Esercitazione Scritta di Controlli Automatici

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1 Eserciazione Scria di Conrolli Aomaici 8--6 Esercizio Si consideri la serie composa da n aaore ed n sisema meccanico (figra ). U A(s) F G(s) Y Figra : Connessione serie ra aaore e sisema meccanico. Enrambe le caraerisiche dinamiche dei sisemi in serie sono lineari e descrie dalle segeni fnzioni di rasferimeno: τ g s + G(s) = s + p g s + = Y (s) F(s) A(s) = τ as + p a s + = F(s) U(s) A Si deermini la rappresenazione in forma canonica di conrollo di enrambe i sisemi; B Si considerino adesso i segeni valori nmerici p a =, τ g =, τ b = /, τ a = : B Si progei n regolaore in grado di sabilizzare la serie aaore sisema nel caso in ci = τ b τ a e p g = τ b + τ a ; B Si progeino de leriori regolaori in grado di sabilizzare la serie qalora si abbiano rispeivemene: B.) = τ b (τ a + 3 ), p g = τ b +τ a + 3, e B.) = τ b (τ a +), p g = τ b + τ a + ; B3 Si dia na inerpreazione dei rislai simlaivi oeni per i re regolaori progeai ai pni B e B. Esercizio Sia daa la crva C(x,) = x 6 + x 3 + =. Si consideri il sisema dove C z = C(z) z. ẋ = C C C x = (x 3 + ) (x 6 + x 3 + )(6x 5 + 3x ) ẏ = C x C C = 6x 5 + 3x (x 6 + x 3 + )(x 3 + ) C Si verifichi che l origine è pno di eqilibrio per il sisema e se ne sdi la sabilià. D Si dimosri che il logo C(x,) = è n ciclo limie per il sisema e in qeso caso se ne vali l araivià.

2 Solzione Esercizio. A) La forma canonica di conrollo del sisema meccanico è [ A g = pg ], B g = [ ] [, C g = ] τ g, D g = menre per l aaore (proprio ma non sreamene) A a =, B a =, C a = p a τ a p a p, D a = τ a a p a B) Si indichi con x g = [x,x ] T il veore di sao del sisema meccanico, e con x a = x 3 lo sao relaivo all aaore, in modo da poer scrivere la dinamica di ciascn sisema come { ẋg = A g x g + B g g g = C g x g + D g g, { ẋa = A a x a + B a a a = C a x a + D a a Noando che nel monaggio serie a = g ed indicando con = a l ingresso della serie e con = g l scia, è possibile oenere la forma di sao complessiva ] [ ] [ ] [ ] [ẋg Ag B = g C a xg Bg D + a ẋ a A a x a B a = [ ] [ ] x C g D g C g a + D x g D a a che espliciaa divena ẋ ẋ ẋ 3 = = [ pg p a τ a p a p a ] x x = Cx x 3 τ g x x x 3 + τ a p a = Ax + B () B) Il sisema dao dalla serie di aaore più carico meccanico è complessivamene insabile. I poli relaivi alla serie sono infai /τ a, /τ b e /p a, con τ b <. Nella connessione in serie dei de sisemi, si pò noare come il polo sabile del sisema meccanico /τ a si cancelli con lo zero relaivo all aaore: (τ a s + )(τ g s + ) A(s)G(s) = ( s + p g s + )(p a s + ) = (τ a s + )(τ g s + ) (τ a s + )(τ b s + )(p a s + ) τ g s + = (τ b s + )(p a s + ) = Y (s) U(s) Tale cancellazione implica la perdia di raggingibilià per il modo associao (cancellazione zero polo in serie), come è verificabile sdiando la marice di raggingibilià del sisema complessivo () (il ci rango è infai pari a de). L osservabilià è invece conservaa. Il regolaore deve essere progeao sl soosisema raggingibile ed osservabile, che si pò oenere direamene per realizzazione minima della f.d.. dopo la cancellazione. Alernaivamene, nel caso che la cancellazione zero-polo casaa dalla connessione non fosse rislaa evidene (cosa possibile, in paricolare per sisemi più complessi di qelli qi sdiai), si sarebbe poo procedere ineramene nello spazio di sao originale a re dimensioni. Tenando la cosrzione di n regolaore per qeso sisema, se ne verificherebbe la impossibilià proprio a casa della singolarià della marice di raggingibilià. Si pò procedere qindi a porre il sisema () in forma sandard di Kalman, e a progeare poi il regolaore sl soosisema raggingibile e osservabile. Per oenere la forma sandard è necessario rovare na base del soospazio raggingibile e complearla per oenere na base dello spazio compleo R 3 (re variabili di sao complessive). Il rango della marice di raggingibilià è pari a de, qindi prelevando le prime de colonne di dea marice (B e AB, base del

