Grandezze, funzioni empiriche e matematiche. 1 Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

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1 Grnzz unzioni Grnzz, unzioni mpirih mtmtih Grnzz irttmnt invrsmnt proporzionli Applizioni ll proporzionlità Grnzz, unzioni mpirih mtmtih Stilisi s l sunti rmzioni so vr o ls. SZ. I Un rnzz è vriil s ssum vlori ivrsi. Un rnzz è ostnt s n iminuis. Un rnzz ostnt può ipnr un ltr rnzz. S i vlori i un rnzz y ip i vlori ssunti un ltr rnzz, si i h è unzion i y. Un rnzz è tutto iò h si può misurr. Un rnzz è ostnt s ssum un vlor isso. Un rnzz è vriil s ssum vlori ivrsi. Briiol i tori È l inizion i rnzz vriil. S un rnzz è ostnt, ioè h un vlor isso, n può né umntr, né iminuir. In nrl si può onsirr un rnzz vriil om ipnnt un ltr rnzz, n h snso inv onsirr un rnzz ostnt om ipnnt. S è l vriil inipnnt y è qull ipnnt, si i h y è unzion i. Ini quli ll sunti rnzz so ostnti quli vriili. h Sttur i un mi. osto i litro i ltt il 0 mrzo l suprmrto vii s tu. Proonità i un lo misurt un to ior. Piovosità nnu il. onsumo i qu i un mili. ironrnz l pint Trr. Durt rolmntr i un prtit i lio. Prouzion i r pr ttro. h Un mi, on il pssr li nni, rs in ltzz. Nll ro i un iornt il przzo i un rtiolo mroloio n mi. Nll ro i un iornt nssun m può trminr l vrizion i proonità i un lo. L onizioni mtoroloih h port ll piovosità i il ( i qulsisi ltr lolità) n si ripto on prioo isso, quini l piovosità vri i n in n, vri in moo n lolil, si trtt intti i un unzion mpiri. Il onsumo i qu i un mili ipn ll ivrs nssità i suoi omponnti, h n posso ssr smpr l stss. L imnsioni ll Trr n vri. Un prtit i lio ur, rolmnto, 0 minuti. L prouzion i r pr ttro i trr può vrir son, smpio, ll onizioni tmosrih o ll rtilità l trr. A. lvi - G. Pnzr - 00 LI - L Spi

2 Szion + Grnzz unzioni Stilisi s l sunti rmzioni so vr o ls. Tutt l unzioni so mtmtih. In un unzion mtmti oni vlor i orrispon un solo vlor i y. In un unzion mtmti il vlor i ipn l vlor ttriuito ll vriil y. Un unzion mtmti è sprss mint un ormul. y è unzion i s oni vlor i (vriil inipnnt) orrispon un solo vlor i y (vriil ipnnt) si sriv y = (). Tutt l unzioni si posso rpprsntr sul pi rtsi. Un unzion è mtmti s l rlzion h l l u vriili è sprss on un ormul. In un unzion mpiri l rlzion h l l u rnzz è sprss oppi i vlori rilvti. Briiol i tori A smpio l tmprtur un rt or n può ssr lolt on un ormul. Qust è l inizion nrl i unzion, mtmti o mpiri. In nrl on si ini l vriil inipnnt. In un unzion mtmti i vlori ll y si lol qulli ll mint un ormul mtmti ontnnt l ivrs oprzioni t t. 4 Quli tr l sunti unzioni so mtmtih quli mpirih? h i Tmprtur i un rt lolità in unzion ll or i rilvzion. Pso i un prson in unzion ll su tà. Litri i nzin onsumti in unzion llo spzio prorso vloità ostnt. Ar i un qurto in unzion ll misur l suo lto. Numro i nti in un ps in unzion l ior ll n. Quntità i uv proott in nto l vrir ll n onsirto. Sps pr il rislmnto i un lloio l vrir l ior ll'n. osto i un pzzo i sto l vrir ll su lunhzz. Numro i lttin i iit vnut in un r rltivo insso. h i Non sist un ormul pr lolr l tmprtur un trmint or l ior. Il pso i un prson ipn ll su tà, m n sist ormul h lhi il pso ll tà. S smpio pr prorrr km so nssri 0,07 litri i rurnt, possimo lolr qunti litri so nssri pr prorrr 0 km moltipli 0 pr 0,07; in qusto so nzin = 0,07 spzio prorso. Pr lolr l r i un qurto st pplir l ormul Ar = lto. Non sist lun ormul h, to il ior ll n, prmtt i lolr il numro i nti. Non sist lun ormul h prmtt i lolr l prouzion i uv, h vri i n in n in rlzion ll onizioni tmosrih, ll rtilità l trr,. L sps pr il rislmnto ipn l ior, m n è lolil on un ormul. È suiint moltiplir il osto i un mtro i sto pr il numro i mtri si riv il osto totl. È suiint moltiplir il osto i un lttin pr il numro i lttin si riv l insso totl. A. lvi - G. Pnzr - 00 LI - L Spi

