La trasformata Zeta. Marco Marcon

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "La trasformata Zeta. Marco Marcon"

Transcript

1 La trasformata Zeta Marco Marcon ENS

2 Trasformata zeta E l estensione nel caso discreto della trasformata di Laplace. Applicata all analisi dei sistemi LTI permette di scrivere in modo diretto la relazione I/O e lo schema circuitale del sistema in esame. PERCHE non basta la DTFT? Esistono delle situazioni per le quali la DTFT non esiste. La trasformata zeta in genere converge in modo uniforme per una classe di sequenze più ampie della DTFT. Consente l analisi li i dei sistemi i LTI anche in presenza di condizioni i i iniziali non nulle. Permette di mettere immediatamente in luce alcune caratteristiche importanti dei sistemi LTI, quali la causalità e la stabilità.

3 trasformata zeta (definizione) Data una sequenza bilatera x(n) (- <n<+ ) si definisce trasformata zeta: definisce una relazione biunivoca tra la sequenza x(n) ed una funzione della variabile complessa z. z generalizza il concetto di frequenza al piano complesso, e viene indicata con pulsazione complessa. Il dominio della variabile z risulta tutto il piano complesso z (come ogni var. complessa) può essere scritta in modulo e fase:

4 trasformata zeta Si tratta di una serie infinita di potenze. Il luogo dei punti nel piano complesso per cui converge in modo uniforme a X(z) (valore finito) é detta regione di convergenza (ROC). Nella regione di convergenza X(z) è una funzione analitica, cioè continua e indefinitamente derivabile con derivate continue in z.

5 Condizione i di esistenza: Trasformata zeta La DTFT della sequenza x(n)ρ -n esiste (cioè la sommatoria converge ad un valore finito) se la sequenza é sommabile in modulo:

6 DTFT e Trasformata zeta, ROC La regione di convergenza ROC della sommatoria dipende solo dal modulo ρ delle pulsazioni complesse z e non dalla loro fase. Questo comporta che le regioni di convergenza nel piano complesso z siano delimitate da circonferenze, luoghi dei punti z a modulo costante.

7 Relazione tra trasformata z e DFT

8 Esempi di trasformata z La trasformata z della sequenza bilatera x(n) = 2δ(n+1)+ δ(n)+ 4δ(n-2)

9 Nota: serie geometriche Ricordiamo la seguente formula riguardante le serie geometriche convergenti: Che converge solo se q <1 ed in tal caso si ha anche

10 Esempi di trasformata z La trasformata z della sequenza gradino x(n) = u(n) (sequenza causale): Causale Anticausale

11 Esempi di trasformata Z

12 Esempio di sequenza finita it (causale) Calcolare la trasformata z della sequenza finita : x(n) =α n [u(n) - u(n - N)], dove N è una costante intera finita e α è una costante reale.

13 Esempio sequenza finita (causale) Definiamo poli: radici del denominatore e zeri: le radici del numeratore La trasformata X(z) possiede un polo di ordine N 1 nell origine ii e N -1 zeri (la radice z = α dl del denominatore è fittizia e viene compensata da uno zero del numeratore nella medesima pulsazione).

14 Esempio sequenza finita (causale) Il polinomio di ordine N: z N - α N al numeratore possiede N zeri disposti in modo uniforme su una circonferenza di raggio α. Le radici del polinomio si trovano nelle pulsazioni complesse: Gli zeri della funzione X(z) () sono quindi definiti come:

15 ESEMPIO sequenza infinita it (causale) Determinare la trasformata zeta del segnale: Si tratta di una serie geometrica infinita di ragione che converge a z

16 trasformata zeta razionale Nei casi pratici di interesse, la funzione X(z) è una funzione razionale di due polinomi: X(z) = N(z)/D(z) dove N(z) e D(z) sono due polinomi nella variabile z -1, rispettivamente di grado p n e p d. Scrivendo i due polinomi N(z) e D(z) in forma estesa si Scrivendo i due polinomi N(z) e D(z) in forma estesa, si ottiene:

17 trasformata zeta razionale esprimendo in termini di potenze positive di z e fattorizzando i due polinomi in termini delle rispettive radici elementari, si ottiene:

18 Analisi dei sistemi LTI mediante la trasformata t z Sistemi LTI a tempo discreto possono essere descritti da equazioni lineari alle differenze a coefficienti costanti. Applicando la DTFT ad ogni termine si ottiene: Nb va ricordato che:

19 Analisi dei sistemi LTI mediante la Raccogliendo tutti i termini Y(e jω ) e X(e jω ) si ottiene trasformata t z Per il teorema della convoluzione: la risposta in frequenza H(e jω ) di un sistema LTI espresso tramite le equazioni alle differenze, può essere calcolata come segue:

20 Analisi dei sistemi LTI mediante la per la relazione che lega DTFT e trasformata z: trasformata t z e applicando il teorema della convoluzione, si ha che la risposta del sistema in frequenza complessa z è data da: L d dll f Y() d l ù La regione di convergenza della funzione Y(z) coincide, nel caso più generale possibile, quando non avvengano cancellazioni tra poli e zeri in X(z) e H(z), con l intersezione tra le regioni di convergenza delle due funzioni X(z) e H(z).

21 Analisi dei sistemi LTI mediante la trasformata t z Si è visto che la funzione di trasferimento H(e jω ) è una funzione razionale, quindi anche la funzione di trasferimento H(z) è una funzione razionale del tipo: N(z)/D(z) la quale corrisponde all equazione alle differenze.

