Le Scelte Finanziarie. S. Corsaro Matematica Finanziaria a.a. 2007/08

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1 Le Scelte Finanziarie 1

2 Tasso Interno di Rendimento Consideriamo un operazione finanziaria (t 0 =0): 0 x 0 t 1 t 2 t m x 1 x 2 x m Posto: x = x0, x1,, xm { } si definisce tasso interno di rendimento (TIR) di x il tasso di interesse della legge esponenziale conformemente alla quale x risulta un operazione finanziaria equa. 2

3 Tasso Interno di Rendimento 0 x 0 t 1 t 2 t m x 1 x 2 x m richiedere che x sia equa richiedere che il suo valore attuale sia nullo: m k= 0 x k i t (1 + ) k = 0 3

4 Tasso Interno di Rendimento In generale: non tutte le operazioni finanziarie hanno un TIR; il TIR, se esiste, può non essere unico. Si può dimostrare che se gli importi di un operazione finanziaria cambiano segno una sola volta, allora l operazione è caratterizzata da uno ed un sol TIR 4

5 Tasso Annuo Effettivo Globale Il Tasso Annuo Effettivo Globale (TAEG) è il costo totale del credito a carico del consumatore espresso in percentuale annua del credito concesso. Comprende gli interessi e tutti gli oneri da sostenere per utilizzare il credito (spese di istruttoria o di apertura pratica, commissioni). Il TAEG è il tasso annuo per il quale si ha: somma dei valori attuali degli importi erogati verso il cliente = somma dei valori attuali di tutte le rate di rimborso Il TAEG è il TIR dell operazione finanziaria di prestito 5

6 Consideriamo il prestito di 1000 euro, erogato in data 01/01/2001, da rimborsare in data 01/07/2002 con una sola rata di importo 1200 euro: 01/01/ /07/ Supponiamo che il prestito sia gravato da 50 euro di spese di istruttoria. La durata del prestito in termini di anni, con la convenzione dell anno civile è: 546 1,

7 01/01/ /07/ Il tasso di interesse applicato è: (1 + i) = i 0, ,96% , Il TAEG è la soluzione dell equazione: 1, (1 + i) = 0 TAEG 16,90% 7

8 Scelte finanziarie Alcuni problemi di decisione in ambito finanziario: scelta della più conveniente tra varie possibilità di investimento scelta della meno onerosa tra più fonti finanziarie Più in generale: scelta della migliore combinazione di investimenti e finanziamenti Obiettivo finanziario: massimizzazione della ricchezza 8

9 Valutazione della convenienza dell operazione finanziaria: anno 2 anni Fissato il tasso di interesse i=10%, l operatore deve scegliere tra 2 alternative: 1. impiegare il capitale C disponibile in 0 al tasso i; 2. investire il capitale C disponibile in 0 nell operazione considerata. 9

10 T 0 1 anno 2 anni 1. impiegare il capitale C disponibile in 0 al tasso i: al tempo T dispone di C(1,1) T 2. investire il capitale C disponibile in 0 nell operazione considerata: al tempo T dispone di C 1000 (1,1) + 700(1,1) + 800(1,1) ( ) T T 1 T 2 10

11 T 0 1 anno 2 anni conviene investire nell operazione se: C 1000 (1,1) + 700(1,1) + 800(1,1) > C(1,1) ( ) 1 2 T T T T C (1,1) + 800(1,1) > C + + > (1,1) 800(1,1) 0 11

12 T 0 1 anno 2 anni L operazione è conveniente se il suo valore attuale è > (1,1) 800(1,1) 297,52 L operazione è conveniente 12

13 Valore Attuale Netto (VAN) Un metodo di valutazione è basato sul calcolo del valore attuale dell operazione finanziaria. Un operazione x: t 1 t 2 t m t 0... x 0... x 1 x 2 x m è vantaggiosa se il suo valore attuale è >0: m x k > 0 tk k = 0 1+ i ( ) la somma dei valori attuali delle entrate è maggiore della somma dei valori attuali delle uscite 13

