INDICE. Unità 7 DALLA CIRCONFERENZA AI POLIGONI REGOLARI, 1 CIRCONFERENZA E CERCHIO, 2 PARTI DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO, 3

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1 INIE Unità 7 LL IRONFERENZ I POLIGONI REGOLRI, Il libro prosegue nel 7. IRONFERENZ E ERIO, ESERIZI da p. 7. PRTI ELL IRONFERENZ E EL ERIO, Le parti della circonferenza, Le parti del cerchio, 7. NGOLI E IRONFERENZ, 6 ngoli al centro, 6 ngoli alla circonferenza, 6 Relazione tra angoli al centro e angoli alla circonferenza, 7 7. IRONFERENZE E RETTE NEL PINO, 8 Posizioni di una retta rispetto a una circonferenza, 8 Posizioni reciproche di due circonferenze, POLIGONI INSRITTI IN UN IRONFERENZ, 0 ondizione di inscrittibilità dei poligoni, POLIGONI IROSRITTI UN IRONFERENZ, ondizione di circoscrittibilità dei poligoni, 7.7 POLIGONI REGOLRI, 6 Proprietà dei poligoni regolari, 6 Il cammino della matematica: rchimede, un genio universale, 9 SINTESI, 0 llenamente, 58 MTEMTI ON IL P: irconferenze e poligoni, 59 ESERIZI da p. ESERIZI da p. 7 ESERIZI da p. ESERIZI da p. 5 ESERIZI da p. 9 ESERIZI da p. per la VERIFI orale, 8 per PREPRRSI all esame, 8 PINO RTESINO, 8 UTOVERIFI, 9 ESERIZI per il recupero, 50 ESERIZI per il potenziamento, 56

2 IV Indice Unità 8 RE EI POLIGONI, 6 Il libro prosegue nel 8. EQUIVLENZ E EQUISOMPONIILITÀ ELLE FIGURE PINE, 6 Equivalenza, 6 Equiscomponibilità per somma, 6 Equiscomponibilità per differenza, 6 ESERIZI da p MISUR ELL SUPERFIIE, 65 ESERIZI da p RE EL RETTNGOLO E EL QURTO, 66 rea del rettangolo, 66 rea del quadrato, 67 ESERIZI da p RE EL PRLLELOGRMMO, 69 ESERIZI da p RE EL TRINGOLO, 7 Il triangolo rettangolo, 7 Formula di Erone, 7 ESERIZI da p RE EL ROMO, 7 ESERIZI da p. 8.7 RE EL TRPEZIO, 76 LORTORIO matematico: Trasformazione del trapezio in triangolo, RE EI POLIGONI REGOLRI, 78 Relazione tra lato e apotema nei poligoni regolari, 79 alcolo dell area o del lato con i numeri fissi, 80 Il cammino della matematica: Le invenzioni di Erone, 8 SINTESI, 8 llenamente, MTEMTI ON IL P: rea dei poligoni, ESERIZI da p. 9 ESERIZI da p. 5 per la VERIFI orale, 8 per PREPRRSI all esame, 8 PINO RTESINO, 0 UTOVERIFI, ESERIZI per il recupero, ESERIZI per il potenziamento, 9 Unità 9 IL TEOREM I PITGOR, 5 9. LE TERNE PITGORIE, 6 he cosa sono le terne pitagoriche, 6 ome si generano le terne pitagoriche, 7 9. IL TEOREM I PITGOR, 8 LORTORIO matematico: Verifica del teorema di Pitagora, 9 ESERIZI da p. 6 ESERIZI da p. 6 Il libro prosegue nel