22 sistemi LTI Nella classe dei sistemi LTI descritti attraverso le equazioni alle differenze si distinguono due importanti tipologie di sistemi. Sistemi con risposta all impulso di supporto finito (FIR, Finite Impulse Response): sono sistemi non ricorsivi nei quali l uscita y(n) dipende solo dal segnale di ingresso x(n):

23 sistemi LTI Sistemi con risposta all impulso di supporto infinito (IIR, Infinite Impulse Response): sono sistemi ricorsivi nei quali l uscita y(n) dipende non solo dal segnale di ingresso, ma anche dai campioni del segnale di uscita: Una sottoclasse di tali sistemi riguarda i sistemi puramente ricorsivi, ovvero quelli per cui la relazione I/O assume la forma:

24 FIR attraverso trasformata z Un sistema LTI causale e non ricorsivo di tipo FIR può essere descritto tramite la seguente funzione di trasferimento: t

25 Filtri IIR puramente ricorsivo Un sistema LTI causale e puramente ricorsivo di tipo IIR può essere descritto tramite la seguente funzione di trasferimento:

26 LTI caso generale

27 LTI e trasformata zeta La funzione di trasferimento H(z) può essere espressa in termini delle radici i dei polinomi i al numeratore e al denominatore fattorizzando i due polinomi N(z) e D(z): La risposta di un sistema LTI viene analizzata attraverso i i poli e gli zeri della funzione di trasferimento H(z). Per un sistema causale, il numero di zeri non può essere superiore al numero dei poli, e quindi il grado del polinomio al numeratore non può essere superiore al grado del polinomio al denominatore.

28 x(n) =α n u(n)

29 x(n) =α n u(n)

30 Poli complessi e coniugati

31

32

33

34 FIR FIR per definizione significa risposta all impulso finita: Dato un generico ingresso x(n), si ottiene quindi una risposta y(n): Dato h(n) si ha subito la trasformata z:

35 Esercizio Trovare la risposta y(n) di un sistema con: Quando l input è x(n)= u(n);

36 Stabilità del sistema La stabilità di un sistema LTI impone che la risposta all impulso h(n) sia sommabile in modulo, vale a dire: Se il sistema ècausale, la condizione si traduce nel dominio z nell imporre che la funzione di trasferimento H(z) abbia poli contenuti nel cerchio di raggio unitario del piano z.

37 Stabilità Poli multipli sul cerchio unitario conducono ad una crescita di tipo polinomiale. Ha un polo di ordine 2 in z=1 e quindi risposta all impulso h(n)=n u(n) di tipo a rampa e quindi instabile

38 Progetto di filtri tramite posizionamento ii di poli e zeri i poli devono essere posizionati in prossimità del cerchio di raggio unitario nelle pulsazioni complesse z corrispondenti alle componenti armoniche nel segnale d ingresso x(n) che devono essere enfatizzate. Gli zeri devono essere posizionati vicino ai punti z del cerchio di raggio unitario corrispondenti alle componenti armoniche del segnale d ingresso x(n) che devono essere attenuate.

39 p _ l 1

40 Filtro passa basso ideale i poli del filtro devono essere posizionati nelle pulsazioni complesse z Corrispondenti alle frequenze dll della banda passante di H(e jω ): ω [0, ωt]. Gli zeri dovrebbero essere posizionati i in prossimità, ità oppure sul cerchio z = 1, nelle pulsazioni complesse z corrispondenti alle frequenze ω [ωt,π, ].

41 Filtro passa-basso 1 polo e 1 zero

42 Filtro passa-basso 1 polo e 1 zero

43 Filtro passabasso con 3 zeri E possibile enfatizzare l attenuazionedel filtro passa-basso alle alte frequenze, inserendo zeri ulteriori sul cerchio di raggio unitario in coppie complesse coniugate ( per la realizzabilità fisica del filtro).

44 Filtro passabasso con 3 zeri

45 Passa basso e passa alto: distribuzione di poli e zeri

46 Passa alto con un polo ed uno zero

47 Filtro passa banda

48 Alcuni esempi significativi Sequenza costituita da due campioni: sistema con 1 zero. Caratteristica di ampiezza Caratteristica di fase

49 Caratteristica di ampiezza e fase

50 Zeri a fase minima o massima Si possono avere zeri sia sul cerchio unitario (ed allora annullano sinusoidi vere e proprie) che fuori (annullano sinusoidi generalizzate crescenti con l indice) che infine dentro (annullano sinusoidi generalizzate decrescenti con l indice). Gli zeri posizionati dentro il cerchio unitario sono chiamati zeri a fase minima e zeri a fase massima quelli all esterno

51 Analisi di uno zero La caratteristica di fase e cioè lo sfasamento apportato a sinusoidi di pulsazione ω è discontinua nell origine: Si consideri ora uno zero sempre a frequenza zero, ma non sul cerchio unitario. i Sia quindi: Se lo zero è interno al cerchio unitario la caratteristica di fase Se lo zero è interno al cerchio unitario la caratteristica di fase a frequenza 0 è nulla e continua.