14 Discounted Cash Flow Il valore attuale di un operazione finanziaria è una funzione del tasso di interesse. Tale funzione si chiama Discounted Cash Flow (DCF): Gi () = m k= 0 x k 1+ i ( ) t k In relazione all esempio precedente, si ha: G(10%) 297,52 14

15 Criterio del VAN Consideriamo due operazioni x, y sullo stesso scadenzario: t 0 x 0 t 0 y 0 t 1 t 2 t m x 1 x 2 x m t 1 t 2 t m y 1 y 2 y m Fissato un tasso i, x è più conveniente di y se: G () i > G () i x y 15

16 Osservazioni Il criterio del VAN presuppone la scelta di un tasso di interesse: soggettività nella scelta; una stessa operazione può apparire conveniente ad un investitore e non conveniente ad un altro: ciò in virtù delle diverse condizioni di impiego alternativo che si prospettano. Il tasso di indifferenza è il TIR (eventualmente più di uno); il tasso è univocamente fissato VAN Generalizzato. 16

17 Valore Attuale Netto Generalizzato DCF generalizzato: x G i i i = x m 1, 2,..., m 0... ( ) t1 1 ( ) t + i1 1+ im ( ) Se chi esprime la valutazione impiega mezzi finanziari ai tassi di mercato, i tassi i k sono quelli individuati dalla struttura per scadenza dei tassi a pronti: x m i = i(0, t ) k = 1,..., m k k 17

18 anno 2 anni Supponiamo che l investitore si attenda un costo opportunità del capitale pari al 10% nel primo periodo e del 12% nel secondo. Il VANG dell operazione è: ( ) ( ) = 285,714 18

19 Significato del VAN Consideriamo un operazione finanziaria con VAN positivo e supponiamo che sia possibile cederla ad un prezzo p. Se non cediamo, la nostra ricchezza in 0 è data dal VAN: ( ) Cedendo al prezzo p, la nostra ricchezza in 0 è p. x m k k= 0 1+ i t k Il VAN è l importo immediato da ricevere (pagare) che ha lo stesso effetto sulla situazione finanziaria dell operazione considerata 19

20 VAN sul capitale proprio anno 2 anni Supponiamo che l esborso iniziale dell operazione sia parzialmente finanziato dall esterno: 400 euro sono presi in prestito da una banca per 1 anno al tasso del 15%. Come calcolare il VAN? Dal momento che 400x(1,15)=460, l operazione di prestito è: anno 20

21 VAN sul capitale proprio Sommando le 2 operazioni finanziarie, dal punto di vista dell investitore: anno 2 anni anno 2 anni flussi di solo capitale proprio 21

22 VAN sul capitale proprio anno 2 anni Dal momento che l operazione è espressa in termini di capitale proprio, possiamo calcolare il VAN al 10%: ( ) ( ) , ,1 279,34 Van sul capitale proprio o Adjusted Present Value (APV) 22

23 TIR come criterio di valutazione Secondo tale criterio, si dovrebbero preferire gli investimenti caratterizzati da un valore del TIR più alto. Viceversa, i finanziamenti dovrebbero essere selezionati cercando il TIR più basso. Il criterio è corretto solo se si confrontano operazioni aventi la stessa struttura finanziaria. 23

24 Consideriamo le 2 operazioni finanziarie: anno anno E immediato notare che la seconda è più conveniente. Il TIR della I è il 10%, il TIR della II è l 11%. 24

25 Supponiamo che, fissati i tassi, la II operazione duri 2 anni; se assumiamo che il capitale risultante dalla I operazione venga impiegato al tasso i=10%: x(1,1) 0 1 anno anni 1000x(1,11) anno 2 anni 25

26 Supponiamo che, fissati i tassi, la II operazione duri 2 anni; se assumiamo che il capitale risultante dalla I operazione venga impiegato al tasso i=10%: anno anni 1232,1 0 1 anno 2 anni 26

27 NOTA: abbiamo assunto che il reinvestimento del capitale risultante dalla I operazione sia effettuato al tasso interno i=10% Il criterio del TIR implica l assunzione di un ipotesi forte e poco realistica: invarianza del tasso di reimpiego 27