3 soospazio raggingibile) e gisapponendo il veore [] T (base complemenare), si oiene la marice di rasformazione per la forma sandard di raggingibilià (Â, ˆB,Ĉ, ˆD)..4 Â = T AT =.9, ˆB = T B =, Ĉ = CT = [ 7.8 ], ˆD =.5 A qeso pno è possibile cosrire il regolaore sl soosisema compleamene raggingibile ed osservabile (A r,b r,c r,d r ). Per la deerminazione delle marici di reroazione degli sai K e di iniezione delle scie L, in grado di allocare gli aovalori in anello chiso in p e qelli dell osservaore in q, si pò procedere come di conseo. In paricolare, illsriamo qi l so di na ecnica di piazzameno oima LQR (che è sdiaa nella seconda pare del corso). La fnzione di Malab [K,s,p] = lqr(ss,q,r) fornisce direamene la reroazione K, e la corrispondene posizione degli aovalori in anello chiso p, che rende asinoicamene sabile il sisema ss minimizzando n fnzionale di coso J = Q + Rd, dove, come di conseo, si indica con l scia del sisema e con il corrispondene ingresso. Nel nosro caso, il sisema è SISO, qindi Q ed R, che sono in generale marici di peso, sono de scalari. La scela Q =, R = pesa in modo maggiore la spesa per il conrollo rispeo all scia: si oiene così n sisema con conrolli di limiaa aorià ma convergenza pioso lena. Il rislao oeno con qesa scela è n veore K = [4.3555, 8.685] che piazza i poli di A BK in p = [.3669,.886]. Per qano rigarda l osservaore, l analogo della scela oima LQR è il progeo oimo di n osservaore di Lenberger, cioè n filro di Kalman. Ponendo qi invece, per semplicià, q = p, il valore della marice L di iniezione delle scie sgli sai che pone gli aovalori di A LC in q, calcolao mediane il comando L=ranspose(acker(A r,c r,q)), è dao da L = [.694,.736] T. Il compensaore basao sl regolaore appena progeao si cosrisce col comando rss=reg(ss,k,l). B) Si pò noare come in enrambe i casi non vi siano cancellazioni esae nella connessione: si evince perciò che i sisemi complessivi per B.) e B.) saranno compleamene raggingibili ed osservabili. Il progeo del regolaore qindi pò segire le procedre sandard nello spazio di sao originale. È però da noarsi che il caso B.) differisce da qello sdiao al pno precedene B) di molo poco - per perrbazioni dei soi ermini di re ordini di grandezza inferiori: in qeso caso, siamo di frone ad na cancellazione imperfea, ma che sarebbe, in na realizzazione praica, sosanzialmene indisingibile da na cancellazione perfea qale qella nel qesio B). Il sisema B.), che appare avere la sessa caraerisica di raggingibilià di B.), è invece ai fini praici dissimile da B.) qasi qano dal sisema con cancellazione esaa B). È opporno chiedersi come qese osservazioni apparenemene discordani si riconcilino. Ciò che in effei si evidenzia con qesi esempi è che le proprieà srrali dei sisemi (in paricolare, qi, la raggingibilià) debbono essere alvola considerae in ermini qaniaivi pioso che solo qaliaivi: ovvero, qano raggingibile sia n sisema, non solo se lo sia o meno. È da aspearsi che, se nel caso B) (considerao nello spazio di sao originale a re dimensioni) la marice di raggingibilià è singolare, nel caso B.) essa rislerà molo vicina alla singolarià, menre nel caso B.) ne sarà lonana. Un crierio correo per evidenziare la disanza dalla perdia di rango di na marice è il so più piccolo valore singolare σ: nei re casi B, B. e B., si rova rispeivamene σ =, σ =.3 5, e σ = La maggiore o minore raggingibilià di n sisema si riflee, araverso l algorimo di calcolo per il piazzameno dei poli, in diverse marici di reroazione K. Si ipoizzi infai di piazzare i poli in p = [.3669,.886, 5] per i sisemi B. e B.: Nel caso B. la marice di reroazione saica degli sai K = 4 [.375,.54,.949], menre nel secondo caso K = [5.94,.6388, ], ben re ordini di grandezza inferiore. Si ricordi che la marice di reroazione nel caso B (in ci non si ena di sposare l aovalore irraggingibile) era K = [4.3555, 8.685], dello sesso ordine di grandezza di B.. Ovviamene, elevai valori della marice K implicano l so di elevai segnali di conrollo: figraamene, si pò descrivere qano evidenziao immaginando che gli aovalori poco raggingibili, corrispondeni ai poli qasi cancellai, abbiano elevaa inerzia allo sposameno, e richiedano perciò elevaa aorià del conrollo, che divena infinia qando si ha complea perdia di raggingibilià (σ = ). I veori di iniezione delle scie sono praicamene idenici nei de casi e pari a L = [.34, 6.3, 3.54] T. In effei, le proprieà di osservabilià dei re sisemi sono molo simili. Effei analoghi e dali slla marice di iniezione L si sarebbero oeni se na qasi cancellazione avesse reso scarsamene osservabile il

