Lezione. Tecnica delle Costruzioni

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1 Lezione Tecnica delle Costruzioni 1

2 Flessione composta tensoflessione

3 Risposta della sezione Campo elastico σ + A I

4 Risposta della sezione Al limite elastico el, Per calcolare el, : σ A + el, I f f + el, el, f W A W el el A

5 Risposta della sezione Campo inelastico -f σ f Incrementando il momento flettente le deformazioni plastiche si propagano fino alla completa plasticizzazione della sezione

6 Comportamento ultimo -f pl, σ f Per calcolare pl, : 1. Bisogna prima determinare la posizione dell asse neutro, dall equilibrio alla traslazione; 2. Si determina poi pl, imponendo l equilibrio alla rotazione rispetto all asse baricentrico.

7 Comportamento ultimo -f c n pl, 1. Determinazione dell asse neutro c + t (equilibrio alla traslazione) c -f A c t f A t σ f Asse neutro t

8 Comportamento ultimo -f c n c pl, t σ f t 2. Calcolo di pl, + f (A A ) pl, t t c c t t c c c -f A c t f A t

9 Verifica di resistenza Stato limite ultimo Classe 1 e 2 -f pl, Classe 3 f el, f

10 Verifica di resistenza Stato limite ultimo Classe 1 e 2 f 0 pl, f Ed pl,, Rd Classe 3 0 el, f 0 Ed el,, Rd

11 Domini di resistenza Stato limite ultimo Dominio di resistenza, o curva di interazione insieme delle coppie - per cui si ottiene lo stato limite ultimo della sezione Per ricavare una coppia - del dominio Sezione 1. Si assegna una posizione dell asse neutro 2. Si determina 3. Si determina ( pl, o el, )

12 Domini di resistenza Stato limite ultimo Dominio di resistenza, o curva di interazione insieme delle coppie - per cui si ottiene lo stato limite ultimo della sezione Per ricavare una coppia - del dominio (, ) 1. Si assegna l asse neutro 2. Si determina 3. Si determina ( pl, o el, ) 4. Si riporta la coppia nel diagramma

13 Esempio di dominio Sezione rettangolare (solo ideale) - f 0 b (h 2 ) f 0 h f + b (h ) f 0 b 0 bh 4 2 f b 2 0 f

14 Esempio di dominio Sezione rettangolare (solo ideale) h b Il dominio ha un andamento parabolico Questo vale in sostanza per un doppio T caricato nel piano debole

15 Domini di resistenza Sezioni di classe 1 e 2 pl,rd ( 0) Tratto parabolico Tratto lineare pl,rd W pl 0 f pl,rd ( 0) pl,rd A f 0

16 Domini di resistenza Sezioni di classe 1 e 2 Caratteristiche plastiche W f pl,rd pl 0 pl,rd pl,rd A f pl,rd pl,rd pl,,rd pl,rd ( ) pl,,rd1.11 pl,rd 1- pl,rd 0 1. pl,rd > 0 1. pl,rd

17 Domini di resistenza Sezioni di classe 1 e 2 Caratteristiche plastiche W f pl,rd pl 0 pl,rd pl,rd A f 0 Approssimazione tradizionale, cautelativa Eurocodice 3, pl,rd pl,rd pl,,rd pl,rd 0 1. pl,rd ( ) pl,,rd1.11 pl,rd 1- pl,rd > 0 1. pl,rd

18 Domini di resistenza Approccio più preciso, ma meno cautelativo pl,rd a A 2 b t A f 0.5 (differenze più forti per gli IPE, meno forti per gli HE) a 2 pl,rd pl,rd pl,,rdpl,rd pl,rd a 2 ( ) ( ) pl,,rdpl,rd 1- pl,rd a > a 2 pl,rd

19 Domini di resistenza Sezioni di classe 3 ota la relazione f 0 + A W e sostituendo: el,,rd el el,rd ( 0) Poiché il comportamento della sezione è lineare el,rd W el f 0 e 0 pl,rd f A pl,rd ( 0) si ottiene ( ) el,,rdel,rd 1- pl,rd

20 Verifica di resistenza Esempio Ed 210 km Ed 1500 k Sezione HEB300 (S235) A 149 cm 2 W pl 1868 cm 3 1. Classe della sezione Anima: Flangia: cw ε t 11 w c t f ε La sezione appartiene alla classe 1.