28 Supponiamo che il capitale risultante dalla I operazione venga impiegato ad un tasso i: x(1+i) 0 1 anno anni 1232,1 0 1 anno 2 anni La soluzione i* dell equazione 1100 (1 + i) = 1232,1 è il tasso di indifferenza: se si reimpiegasse al di sotto di tale tasso, converrebbe la II operazione (e viceversa). 28

29 Un investitore vuole costituire un capitale di euro in 3 anni. Investe 2500 euro subito ed un importo x dopo 1 anno. Gli impieghi sono effettuati in regime di capitalizzazione composta al tasso nominale convertibile semestralmente del 10%. 1. Determinare x; 2. scrivere il DCF di questa operazione di investimento; 3. quanto vale il TIR? 29

30 x anno 3 anni 0,1 i ( ) 2 1 = = 0,05 i = 1+ 0,05 1 = 10.25% ,1025 x 1+ 0, = 0 x = 5470,8 ( ) ( ) 5470, Gi ( ) = i 1+ ( i) 3 30

31 5470, Gi ( ) = i 1+ ( i) 3 31

32 n a n b n c n f(a n ) f(b n ) f(c n ) i * = 0,

33 Un impresa cede a una banca un credito di 1000 euro a scadenza 1 anno ed un credito di 2000 euro a scadenza due anni. La banca accredita subito all impresa il valore scontato A dei due crediti, calcolato con una legge di sconto commerciale, con tasso di sconto d=10%. 1. calcolare A; 2. scrivere l espressione del DCF dell operazione dal punto di vista della banca; 3. determinare il tasso di interesse composto dell operazione. 33

34 Dal punto di vista della banca: -A anno 2 anni A+ 1000(1 0,1) (1 2 0,1) = 0 A= Gi ( ) = i 1+ i = 11,65% ( i) 2 Il tasso composto dell operazione è la soluzione dell equazione G(i)=0: 34

35 Un finanziamento di euro deve essere rimborsato con 3 rate annue posticipate di ammontare R. Il tasso contrattuale è del 12% annuo (composto). 1. calcolare R; 2. qualora il finanziatore effettuasse una ritenuta di 100 euro all erogazione e maggiorasse le rate di rimborso dell 1% per spese di incasso, il TAEG del finanziamento salirebbe oltre il 12%. Senza calcolare il TAEG, dire se esso è al di sopra del tasso soglia fissato dalla normativa anti-usura, pari al 15%. 35

36 10000 = Ra R = 4163,5 30,12 1. Il prestito netto è S= =9900 euro 2. L importo della rata maggiorata è: R = 4163,5 1,01 = 4205,1 36

37 4205,1 4205,1 4205,1 Gi ( ) = i + 1+ i + 1+ i ( ) ( ) 1. G è decrescente; 2. G(0.15) 298,81 la soluzione dell equazione G(i)=0 è < 0,15 37

38 Un impresa dispone di tre crediti di 1000, 2000 e 3000 euro, disponibili rispettivamente tra 1, 2 e 3 mesi. Li cede ad una banca che le riconosce il loro valore scontato A, calcolato con legge dello sconto commerciale con tasso annuo d=9%. 1. calcolare A; 2. il tesoriere sostiene che il costo del finanziamento supera il 12% annuo composto: dire se ciò è vero o falso. Dal punto di vista della banca: -A mese 2 mesi 3 mesi A , , ,09 = 0 A=

39 Gi ( ) = ( 1+ i) ( 1+ i) ( 1+ i) Il VAN al tasso del 12% è: G (0,12) = 25,625 < 0 Il costo del finanziamento a interessi composti è la soluzione dell equazione G(i)=0 il costo non supera la soglia del 12% 39

40 anno 2 anni Il TIR dell operazione è la soluzione dell equazione: = 0 ( 1+ i) ( 1+ i) 2 Tale equazione ha soluzione i*=31,05% G è strettamente decrescente i<i* l operazione è conveniente i>i* l operazione non è conveniente 40