52 Zeri reciproci e coniugati Quando lo zero è assai prossimo al cerchio unitario, variazioni i i minime ii di dei valori dei di campioni i dll della sequenza possono portare a variazioni molto forti della caratteristica di fase. E interessante osservare che due zeri reciproci e coniugati (ossia due sequenze di 2 campioni le cui trasformate z sono caratterizzate da zeri z 0, 1/ z 0* in posizione reciproca e coniugata) hanno eguale andamento della caratteristica di ampiezza (ma solo sul cerchio unitario) e diversa caratteristica ti di fase

53 Sequenze coniugate, ribaltate e ritardate t Pertanto la caratteristica di fase di sarà quella corrispondente ad un ritardo pari a NT e cioè:

stabilità BIBO La stabilità di tipo BIBO di un sistema LTI impone che la risposta all impulso h(n) sia sommabile in modulo, vale a dire:

stabilità BIBO La stabilità di tipo BIBO di un sistema LTI impone che la risposta all impulso h(n) sia sommabile in modulo, vale a dire: ELABORAZIONE NUMERICA DEI SEGNALI AA. 2007-2008 sistemi LTI e trasformata eta Francesca Gasparini http://www.ivl.disco.unimib.it/teaching.html errore nelle slide della settimana scorsa!!!! R ( )... ( M

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica STRUMENTI MATEMATICI PER L ANALISI DEI SISTEMI DISCRETI Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it

Dettagli

Catene di Misura. Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/

Catene di Misura. Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/ Catene di Misura Corso di Misure Elettriche http://sms.unipv.it/misure/ Piero Malcovati Dipartimento di Ingegneria Industriale e dell Informazione Università di Pavia piero.malcovati@unipv.it Piero Malcovati

Dettagli

Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA

Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA Capitolo 1 ANALISI COMPLESSA 1 1.4 Serie in campo complesso 1.4.1 Serie di potenze Una serie di potenze è una serie del tipo a k (z z 0 ) k. Per le serie di potenze in campo complesso valgono teoremi analoghi

Dettagli

Controlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L.

Controlli Automatici T. Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010. Prof. L. Parte 3 Aggiornamento: Settembre 2010 Parte 3, 1 Trasformata di Laplace e Funzione di trasferimento Prof. Lorenzo Marconi DEIS-Università di Bologna Tel. 051 2093788 Email: lmarconi@deis.unibo.it URL:

Dettagli

Cristian Secchi Pag. 1

Cristian Secchi Pag. 1 CONTROLLI DIGITALI Laurea Magistrale in Ingegneria Meccatronica SISTEMI A TEMPO DISCRETO Ing. Tel. 0522 522235 e-mail: cristian.secchi@unimore.it http://www.dismi.unimo.it/members/csecchi Richiami di Controlli

Dettagli

SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO

SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Sistemi Digitali di Controllo A.A. 2009-2010 p. 1/45 SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Prof. Alessandro De Luca DIS, Università di Roma La Sapienza deluca@dis.uniroma1.it Lucidi tratti dal libro C. Bonivento,

Dettagli

2.5 Stabilità dei sistemi dinamici 20. - funzioni di trasferimento, nella variabile di Laplace s, razionali fratte del tipo:

2.5 Stabilità dei sistemi dinamici 20. - funzioni di trasferimento, nella variabile di Laplace s, razionali fratte del tipo: .5 Stabilità dei sistemi dinamici 9 Risulta: 3 ( s(s + 4).5 Stabilità dei sistemi dinamici Si è visto come un sistema fisico può essere descritto tramite equazioni differenziali o attraverso una funzione

Dettagli

Trasformate di Laplace

Trasformate di Laplace TdL 1 TdL 2 Trasformate di Laplace La trasformata di Laplace e un OPERATORE funzionale Importanza dei modelli dinamici Risolvere equazioni differenziali (lineari a coefficienti costanti) Tempo t Dominio

Dettagli

Complementi sui filtri

Complementi sui filtri Elaborazione numerica dei segnali Appendice ai capitoli 4 e 5 Complementi sui filtri Introduzione... Caratteristiche dei filtri ideali... Filtri passa-basso...4 Esempio...7 Filtri passa-alto...8 Filtri

Dettagli

Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza

Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza Capitolo 5 Caratterizzazione dei segnali aleatori nel dominio della frequenza 5. Introduzione In questo capitolo affrontiamo lo studio dei segnali aleatori nel dominio della frequenza. Prendiamo come esempio

Dettagli

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO

LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO LA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO Può essere espressa sia nel dominio della s che nel dominio della j Definizione nel dominio della s. è riferita ai soli sistemi con un ingresso ed un uscita 2. ha per oggetto

Dettagli

Nome: Nr. Mat. Firma:

Nome: Nr. Mat. Firma: Controlli Automatici - A.A. 1/11 Ingegneria Gestionale 13 Settembre 11 - Esercizi Nome: Nr. Mat. Firma: Rispondere alle seguenti domande. a) Calcolare la trasformata di Laplace X(s) dei seguenti segnali

Dettagli

Fondamenti di Automatica. Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI

Fondamenti di Automatica. Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Fondamenti di Automatica Unità 2 Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Calcolo del movimento di sistemi dinamici LTI Soluzione delle equazioni di stato per sistemi dinamici LTI a tempo continuo

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Funzioni di trasferimento: robustezza e prestazioni Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it

Dettagli

Trasformata Zeta e Sistemi LTI a Tempo Discreto

Trasformata Zeta e Sistemi LTI a Tempo Discreto Capitolo 7 Trasformata Zeta e Sistemi LTI a Tempo Discreto Questo capitolo è dedicato allo studio della trasformata zeta, strumento di analisi dei sistemi LTI a tempo discreto così come la trasformata

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Risposte canoniche e sistemi elementari Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1