21 Verifica di resistenza Esempio Ed 210 km Ed 1500 k Sezione HEB300 (S235) A 149 cm 2 W pl 1868 cm 3 2. Determinazione di pl,rd ed pl,rd f A pl,rd k f W pl pl,rd km

22 Verifica di resistenza Esempio Ed 210 km Ed 1500 k 3. Determinazione di α Sezione HEB300 (S235) A 149 cm 2 W pl 1868 cm 3 b300 mm t19 mm a a 2 A 2 b t A f pl,rd k 0.235

23 Verifica di resistenza Esempio Ed 210 km Ed 1500 k Sezione HEB300 (S235) pl,rd pl,rd k km 4. Determinazione di pl,,rd e verifica 1500 k a k Ed pl,rd Ed 1 pl,,rdpl,rd km > Ed210.0 km pl,rd La sezione è verificata

24 Domini di resistenza omento agente attorno all asse debole Il dominio plastico dipende dalla forma della sezione pl,rd el,rd a A 2 b t A f 0.5 Il dominio al limite elastico O a pl,rd pl,rd pl,,rd pl,,rd pl,rd pl,rd 1 / 1 pl,rd a a 2 > a pl,rd a pl,rd

25 Flessione composta pressoflessione

26 Domini di resistenza Stato limite ultimo Si possono ottenere semplicemente ribaltando il dominio - costruito nel caso di tenso-flessione? Va bene per la singola sezione, ma per l asta bisogna tener conto dell instabilità Compressione pl,rd Trazione - pl,rd pl,rd

27 Costruzione dei domini di resistenza 1. pl,rd - pl,rd

28 Costruzione del domini di resistenza 1. 1 b,rd pl,rd pl,rd 1. 1 b,rd, pl,rd 1

29 Costruzione del domini di resistenza pl,rd 1. 1 b,rd, pl,rd 1

30 Costruzione del domini di resistenza pl,rd 1. 1 b,rd, pl,rd 1

31 Costruzione del domini di resistenza b,rd pl,rd 1. 1 b,rd, pl,rd < b,rd, 2 < pl,rd

32 Costruzione del domini di resistenza 3. pl,rd 3 pl,rd pl,rd 1. 1 b,rd, pl,rd < b,rd, 2 < pl,rd

33 Costruzione del domini di resistenza 3. pl,rd 3 pl,rd L asta si plasticizza e collassa in assenza di sforzo normale pl,rd b,rd, pl,rd < b,rd, 2 < pl,rd , 3 pl,rd Collegando i punti si ottiene il dominio

34 Influenza della snellezza Il dominio dipende dalla snellezza dell asta: - L ampiezza del dominio si riduce all aumentare della snellezza; pl,rd - pl,rd λ λ λ 1.5 λ λ λ 1.5

35 Influenza della snellezza Il dominio dipende dalla snellezza dell asta: - el caso di aste tozze coincide con quello per presso-flessione della sezione pl,rd Asta tozza - pl,rd λ λ λ 1.5 λ λ λ 1.5

36 Influenza della snellezza Il dominio è simmetrico per aste con sezione trasversale simmetrica pl,rd Asta tozza - pl,rd λ λ λ 1.5 λ λ λ 1.5

37 Influenza del diagramma del momento 1. Distribuzione di momenti tipo 1 λ 1.5 pl,rd - pl,rd

38 Influenza del diagramma del momento 1. 1 omenti tipo 1 λ 1.5 pl,rd 1. - Tipo 1 pl,rd

39 Influenza del diagramma del momento 2. Distribuzione di momenti tipo 2 λ 1.5 pl,rd 1. - Tipo 1 pl,rd

40 Influenza del diagramma del momento 2. 2 omenti tipo 2 λ 1.5 Tipo 2 pl,rd 1. - Tipo 1 pl,rd 2.

41 Influenza del diagramma del momento - 3. Distribuzione di momenti tipo 3 λ 1.5 Tipo 2 - Tipo 1 pl,rd pl,rd 1. 2.

42 Influenza del diagramma del momento omenti tipo 3 λ pl,rd pl,rd Tipo 2 Tipo 3 Tipo

43 Influenza del diagramma del momento Il dominio dipende dal diagramma del momento fl.: - L ampiezza del dominio aumenta passando dal diagramma di tipo 1 a quello di tipo 3. λ pl,rd pl,rd Tipo 2 Tipo 3 Tipo

