Capitolo IV L n-polo

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1 Capitolo IV L n-polo Abbiamo oervato che una qualiai rete, vita da due nodi, diventa, a tutti gli effetti eterni, un bipolo unico e queto è in qualche miura ovvio e abbiamo anche motrato come cotruire il bipolo equivalente alla rete data, ia nel cao che ea ia paiva, ia nel cao in cui ia attiva. Abbiamo anche oervato, però, che non tutte le poibili configurazioni ono riolvibili riducendo la rete attravero ucceivi accoppiamenti erie o parallelo di due o più bipoli. A confermarlo abbiamo portato l'eempio della claica rete a ponte motrata in figura. Si immagini, infatti, di voler determinare il bipolo equivalente alla rete vita dai moretti A e B. Siamo ubito in difficoltà perché non troviamo nella rete né rami in erie né rami in parallelo. È facile convinceri che neuno dei 5 rami è aggregabile ad un altro per cotruire un primo bipolo equivalente da cui prendere le moe. Val la pena di notare che un tal problema non eiterebbe e i volee il bipolo equivalente alla rete vita dai moretti C, D. In tal cao, infatti, i ha immediatamente che i tratta del parallelo di tre bipoli: il bipolo 3, il bipolo che i ottiene dalla erie di 1 e 2 e

2 88 Luciano De Menna Coro di Elettrotecnica quello che i ottiene dalla erie di 4 e 5. Ma torniamo ai nodi A e B. La notra difficoltà è dovuta alla preenza nella rete di trutture del tipo a trian - golo o a poligono come 1, 2, 3 e 3, 4, 5 o equivalentemente a tella come 2, 3, 4, che non ono riconducibili ad un itema a due moretti e cioè ad un bipolo. Siamo portati dunque a prendere in coniderazione itemi a più poli, cioè un compleo di bipoli collegati tra di loro e viti da n nodi; un itema che chematizzeremo d ora in poi alla maniera rappreentata in figura. Si pone il problema a queto punto di etendere il concetto di caratteritica ad un tale itema. Ragioniamo alla maniera eguente: upponiamo di alimentare ogni polo con n generatori ideali di tenione E r come motrato in figura, e upponiamo ancora che la rete ia cotituita da tutti bipoli lineari. In tal cao per calcolare le n correnti nei rami dei generatori potremo uare il teorema di ovrappoizione e affermare che la corrente I i nel ramo del generatore ieimo è la omma delle varie correnti I ir che i ottengono nel ramo ieimo quando di volta in volta laciamo operare il olo generatore nel ramo erreimo, coì come motrato in figura. D altra parte in ognuna delle reti coì ottenute, a caua della linearità dei bipoli componenti, la corrente I i dovrà riultare pro p o rzionale alla tenione E r. Chiamiamo G ir tale fattore di proporzionalità, che ha appunto le dimenioni dell invero di una reitenza, cioè di una conduttanza. In concluione ommando l effetto di tutti i generatori preenti avremo: I 1 = G 11 E G 1r E r G 1n E n... I = G 1 E G r E r G n E n... (IV.1) I n = G n1 E G nr E r G nn E n