3 Indice V 9. PPLIZIONI EL TEOREM I PITGOR, 50 alcolo della misura dell ipotenusa, 50 alcolo della misura di un cateto, 5 9. IL TEOREM I PITGOR NEI POLIGONI, 5 Triangolo isoscele, 5 Triangolo equilatero, 5 Quadrato, 5 Rettangolo, 5 Rombo, 5 Parallelogrammo, 5 Trapezio rettangolo, 5 Trapezio isoscele, 5 Poligoni regolari, IL TEOREM I PITGOR NELL IRONFERENZ, 56 Triangolo inscritto in una semicirconferenza, 56 istanza di una corda dal centro della circonferenza, 56 Tangente alla circonferenza da un punto P, 57 Il cammino della matematica: Il teorema di Pitagora, 59 SINTESI, 60 llenamente, 0 MTEMTI ON IL P: Verifica del teorema di Pitagora, 0 ESERIZI da p. 68 ESERIZI da p. 7 ESERIZI da p. 88 per la VERIFI orale, 58 per PREPRRSI all esame, 58 PINO RTESINO, 90 UTOVERIFI, 9 ESERIZI per il recupero, 9 ESERIZI per il potenziamento, 98 Unità 0 LE TRSFORMZIONI ISOMETRIE, 05 Il libro prosegue nel 0. ONGRUENZ E ISOMETRIE, 06 Movimento e congruenza diretti, 06 Movimento e congruenza inversi, 06 Il concetto di trasformazione geometrica, 07 Le trasformazioni isometriche, L TRSLZIONE, 09 Il vettore, 09 La traslazione, 0 ESERIZI da p. ESERIZI da p L ROTZIONE, ESERIZI da p L SIMMETRI SSILE, Punti uniti, 0.5 L SIMMETRI ENTRLE, 5 La simmetria centrale di un punto, 5 La simmetria centrale di un segmento, 5 La simmetria centrale di un poligono, L SIMMETRI NEI POLIGONI, 8 Figure con assi di simmetria, 8 Figure con centro di simmetria, 9 SINTESI, llenamente, 50 MTEMTI ON IL P: Trasformazioni isometriche, 5 ESERIZI da p. ESERIZI da p. 9 ESERIZI da p. per la VERIFI orale, per PREPRRSI all esame, PINO RTESINO, UTOVERIFI, ESERIZI per il recupero, ESERIZI per il potenziamento, 8

4 VI Indice Unità OMOTETIE E SIMILITUINI, 5 Il libro prosegue nel L OMOTETI, 5. ESERIZI da p. 78. L SIMILITUINE, 57 Poligoni simili, 59. I RITERI I SIMILITUINE EI TRINGOLI, 6 Primo criterio di similitudine, 6 Secondo criterio di similitudine, 6 Terzo criterio di similitudine, 6. LE PROPRIETÀ EI POLIGONI SIMILI, 6 Misure lineari, 6 Misure di superficie, 6.5 I TEOREMI I EULIE, 66 Primo teorema di Euclide, 66 Secondo teorema di Euclide, 67.6 LE RPPRESENTZIONI IN SL, 69 Riduzioni, 69 Ingrandimenti, 70.7 IL TEOREM I TLETE, 7 Triangolo tagliato da una parallela a un lato, 7 Il cammino della matematica: Euclide, 75 SINTESI, 76 llenamente, 0 MTEMTI ON IL P: Le omotetie, Soluzioni, Tavole numeriche, 5 ESERIZI da p. 8 ESERIZI da p. 89 ESERIZI da p. 9 ESERIZI da p. 99 ESERIZI da p. 0 ESERIZI da p. 08 per la VERIFI orale, 7 per PREPRRSI all esame, 7 PINO RTESINO, 08 UTOVERIFI, 0 ESERIZI per il recupero, ESERIZI per il potenziamento, 6

5 LE FIGURE GEOMETRIE Unità 9 IL TEOREM I PITGOR Le terne pitagoriche Il teorema di Pitagora pplicazioni del teorema di Pitagora Il teorema di Pitagora nei poligoni Il teorema di Pitagora nella circonferenza SPERE avrai acquisito il concetto di terna pitagorica avrai appreso il teorema di Pitagora SPER FRE saprai riconoscere e generare una terna pitagorica saprai applicare il teorema di Pitagora in varie situazioni saprai risolvere problemi utilizzando il teorema di Pitagora

6 6 Unità 9 Il teorema di Pitagora 9. LE TERNE PITGORIE Esercizi a p. 6 he cosa sono le terne pitagoriche Se costruiamo un triangolo con tre cannucce lunghe cm, cm e 5 cm, si può verificare (con la squadra o il goniometro) che, comunque si dispongano le cannucce, l angolo compreso tra il lato di cm e quello di cm è un angolo retto. llo stesso modo possiamo verificare che, utilizzando cannucce lunghe 5 cm, cm e cm, l angolo compreso tra i lati di 5 cm e di cm è ancora un angolo retto. Oltre a questa particolare proprietà, cioè quella di formare angoli retti, le due terne di numeri hanno un altra proprietà interessante. onsideriamo la prima terna: 5 Eleviamo ciascun numero al quadrato: = 9 = 6 5 = 5 Se addizioniamo i primi due risultati, otteniamo il terzo: = 5 Ripetiamo lo stesso procedimento con la seconda terna: 5 5 = 5 = = = 69 tutte le terne di numeri che hanno questa caratteristica viene dato il nome di terna pitagorica. Una terna pitagorica è costituita da tre numeri a, b e c tali che addizionando i quadrati dei primi due si ottiene il quadrato del terzo numero: a + b = c Grazie alle proprietà delle terne: i triangoli i cui lati corrispondono a una terna pitagorica sono triangoli rettangoli e l angolo retto è quello compreso tra i due lati più corti. 5, e è una terna pitagorica l angolo retto è compreso tra i due lati minori Osserva che Non tutte le terne di numeri sono terne pitagoriche. 5 6 non è una terna pitagorica = 6 5 = 5 6 = π 6