Dettagli

Analisi dei segnali nel dominio della frequenza

Analisi dei segnali nel dominio della frequenza Laboratorio di Telecomunicazioni - a.a. 2010/2011 Lezione n. 7 Analisi dei segnali nel dominio della frequenza docente L.Verdoliva In questa lezione affrontiamo il problema dell analisi dei segnali tempo

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Analisi armonica e metodi grafici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 053 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. Analisi

Dettagli

Diagrammi di Bode. I Diagrammi di Bode sono due: 1) il diagramma delle ampiezze rappresenta α = ln G(jω) in funzione

Diagrammi di Bode. I Diagrammi di Bode sono due: 1) il diagramma delle ampiezze rappresenta α = ln G(jω) in funzione 0.0. 3.2 Diagrammi di Bode Possibili rappresentazioni grafiche della funzione di risposta armonica F (ω) = G(jω) sono: i Diagrammi di Bode, i Diagrammi di Nyquist e i Diagrammi di Nichols. I Diagrammi

Dettagli

Funzioni di trasferimento. Lezione 14 2

Funzioni di trasferimento. Lezione 14 2 Lezione 14 1 Funzioni di trasferimento Lezione 14 2 Introduzione Lezione 14 3 Cosa c è nell Unità 4 In questa sezione si affronteranno: Introduzione Uso dei decibel e delle scale logaritmiche Diagrammi

Dettagli

Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A

Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A Prova scritta di Controlli Automatici - Compito A 21 Marzo 27 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare quali sono le affermazioni vere. 1. Si consideri

Dettagli

Consideriamo due polinomi

Consideriamo due polinomi Capitolo 3 Il luogo delle radici Consideriamo due polinomi N(z) = (z z 1 )(z z 2 )... (z z m ) D(z) = (z p 1 )(z p 2 )... (z p n ) della variabile complessa z con m < n. Nelle problematiche connesse al

Dettagli

Serie numeriche e serie di potenze

Serie numeriche e serie di potenze Serie numeriche e serie di potenze Sommare un numero finito di numeri reali è senza dubbio un operazione che non può riservare molte sorprese Cosa succede però se ne sommiamo un numero infinito? Prima

Dettagli

Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino

Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino Richiami: funzione di trasferimento e risposta al gradino 1 Funzione di trasferimento La funzione di trasferimento di un sistema lineare è il rapporto di due polinomi della variabile complessa s. Essa

Dettagli

ANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE

ANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO NEL DOMINIO DELLE FREQUENZE CONTROLLI AUTOMATICI Ingegneria della Gestione Industriale e della Integrazione di Impresa http://www.automazione.ingre.unimore.it/pages/corsi/controlliautomaticigestionale.htm ANALISI FREQUENZIALE E PROGETTO

Dettagli

CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI

CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI 31 CAPITOLO 3 FONDAMENTI DI ANALISI DELLA STABILITA' DI SISTEMI NON LINEARI INTRODUZIONE L'obbiettivo di questo capitolo è quello di presentare in modo sintetico ma completo, la teoria della stabilità

Dettagli

Capitolo. La funzione di trasferimento. 2.1 Funzione di trasferimento di un sistema. 2.2 L-trasformazione dei componenti R - L - C

Capitolo. La funzione di trasferimento. 2.1 Funzione di trasferimento di un sistema. 2.2 L-trasformazione dei componenti R - L - C Capitolo La funzione di trasferimento. Funzione di trasferimento di un sistema.. L-trasformazione dei componenti R - L - C. Determinazione delle f.d.t. di circuiti elettrici..3 Risposta al gradino . Funzione

Dettagli

Sistemi LSTD: rappresentazione esplicita

Sistemi LSTD: rappresentazione esplicita Trasformata Zeta Outline Sistemi LSTD: rappresentazione esplicita x(k+1) = Ax(k)+Bu(k), x R n, u R m, k Z y(k) = Cx(k)+Du(k), y R p x R n : vettore delle variabili di stato; u R m : vettore dei segnali

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Funzioni di trasferimento: stabilità, errore a regime e luogo delle radici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail:

Dettagli

Matematica generale CTF

Matematica generale CTF Successioni numeriche 19 agosto 2015 Definizione di successione Monotonìa e limitatezza Forme indeterminate Successioni infinitesime Comportamento asintotico Criterio del rapporto per le successioni Definizione

Dettagli

Nome: Nr. Mat. Firma:

Nome: Nr. Mat. Firma: Fondamenti di Controlli Automatici - A.A. 7/8 4 Dicembre 7 - Esercizi Compito A Nr. Nome: Nr. Mat. Firma: a) Determinare la trasformata di Laplace X i (s) dei seguenti segnali temporali x i (t): x (t)

Dettagli

A.S. 2008/2009 CLASSE 5BEA SISTEMI AUTOMATICI SINTESI DEL CORSO

A.S. 2008/2009 CLASSE 5BEA SISTEMI AUTOMATICI SINTESI DEL CORSO A.S. 2008/2009 CLASSE 5BEA SISTEMI AUTOMATICI SINTESI DEL CORSO Sono stati trattati gli elementi base per l'analisi e il dimensionamento dei sistemi di controllo nei processi continui. E' quindi importante:

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

Laboratorio di Elaborazione di Dati, Segnali e Immagini Biomediche (Parte 3)

Laboratorio di Elaborazione di Dati, Segnali e Immagini Biomediche (Parte 3) Università degli Studi di Padova - Facoltà di Ingegneria Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica A.A. 7-8 Laboratorio di Elaboraione di Dati, Segnali e Immagini Biomediche (Parte 3) Prof. Giovanni Sparacino

