INDICE. Unità 7 DALLA CIRCONFERENZA AI POLIGONI REGOLARI, 1 CIRCONFERENZA E CERCHIO, 2 PARTI DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO, 3

Dimensione: px
Iniziare la visualizzazioe della pagina:

Download "INDICE. Unità 7 DALLA CIRCONFERENZA AI POLIGONI REGOLARI, 1 CIRCONFERENZA E CERCHIO, 2 PARTI DELLA CIRCONFERENZA E DEL CERCHIO, 3"

Transcript

1 INIE Unità 7 LL IRONFERENZ I POLIGONI REGOLRI, Il libro prosegue nel 7. IRONFERENZ E ERIO, ESERIZI da p. 7. PRTI ELL IRONFERENZ E EL ERIO, Le parti della circonferenza, Le parti del cerchio, 7. NGOLI E IRONFERENZ, 6 ngoli al centro, 6 ngoli alla circonferenza, 6 Relazione tra angoli al centro e angoli alla circonferenza, 7 7. IRONFERENZE E RETTE NEL PINO, 8 Posizioni di una retta rispetto a una circonferenza, 8 Posizioni reciproche di due circonferenze, POLIGONI INSRITTI IN UN IRONFERENZ, 0 ondizione di inscrittibilità dei poligoni, POLIGONI IROSRITTI UN IRONFERENZ, ondizione di circoscrittibilità dei poligoni, 7.7 POLIGONI REGOLRI, 6 Proprietà dei poligoni regolari, 6 Il cammino della matematica: rchimede, un genio universale, 9 SINTESI, 0 llenamente, 58 MTEMTI ON IL P: irconferenze e poligoni, 59 ESERIZI da p. ESERIZI da p. 7 ESERIZI da p. ESERIZI da p. 5 ESERIZI da p. 9 ESERIZI da p. per la VERIFI orale, 8 per PREPRRSI all esame, 8 PINO RTESINO, 8 UTOVERIFI, 9 ESERIZI per il recupero, 50 ESERIZI per il potenziamento, 56

2 IV Indice Unità 8 RE EI POLIGONI, 6 Il libro prosegue nel 8. EQUIVLENZ E EQUISOMPONIILITÀ ELLE FIGURE PINE, 6 Equivalenza, 6 Equiscomponibilità per somma, 6 Equiscomponibilità per differenza, 6 ESERIZI da p MISUR ELL SUPERFIIE, 65 ESERIZI da p RE EL RETTNGOLO E EL QURTO, 66 rea del rettangolo, 66 rea del quadrato, 67 ESERIZI da p RE EL PRLLELOGRMMO, 69 ESERIZI da p RE EL TRINGOLO, 7 Il triangolo rettangolo, 7 Formula di Erone, 7 ESERIZI da p RE EL ROMO, 7 ESERIZI da p. 8.7 RE EL TRPEZIO, 76 LORTORIO matematico: Trasformazione del trapezio in triangolo, RE EI POLIGONI REGOLRI, 78 Relazione tra lato e apotema nei poligoni regolari, 79 alcolo dell area o del lato con i numeri fissi, 80 Il cammino della matematica: Le invenzioni di Erone, 8 SINTESI, 8 llenamente, MTEMTI ON IL P: rea dei poligoni, ESERIZI da p. 9 ESERIZI da p. 5 per la VERIFI orale, 8 per PREPRRSI all esame, 8 PINO RTESINO, 0 UTOVERIFI, ESERIZI per il recupero, ESERIZI per il potenziamento, 9 Unità 9 IL TEOREM I PITGOR, 5 9. LE TERNE PITGORIE, 6 he cosa sono le terne pitagoriche, 6 ome si generano le terne pitagoriche, 7 9. IL TEOREM I PITGOR, 8 LORTORIO matematico: Verifica del teorema di Pitagora, 9 ESERIZI da p. 6 ESERIZI da p. 6 Il libro prosegue nel