3 Grnzz irttmnt invrsmnt proporzionli Grnzz irttmnt invrsmnt proporzionli Stilisi quli ll sunti oppi i rnzz so irttmnt proporzionli quli. Numro i or lvortiv slrio i un oprio. Lunhzz i un osso sps pr l suzion llo svo. Suprii i un mpo quntità i rolto. Numro i ottili nssri pr trvsr 0 l i vi loro pità. Lunhzz l lto i un qurto r llo stsso. isur ll s i un prlllormm lto m su r. Du rnzz vriili y tr loro ipnnti si io irttmnt proporzionli s, l roppir, triplir (imzzr, ivntr l trz prt) ll vriil inipnnt, nh l vriil ipnnt y roppi, tripli (imzz, ivnt l trz prt) L l h sprim l proporzionlità irtt è: y y = k, oppur = k ov k è tto oiint i proporzionlità irtt. Il rio ll proporzionlità irtt è un smirtt l ui oriin oini on l oriin li ssi rtsini. Briiol i tori Roppi il numro i or i lvoro, roppi nh il slrio. Roppi, smpio, l lunhzz l osso, roppi nh l sps nssri pr svrlo. Roppi l suprii, roppi nh il rolto. Aumnt l pità i isun ottili il loro numro iminuis. A smpio un qurto i lto h r uul, m s si roppi il lto, h quini ivnt 6, l r ivnt 6 h n è il oppio i. Roppi l lunhzz ll s, roppi nh l r. 6 Dt l unzion y = stilisi s l sunti rmzioni so vr o ls. L unzion è un l i proporzionl irtt. Il oiint i proporzionlità è. S = 0 llor y = 0. S roppi, nh y roppi. S = llor y =. L unzion è mtmti. L unzion è l tipo y = k. Il oiint i proporzionlità irtt è k =. Sostitu ll il vlor 0, y ssum vlor 0. A smpio s = si ottin y =, s roppimo ( = 6) si ottin y = 0 h è il oppio i. Sostitu ll il vlor, y ssum vlor n. L unzion è sprss mint un ormul. 7 Ossrv l tll omplt y y so rnzz... Il oiint i proporzionlità è... Pr lolr i vlori i y orrisponnti i vlori 8,, 0 i, si v onu i ssi. L rnzz y so irttmnt proporzionli; il oiint i proporzionlità è 4 prhé i vlori i y si ottno moltipli pr 4 i orrisponnti vlori i o = 8 orrispon y =, = orrispon y = 6 = 0 orrispon y = 40. A. lvi - G. Pnzr - 00 LI - L Spi