Dettagli

ENS - Prima prova in itinere del 07 Maggio 2010

ENS - Prima prova in itinere del 07 Maggio 2010 ENS - Prima prova in itinere del 07 Maggio 0 L allievo é invitato a dare una ragionata e succinta risposta a tutti gli argomenti proposti, per dimostrare il livello di preparazione globale. I calcoli devono

Dettagli

09 - Funzioni reali di due variabili reali

09 - Funzioni reali di due variabili reali Università degli Studi di Palermo Facoltà di Economia CdS Sviluppo Economico e Cooperazione Internazionale Appunti del corso di Matematica 09 - Funzioni reali di due variabili reali Anno Accademico 2013/2014

Dettagli

SPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO

SPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO INGEGNERIA E TECNOLOGIE DEI SISTEMI DI CONTROLLO Laurea Specialistica in Ingegneria Meccatronica SPECIFICHE DI PROGETTO DI SISTEMI DI CONTROLLO Ing. Cristian Secchi Tel. 0522 522235 e-mail: secchi.cristian@unimore.it

Dettagli

Diagrammi di Bode. delle

Diagrammi di Bode. delle .. 3.2 delle Diagrammi di Bode La funzione di risposta armonica F(ω) = G(jω) può essere rappresentata graficamente in tre modi diversi: i Diagrammi di Bode, i Diagrammi di Nyquist e i Diagrammi di Nichols.

Dettagli

Prova scritta di Controlli Automatici

Prova scritta di Controlli Automatici Prova scritta di Controlli Automatici Corso di Laurea in Ingegneria Meccatronica, AA 2011 2012 10 Settembre 2012 Domande a Risposta Multipla Per ognuna delle seguenti domande a risposta multipla, indicare

Dettagli

Esercizi proposti di Fondamenti di Automatica - Parte 4

Esercizi proposti di Fondamenti di Automatica - Parte 4 Esercizi proposti di Fondamenti di Automatica - Parte 4 2 Aprile 26 Sia dato il sistema di controllo a controreazione di Fig. 1, in cui il processo ha funzione di trasferimento P (s) = 1 (1 +.1s)(1 +.1s).

Dettagli

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06

Analisi Mat. 1 - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 23-3-06 Analisi Mat. - Ing. Inform. - Soluzioni del compito del 3-3-6 Sia p il polinomio di quarto grado definito da pz = z 4. Sia S il settore circolare formato dai numeri complessi che hanno modulo minore o

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

FONDAMENTI DI AUTOMATICA. Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi

FONDAMENTI DI AUTOMATICA. Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi FONDAMENTI DI AUTOMATICA Michele Basso, Luigi Chisci e Paola Falugi 22 novembre 26 2 Indice 1 Analisi in frequenza di sistemi LTI 5 1.1 Introduzione............................. 5 1.2 Analisi armonica..........................

Dettagli

DIGITAL SIGNAL PROCESSING. Prof. Marina Ruggieri. Ing. Tommaso Rossi

DIGITAL SIGNAL PROCESSING. Prof. Marina Ruggieri. Ing. Tommaso Rossi Benvenuti al al modulo di: di: ELABORAZIONE NUMERICA DEI SEGNALI 6CFU DIGITAL SIGNAL PROCESSING macroarea: Ingegneria Prof. Marina Ruggieri ruggieri@uniroma2.it Ing. Tommaso Rossi tommaso.rossi@uniroma2.it

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO fino al 22-06-2015 Fine del corso

PROGRAMMA SVOLTO fino al 22-06-2015 Fine del corso PROGRAMMA SVOLTO fino al 22-06-2015 Fine del corso Prof. Bruno Picasso LEZIONI: Introduzione al corso. Introduzione ai sistemi dinamici. I sistemi dinamici come sistemi di equazioni differenziali; variabili

Dettagli

Elaborazione numerica. Teoria dei segnali

Elaborazione numerica. Teoria dei segnali Elaborazione numerica e Teoria dei segnali Raccolta di Esercizi Fiandrino Claudio agosto 00 II Indice I Teoria dei segnali 5 Esercizi di base 7. Esercizio............................. 7. Esercizio.............................

Dettagli

Funzione reale di variabile reale

Funzione reale di variabile reale Funzione reale di variabile reale Siano A e B due sottoinsiemi non vuoti di. Si chiama funzione reale di variabile reale, di A in B, una qualsiasi legge che faccia corrispondere, a ogni elemento A x A

Dettagli

Introduzione. Margine di ampiezza... 2 Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di Bode... 6

Introduzione. Margine di ampiezza... 2 Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di Bode... 6 ppunti di Controlli utomatici Capitolo 7 parte II Margini di stabilità Introduzione... Margine di ampiezza... Margine di fase... 5 Osservazione... 6 Margini di stabilità e diagrammi di ode... 6 Introduzione

Dettagli

IL FILTRAGGIO DEL SEGNALE

IL FILTRAGGIO DEL SEGNALE CAPITOLO 4 IL FILTRAGGIO DEL SEGNALE 4.1 - SISTEMA LINEARE NON DISTORCENTE E un sistema lineare che restituisce in uscita una replica indistorta del segnale di entrata, intendendo x(t) y(t) = Ax(t-t 0

Dettagli

Una definizione di stabilità più completa di quella precedentemente introdotta fa riferimento ad una sollecitazione impulsiva.

