Progetto e ottimizzazione di reti 2

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1 Progetto e ottimizzazione di reti 2 Esercitazione AMPL A.A Esercitazione a cura di Silvia Canale contatto canale@dis.uniroma.it Università di Roma La Sapienza Dipartimento di Informatica e Sistemistica Corso di Laurea in Ingegneria Gestionale

2 AMPL in breve A Mathematical Programming Language AMPL è un linguaggio di modellazione algebrico per problemi di programmazione matematica: - problemi lineari e non lineari - problemi in variabili intere e continue AMPL impiega una notazione basata su concetti semplici e di uso comune per rendere più facile il processo di modellazione di un problema. Una volta formulato tramite il linguaggio AMPL, occorre un opportuno solutore di programmazione matematica per risolvere il problema. L interprete AMPL permette di risolvere un problema formulato tramite il linguaggio AMPL impiegando direttamente un solutore di programmazione matematica. 2

3 Solutori per AMPL Sono disponibili diversi solutori tramite l interfaccia grafica AMPL. La scelta del solutore dipende dal tipo di problema: -Problemi di programmazione lineare: con variabili continue: GUROBI, BPMPD, CPLEX, LAMPS, LOQO, lp_solve, MINOS, MOSEK, OSL, SOPT, XA, Xpress-MP con variabili intere: GUROBI, CPLEX, LAMPS, lp_solve, MINTO, MOSEK, OSL, SOPT, XA, Xpress-MP -Problemi di programmazione non lineare: quadratici: CPLEX, MOSEK, OSL convessi: MOSEK, SOPT generali continui: CONOPT, DONLP2, FILTER, FSQP, IPOPT, KNITRO, LANCELOT, LOQO, MINOS, NPSOL, PENNON, SNOPT generali interi: MINLP In questo corso utilizzeremo l interprete AMPL ed il solutore CPLEX, versione student. 3

4 Software AMPL Sito ufficiale: Tutte le informazioni relative ad AMPL si trovano sul sito ufficiale AMPL Pagina per il download dell interprete APML e dei solutori: La pagina contiene: - istruzione per il download (quick start per Windows e Unix); - software eseguibile dell interprete AMPL; - software eseguibile di diversi solutori. Ulteriori informazioni sul download sono reperibili alla pagina: AMPL Pagina per il download dell interfaccia grafica: Sono disponibili tre diverse interfacce grafiche in versione sperimentale. 4

5 Materiale Oltre alle slide di questa esercitazione, è possibile scaricare dalla pagina della prof.ssa Piccialli il seguente materiale: - Par. 4- di Appunti sulla Sintassi e sui Comandi di AMPL Plus v.6 Manuale in italiano a cura dei dott. R. Bruni, G. Fasano e G. Liuzzi - Esercitazioni a cura dalla prof.ssa Piccialli con appunti delle lezioni e diversi esempi di problemi di programmazione lineare e non lineare, realizzate per il corso di Ottimizzazione A.A. 24/25. Si ringraziano i dott. Piccialli, Bruni, Fasano e Liuzzi per aver reso disponibile il materiale 5

6 Il linguaggio AMPL AMPL contiene diverse primitive per esprimere la notazione matematica normalmente utilizzata nello scrivere problemi di ottimizzazione (=, <, >,,, sommatorie, funzioni elementari, etc.) Ciascuna istruzione di AMLP deve terminare con un punto e virgola (;). E quindi possibile l indentazione nel file dei comandi. E possibile scrivere in un unico file con estensione.mod tutte le istruzioni AMPL che definiscono il modello, ma è bene separare due elementi del problema da risolvere: - la struttura del modello nel file.mod in cui sono descritte le componenti del modello (variabili, funzione obiettivo, vincoli, etc.); - i dati del modello nel file.dat in cui sono scritti i dati del problema (che in AMPL vengono chiamati parametri). Le righe di commento, sia nel file.mod che nel file.dat, devono essere precedute dal simbolo #. 6

7 Il linguaggio AMPL Una volta scritti i file con estensione.mod e c.dat, è possibile farli interpretare all interprete AMPL attraverso le istruzioni - model file.mod; con questa istruzione vengono interpretate tutte le componenti del modello (variabili, funzione obiettivo, vincoli, etc.); - data file.dat; con questa istruzione vengono assegnati i valori a tutte le componenti del modello dichiarate nel file.mod Esempio: Se abbiamo dichiarato e definito il nostro modello nei file prova.mod e prova.dat, per interpretare i due file scriviamo: model prova.mod; data prova.dat; Da questo momento, tutte le dichiarazioni presenti in prova.mod e tutte le assegnazioni definite in prova.dat sono state interpretate. 7