7 LE FIGURE GEOMETRIE 9. Le terne pitagoriche 7 ome si generano le terne pitagoriche onsideriamo la terna pitagorica, e 5 e moltiplichiamo ciascun termine per. Otteniamo la terna 6, 8 e 0. Possiamo verificare che è una terna pitagorica. Infatti, addizionando i quadrati dei primi due numeri otteniamo ancora il quadrato del terzo: 6 = 6 8 = 6 0 = 00 e = 00 Questa nuova terna prende il nome di terna derivata. Una terna pitagorica si dice primitiva se è formata da numeri primi tra loro. Una terna pitagorica si dice derivata se si ottiene moltiplicando i numeri di una terna primitiva per uno stesso fattore diverso da 0. Esempi, e 5 è una terna pitagorica primitiva 9, e 5 è una terna pitagorica derivata Esempio mio è una terna pitagorica derivata Sviluppa l intuito iofanto, un matematico greco del III secolo d.. circa, scoprì una formula per calcolare terne pitagoriche a, b e c dati due numeri naturali qualsiasi m e n (con m > n): a = m n b = m n c = m + n Per esempio, per m = e n = : a = = b = = c = + = 5 ome abbiamo già visto,, e 5 è proprio una terna pitagorica. Ora calcola tu la terna pitagorica, per m = 5 e n =, e poi verifica che sia una terna pitagorica. pplica Individua le terne pitagoriche. a b c a b c calcolo laboratorio nel : ostruzione di un angolo retto usando uno spago è una terna pitagorica?

8 8 Unità 9 Il teorema di Pitagora 9. IL TEOREM I PITGOR Esercizi a p. 6 La proprietà delle terne pitagoriche di corrispondere alle misure dei lati dei triangoli rettangoli era nota molto tempo prima di Pitagora, ma solo per terne particolari e per via empirica, cioè non era stata data alcuna dimostrazione generale della sua validità. È merito di Pitagora (o forse di un suo allievo) avere dato questa dimostrazione e averne tratto conclusioni generali di grande importanza per la cultura matematica. onsideriamo un triangolo rettangolo qualsiasi. ostruiamo sull ipotenusa un quadrato Q l e sui cateti due quadrati Q e Q. Il teorema di Pitagora afferma che l area del quadrato Q l è uguale alla somma delle aree dei due quadrati Q e Q. Q = Q + Q Inoltre, se indichiamo con i l ipotenusa e con c e c i cateti del triangolo rettangolo, potremo scrivere: Q = i perché i è il lato del quadrato Q Q = c perché c è il lato del quadrato Q Q = c perché c è il lato del quadrato Q Quindi: i = c + c In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. E, viceversa, se il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti, allora il triangolo è sicuramente un triangolo rettangolo. Esempio I lati di un triangolo misurano 6 dm, 8 dm e 0 dm. Il triangolo è rettangolo perché le misure dei lati corrispondono a una terna pitagorica. Infatti: i = 0 dm = 00 dm c = 6 dm = 6 dm c = 8 dm = 6 dm e 00 dm = (6 + 6) dm Esempio mio Osserva che In matematica spesso si parla di condizione necessaria e di condizione sufficiente. Per esempio, condizione necessaria affinché un quadrilatero sia un quadrato è che abbia tutti i lati tra loro congruenti, ma questa condizione non è sufficiente. Infatti anche il rombo ha tutti i lati tra loro congruenti, ma non è un quadrato. Una proprietà può essere contemporaneamente una condizione necessaria e sufficiente, come per esempio quella espressa dal teorema di Pitagora. Infatti, perché un triangolo sia rettangolo è necessario che le misure dei suoi lati corrispondano a una terna pitagorica (condizione necessaria). Viceversa, è sufficiente che le misure dei lati corrispondano a una terna pitagorica perché un triangolo sia rettangolo (condizione sufficiente).