Una definizione di stabilità più completa di quella precedentemente introdotta fa riferimento ad una sollecitazione impulsiva. 2. Stabilità Uno dei requisiti più importanti richiesti ad un sistema di controllo è la stabilità, ossia la capacita del. sistema di raggiungere un stato di equilibrio dopo la fase di regolazione. Per

Dettagli

UNIT 8 Soluzione del problema di controllo con Modelli Poveri 3 - Sintesi per tentativi degli asservimenti nel dominio della variabile complessa

UNIT 8 Soluzione del problema di controllo con Modelli Poveri 3 - Sintesi per tentativi degli asservimenti nel dominio della variabile complessa UNIT 8 Soluzione del problema di controllo con Modelli Poveri 3 - Sintesi per tentativi degli asservimenti nel dominio della variabile complessa Corso di Controlli Automatici Prof. Tommaso Leo Indice UNIT

Dettagli

9.4 Modello massimamente piatto (Maximally Flat Design)

9.4 Modello massimamente piatto (Maximally Flat Design) 9.4 Modello massimamente piatto (Maximally Flat Design) Nel capitolo 8, sono stati studiati i modello dei filtri IIR di Butterworth, che nei casi di passa-basso e passa-alto sono massimamente piatti alla

Dettagli

1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi

1 Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi Alcuni criteri di convergenza per serie a termini non negativi (Criterio del rapporto.) Consideriamo la serie a (.) a termini positivi (ossia a > 0, =, 2,...). Supponiamo che esista il seguente ite a +

Dettagli

Elementi di topologia della retta

Elementi di topologia della retta Elementi di topologia della retta nome insieme definizione l insieme è un concetto primitivo che si accetta come intuitivamente noto secondo George Cantor, il padre della teoria degli insiemi: Per insieme

Dettagli

STUDIO DI UNA FUNZIONE

STUDIO DI UNA FUNZIONE STUDIO DI UNA FUNZIONE OBIETTIVO: Data l equazione Y = f(x) di una funzione a variabili reali (X R e Y R), studiare l andamento del suo grafico. PROCEDIMENTO 1. STUDIO DEL DOMINIO (CAMPO DI ESISTENZA)

Dettagli

La funzione di risposta armonica

La funzione di risposta armonica 0.0. 3.1 1 La funzione di risposta armonica Se ad un sistema lineare stazionario asintoticamente stabile si applica in ingresso un segnale sinusoidale x(t) = sen ωt di pulsazione ω: x(t) = sin ωt (s) =

Dettagli

CONTROLLO NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA

CONTROLLO NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA SISTEMI DI CONTROLLO Ingegneria Meccanica e Ingegneria del Veicolo http://www.dii.unimore.it/~lbiagiotti/sistemicontrollo.html CONTROLLO NEL DOMINIO DELLA FREQUENZA Ing. Luigi Biagiotti e-mail: luigi.biagiotti@unimore.it

Dettagli

Coordinate Cartesiane nel Piano

Coordinate Cartesiane nel Piano Coordinate Cartesiane nel Piano O = (0,0) origine degli assi ascissa, y ordinata sistemi monometrici: stessa unità di misura sui due assi, y sistemi dimetrici: unità di misura diverse sui due assi (spesso

Dettagli

Differenziazione sistemi dinamici

Differenziazione sistemi dinamici Il controllo di sistemi ad avanzamento temporale si basa sulle tecniche di controllo in retroazione, ovvero, elabora le informazione sullo stato del processo (provenienti dai sensori) in modo sa inviare

Dettagli

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari

Anno 5 4 Funzioni reali. elementari Anno 5 4 Funzioni reali elementari 1 Introduzione In questa lezione studieremo alcune funzioni molto comuni, dette per questo funzioni elementari. Al termine di questa lezione sarai in grado di definire

Dettagli

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k

u 1 u k che rappresenta formalmente la somma degli infiniti numeri (14.1), ordinati al crescere del loro indice. I numeri u k Capitolo 4 Serie numeriche 4. Serie convergenti, divergenti, indeterminate Data una successione di numeri reali si chiama serie ad essa relativa il simbolo u +... + u +... u, u 2,..., u,..., (4.) oppure

Dettagli

Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati

Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati Analisi dei sistemi di controllo a segnali campionati Sistemi di controllo (già analizzati) Tempo continuo (trasformata di Laplace / analisi in frequenza) C(s) controllore analogico impianto attuatori

Dettagli

Prestazioni dei sistemi in retroazione

Prestazioni dei sistemi in retroazione Prestazioni dei sistemi in retroazione (ver..2). Sensitività e sensitività complementare Sia dato il sistema in retroazione riportato in Fig... Vogliamo determinare quanto è sensibile il sistema in anello

Dettagli

Introduzione al Campionamento e

Introduzione al Campionamento e Introduzione al Campionamento e all analisi analisi in frequenza Presentazione basata sul Cap.V di Introduction of Engineering Experimentation, A.J.Wheeler, A.R.Ganj, Prentice Hall Campionamento L'utilizzo

Dettagli

SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO

SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Sistemi Digitali di Controllo A.A. 9- p. /3 SISTEMI DIGITALI DI CONTROLLO Prof. Alessandro De Luca DIS, Università di Roma La Sapienza deluca@dis.uniroma.it Lucidi tratti dal libro C. Bonivento, C. Melchiorri,

Dettagli

Un sistema di controllo può essere progettato fissando le specifiche:

Un sistema di controllo può essere progettato fissando le specifiche: 3. Specifiche dei Sistemi Un sistema di controllo può essere progettato fissando le specifiche: nel dominio del tempo (tempo di salita, tempo di assestamento, sovraelongazione, ecc.); nel dominio della