8 Il linguaggio AMPL Per modellare un problema di programmazione matematica in AMPL creiamo due file: - file.mod contenente: - la dichiarazione dei parametri - la dichiarazione delle variabili - la struttura e la definizione della funzione obiettivo - la struttura e la descrizione dei vincoli - file.dat contenente i valori numerici dei parametri Il file.dat deve iniziare con il comando data. Questa istruzione dice all interprete che segue la definizione delle entità precedentemente dichiarate nel file.mod. I parametri possono essere rappresentati fondamentalmente tramite due tipi di strutture dati: - insieme -parametro(anche a più dimensioni) 8

9 Gli insiemi in AMPL AMPL consente di utilizzare la struttura dato insieme. Un insieme dev essere: - dichiarato (nel file.mod), dicendo all interprete AMPL che un nome identifica l insieme che vogliamo utilizzare attraverso la parola chave set; - definito (nel file.dat), assegnando gli elementi all insieme dichiarato; l operatore di assegnazione è :=. Esempio: Per definire l insieme S di elementi a, b, c e d, dichiariamo nel file prova.mod: set S; Successivamente definiamo nel file prova.dat l insieme assegnando gli elementi a, b, c e d: set S := a b c d ; Il linguaggio AMLP è case sensitive. 9

10 Gli insiemi in AMPL Per stampare gli elementi di un insieme possiamo utilizzare l istruzione display seguita dall identificativo dell insieme. Esempio: Per stampare gli elementi dell insieme S di elementi a, b, c e d, dichiarato nel file prova.mod e definitivo nel file prova.dat, scriviamo l istruzione da riga di comando dell interprete AMPL: display S; Una volta eseguita l istruzione, l interprete mostrerà il seguente output: ampl: display S; set S := a b c d; AMPL consente di utilizzare operazioni elementari tra insiemi, quali: -unione: istruzione union; -intersezione: istruzione inter; - differenza: istruzione diff; - differenza simmetrica: istruzione symdiff; - cardinalità: istruzione card;.

11 Gli insiemi in AMPL AMPL consente inoltre di dichiarare insiemi di tipo ordinato attraverso la parola chiave ordered posto dopo l identificativo dell insieme. L ordine in cui assegniamo gli elementi all insieme definisce l ordinamento dell insieme. Esempio: Per definire l insieme ordinato S di elementi a, b, c e d, dichiariamo nel file prova.mod: set S ordered; Successivamente definiamo nel file prova.dat l insieme assegnando gli elementi a, b, c e d: set S := a b c d ; Quindi a sarà il primo elemento dell insieme, b il secondo e così via.

12 Gli insiemi in AMPL AMPL consente di utilizzare alcune operazioni elementari per insiemi ordinati quali: -first(s)per restituire il primo elemento dell insieme S; -last(s)per restituire l ultimo elemento dell insieme S; - next(t,s,n) per restituire l ennesimo elemento che si trova dopo l elemento t nell insieme S; -prev(t,s,n)per restituire l ennesimo elemento che si trova prima dell elemento t nell insieme S; -ord(t,s)per restituire la posizione dell elemento t nell insieme S; -member(j,s)per restituire l elemento in posizione j nell insieme S. E inoltre possibile definire in AMPL insiemi ordinati molto semplici in base ad un ordinamento predefinito. Il più semplice insieme ordinato è quello dei numeri interi compresi tra due valori, che si indica con l operatore.. Se N è un numero intero, l insieme dei numeri interi compresi tra ed N si indica con..n 2

13 I parametri in AMPL I parametri sono i dati del problema, da non confondere con le variabili. Una volta invocato il solutore, il valore dei parametri resta costante. Un parametro dev essere: - dichiarato (nel file.mod), dicendo all interprete AMPL che un nome identifica il parametro che vogliamo utilizzare attraverso la parola chave param; - definito (nel file.dat), assegnando il valore al parametro dichiarato; l operatore di assegnazione è :=. Esempio: Per definire il parametro N dichiariamo nel file prova2.mod: param N; Successivamente definiamo nel file prova2.dat il valore del parametro N: param N := 3 ; Se il parametro assume un valore INTERO, possiamo dichiararlo di tipo integer: param N integer; Analoghe restrizioni sul valore assunto dal parametro possono essere indicate in fase di dichiarazione. 3