4 Szion + Grnzz unzioni 8 Stilisi quli ll sunti oppi i rnzz so invrsmnt proporzionli quli. Numro i opri h suo un lvoro tmpo impito pr l su suzion. Portt qu i un otto tmpo impito rimpir un istrn. Primtro i un qurto misur l suo lto. Suprii i un pistrll numro i pistrll nssri pr pvimntr un stnz. Altzz i un torr lunhzz ll su omr. Du rnzz vriili y tr loro ipnnti si io invrsmnt proporzionli s, l roppir, triplir (imzzr, ivntr l trz prt) ll vriil inipnnt, l vriil ipnnt y imzz, ivnt l trz prt (roppi, tripli) L l h sprim l proporzionlità k invrs è: y = k, oppur y =, ov k è tto oiint i proporzionlità invrs. Il rio ll proporzionlità invrs è un rmo i urv h si him iprol quiltr. Briiol i tori Al roppir l numro i opri, si imzz il tmpo i suzion. Al roppir ll portt, si imzz il tmpo nssrio pr rimpir l istrn. Al roppir ll misur l lto i un qurto, il suo primtro roppi n imzz. Al roppir ll suprii i un pistrll, imzz il numro i pistrll. Al roppir ll ltzz ll torr, l su omr roppi n imzz. Ossrv l tll omplt y Qul è il vlor l prootto? Qul i 4 6? Qul i 8?... Il prootto i un vlor i l orrisponnt vlor i y è ostnt?... L u rnzz so invrsmnt proporzionli?... L l mtmti è... Tutti i prootti rihisti n om risultto 4, quini si può rmr h il prootto i qulunqu vlor i pr il orrisponnt vlor i y è ostnt; l u rnzz so invrsmnt proporzionli l l mtmti è 4 y =. 0 0 Dt l unzion y =, stilisi s l sunti rmzioni so vr o ls. L unzion è un l i proporzionlità irtt. Il oiint i proporzionlità è 0. S = llor y = 0. S roppi llor nh y roppi. L unzion in luni si è mpiri. S = 0 llor y = 0. A. lvi - G. Pnzr - 00 LI - L Spi Non è l tipo y = k, m l tipo y = k. Il oiint i proporzionlità invrs è k = 0. Sostitu ll il vlor, y ssum il vlor 0 y = = 0. A smpio s = 0 si ottin y =, m s roppi ( = 0) si ottin y = h n è il oppio i. L unzion è init mint un ormul, quini è mtmti. Sostitu ll il vlor 0, y ssumr il vlor 0 y =, h è impossiil: = 0 n pprtin l 0 ominio ll unzion. 4

5 Grnzz irttmnt invrsmnt proporzionli Ossrv l tll omplt y 4 8 y so u rnzz... Il oiint i proporzionlità è... Pr lolr i vlori i y orrisponnti rispttivmnt i vlori, 6, 48 i si v pr onu i ssi. L u rnzz so invrsmnt proporzionli prhé il prootto y è ostnt vl 48, h è il oiint i proporzionlità. Pr lolr i vlori i y orrisponnti i vlori, 6, 48 i si v ivir 48 pr onu i ssi si ottin rispttivmnt 4,,. omplt l sunt tll rltiv un unzion i proporzionlità irtt; sprimi y in unzion i. 7 8 y Di vlori = 7 y = 4 rivimo k = y = 6: = y = 6 = 7 y = 840 = 840 : 6 = 40 = 8 y = 6 8 = 68 y = = : 6 = = 6, quini omplt l sunt tll rltiv un unzion i proporzionlità invrs; sprimi y in unzion i. 6 6 y 48 Di vlori = y = 48 rivimo k = 48 = 44, quini y = 44: = 6 y = 44 : 6 = 4 y = = 44 : = = 6 y = 44 : 6 = 4 y = = 44 : = 44 4 sprimi l sunti proposizioni mint un unzion. Il oiint i proporzionlità invrs tr u rnzz vriili y è 0. Il prootto i vlori orrisponnti i u rnzz vriili y è ostnt uul 60. Il prootto i vlori orrisponnti i u rnzz vriili y è ostnt uul 8. Il rpporto tr i vlori orrisponnti i u rnzz vriili y è ostnt uul. Il rpporto tr i vlori orrisponnti i u rnzz vriili y è ostnt uul. 0 y so irttmnt proporzionli = orrispon y =. y so irttmnt proporzionli = 8 orrispon y =. k = 0 y = 0 y = y = 60 k = 60 y = y = 8 k = 8 y = y y = k = y = 0 0 = k = y = 0 y = k 0 60 y k = = = y= y y = k k = = = y= A. lvi - G. Pnzr - 00 LI - L Spi