9 LE FIGURE GEOMETRIE 9. Il teorema di Pitagora 9 pplica Indica quali terne di misure di lati si riferiscono a triangoli rettangoli. misure dei lati (m) a b c ,,8 8,5,5 0 9,9 0, calcolo è un triangolo rettangolo? LORTORIO matematico Materiale: cartoncino e forbici VERIFI EL TEOREM I PITGOR La verifica del teorema di Pitagora può sembrare facile. Si tratta di costruire sui lati di un triangolo rettangolo qualsiasi i tre quadrati e ritagliarli in modo opportuno per ricoprire esattamente quello grande con i due piccoli. Prova e constaterai che non è facile. Esiste tuttavia un metodo, proposto dal francese enry Perigal, che con la matematica si divertiva molto, pur non essendo un matematico. Fu tanto orgoglioso di questa sua scoperta che fece stampare lo schema sui suoi biglietti da visita.. isegna un triangolo rettangolo qualsiasi, al centro di un foglio quadrettato o millimetrato. ostruisci sui tre lati i tre quadrati.. Segna, nel punto di intersezione delle due diagonali, il centro del quadrato costruito sul cateto maggiore.. Traccia una parallela e una perpendicolare all ipotenusa passanti. In questo modo il quadrato è suddiviso in quattro parti.. Ritaglia le quattro parti e il quadrato costruito sull altro cateto. I cinque pezzi ritagliati si incastreranno facilmente per ricoprire esattamente il quadrato costruito sull ipotenusa.

10 50 Unità 9 Il teorema di Pitagora 9. PPLIZIONI EL TEOREM I PITGOR Esercizi a p. 68 Il teorema di Pitagora si applica solo ed esclusivamente al triangolo rettangolo e consente di calcolare la misura di un lato quando si conoscono le misure degli altri due lati. alcolo della misura dell ipotenusa bbiamo visto che la formula che esprime il teorema di Pitagora è: i = c + c dove i è l area del quadrato costruito sull ipotenusa. Poiché la lunghezza di un lato di un quadrato si calcola estraendo la radice quadrata della sua area, la misura dell ipotenusa si calcola estraendo la radice quadrata dell area del quadrato costruito su di essa, che è uguale a c + c. unque, in generale: la misura dell ipotenusa di un triangolo rettangolo si calcola estraendo la radice quadrata della somma dei quadrati delle misure dei due cateti. i= c + c Problema svolto alcola la misura dell ipotenusa del triangolo rettangolo, sapendo che i cateti misurano rispettivamente 6 cm e cm. ati = triangolo rettangolo = 6 cm = cm Incognita cm cm Procedimento risolutivo e calcolo Il teorema di Pitagora permette di calcolare l area Q quando sono note le aree Q e Q : Q = Q + Q Q = 6 cm = 56 cm Q = cm = cm Q = Q + Q = (56 + ) cm = 00 cm Q l è l area del quadrato costruito sul lato, la cui misura si ricava usando la formula inversa relativa all area del quadrato: = Q = 00 cm = 0 cm

11 LE FIGURE GEOMETRIE 9. pplicazioni del teorema di Pitagora 5 alcolo della misura di un cateto alla formula vista prima, che esprime il teorema di Pitagora, possiamo ricavare la formula inversa: c = i c dove c è l area del quadrato costruito su un cateto. Quindi la misura del cateto c si calcola estraendo la radice quadrata dell area del quadrato costruito su di esso, che è uguale a i c. unque, in generale: la misura di un cateto di un triangolo rettangolo si calcola estraendo la radice quadrata della differenza fra il quadrato della misura dell ipotenusa e il quadrato della misura del cateto noto. c = i -c Problema guidato alcola la misura del cateto del triangolo rettangolo, sapendo che l ipotenusa e l altro cateto misurano rispettivamente 0 cm e 6 cm. ati = triangolo rettangolo =... cm =... cm Incognita cm cm Procedimento risolutivo e calcolo pplichiamo la formula risolutiva: ovvero c = i c = = =... = cm pplica laboratorio nel : Rappresentazione grafica dei numeri irrazionali In un triangolo rettangolo i due cateti c e c misurano 6 cm e 8 cm. Quanto misura l ipotenusa i? [0 cm] alcola la misura dell ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano cm e 8 cm. [50 cm] In un triangolo rettangolo l ipotenusa i e il cateto c misurano rispettivamente 5 cm e 9 cm. Quanto misura il cateto c? [ cm] alcola la misura di un cateto di un triangolo rettangolo in cui l altro cateto misura 6 cm e l ipotenusa cm. [0 cm]