14 Parametri a più dimensioni in AMPL I vettori di parametri sono molto utili per definire vettori di coefficienti. Un vettore di parametri dev essere: - dichiarato (nel file.mod), dicendo all interprete AMPL il nome che identifica il vettore e l insieme entro cui varia l indice delle sue componenti attraverso la parola chiave param e le parentesi {}; - definito (nel file.dat), assegnando i valori al vettore di parametri dichiarato. Esempio: Per definire il vettore di parametri vett di componenti indicizzate su un insieme S dichiariamo nel file prova3.mod: set S; param vett{s}; Successivamente definiamo nel file prova3.dat i valori dei parametri: set S := a b c d; param vett := a b 2 c 3 d 4; 4

15 Parametri a più dimensioni in AMPL E possibile definire un vettore di parametri indicizzato su un insieme ordinato in base ad un ordinamento predefinito. Esempio: Per definire il vettore di parametri vett2 di componenti indicizzate su un insieme ordinato di N elementi dichiariamo nel file prova4.mod: param N; param vett2{..n}; Successivamente definiamo nel file prova4.dat i valori dei parametri: param N := 3; param vett2 := ; Ovunque si desideri specificare una precisa componente del vettore di parametri, occorre usare le parentesi [] dopo l identificativo del vettore. Esempio: Per stampare la seconda componente del vettore di parametri vett2 usiamo l istruzione display seguita dall espressione vett2[2] display vett2[2]; 5

16 Parametri a più dimensioni in AMPL E possibile definire un vettore di parametri a più di una dimensione. Le matrici di parametri sono vettori di parametri a due dimensioni e Sono molto utili per definire matrici di coefficienti. Esempio: Per definire la matrice di parametri Mat di componenti indicizzate su un insieme ordinato di M elementi per le righe e di N elementi per le colonne dichiariamo nel file prova5.mod: param M; param N; param Mat{..M,..N}; Successivamente definiamo nel file prova5.dat i valori dei parametri: param M := 3; param N := 2; param Mat := ; 6

17 Parametri a più dimensioni in AMPL Per stampare tutti gli elementi della matrice è possibile usare l istruzione display seguita dall identificativo. Se invece vogliamo stampare solo una componente della matrice allora dobbiamo usare l operatore []. Esempio: Per stampare l intera matrice di parametri Mat dichiarata nel file prova5.mod e definita nel file prova5.dat scriviamo: display Mat; Una volta eseguita l istruzione, l interprete mostrerà il seguente output: ampl: display Mat; Mat := ; 7

18 Espressioni di indicizzazione Le parentesi {} ci permettono di indicare un insieme, ordinato o meno. Esse servono a definire espressioni di indicizzazione che possono essere più o meno complesse. Se A e B sono insiemi e p è un vettore di parametri, allora - {A} o {i in A} indicano tutti gli elementi dell insieme A - {A,B} o {i in A, j in B} indica tutte le coppie tali che il primo elemento appartiene all insieme A ed il secondo all insieme B - {i in A, i in B} indica tutte le coppie tali che il primo elemento appartiene all insieme A ed il secondo all insieme B purché uguali - {i in A: p[i] > } indica tutti gli elementi dell insieme A tali che il corrispondente valore del vettore p sia positivo 8

19 Grafo Esercitazione AMPL A.A

20 2 Sia dato il grafo orientato G(N,A) in figura N = {A, B, C, D, E} A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE} Problema Problema Il grafo Il grafo A C B E D Matrice di incidenza M di G(N,A) matrice 5 x 7 a valori {,, -} M =

21 Flusso di costo minimo (MCF) Esercitazione AMPL A.A

22 Problema Flusso su grafo orientato Sia dato il vettore c di capacità definito sull insieme A degli archi del grafo G(N,A) c = { 6, 4, 2, 7, 8, 4, 5 } A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE} 6 B A 2 4 E 4 4 C -5 Sia dato il vettore d di domande definito sull insieme N dei nodi del grafo G(N,A) d = {-5, 6, -5,, 4} N = {A, B, C, D, E } 8 D 5 22

23 Problema Flusso su grafo orientato Sia w il vettore di costi definito sull insieme A degli archi del grafo G(N,A) w = { 2, 3,, 5,, 2, 4 } A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE} 6 B A 2 E C D -5 Vogliamo risolvere il problema di flusso a costo minimo (MCF) sul grafo orientato G(N,A) rispetto al vettore w di costi (MCF) min wt x M x = d A x c 23