3 Indice V 9. PPLIZIONI EL TEOREM I PITGOR, 50 alcolo della misura dell ipotenusa, 50 alcolo della misura di un cateto, 5 9. IL TEOREM I PITGOR NEI POLIGONI, 5 Triangolo isoscele, 5 Triangolo equilatero, 5 Quadrato, 5 Rettangolo, 5 Rombo, 5 Parallelogrammo, 5 Trapezio rettangolo, 5 Trapezio isoscele, 5 Poligoni regolari, IL TEOREM I PITGOR NELL IRONFERENZ, 56 Triangolo inscritto in una semicirconferenza, 56 istanza di una corda dal centro della circonferenza, 56 Tangente alla circonferenza da un punto P, 57 Il cammino della matematica: Il teorema di Pitagora, 59 SINTESI, 60 llenamente, 0 MTEMTI ON IL P: Verifica del teorema di Pitagora, 0 ESERIZI da p. 68 ESERIZI da p. 7 ESERIZI da p. 88 per la VERIFI orale, 58 per PREPRRSI all esame, 58 PINO RTESINO, 90 UTOVERIFI, 9 ESERIZI per il recupero, 9 ESERIZI per il potenziamento, 98 Unità 0 LE TRSFORMZIONI ISOMETRIE, 05 Il libro prosegue nel 0. ONGRUENZ E ISOMETRIE, 06 Movimento e congruenza diretti, 06 Movimento e congruenza inversi, 06 Il concetto di trasformazione geometrica, 07 Le trasformazioni isometriche, L TRSLZIONE, 09 Il vettore, 09 La traslazione, 0 ESERIZI da p. ESERIZI da p L ROTZIONE, ESERIZI da p L SIMMETRI SSILE, Punti uniti, 0.5 L SIMMETRI ENTRLE, 5 La simmetria centrale di un punto, 5 La simmetria centrale di un segmento, 5 La simmetria centrale di un poligono, L SIMMETRI NEI POLIGONI, 8 Figure con assi di simmetria, 8 Figure con centro di simmetria, 9 SINTESI, llenamente, 50 MTEMTI ON IL P: Trasformazioni isometriche, 5 ESERIZI da p. ESERIZI da p. 9 ESERIZI da p. per la VERIFI orale, per PREPRRSI all esame, PINO RTESINO, UTOVERIFI, ESERIZI per il recupero, ESERIZI per il potenziamento, 8

4 VI Indice Unità OMOTETIE E SIMILITUINI, 5 Il libro prosegue nel L OMOTETI, 5. ESERIZI da p. 78. L SIMILITUINE, 57 Poligoni simili, 59. I RITERI I SIMILITUINE EI TRINGOLI, 6 Primo criterio di similitudine, 6 Secondo criterio di similitudine, 6 Terzo criterio di similitudine, 6. LE PROPRIETÀ EI POLIGONI SIMILI, 6 Misure lineari, 6 Misure di superficie, 6.5 I TEOREMI I EULIE, 66 Primo teorema di Euclide, 66 Secondo teorema di Euclide, 67.6 LE RPPRESENTZIONI IN SL, 69 Riduzioni, 69 Ingrandimenti, 70.7 IL TEOREM I TLETE, 7 Triangolo tagliato da una parallela a un lato, 7 Il cammino della matematica: Euclide, 75 SINTESI, 76 llenamente, 0 MTEMTI ON IL P: Le omotetie, Soluzioni, Tavole numeriche, 5 ESERIZI da p. 8 ESERIZI da p. 89 ESERIZI da p. 9 ESERIZI da p. 99 ESERIZI da p. 0 ESERIZI da p. 08 per la VERIFI orale, 7 per PREPRRSI all esame, 7 PINO RTESINO, 08 UTOVERIFI, 0 ESERIZI per il recupero, ESERIZI per il potenziamento, 6

5 LE FIGURE GEOMETRIE Unità 9 IL TEOREM I PITGOR Le terne pitagoriche Il teorema di Pitagora pplicazioni del teorema di Pitagora Il teorema di Pitagora nei poligoni Il teorema di Pitagora nella circonferenza SPERE avrai acquisito il concetto di terna pitagorica avrai appreso il teorema di Pitagora SPER FRE saprai riconoscere e generare una terna pitagorica saprai applicare il teorema di Pitagora in varie situazioni saprai risolvere problemi utilizzando il teorema di Pitagora

6 6 Unità 9 Il teorema di Pitagora 9. LE TERNE PITGORIE Esercizi a p. 6 he cosa sono le terne pitagoriche Se costruiamo un triangolo con tre cannucce lunghe cm, cm e 5 cm, si può verificare (con la squadra o il goniometro) che, comunque si dispongano le cannucce, l angolo compreso tra il lato di cm e quello di cm è un angolo retto. llo stesso modo possiamo verificare che, utilizzando cannucce lunghe 5 cm, cm e cm, l angolo compreso tra i lati di 5 cm e di cm è ancora un angolo retto. Oltre a questa particolare proprietà, cioè quella di formare angoli retti, le due terne di numeri hanno un altra proprietà interessante. onsideriamo la prima terna: 5 Eleviamo ciascun numero al quadrato: = 9 = 6 5 = 5 Se addizioniamo i primi due risultati, otteniamo il terzo: = 5 Ripetiamo lo stesso procedimento con la seconda terna: 5 5 = 5 = = = 69 tutte le terne di numeri che hanno questa caratteristica viene dato il nome di terna pitagorica. Una terna pitagorica è costituita da tre numeri a, b e c tali che addizionando i quadrati dei primi due si ottiene il quadrato del terzo numero: a + b = c Grazie alle proprietà delle terne: i triangoli i cui lati corrispondono a una terna pitagorica sono triangoli rettangoli e l angolo retto è quello compreso tra i due lati più corti. 5, e è una terna pitagorica l angolo retto è compreso tra i due lati minori Osserva che Non tutte le terne di numeri sono terne pitagoriche. 5 6 non è una terna pitagorica = 6 5 = 5 6 = π 6