3 Luciano De Menna Coro di Elettrotecnica 89 In altri termini l n-polo invece di eere individuato da un olo parametro G come un bipolo, è individuato da n 2 parametri G r cioè da una matrice di ordine n di conduttanze che prende appunto il nome di matrice delle conduttanze. Come vedremo, in realtà, i parametri indipendenti da cui realmente dipende la matrice delle conduttanze non ono n 2, benì in numero molto minore. Per ora oerviamo che tra le G r ve ne ono alcune che i ditinguono dalle altre: quelle del tipo G rr con pedici eguali, e cioè gli elementi della diagonale della matrice. Ee infatti, per cotruzione, ono derivate da chemi circuitali del tipo motrato nella quarta figura. Riulta evidente che ee ono delle reali conduttanze equivalenti del bipolo (queta volta è un vero bipolo) che i ottiene prendendo in coniderazione un polo dell n-polo e come altro etremo l inieme di tutti gli altri n - 1 poli collegati in corto circuito tra di loro. Natura divera hanno invece le G r che rappreentano emplicemente il rapporto tra la corrente nel ramo r e la tenione nel ramo, quando tutti gli altri poli, tranne l eeimo, ono collegati in corto circuito. Si tratta certamente di grandezze che hanno le dimenioni di conduttanze, ma non ono conduttanze motrate dalla rete a particolari coppie di moretti. Per queta ragione i ditinguono le due grandezze con nomi diveri: con - duttanze proprie o autoconduttanze, le prime e condut - tanze mutue, le econde. Vediamo ora di quali proprietà godono gli elementi di una matrice di conduttanze. Oerviamo in primo luogo che avendo fatto la convenzione dell utilizzatore a tutti i poli, dovrà neceariamente eere, per la paività della rete, G rr 0, in quanto effettive conduttanze di bipoli equivalenti. Le G r invece non ono neceariamente poitive; anzi è poibile dimotrare facilmente che deve riultare:

4 90 Luciano De Menna Coro di Elettrotecnica G r 0. (IV.2) Infatti perché i abbia G r > 0 dovrebbe eere I r > 0 con E >0; ma in tal cao all interno della rete, alimentata dalla ola E tra il nodo ed il nodo O, comune a tutti gli altri poli, dovrebbe eitere un nodo a potenziale minore di quello di O, (olo in tal cao infatti la I r > 0 arebbe compatibile con la uppota paività del particolare ramo dove la I r i trova a circolare); ma ciò è impoibile per il principio di non amplificazione delle tenioni. Ma c è di più. Se proviamo ad applicare il teorema di reciprocità alle due reti che hanno portato all individuazione di G r e G r troviamo immediatamente il eguente riultato: G r = G r. (IV.3) La matrice G è neceariamente immetrica. Queto ignifica che degli n 2 parametri che la compongono, olo n 2 -(n 2 -n)/2 ono indipendenti. Se infine proviamo ad applicare la LKC al nodo O troviamo che la omma delle I r deve eere nulla. Cioè: G 1 E G r E r +..+ G n E n = 0. (IV.4) Il che, eendo le E qualiai, comporta che: per qualiai r, o anche: G r = 0, (IV.5) G rr = - r G r. (IV.6) Una volta note le mutue conduttanze, dunque, le autoconduttanze poono eere ottenute in bae alla IV.6.

5 Luciano De Menna Coro di Elettrotecnica 91 Ne deriva che altri n parametri ono dipendenti. In concluione i parametri indipendenti nella matrice G ono: n 2 - n2 - n 2 - n = n n (IV.7) Per aegnare, dunque, una matrice di conduttanza non i poono cegliere n 2 numeri qualiai, anzi il modo più immediato per farlo è quello di aegnare n(n-1)/2 grandezze, negative naturalmente, che rappreentano le n(n-1)/2 mutue conduttanze dell n-polo! Delle infinite reti che poono dare luogo ad un n-polo e ne ditinguono immediatamente due di tipo particolare: la rete a poligono completo e quella a tella. La prima i ottiene collegando ogni coppia di poli r ed con un bipolo di reitenza R r. La rete coì ottenuta prende il nome di rete a poligono completo con n verti - ci. È facile verificare che il numero di lati di una tale rete è pari ad n(n-1)/2; le combinazioni, cioè, di n oggetti a due a due enza ripetizione. In un n-polo a poligono, completo o non, non vi ono nodi interni. L altro chema caratteritico è quello a tella, cotituito da l lati ognuno collegato tra uno degli n poli ed un nodo interno comune, come motrato nella tea figura. Un n-polo a tella, dunque, ha un olo nodo interno.

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