24 Problema di Flusso di Costo Minimo Vogliamo determinare un flusso x di (G, c, d) di costo minimo (x AB, 6) B 6 (x BE, 7) -5 A (x BC, 2) (x DB, 4) E 4 (x AC, 4) (x CD, 8) C D -5 (x DE, 5) costo(x) = w T x = 2 x AB + 3 x AC + x BC + 5 x BE + x CD + 2 x DB + 4 x CD (MCF) min w T x M x = d A x c Modelliamo il problema tramite AMPL 24

25 Modellazione con AMPL (MCF) min wt x M x = d A x c Modelliamo il problema tramite AMPL creando due file: - file.mod contenente: - la dichiarazione dei parametri: insiemi N, A; vettori w, d, c e M; - la dichiarazione delle variabili: vettore x; - la struttura e la definizione della funzione obiettivo: w T x; - la struttura e la descrizione dei vincoli: M x = d, A x c. - file.dat contenente i valori numerici dei parametri - N = {A, B, C, D, E} - A = {AB, AC, BC, BE, CD, DB, DE} - w = { 2, 3,, 5,, 2, 4 } M = - d = {-5, 6, -5,, 4} - c = { 6, 4, 2, 7, 8, 4, 5 } 25

26 File modello File modello MCF.mod - dichiarazione dei parametri: dichiariamo gli insiemi dei nodi N e degli archi A che identifichiamo con insieme NODI e insieme ARCHI: set NODI; (N) set ARCHI; (A) dichiariamo i vettori a una (w, d, c) e a due dimensioni (M): param costo {ARCHI}; (w) param domanda {NODI}; (d) param capacita {ARCHI}; (c) param M {NODI, ARCHI}; (M) 26

27 File modello File modello MCF.mod - dichiarazione delle variabili x positive e soggette a vincoli di capacità: var x {j in ARCHI} >=, <= capacita[j]; (x) A x c - la struttura e la definizione della funzione obiettivo w T x minimize Costo_Totale: sum {j in ARCHI} costo[j] * x[j]; etichetta etichetta - la struttura e la descrizione dei vincoli M x = d parametrizzata subject to Incidenza {i in NODI}: sum {j in ARCHI} M[i,j] * x[j] = domanda[i]; 27

28 File dati File dati MFC.dat - definizione dei parametri: definiamo gli insiemi NODI e ARCHI: set NODI := A B C D E ; set ARCHI := AB AC BC BE CD DB DE ; definiamo i vettori a una dimensione (w, d, c): param domanda := A -5 B 6 C -5 D E 4 ; param: capacita costo := AB 6 2 AC 4 3 BC 2 il simbolo : BE 7 5 indica che stiamo CD 8 definendo più di un vettore DB 4 2 DE 5 4 ; 28

29 File dati File dati MFC.dat - definizione dei parametri: definiamo i vettori a due dimensioni (M): param M : AB AC BC BE CD DB DE := A - - B - - C - D - - E ; 29

30 Interprete AMPL ampl: reset; // cancelliamo i modelli e/o i dati precedentemente caricati // (obbligatorio se abbiamo già caricato un problema) ampl: model MCF.mod; // carichiamo prima il modello del problema ampl: data MCF.dat; // carichiamo successivamente i dati del problema 3

31 Soluzione del problema (MCF) ampl: option solver cplex; // scegliamo il solutore di Programmazione Matematica con cui // risolvere il problema: CPLEX (attualmente vers..2.) ampl: solve; // risolviamo il problema caricato // output ottenuto: CPLEX.2.: optimal solution; objective 33 dual simplex iterations ( in phase I) valore ottimo informazioni sul metodo di soluzione soluzione disponibile 3

32 Soluzione del problema (MCF) ampl: display x; // chiediamo i valori della soluzione ottenuta (componenti di x) // output ottenuto: x [*] := AB 5 AC BC BE CD 5 DB DE 4 ; soluzione a componenti intere M M I Totalmente unimodulare 32

33 Soluzione del problema (MCF) Abbiamo determinato il flusso x* ottimo di (G, c, d) 6 B (5, 6) (, 7) -5 A (, 2) (, 4) E 4 (, 4) (5, 8) C D -5 (4, 5) x* soddisfa sia i vincoli di capacità che i vincoli di domanda: M x* = d A x* c. costo(x*) = 2 x 5 + x x + 4 x 4 = 33 valore ottimo 33