4 sisema. È doveroso noare infine che, se per gli sessi sisemi si fossero scele realizzazioni nello spazio di sao in coordinae diverse, ad esempio z con x = T z, le relaive marici di raggingibilià e osservabilià sarebbero sae rispeivamene R z = T R x, e O z = O x T. Il cambiameno di variabili T alera i valori singolari delle marici, che qindi non sono proprieà srrali dei sisemi: i valori qaniaivi di raggingibilià e di osservabilià dipendono dalle coordinae, a differenza della loro caraerizzazione qaliaiva. È però possibile dimosrare che qano pò esser gadagnao in raggingibilià con n cambiameno di coordinae, è perso in osservabilià, oenendo alla fine simili rislai sl progeo del conrollore. Si pò affermare qindi che la debolezza della parecipazione di n modo al legame ingresso-scia per n sisema è na caraerisica srrale del sisema sesso, che è evidenziaa nella sa fnzione di rasferimeno dalla presenza di qasi-cancellazioni. B3) Il monaggio del regolaore slla serie dei de sisemi è rappresenao graficamene in figra. Le rispose dei sisemi regolai, a parire da perrbazioni delle condizioni iniziali x = [/, /, /] T, r ss Riferimeno Sisema serie (LTI Ssem) rss Regolaore (LTI Ssem) Figra : Schema del monaggio sao per la simlazione, che ilizza i blocchi LTI Ssem del Conrol Ssem Toolbox di Simlink) sono riporae in figra 3. In figra 4 sono riporai i conrolli corrispondeni. I grafici dei segnali di Figra 3: Rispose dei sisemi B (sinisra) B. (cenro) e B. (desra) Figra 4: Segnali di conrollo per i re sisemi. conrollo confermano l analisi faa slle marici di reroazione degli sai, evidenziando la necessià di

5 na enorme aorià del conrollo nel caso del sisema B. debolmene conrollabile. Nel caso in ci la progeazione dei conrollori di ci al pno B fosse saa faa effeaa con la ecnica di conrollo oimo LQR ed ilizzando gli sessi pesi per il segnale d ingresso e per l scia (Q =, R = ), la posizione dei poli a ciclo chiso nei casi B. e B. risla essere rispeivamene p = [.3665,.4998,.886] e p = [.658,.3658,.883]. Si pò noare che i de poli compleamene raggingibili nel caso B e B. sono idenici e che il polo debolmene conrollabile nel caso B. è lasciao praicamene invariao. Qesa è na consegenza dell elevao coso assegnao al conrollo relaivamene alla presazione: essendo lo sposameno dell aovalore scarsamene raggingibile molo cososo in ermini di conrollo e avendo esso poca inflenza slla scia e qindi slla presazione, esso viene lasciao sosanzialmene inalerao. Nel caso B. i e re i poli sono ricollocai. Le marici di reroazione degli sai nei re casi sono rispeivamene K = [4.3555, 8.685], K = [.393,.963, ] e K = [.5958,.373, 7.76]. Te e re sono dello sesso ordine di grandezza, la qal cosa fa inire che la spesa per il conrollo sarà anch essa dello sesso ordine di grandezza nei re casi (figra 5) Figra 5: Confrono ra i segnali di conrollo nel caso di progeazione oima LQR con idenici cosi. Esercizio ) C) Ponendo x = e = nelle eqazioni del sisema, si verifica facilmene che ẋ = ẏ =, dnqe l origine è pno di eqilibrio. Per valarne la sabilià è sfficiene applicare il meodo indireo di Lapnov. Il linearizzao nell origine risla infai avere marice dinamica f(z) z = z= [ 4 dove con z si è indicao il veore [x,] T, i ci aovalori sono λ = e λ = 4. L origine è qindi n pno di eqilibrio insabile. D) La derivaa rispeo al empo della crva C(x, ) = compaibile con le eqazioni del sisema è daa da dc(x, ) d = C x ẋ + C ẏ ], = C x ( C CC x ) + C (C x CC ) = C ( Cx + C ) che risla evidenemene nlla in i i pni della crva. Qeso implica che l eqazione implicia C(x,) = definisce n insieme invariane per il sisema e dnqe, raandosi di na crva chisa, n ciclo limie. Per valare l araivià del ciclo limie si pò far so della fnzione V (x,) = C(x,). Essa è definia posiiva ovnqe ecceo che slla crva C(x,) = ove si annlla. Si pò ilizzare il eorema di

6 x Figra 6: Illsrazione del ciclo limie nello spazio delle fasi LaSalle nella sa forma più generale (con fnzioni semidefinie) poiché le crve di livello di V (x,) sono chise. La derivaa direzionale di ale fnzione lngo le raieorie del sisema si presena come sege L f V (x,) = C [C x ẋ + C ẏ] = C [C x ( C CC x ) + C (C x CC )] = C [ C x + C ]. dv (x,) Da qes lima relazione e dalle eqazioni del sisema si dedce che l insieme in ci la d è nlla è dao dalla crva C(x, ) = e dall origine. Per il eorema di LaSalle possiamo concldere che il ciclo limie risla essere araivo. È da noare che l origine è pno di eqilibrio insabile ma non divergene, infai le raieorie che parono da n inorno dell origine si allonanano da essa, ma finiscono confinae nel ciclo limie. I rislai della precedene analisi rislano evideni dalla rappresenazione nello spazio delle fasi di alcne raieorie del sisema.