seguenti combinazioni lineari: v + 4v, v v v. b) È vero che i vettori v, v, v sono linearmente indipendenti? c) Calcolare il rango della matrice avente colonne v, v, v. 9 Soluzione. a) v + 4v =, v v v =. b) La relazione di dipendenza lineare v v v = mostra che i tre vettori sono linearmente dipendenti. 4

5 c) rk 4 =, pari al numero massimo di colonne linearmente indipendenti. 4 Esercizio. Siano v = ( ) ( ), v =, v = a) Verificare che v, v, v sono linearmente dipendenti. ( ) vettori di R 6. b) Esprimere, se possibile, v come combinazione lineare di v, v. Soluzione. a) dipendenti. b) v = v v. Tre vettori di uno spazio vettoriale di dimensione sono sempre linearmente Esercizio. È data la matrice A = ( ). Dimostrare che: a) I vettori colonna di A sono linearmente dipendenti. b) I vettori riga di A sono linearmente indipendenti. Soluzione. Il rango di A vale, dunque le righe sono linearmente indipendenti e le colonne sono linearmente dipendenti. Esercizio 4. Sia A una matrice quadrata n n. Dimostrare che, se i vettori colonna di A sono linearmente dipendenti, anche i vettori riga lo sono, e viceversa (usare il fatto che i vettori colonna sono linearmente indipendenti se e solo se il determinante di A è diverso da zero). Soluzione. Basta osservare che il determinante di una matrice è uguale a quello della sua trasposta. Esercizio 5. Sono dati i vettori u = 8, v = 8 di R. a) Dimostrare che u e v sono linearmente indipendenti. b) Trovare un vettore w R che non è combinazione lineare di u e v. Soluzione. a) Il rango della matrice 8 8 vale. 5

6 b) Ad esempio, w =. Esercizio 6. Sono dati i vettori u =, v =, w = dello spazio R. a) Dimostrare che u, v, w sono linearmente indipendenti. b) Esprimere il vettore come combinazione lineare di u, v, w. 4 c) Dimostrare, usando il teorema di Cramer, che ogni vettore di R è combinazione lineare di u, v, w. Soluzione. a) Il determinante della matrice delle coordinate A = è diverso da zero. b) = u + v w. 4 a c) Il vettore generico b R è combinazione lineare dei vettori u, v, w se e solo se il sistema c lineare, nelle incognite x, y, z: a x + y + z = b c è compatibile. La matrice dei coefficienti di tale sistema è A, ed ha determinante diverso da zero. Dunque, per il teorema di Cramer, il sistema è compatibile e ammette una e una sola soluzione: di conseguenza ogni vettore di R si esprime, in modo unico, come combinazione lineare di u, v, w. Esercizio 7. È data la matrice A =. 5 a) Stabilire se i vettori colonna di A sono linearmente dipendenti o linearmente indipendenti. 6

7 x b) Risolvere il sistema lineare omogeneo AX = O, dove X = y. z c) Trovare, se esiste, una relazione di dipendenza lineare tra i vettori colonna di A. Soluzione. a) I tre vettori colonna di A sono linearmente dipendenti perché det A = e quindi rka (in effetti, si ha rka = ). 4 b) Il sistema omogeneo AX = O ammette soluzioni, date da {t : t R}. c) I coefficienti di una (eventuale) relazione di dipendenza lineare fra i vettori colonna di una matrice A sono dati da una (eventuale) soluzione non nulla del sistema omogeneo AX = O. Nel nostro caso, come visto in b), tale soluzione non nulla esiste: dunque, detti v, v, v i vettori colonna di A si avrà: che è la relazione cercata. 4v + v + v = O, Esercizio 8. Sono dati i vettori v =, v = dello spazio vettoriale R4. a) Per quali valori di k il vettore k è combinazione lineare di v, v? a b) Quali condizioni dobbiamo imporre ai numeri a, b, c, d affinche il vettore b c sia combinazione lineare di v, v d? a Soluzione. Iniziamo dalla parte b). Consideriamo le matrici A = e A = b c. d Siccome rka = si avra che l ultima( colonna ) di A è combinazione lineare delle precedenti se e solo se rka = rka =. Il minore ha determinante diverso da zero: per il teorema 7

8 degli orlati il rango di A vale se e solo se: a b c =, a b d =. Otteniamo cosi le condizioni: { b c = a) k = 6. a b + d = 8

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