12 5 Unità 9 Il teorema di Pitagora 9. IL TEOREM I PITGOR NEI POLIGONI Esercizi a p. 7 Tutte le volte che in una figura è possibile individuare un triangolo rettangolo si può applicare il teorema di Pitagora. Questo succede in un numero illimitato di casi. Triangolo isoscele L altezza relativa alla base suddivide il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli congruenti, a cui si può applicare il teorema di Pitagora. l b = + h b h = l b = l h l h Esempio alcola l altezza h di un triangolo isoscele in cui lato e base misurano rispettivamente 0 cm e 6 cm. b h = 6 0 cm = 0 cm = 00 9 cm = 9 cm 9, 5 cm Triangolo equilatero L altezza relativa a uno qualsiasi dei lati suddivide il triangolo equilatero in due triangoli rettangoli congruenti, ciascuno dei quali ha per ipotenusa il lato e per cateti l altezza e metà del lato. Perciò applicando il teorema di Pitagora si ottiene: l l l l l h = l l l = = = = cioè h= l da cui l h = Poiché 0, 866 (valore approssimato ai millesimi) h le due formule precedenti diventano: h 0, 866 l e l 0, 866 l l h Esempio alcola l altezza di un triangolo equilatero il cui lato misura 5 cm. h 0,866 l 0,866 5 cm, cm Quadrato Una diagonale suddivide il quadrato in due triangoli rettangoli isosceli congruenti, per i quali essa rappresenta l ipotenusa. Grazie al teorema di Pitagora: d = l l e d = d l

13 LE FIGURE GEOMETRIE 9. Il teorema di Pitagora nei poligoni 5 Poiché il valore approssimato ai millesimi di è,: d d, l e l, Esempio alcola la diagonale di un quadrato il cui lato misura 5 cm. d =, l, 5 cm 7, 070 cm Rettangolo Una diagonale suddivide il rettangolo in due triangoli rettangoli congruenti, a cui si può applicare il teorema di Pitagora: d = b + h b = d h h = d b h d Esempio alcola la misura della diagonale d di un rettangolo, le cui dimensioni misurano 5 cm e 60 cm. d = b + h = cm = cm = 565 cm = 75 cm b Rombo Le diagonali suddividono il rombo in quattro triangoli rettangoli congruenti, in cui i cateti sono metà delle diagonali d e d. d d l = + d d l = d d l = d d l Esempio alcola la misura del lato di un rombo, le cui diagonali misurano cm e cm. l d d = + = + cm = + 6 cm = 00 cm = 0 cm Parallelogrammo L altezza del parallelogrammo lo scompone in un triangolo rettangolo e in un trapezio rettangolo. pplicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo si ottengono le seguenti formule: l h l = h + h = l = l h

14 5 Unità 9 Il teorema di Pitagora Trapezio rettangolo Un altezza suddivide il trapezio rettangolo in un rettangolo e in un triangolo rettangolo, pertanto: b l = h + ( b b ) b b = l h h = l ( b b ) h b l b b Esempio Le basi di un trapezio rettangolo misurano 5,5 cm e cm; l altezza misura, cm. alcola la misura del lato obliquo. l = h + ( b b ) =, + ( 5, 5 ) cm =, +, 5 cm = =, 69 cm =, 7 cm Trapezio isoscele b Le due altezze scompongono il trapezio isoscele in due triangoli rettangoli congruenti e un rettangolo. In questo caso la differenza delle basi deve essere divisa per due. h b h l b b l b = h + b b h = l b b b = l h Esempio In un trapezio isoscele la base maggiore misura 65 m, la base minore 75 m e l altezza 60 m. alcola la misura del lato obliquo. l b = h + b = 60 + m = m = 565 m = 75 m Osserva che In un trapezio rettangolo e in un trapezio isoscele si possono evidenziare triangoli rettangoli anche in altri modi e a ciascuno applicare il teorema di Pitagora. Trapezio rettangolo Trapezio isoscele Una diagonale lo suddivide in due triangoli di cui uno è sempre rettangolo. L altezza e una diagonale lo suddividono in tre triangoli rettangoli. Una diagonale e un altezza individuano due triangoli rettangoli.