44 Verifica di resistenza Stato limite ultimo E possibile usare un approccio semplificato. Se non vi è rischio di instabilità flesso-torsionale, occorre controllare che: o, in sostanza: Ed brd Ed 1 χ fa f W 1- f W 1- +,Rd,eq,Ed 1 Ed cr, Circolare, punto metodo A,eq,Ed 1,eq,Ed min k Ed Ed k k cr, cr, +,Rd,eq,Ed 1 Ed cr, 1 1 cr è il carico critico Euleriano

45 Verifica di resistenza Stato limite ultimo Il momento equivalente eq,ed tiene conto della variazione del momento nell asta e può essere preso pari a 1.3 dove: eq,ed m,ed m,ed è il valore medio del momento nell asta ed essendo comunque 0.75 ma, Ed eq,ed ma, Ed

46 Verifica di resistenza Stato limite ultimo Per asta vincolata agli estremi con momento variabile linearmente si può assumere eq,ed 0.6 a 0.4 b dove: a è il massimo tra i due ed il segno si riferisce al verso della coppia (se a - b il diagramma di è costante e eq,ed a ) ed essendo comunque eq,ed 0.4 a

47 Verifica di resistenza Esempio F 1 F 2 a F k F 2 60 k 3.50 b a 120 km b 0 k 2.00 Ed -860 k, Ed eq 72 km

48 Verifica di resistenza Esempio F 1 F 2 a Sezione HEB300 (S235) A 149 cm W pl 1868 cm 3 b pl,rd km 2.00 brd k cr π 2 E I l 2 0 instabilità intorno a l m instabilità intorno a cr k

49 Verifica di resistenza Esempio 3.50 F 1 F 2 a Sezione HEB300 (S235) A 149 cm 2 W pl 1868 cm b pl,rd km brd k brd, k Ed brd Ed ,Rd cr,,eq,ed

50 Considerazioni L asta si instabilizza nel piano di minor resistenza Ed λ χ b,rd, λ χ b,rd, Se λ > λ b,rd, < b,rd, b,rd b,rd, L instabilità si verifica nel piano ortogonale all asse

51 Considerazioni L asta si instabilizza nel piano di minor resistenza λ > λ Ed, Ed b,rd, < b,rd, b,rd b,rd, L instabilità si verifica nel piano ortogonale all asse La presenza di un momento Ed favorisce l instabilità dell asta quanto un momento Ed? Probabilmente O

52 Verifica di resistenza Stato limite ultimo In alternativa, occorre controllare che: χ Ed 1 A f k + k Ed, W f k 1 + k Ed, W f k 1 1 χ Ed A f 1 k + k W Ed, f k 1 + k W Ed, f k 1 1 Circolare, punto metodo B Eurocodice 3, punto e annesso B

53 Verifica di resistenza Stato limite ultimo In alternativa, occorre controllare che: χ Ed 1 A f k + k Ed, W f k 1 + k Ed, W f k 1 1 χ Ed A f 1 k + k W Ed, f k 1 + k W Ed, f k 1 1 espressioni analoghe a quella del etodo A se 1 eq,ed Ed cr k Ed Circolare, punto metodo B Eurocodice 3, punto e annesso B

54 Verifica di resistenza Stato limite ultimo In alternativa, occorre controllare che: χ Ed 1 A f k + k Ed, W f k 1 + k Ed, W f k 1 1 χ Ed A f 1 k + k W Ed, f + k Si noti che: 1. brd è calcolato separatamente nelle due direzione 2. i coefficienti k sono diversi per le due direzioni k 1 W Ed, f k 1 1 Circolare, punto metodo B Eurocodice 3, punto e annesso B

55 Verifica di resistenza Stato limite ultimo In alternativa, occorre controllare che: k χ χ Ed Ed A f A f 1 k 1 k + k + k Ed, W W Ed, f f k k k + k Le espressioni per il calcolo dei k sono complesse - snellezza dell asta, k,k, k dipendono da: - diagramma del momento - sforzo normale Ed, W W Ed, f f k k Circolare, punto metodo B Eurocodice 3, punto e annesso B