6 Szion + Grnzz unzioni Dopo vr stilito s l sunti oppi i rnzz so irttmnt o invrsmnt proporzionli, srivi l rltiv unzion mtmti. = or i viio vloità ostnt; y = spzio prorso (in km); spzio prorso in or = 0 km = misur ll s i un rttnolo (in m); y = misur ll ltzz i un rttnolo (in m); r l rttnolo = 40 m = vloità mi i un violo (km/h); y = tmpo impito (or); lunhzz l prorso = 00 km. S l vloità è ostnt lo spzio prorso è irttmnt proporzionl l tmpo. L unzion è l tipo y = k. S in or lo spzio prorso è i 0 km, llor l vloità è i 0 km/h; quini l unzion è y = 0. L misur ll s ll ltzz i un rttnolo i r isst so rnzz invrsmnt proporzionli, k quini l unzion è l tipo y =. S l r è uul 40 m, imo 40 y = 40, ui rivimo y =. Il tmpo l vloità so rnzz invrsmnt proporzionli, intti umnt l vloità iminuis il tmpo nssrio pr prorrr un rto spzio, vivrs, iminu l vloità il tmpo umnt. k Quini l unzion è l tipo y =. 00 Nl stro qusito k = 00 km, ioè lo spzio prorrr. L unzion rt è y =. Applizioni ll proporzionlità I prolmi l smpli posso ssr irtti o invrsi son h l rnzz si irttmnt o invrsmnt proporzionli. Pr risolvr prolmi i qusto tipo è util pror so il sunt shm. Si sistm i ti l init in un tll: in oni olonn i ivrsi vlori i un stss rnzz, in oni ri i vlori orrisponnti ll u rnzz. Si stilis s l u rnzz so irttmnt o invrsmnt proporzionli. Si tri, nll tll, u r nllo stsso vrso s l u rnzz so irttmnt proporzionli, oppur on vrso opposto s so invrsmnt proporzionli. Si sriv l proporzion risolutiv su il vrso ll r. Si risolv l proporzion pr lolr il vlor ll init. Briiol i tori : = : irtto : = : invrso A. lvi - G. Pnzr - 00 LI - L Spi 6

7 Applizioni ll proporzionlità Risolvi i sunti prolmi l smpli. 6 In un mhin un ruot ott i 0 nti ompi 40 iri l minuto zion su volt un ltr ruot h, nll stss unità i tmpo, ompi 8 iri. Qunti nti h l son ruot? Impostimo lo shm on i ti l qusito; l rnzz so invrsmnt proporzionli, quini imo: N. DNTI N. GIRI : = 8 : = = 0 8 I nti ll son ruot so 0. 7 on l olio ontnuto in un miin si so rimpiti ishi ll pità i,6 l. Qunt ottili ll pità i 7 l si srro ovut usr pr l stss quntità i olio? L rnzz vo ssr sprss nll stss unità i misur, quini suimo l quivlnz 7 l = 0,7 l. Impostimo lo shm on i ti l qusito; l rnzz so invrsmnt proporzionli (intti più è rn il ripint, mir è il numro i ripinti nssri), quini imo: N. RIPINTI APAITÀ (l),6 0,7 : = 0,7 :,6 6 = 0 = 6 00 =, 6 = 07, L ottili nssri so. 8 Un utomoil onsum 4, litri i nzin pr prorrr km. Qunti litri n oorro pr un viio i 0 hilomtri ll stss vloità? Impostimo lo shm on i ti l qusito; l rnzz so irttmnt proporzionli (più è rn l istnz prorrr, mior è il rurnt nssrio), quini imo: QUANTITÀ DI BNZINA (l) SPAZIO PRORSO (km) 4, 0 4, : = : 0 4 4, 0 = = = = I litri nssri so 0. A. lvi - G. Pnzr - 00 LI - L Spi 7