15 LE FIGURE GEOMETRIE 9. Il teorema di Pitagora nei poligoni 55 Poligoni regolari Un poligono regolare può essere scomposto in tanti triangoli isosceli congruenti quanti sono i suoi lati. L altezza di ciascun triangolo relativa al lato del poligono (l apotema) lo scompone a sua volta in due triangoli rettangoli. Per esempio, il pentagono regolare è scomponibile in 0 triangoli rettangoli congruenti. In tutti, un cateto è l apotema, l altro cateto è la metà del lato del pentagono e l ipotenusa è il raggio della circonferenza circoscritta. Perciò è possibile applicare il teorema di Pitagora per calcolare l apotema, il raggio e il lato del poligono regolare. a r l l l r = a + a r r a = = Esempio alcola la misura dell apotema di un esagono regolare il cui lato misura cm. Poiché la misura del lato dell esagono regolare è uguale a quella del raggio della circoferenza circoscritta, il triangolo O è equilatero e la misura dei suoi lati è: O = O = = cm Perciò: = 6 cm O O = O = 6 cm = 08 cm 0, cm pplica alcola la misura del lato di un triangolo isoscele, sapendo che la base è lunga 0 m e l altezza 6 m. [9 m] alcola la misura della diagonale di un quadrato il cui lato è lungo 6 cm. [8,85 cm] alcola la misura del lato di un quadrato la cui diagonale è lunga 00 cm. [70,7 cm] alcola la misura della diagonale di un rettangolo le cui dimensioni sono,5 cm e 8 cm. [,5 cm] 5 alcola la misura del lato di un rombo le cui diagonali misurano 9,6 m e,8 cm. [8 cm] 6 In un terreno a forma di trapezio isoscele la base maggiore misura 660 m, la base minore 00 m e l altezza 0 m. alcola la misura del lato obliquo. [00 m] 7 alcola l apotema di un pentagono regolare, sapendo che il lato misura,76 m e il raggio della circonferenza circoscritta misura m. [0,809 m]

16 56 Unità 9 Il teorema di Pitagora 9.5 IL TEOREM I PITGOR NELL IRONFERENZ Esercizi a p. 88 lcuni problemi che riguardano la circonferenza possono essere risolti applicando il teorema di Pitagora. Triangolo inscritto in una semicirconferenza ome abbiamo visto, qualsiasi triangolo inscritto in una semicirconferenza e con un lato coincidente con il diametro è un triangolo rettangolo. Il diametro della circonferenza è l ipotenusa del triangolo, perciò: O d = c + c c = d c c = d c istanza di una corda dal centro della circonferenza Il triangolo O è un triangolo rettangolo in cui la distanza O della corda dal centro della circonferenza è un cateto, il raggio r della circonferenza è l ipotenusa e la metà della corda è l altro cateto. pplicando il teorema di Pitagora si ricavano le seguenti formule: r O O = r r O r O = + = Esempio alcola la distanza O, dal centro della circonferenza, di una corda lunga cm, sapendo che il raggio della circonferenza misura 0 cm. O = r = 0 cm = 00 cm = 6 cm

17 LE FIGURE GEOMETRIE 9.5 Il teorema di Pitagora nella circonferenza 57 Tangente alla circonferenza da un punto P La tangente forma con il diametro un angolo retto. Si può costruire un triangolo rettangolo in cui il diametro d è un cateto, il segmento di tangente P è l altro cateto e la distanza P del punto P dall altro estremo del diametro è l ipotenusa. pplicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo P si possono ricavare le relazioni: P O d = P P P = P d P = P + d Lo stesso ragionamento si può fare considerando il triangolo OP in cui un cateto è il raggio. Si ricavano le seguenti formule: P r = PO P P = PO r PO = P + r r O Esempi alcola la misura del diametro di una circonferenza, sapendo che il segmento P tangente alla circonferenza nell estremo del diametro misura 7 cm e che la distanza di P dall altro estremo misura 5 cm. = P P = 5 7 cm = cm = 96 cm = 6 cm alcola la misura del raggio O di una circonferenza, sapendo che il segmento P tangente alla circonferenza nell estremo del raggio misura, m e che la distanza di P dal centro O misura,5 m. O = PO P = 5,, cm = 09, cm = 07, cm pplica alcola il diametro d di una circonferenza, sapendo che i due lati minori del triangolo inscritto nella semicirconferenza misurano 0 cm e 8 cm. [5 cm] alcola la lunghezza di una corda che ha una distanza O = 5 cm dal centro della circonferenza di raggio r = 65 cm. [0 cm] alcola la lunghezza del segmento P tangente alla circonferenza nell estremo del diametro che misura cm, sapendo che la distanza di P dall altro estremo è di 50 cm. [8 cm] alcola la misura del raggio O di una circonferenza, sapendo che un segmento P tangente in alla circonferenza misura 8 mm e che la distanza di P dal centro O è di 5 mm. [5 mm]