56 Fattori d interazione k, k k k Sezioni a doppio T di classe 1 e 2 k C m 1 + k 0.6 k + ( ) Ed Ed λ 0.2 Cm b,rd, b,rd, k 0.6 k k C m ( ) Ed Ed 2λ 0.6 Cm b,rd, b,rd, Per presso-flessione retta con Ed, 0 si assume k 0 Eurocodice 3, annesso B

57 Fattore di momento equivalente m m m m m m m m m m,ed

58 Fattore di momento equivalente m m m m m ota: nella Circolare è indicato con α m quello che qui (sull EC3) è m indicato con C m m m m m,ed

59 Fattori di momento uniforme equivalente C m e C m m m m m m m m m Eurocodice 3, annesso B

60 Verifica di resistenza Esempio F 1 F 2 a F k F 2 60 k 3.50 b a 120 km b 0 k 2.00 Ed -860 k ψ 0 ψ C m ψ 0.6

61 Verifica di resistenza Esempio F 1 F 2 a λ χ b λ χ Ed k Cm 1+ ( λ -0.2 ) ( ) χ Af brd,

62 Verifica di resistenza Esempio F 1 F 2 a λ χ b λ χ Ed 1 k Cm χ Af Ok, quindi k 0.614

63 Verifica di resistenza Esempio F 1 F 2 a 3.50 b Ed 1 k,ed χ <1 Af W f pl, brd, pl,rd, Con il etodo A era 0.480

64 Verifica di resistenza Esempio F 1 F 2 a 3.50 b 2.00 Perché k 0 Ed 1 k,ed χ Af W f pl, Verifica di stabilità con sforzo normale centrato

65 Domini di resistenza presso-flessione retta (etodo A),Ed 3.50 Ed Ed HEB 300 Ed brd +,Rd,eq,Ed 1 Ed cr, 1,Ed ψ,eq,ed 0.6 a 0.4 b a b a C m

66 Domini di resistenza presso-flessione retta (etodo A),Ed 3.50 Ed Ed HEB 300 C,Rd 1 * k Ed m,ed brd + Ed cr, 1

67 Domini di resistenza presso-flessione retta (etodo A),Ed 3.50 Ed Ed HEB 300 k Ed brd * + 1 k * Cm Rd, Ed cr, Ed, 1 pl,,rd km brd k cr, k ψ C m B a 0 ( ψ) 4 0.6

68 Domini di resistenza presso-flessione retta (etodo A),Ed 3.50 Ed Ed HEB 300 Ed brd + k * Costruisco il dominio per punti Fisso Ed Rd, Ed, 1 * k pl,,rd km brd k cr, k Ed, 1 Rd, Ed * k brd

69 Domini di resistenza presso-flessione retta (etodo B),Ed 3.50 Ed Ed HEB 300 Ed + Ed, 1 brd, k Rd, pl,,rd km brd, k k vedi EC3 ( ψ) C m ψ a 0 B

70 Domini di resistenza presso-flessione retta (etodo B),Ed 3.50 Ed Ed HEB 300 Ed brd, + k Rd, Ed, 1 pl,,rd km brd, k Costruisco il dominio per punti Fisso Ed k Ed, 1 Rd, Ed k brd,

71 Domini di resistenza presso-flessione retta (etodo A vs etodo B),Ed Ed Ed et. B et. A Il dominio costruito con il etodo A è più conservativo Il confronto è confermato anche cambiando: - Diagramma omento - Snellezza -400

72 Domini di resistenza presso-flessione retta (etodo A vs etodo B),Ed Ed Ed et. B et. A Le differenze crescono con la snellezza Bisogna tenere conto che non si può comunque superare b,rd b,rd -400

73 Domini di resistenza presso-flessione retta (etodo A vs etodo B),Ed Ed Ed HEB 300 S235 et. A et. B Il domini si costruiscono allo stesso modo I due domini sono quasi coincidenti

74 Domini di resistenza presso-flessione retta (etodo A vs etodo B),Ed Ed Ed HEB 300 S235 et. A et. B -140 I due domini sono quasi coincidenti anche in altre condizioni

75 FIE

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