Dettagli

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra

Funzioni. Parte prima. Daniele Serra Funzioni Parte prima Daniele Serra Nota: questi appunti non sostituiscono in alcun modo le lezioni del prof. Favilli, né alcun libro di testo. Sono piuttosto da intendersi a integrazione di entrambi. 1

Dettagli

13-1 SISTEMI A DATI CAMPIONATI: INTRODUZIONE. y(t) TMP. y k. Trasduttore. Schema di base di un sistema di controllo digitale

13-1 SISTEMI A DATI CAMPIONATI: INTRODUZIONE. y(t) TMP. y k. Trasduttore. Schema di base di un sistema di controllo digitale SISTEMI A DATI CAMPIONATI: INTRODUZIONE + e k u k u(t) r k C D/A P y k TMP A/D Trasduttore y(t) Schema di base di un sistema di controllo digitale A/D: convertitore analogico digitale C: controllore digitale

Dettagli

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che

VARIABILI ALEATORIE MULTIPLE E TEOREMI ASSOCIATI. Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile aleatoria, che VARIABILI ALATORI MULTIPL TORMI ASSOCIATI Fonti: Cicchitelli Dall Aglio Mood-Grabill. Moduli 6 9 0 del programma. VARIABILI ALATORI DOPPI Dopo aver trattato delle distribuzioni di probabilità di una variabile

Dettagli

Stabilità dei sistemi

Stabilità dei sistemi Stabilità dei sistemi + G(s) G(s) - H(s) Retroazionati Sistemi - Stabilità - Rielaborazione di Piero Scotto 1 Sommario In questa lezione si tratteranno: La funzione di trasferimento dei sistemi retroazionati

Dettagli

Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza

Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza Revisione dei concetti fondamentali dell analisi in frequenza rgomenti: trasformazione in frequenza: significato e funzionamento; schemi di rappresentazione; trasformata discreta. 1 Rappresentazione dei

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Funzioni di trasferimento Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 0532 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1 Funzioni di trasferimento

Dettagli

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI

SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI SULLE FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE E LORO GRAFICI.Definizioni e insieme di definizione. Una funzione o applicazione f è una legge che ad ogni elemento di un insieme D ( dominio )fa corrispondere un

Dettagli

Fondamenti di Automatica

Fondamenti di Automatica Fondamenti di Automatica Progetto di controllo e reti correttrici Dott. Ing. Marcello Bonfè Dipartimento di Ingegneria - Università di Ferrara Tel. +39 053 974839 E-mail: marcello.bonfe@unife.it pag. 1

Dettagli

Margine di fase e margine di guadagno

Margine di fase e margine di guadagno Margine di fase e margine di guadagno Prendiamo in considerazione sistemi per i uali la funzione ad anello aperto, L(s), sia stabile e non presenti dunue, poli a parte reale positiva. In tal caso il criterio

Dettagli

Differenziazione sistemi dinamici

Differenziazione sistemi dinamici Obiettivo: analisi e sintesi dei sistemi di controllo in retroazione in cui è presente un calcolatore digitale Il controllo digitale è ampiamente usato, grazie alla diffusione di microprocessori e microcalcolatori,

Dettagli

Modellazione e Analisi di Reti Elettriche

Modellazione e Analisi di Reti Elettriche Modellazione e Analisi di eti Elettriche Modellazione e Analisi di eti Elettriche Davide Giglio Introduzione alle eti Elettriche e reti elettriche costituite da resistori, condensatori e induttori (bipoli),

Dettagli

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2014

SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2014 SOLUZIONE DEL PROBLEMA 1 CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 01 1. Determiniamo l espressione analitica di g() dividendo il suo dominio in intervalli. La circonferenza di diametro AO ha equazione (+) + = + + = 0

Dettagli

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO

SIMULAZIONE DI PROVA D ESAME CORSO DI ORDINAMENTO SIMULAZINE DI PRVA D ESAME CRS DI RDINAMENT Risolvi uno dei due problemi e 5 dei quesiti del questionario. PRBLEMA Considera la famiglia di funzioni k ln f k () se k se e la funzione g() ln se. se. Determina

Dettagli

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue:

SEGNO DELLA FUNZIONE. Anche in questo caso, per lo studio del segno della funzione, occorre risolvere la disequazione: y > 0 Ne segue: CAMPO DI ESISTENZA. Poiché la funzione data è una razionale fratta, essa risulta definita su tutto l asse reale tranne che nei punti in cui il denominatore della frazione si annulla, cioè: C.E. { R: 0}

Dettagli

RAPPRESENTAZIONE DI UN SEGNALE DETERMINISTICO NEL DOMINIO DEL TEMPO

RAPPRESENTAZIONE DI UN SEGNALE DETERMINISTICO NEL DOMINIO DEL TEMPO CAPITOLO RAPPRESENTAZIONE DI UN SEGNALE DETERMINISTICO NEL DOMINIO DEL TEMPO. - APPROSSIMAZIONE DI UN SEGNALE Si è detto che un segnale deterministico è rappresentabile analiticamente con una funzione

Dettagli

Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica Corso di Trasmissione Numerica (6 crediti) Prova scritta 16.02.2006

Corso di Laurea in Ingegneria Biomedica Corso di Trasmissione Numerica (6 crediti) Prova scritta 16.02.2006 Prova scritta 16.02.2006 D. 1 Si derivi l espressione dei legami ingresso-uscita, nel dominio del tempo per le funzioni di correlazione nel caso di sistemi LTI e di segnali d ingresso SSL. Si utilizzi