8 Szion + Grnzz unzioni Suppon h pin i un msritto n orrispon 6 stmpt, lol qunt pin si ottno un msritto i pin. Impostimo lo shm on i ti l qusito; possimo supporr h l rnzz si irttmnt proporzionli, quini imo: PAGIN ANOSRITT PAGIN STAPAT 6 : = 6 : 6 = = 6 L pin stmpt srn 6. Risolvi i sunti prolmi sull prntul. 0 Il pso loro i un mr è i 8 k. S l tr orrispon l 4% l pso loro, qul è il pso ntto ll mr? PSO LORDO TARA : 00 = : = =,4 00 L tr è i,4 k, quini: pso ntto = pso loro tr (8,4) = 8,6 k pso ntto Il lolo ll prntul si ttu om un prolm l smpli irtto. Intti % sinii prti su un totl i 00 onsirt; s il totl roppi, nh l prti roppi, quini simo i ront un proporzionlità irtt. Briiol i tori Un otto i pltro l pso i 70 è ormto un l i st otton. S il pso llo st è i 0, qul è l prntul i otton ontnut in qull l? PRIO ODO PSO TOTAL PSO STAGNO : 00 = 0 : 00 0 = = 0 70 S lo st è il 0% ll l, l prntul i otton è 00% 0% = 80%. SONDO ODO Poihé il pso llo st è i 0, l otto ontin 70 0 = 600 i otton. PSO TOTAL PSO OTTON : 00 = 600 : = = L otton ontnuto in qull l rpprsnt l 80%. A. lvi - G. Pnzr - 00 LI - L Spi 8

9 Applizioni ll proporzionlità Un tssuto, sottoposto lvio, si ori ll,%. Qunto misurrà un pzz i 4 mtri i qul tssuto opo ssr stt lvt? LUNGHZZA INIZIAL RIDUZION 4 00, 4 : 00 = :, = 4 4, = 0 = 4 = 06, L pzz lvt si ori i 0,6 m, quini, opo il lvio, il tssuto misurrà: (4 0,6) =,64 m Rort h omprto un zintto in ort spil on un sonto l % plo 48. Qul è il przzo i listi i qullo zintto? PRZZO SONTATO PRZZO DI LISTINO : 7 = : = = 64 7 Il przzo i listi i qullo zintto r i 64. Risolvi i sunti prolmi i riprtizion. 4 Il primtro i un trinolo misur m l misur i suoi lti so irttmnt proporzionli i numri 4, 8. lol l lunhzz i isun lto. Inihimo on, y z l lunhzz i tr lti l trinolo. Possimo srivr: : 4 = y : = z : 8, sp h + y + z = Applihimo l proprità l omporr li ntnti i onsunti: : 4 ( + y + z) : ( ) = y : z : 8 : 4 : 7 = y : z : 8 : 7 = : 4 4 = 7 = m : 7 = y : y = 7 = m : 7 = z : 8 8 z = 7 = 4 m i so prolmi prtii pr risolvr i quli ison riprtir (istriuir) un quntità in un rto numro i prti h posso ssr irttmnt o invrsmnt proporzionli trminti numri. In qusto so si utilizz l tn i rpporti l proprità l omporr li ntnti i onsunti. Briiol i tori A. lvi - G. Pnzr - 00 LI - L Spi

10 Szion + Grnzz unzioni Un trinolo isosl h il primtro i 4 m; l s u i lti oliqui so irttmnt proporzionli i numri 4 7. lol l misur i lti l trinolo. Inihimo on, y z l lunhzz i tr lti l trinolo isosl ov è l s y i lti oliqui. Possimo srivr: : 4 = y : 7 = z : 7 sp h + y + z = 4 Applihimo l proprità l omporr li ntnti i onsunti: : 4 : 4 ( + y + z) : ( ) = y : 7 4 : 8 = y : 7 z : 7 z : 7 4 : 8 = : = 8 = m 4 : 8 = y : y = 8 = m 4 : 8 = z : z = 8 = m 6 Il primtro i un quriltro misur m l misur i suoi lti so invrsmnt proporzionli i numri. lol l lunhzz i isun lto l quriltro., 4,, Inihimo on, y, z t l lunhzz i quttro lti l quriltro. ss l misur invrsmnt proporzionli i numri ti, l tn i rpporti è: 4 : = y: = z: = t:, sp h + y + z + t = Applihimo l proprità l omporr li ntnti i onsunti: : : 4 y : y : 4 ( + y + z + t) : = : = z : z : t : t : 4 : = : = = 4 m : 4 = y : y = 4 = 4 m : = z : z = = 6 m : = t : t = = 7 m A. lvi - G. Pnzr - 00 LI - L Spi 0

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