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1 .5 Stabilità dei sistemi dinamici 9 Risulta: 3 ( s(s + 4).5 Stabilità dei sistemi dinamici Si è visto come un sistema fisico può essere descritto tramite equazioni differenziali o attraverso una funzione di trasferimento, ora invece interessa capire se tale sistema, una volta perturbato, tende a tornare al proprio stato di equilibrio, oppure a divergere da esso. Dal momento che le variabili di un sistema corrispondono a grandezze fisiche, il fatto che una variabile diverga ad infinito implica quasi certamente una situazione anomala(guasto o rottura). Il modo in cui un sistema converge al suo stato di equilibrio dipende dalle sue caratteristiche dinamiche. Un sistema dinamico si definisce stabile se, a seguito di una sollecitazione (o perturbazione), dopo un breve transitorio, torna al proprio stato di equilibrio. Un azione di controllo modulante deve sempre garantire la stabilità del sistema cui è applicata. In figura.5 sono rappresentati un segnale in ingresso u(t) di tipo a scalino unitario (perturbazione) e i possibili andamenti della risposta in uscita y(t) del sistema perturbato. Figura.5: Possibili risposte allo scalino di un sistema Nel caso in cui il sistema è instabile, la risposta diverge ad infinito (linea verde); nel caso in cui il sistema è stabile, dopo un transitorio, essa tende asintoticamente al valore di regime, imposto u(t) (linea rossa o viola). Nel seguito, si farà riferimento a sistemi dinamici di tipo: lineari: che variano con continuità e con una dipendenza lineare dal tempo; causali: ad ogni variazione dell ingresso corrisponde una risposta precisa del sistema per istanti di tempo t 0; SISO (Single Input - Single Output): un unica variabile di ingresso ed una in uscita. Ad essi saranno associate - equazioni integro differenziali lineari a coefficienti costanti ;

2 .5 Stabilità dei sistemi dinamici 0 - funzioni di trasferimento, nella variabile di Laplace s, razionali fratte del tipo: N ( b m s m + b m s m b s + b 0 ( D( a n s n + a n s n a s + a 0 m n (m > n condizione impossibile) con Z f radici del polinomio N( ZERI della funzione ( P f radici del polinomio D( POLI della funzione (.5. Esempi Esempio s + F ( s + da cui N ( 0 z D( 0 p R Poli reali Esempio s + 4 F ( s + s + da cui N ( 0 z 4 D( 0 p ± j 3/ C Poli complessi coniugati La stabilità di un sistema si determina attraverso semplici regole di osservazione della fdt: Condizione Sufficiente affinché un sistema dinamico sia asintoticamente stabile è che polo P i della funzione di trasferimento F ( risulti: Re(P i ) < 0. Condizione Sufficiente affinché un sistema dinamico sia instabile è che esista almeno un polo P i della funzione di trasferimento F ( tale per cui: Re(P i ) > 0.

3 .6 Stabilità degli schemi a blocchi.6 Stabilità degli schemi a blocchi.6. Schemi a blocchi in serie.9: N e D ( la funzione di trasferimento equivalente è: ( N( D ( ( N (N ( D (D ( Si osserva che l insieme dei poli e di e ( coincide con i poli della ( della serie, e analogamente avviene per gli zeri, quindi: ( e ( stabili ( stabile ( e/o ( instabile Questo vale se non ci sono cancellazioni illecite. Cancellazioni Date le seguenti due FdT: ( ( instabile s e ( s s + Si osserva che la funzione ( è asintoticamente stabile, mentre la funzione ( è instabile a causa dell unico suo polo a parte reale positiva. La FdT risultante dal collegamento in serie è: s ( s s + s + L eliminazione mediante semplificazione numerica di eventuali poli instabili della FdT risultante si definisce cancellazione illecita di Poli e Zeri : essa nasconde una dinamica instabile intrinseca al processo considerato che, se pur

4 .6 Stabilità degli schemi a blocchi eliminata algebricamente, continua a gravare sul sistema complessivo. Si pensi ad esempio ad un sistema di controllo di un ipotetica reazione nel quale la variabile controllata temperatura risulti stabile, mentre un altra variabile come l energia interna, non controllata, diverga, causando un esplosione! La FdT vista è perciò instabile..6. Schemi a blocchi in parallelo.0: N e D ( la funzione di trasferimento equivalente è: N( ( D ( ( N (D ( + N (D ( D (D ( Come nel caso precedente si osserva che le radici del denominatore della FdT risultante ( coincidono con l insieme di poli associati alle singole FdT generatrici ( e (, quindi: ( e ( stabili ( stabile ( e/o ( instabile ( instabile È importante notare la biunivocità delle due proprietà, che valgono sempre nell ipotesi che non vi siano cancellazioni illecite..6.3 Schemi a blocchi in retroazione.: N e D ( la funzione di trasferimento del sistema è: N( ( D ( ( N (D ( D (D ( + N (N ( dove il denominatore della FdT, (, risultante dipende, questa volta, oltre che dai poli anche dagli zeri delle due FdT generatrici ( e (. Poiché poli e zeri di ( non hanno legame diretto con quelli di ( e (, non si può dire nulla a priori sulla stabilità della Fdt di un sistema retroazionato.

5 .6 Stabilità degli schemi a blocchi 3 Esempio Sono date le seguenti FdT: Risulta: ( e ( s + s + N (D ( s + ( D (D ( + N (N ( (s + )(s + ) + Il sistema è stabile in quanto Re(P i ) < 0 s 3 < 0

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