Dettagli

Sistema dinamico a tempo continuo

Sistema dinamico a tempo continuo Sistema dinamico a tempo continuo Un sistema è un modello matematico di un fenomeno fisico: esso comprende le cause e gli effetti relativi al fenomeno, nonché la relazione matematica che li lega. X INGRESSO

Dettagli

Relazioni statistiche: regressione e correlazione

Relazioni statistiche: regressione e correlazione Relazioni statistiche: regressione e correlazione È detto studio della connessione lo studio si occupa della ricerca di relazioni fra due variabili statistiche o fra una mutabile e una variabile statistica

Dettagli

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni

Applicazioni del calcolo differenziale allo studio delle funzioni Capitolo 9 9.1 Crescenza e decrescenza in piccolo; massimi e minimi relativi Sia y = f(x) una funzione definita nell intervallo A; su di essa non facciamo, per ora, alcuna particolare ipotesi (né di continuità,

Dettagli

Studio dei segnali nel dominio della frequenza. G. Traversi

Studio dei segnali nel dominio della frequenza. G. Traversi Studio dei segnali nel dominio della frequenza G. Traversi Segnali periodici e serie di Fourier Una funzione periodica f(t) di periodo T (purché integrabile) è esprimibile con una serie del tipo: f (t)

Dettagli

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto:

Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con la spesa totale nel mese e con il costo medio al minuto: PROBLEMA 1. Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando

Dettagli

Parte 6. Applicazioni lineari

Parte 6. Applicazioni lineari Parte 6 Applicazioni lineari A Savo Appunti del Corso di Geometria 203-4 Indice delle sezioni Applicazioni fra insiemi, 2 Applicazioni lineari tra spazi vettoriali, 2 3 Applicazioni lineari da R n a R

Dettagli

I appello - 24 Marzo 2006

I appello - 24 Marzo 2006 Facoltà di Ingegneria - Corso di Laurea in Ing. Energetica e Gestionale A.A.2005/2006 I appello - 24 Marzo 2006 Risolvere gli esercizi motivando tutte le risposte. I.) Studiare la convergenza puntuale,

Dettagli

Analisi Complessa. Prova intermedia del 7 novembre 2002 - Soluzioni. (z 11 1) 11 1 = 0.

Analisi Complessa. Prova intermedia del 7 novembre 2002 - Soluzioni. (z 11 1) 11 1 = 0. Analisi Complessa Prova intermedia del 7 novembre 2002 - Soluzioni Esercizio. Si consideri l equazione z 0. Quante soluzioni distinte esistono in C? Quante di esse sono contenute all interno del disco

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 Sessione straordinaria

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2003 Sessione straordinaria ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 3 Sessione straordinaria Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA È assegnata

Dettagli

COMPITO DI SEGNALI E SISTEMI 18 Dicembre 2004

COMPITO DI SEGNALI E SISTEMI 18 Dicembre 2004 COMPIO DI SEGNALI E SISEMI 8 Dicembre 4 Esercizio Si consideri il modello di stato a tempo discreto descritto dalle seguenti equazioni: x(k + = Ax(k + Bu(k = x(k + u(k, v(k = Cx(k = [ ] x(k, k Z + i Si

Dettagli

Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2015/16)

Diario del corso di Analisi Matematica 1 (a.a. 2015/16) Diario del corso di Analisi Matematica (a.a. 205/6) 4 settembre 205 ( ora) Presentazione del corso. 6 settembre 205 (2 ore) Numeri naturali, interi, razionali, reali. 2 non è razionale. Introduzione alle

Dettagli

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE

~ Copyright Ripetizionando - All rights reserved ~ http://ripetizionando.wordpress.com STUDIO DI FUNZIONE STUDIO DI FUNZIONE Passaggi fondamentali Per effettuare uno studio di funzione completo, che non lascia quindi margine a una quasi sicuramente errata inventiva, sono necessari i seguenti 7 passaggi: 1.

Dettagli

21. Studio del grafico di una funzione: esercizi

21. Studio del grafico di una funzione: esercizi 1. Studio del grafico di una funzione: esercizi Esercizio 1.6. Studiare ciascuna delle seguenti funzioni in base allo schema di pagina 194, eseguendo anche il computo della derivata seconda e lo studio

Dettagli

FONDAMENTI DI AUTOMATICA / CONTROLLI AUTOMATICI

FONDAMENTI DI AUTOMATICA / CONTROLLI AUTOMATICI FONDAMENTI DI AUTOMATICA / CONTROLLI AUTOMATICI Guida alla soluzione degli esercizi d esame Dott. Ing. Marcello Bonfè Esercizi sulla scomposizione di modelli nello spazio degli stati: Gli esercizi nei

Dettagli

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali

( x) ( x) 0. Equazioni irrazionali Equazioni irrazionali Definizione: si definisce equazione irrazionale un equazione in cui compaiono uno o più radicali contenenti l incognita. Esempio 7 Ricordiamo quanto visto sulle condizioni di esistenza

Dettagli

Rette e curve, piani e superfici

Rette e curve, piani e superfici Rette e curve piani e superfici ) dicembre 2 Scopo di questo articolo è solo quello di proporre uno schema riepilogativo che metta in luce le caratteristiche essenziali delle equazioni di rette e curve

Dettagli

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica

Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Giulio Donato Broccoli Guida pratica per la prova scritta di matematica della maturità scientifica Comprende: Metodi matematici fondamentali per affrontare i temi assegnati Esercizi interamente svolti

Dettagli