7 LE FIGURE GEOMETRIE 9. Le terne pitagoriche 7 ome si generano le terne pitagoriche onsideriamo la terna pitagorica, e 5 e moltiplichiamo ciascun termine per. Otteniamo la terna 6, 8 e 0. Possiamo verificare che è una terna pitagorica. Infatti, addizionando i quadrati dei primi due numeri otteniamo ancora il quadrato del terzo: 6 = 6 8 = 6 0 = 00 e = 00 Questa nuova terna prende il nome di terna derivata. Una terna pitagorica si dice primitiva se è formata da numeri primi tra loro. Una terna pitagorica si dice derivata se si ottiene moltiplicando i numeri di una terna primitiva per uno stesso fattore diverso da 0. Esempi, e 5 è una terna pitagorica primitiva 9, e 5 è una terna pitagorica derivata Esempio mio è una terna pitagorica derivata Sviluppa l intuito iofanto, un matematico greco del III secolo d.. circa, scoprì una formula per calcolare terne pitagoriche a, b e c dati due numeri naturali qualsiasi m e n (con m > n): a = m n b = m n c = m + n Per esempio, per m = e n = : a = = b = = c = + = 5 ome abbiamo già visto,, e 5 è proprio una terna pitagorica. Ora calcola tu la terna pitagorica, per m = 5 e n =, e poi verifica che sia una terna pitagorica. pplica Individua le terne pitagoriche. a b c a b c calcolo laboratorio nel : ostruzione di un angolo retto usando uno spago è una terna pitagorica?

8 8 Unità 9 Il teorema di Pitagora 9. IL TEOREM I PITGOR Esercizi a p. 6 La proprietà delle terne pitagoriche di corrispondere alle misure dei lati dei triangoli rettangoli era nota molto tempo prima di Pitagora, ma solo per terne particolari e per via empirica, cioè non era stata data alcuna dimostrazione generale della sua validità. È merito di Pitagora (o forse di un suo allievo) avere dato questa dimostrazione e averne tratto conclusioni generali di grande importanza per la cultura matematica. onsideriamo un triangolo rettangolo qualsiasi. ostruiamo sull ipotenusa un quadrato Q l e sui cateti due quadrati Q e Q. Il teorema di Pitagora afferma che l area del quadrato Q l è uguale alla somma delle aree dei due quadrati Q e Q. Q = Q + Q Inoltre, se indichiamo con i l ipotenusa e con c e c i cateti del triangolo rettangolo, potremo scrivere: Q = i perché i è il lato del quadrato Q Q = c perché c è il lato del quadrato Q Q = c perché c è il lato del quadrato Q Quindi: i = c + c In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. E, viceversa, se il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti, allora il triangolo è sicuramente un triangolo rettangolo. Esempio I lati di un triangolo misurano 6 dm, 8 dm e 0 dm. Il triangolo è rettangolo perché le misure dei lati corrispondono a una terna pitagorica. Infatti: i = 0 dm = 00 dm c = 6 dm = 6 dm c = 8 dm = 6 dm e 00 dm = (6 + 6) dm Esempio mio Osserva che In matematica spesso si parla di condizione necessaria e di condizione sufficiente. Per esempio, condizione necessaria affinché un quadrilatero sia un quadrato è che abbia tutti i lati tra loro congruenti, ma questa condizione non è sufficiente. Infatti anche il rombo ha tutti i lati tra loro congruenti, ma non è un quadrato. Una proprietà può essere contemporaneamente una condizione necessaria e sufficiente, come per esempio quella espressa dal teorema di Pitagora. Infatti, perché un triangolo sia rettangolo è necessario che le misure dei suoi lati corrispondano a una terna pitagorica (condizione necessaria). Viceversa, è sufficiente che le misure dei lati corrispondano a una terna pitagorica perché un triangolo sia rettangolo (condizione sufficiente).