18 58 Unità 9 Il teorema di Pitagora per la VERIFI orale 5 Spiega che cos è una terna pitagorica e fai uno o più esempi. escrivi il metodo per generare terne pitagoriche a partire da una terna nota. Enuncia il teorema di Pitagora e le formule relative con esempi applicativi. escrivi alcune applicazioni del teorema di Pitagora a poligoni diversi dal triangolo rettangolo. escrivi le applicazioni del teorema di Pitagora al triangolo equilatero e ai poligoni regolari in generale. per PREPRRSI all esame In una tavoletta del 800 a.. si legge il seguente quesito: Un bastone lungo 0 unità è appoggiato a un muro (a). Poi scivola di unità (b). i quante unità il piede del bastone si è allontanato dalla base del muro? INVLSI a.s unit unit unit a) a 6 unità b 8 unità c 0 unità d unità b) soluzioni a p. In un trapezio isoscele il rapporto tra la base minore e la base maggiore è : e la loro somma è di 0 dm. L altezza è i della base minore. La misura del perimetro è: 5 a, dm b, dm c 6,8 dm d, dm Nella figura sono disegnati una mensola e il relativo supporto necessario a reggerla. In base ai dati qual è la lunghezza del supporto (che si considera di spessore trascurabile)? cm a 6, dm b 0,9 cm cm c 5 cm cm d 9 cm su orto

19 Il cammino della MTEMTI 59 Il teorema di Pitagora Il teorema porta il suo nome, ma era noto già molti secoli prima di Pitagora. Per esempio, la straordinaria proprietà della terna, e 5 era già conosciuta presso i Sumeri e i abilonesi nel IV millennio a.. Presso gli Egizi, questa terna di numeri venne collegata al triangolo sacro, detto triangolo isiaco, da Iside, forse la più famosa delle divinità egizie. Riferisce Plutarco, storico greco del I secolo d..: oros 5 Iside Osiride nche gli Egizi visualizzano la natura dell universo con la figura del triangolo più bello. Questo triangolo ha l altezza di unità, la base di e l ipotenusa di 5, tale cioè che il suo quadrato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati. L altezza, dunque, può essere paragonata al maschio, la base alla femmina e l ipotenusa al figlio da entrambi generato. Il triangolo isiaco rappresentava la divina trinità costituita dalla dea Iside, dal dio Osiride e dal loro figlio oros. 5 Il triangolo isiaco, oltre ad avere il significato metafisico che abbiamo visto, serviva materialmente a tracciare gli angoli retti. Questo era un impiego molto utile nella costruzione degli edifici. Grazie all esperienza, i cosiddetti tiratori di corde avevano messo a punto una tecnica molto semplice quanto efficace: congiungevano le estremità di una cordicella suddivisa in parti uguali e formavano un triangolo che avesse i lati di, e 5 parti uguali. L angolo retto era quello opposto al lato più lungo del triangolo. Successivamente, in un libro indiano del IV secolo a.. si spiega come si possono ottenere angoli retti costruendo triangoli, oltre che con lati di,, 5 unità, anche con lati di 5,, oppure 8, 5, 7 oppure, 5, 7 unità. unque i predecessori di Pitagora sapevano dell esistenza di terne di numeri collegate al triangolo rettangolo, ma non conoscevano una regola generale, dimostrabile, che stabilisse la relazione tra tutti gli infiniti triangoli rettangoli e le misure dei loro lati. Il merito di avere scoperto e dimostrato questa relazione è da attribuire a Pitagora. Una leggenda racconta che Pitagora abbia scoperto il suo teorema per caso, osservando un pavimento a piastrelle quadrate. Egli avrebbe osservato che il quadrato costruito sulla diagonale di una piastrella risultava costituito da due piastrelle. In realtà Pitagora non lasciò scritta alcuna dimostrazione ed essa potrebbe essere opera del suo allievo Ippaso di Metaponto. omunque sia, dovettero passare circa 00 anni (dal VI al IV secolo a..) prima della comparsa della dimostrazione scritta. Infatti la prima dimostrazione del teorema di Pitagora si trova negli Elementi di Euclide. a allora a oggi il teorema di Pitagora è stato dimostrato in molti modi diversi e si può dire che è forse il teorema di cui sono state date più dimostrazioni.

20 60 Unità 9 Il teorema di Pitagora mappa interattiva nel SINTESI LE TERNE PITGORIE Tre numeri costituiscono una terna pitagorica quando addizionando i quadrati dei primi due si ottiene il quadrato del terzo. ENUNITO EL TEOREM I PITGOR In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. E, viceversa, se il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti, allora il triangolo è sicuramente un triangolo rettangolo. i = c + c i = c + c 5 + = = 5 5 = 5 c = i c PPLIZIONI EL TEOREM I PITGOR Il teorema di Pitagora si applica solo ed esclusivamente ai triangoli rettangoli e a tutte le figure in cui sia evidenziabile un triangolo rettangolo. Triangolo isoscele b b b l = + h h = l = l h l h l b b Triangolo equilatero h h = l 0, 866 l l = h 0, 866 Quadrato d d d = l, l l =, Rettangolo d = b + h b = d h h = d b b Rombo d d d d d d l = + = l = l

21 Il teorema di Pitagora Unità 9 6 Parallelogrammo l = h + h = l = l h Trapezio rettangolo l = h + ( b b ) h = l ( b b ) b b = l h b h l b b b Trapezio isoscele b l = h + b b b b b h l = = l h b b h l b b Poligoni regolari l l l r = a + a = r = r a a r l Triangolo inscritto in una semicirconferenza Qualsiasi triangolo inscritto in una semicirconferenza è retto. d = c + c c = d c c = d c c O d c istanza di una corda dal centro della circonferenza O = r r = O + = r O r O Tangente alla circonferenza da un punto P d = P P P = P d P = P + d P r = PO P P = PO r PO = P + r O d

22 6 ESERIZI UNITÀ 9 Il teorema di Pitagora Teoria a 9. LE TERNE PITGORIE p. 6 Faq nel Per consolidare la comprensione e l uso del linguaggio specifico e la conoscenza del concetto di terna pitagorica Se il quadrato di un numero è uguale alla somma dei quadrati di due altri numeri, come vengono chiamati i tre numeri? inzia ha dato la seguente definizione: Si chiama terna pitagorica un gruppo di tre numeri tali che il prodotto dei quadrati di due di essi è uguale al quadrato del terzo. La definizione è scorretta. orreggila. Indica quale uguaglianza rappresenta una terna pitagorica. x y = z x + y = z x + y = z x + y = z x + y = z (x + y) = z Per applicare la conoscenza del concetto di terna pitagorica Esegui i calcoli e stabilisci quali terne sono pitagoriche. Esempio 5 6 = 6 5 = 5 6 = π 6 non è una terna pitagorica ompleta le frasi. Una terna pitagorica si dice primitiva se è formata da numeri... Quando si moltiplica una terna pitagorica primitiva per uno stesso fattore diverso da zero si ottiene una terna pitagorica... Rispondi alle domande. Quanti triangoli si possono costruire (uno diverso dall altro) con i lati di cm, cm e 5 cm? i che tipo di triangoli si tratta? Qual è l ampiezza dell angolo compreso tra il lato di cm e quello di cm? Le lettere a, b e c indicano tre numeri di una terna pitagorica scritti in ordine crescente. Scrivi la formula che esprime la relazione esistente tra di loro , 0,8 0 0,8 0,5 0,5 6, 5, 6 0,09 0,0 0, 0,5 5,6 5,7 7,5 6,5,98,0 Trova il numero maggiore di 65 che rende la coppia 88 e 65 una terna pitagorica, con questo procedimento:. calcola i quadrati dei due numeri;. esegui l addizione;. estrai la radice quadrata della somma. [87] Trova il numero minore di 7 che rende la coppia 7 e 78 una terna pitagorica, con questo procedimento:. calcola i quadrati dei due numeri;. sottrai il minore dal maggiore;. estrai la radice quadrata della differenza. [0] alla terna pitagorica 7 5 sono state ricavate alcune terne pitagoriche derivate. ompletale scrivendo sui puntini i numeri mancanti (i numeri sono scritti in ordine crescente). Esempio (perché 8 : 7 = 5 = 00) ,5... 0,7,..., ,9... 9,5...,,5,8 8,96... Verifica se la terna di numeri è una terna pitagorica. Ricava da essa altre due terne pitagoriche. Poi verifica che siano effettivamente terne pitagoriche. Esiste un numero che rende la coppia di numeri 6 e 68 una terna pitagorica. Trovalo, sapendo che è maggiore di 68. [70] 9 ggiungi un terzo numero naturale in modo che la coppia 8 e 0 diventi una terna pitagorica. [6]

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