9 LE FIGURE GEOMETRIE 9. Il teorema di Pitagora 9 pplica Indica quali terne di misure di lati si riferiscono a triangoli rettangoli. misure dei lati (m) a b c ,,8 8,5,5 0 9,9 0, calcolo è un triangolo rettangolo? LORTORIO matematico Materiale: cartoncino e forbici VERIFI EL TEOREM I PITGOR La verifica del teorema di Pitagora può sembrare facile. Si tratta di costruire sui lati di un triangolo rettangolo qualsiasi i tre quadrati e ritagliarli in modo opportuno per ricoprire esattamente quello grande con i due piccoli. Prova e constaterai che non è facile. Esiste tuttavia un metodo, proposto dal francese enry Perigal, che con la matematica si divertiva molto, pur non essendo un matematico. Fu tanto orgoglioso di questa sua scoperta che fece stampare lo schema sui suoi biglietti da visita.. isegna un triangolo rettangolo qualsiasi, al centro di un foglio quadrettato o millimetrato. ostruisci sui tre lati i tre quadrati.. Segna, nel punto di intersezione delle due diagonali, il centro del quadrato costruito sul cateto maggiore.. Traccia una parallela e una perpendicolare all ipotenusa passanti. In questo modo il quadrato è suddiviso in quattro parti.. Ritaglia le quattro parti e il quadrato costruito sull altro cateto. I cinque pezzi ritagliati si incastreranno facilmente per ricoprire esattamente il quadrato costruito sull ipotenusa.

10 50 Unità 9 Il teorema di Pitagora 9. PPLIZIONI EL TEOREM I PITGOR Esercizi a p. 68 Il teorema di Pitagora si applica solo ed esclusivamente al triangolo rettangolo e consente di calcolare la misura di un lato quando si conoscono le misure degli altri due lati. alcolo della misura dell ipotenusa bbiamo visto che la formula che esprime il teorema di Pitagora è: i = c + c dove i è l area del quadrato costruito sull ipotenusa. Poiché la lunghezza di un lato di un quadrato si calcola estraendo la radice quadrata della sua area, la misura dell ipotenusa si calcola estraendo la radice quadrata dell area del quadrato costruito su di essa, che è uguale a c + c. unque, in generale: la misura dell ipotenusa di un triangolo rettangolo si calcola estraendo la radice quadrata della somma dei quadrati delle misure dei due cateti. i= c + c Problema svolto alcola la misura dell ipotenusa del triangolo rettangolo, sapendo che i cateti misurano rispettivamente 6 cm e cm. ati = triangolo rettangolo = 6 cm = cm Incognita cm cm Procedimento risolutivo e calcolo Il teorema di Pitagora permette di calcolare l area Q quando sono note le aree Q e Q : Q = Q + Q Q = 6 cm = 56 cm Q = cm = cm Q = Q + Q = (56 + ) cm = 00 cm Q l è l area del quadrato costruito sul lato, la cui misura si ricava usando la formula inversa relativa all area del quadrato: = Q = 00 cm = 0 cm

11 LE FIGURE GEOMETRIE 9. pplicazioni del teorema di Pitagora 5 alcolo della misura di un cateto alla formula vista prima, che esprime il teorema di Pitagora, possiamo ricavare la formula inversa: c = i c dove c è l area del quadrato costruito su un cateto. Quindi la misura del cateto c si calcola estraendo la radice quadrata dell area del quadrato costruito su di esso, che è uguale a i c. unque, in generale: la misura di un cateto di un triangolo rettangolo si calcola estraendo la radice quadrata della differenza fra il quadrato della misura dell ipotenusa e il quadrato della misura del cateto noto. c = i -c Problema guidato alcola la misura del cateto del triangolo rettangolo, sapendo che l ipotenusa e l altro cateto misurano rispettivamente 0 cm e 6 cm. ati = triangolo rettangolo =... cm =... cm Incognita cm cm Procedimento risolutivo e calcolo pplichiamo la formula risolutiva: ovvero c = i c = = =... = cm pplica laboratorio nel : Rappresentazione grafica dei numeri irrazionali In un triangolo rettangolo i due cateti c e c misurano 6 cm e 8 cm. Quanto misura l ipotenusa i? [0 cm] alcola la misura dell ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti misurano cm e 8 cm. [50 cm] In un triangolo rettangolo l ipotenusa i e il cateto c misurano rispettivamente 5 cm e 9 cm. Quanto misura il cateto c? [ cm] alcola la misura di un cateto di un triangolo rettangolo in cui l altro cateto misura 6 cm e l ipotenusa cm. [0 cm]

12 5 Unità 9 Il teorema di Pitagora 9. IL TEOREM I PITGOR NEI POLIGONI Esercizi a p. 7 Tutte le volte che in una figura è possibile individuare un triangolo rettangolo si può applicare il teorema di Pitagora. Questo succede in un numero illimitato di casi. Triangolo isoscele L altezza relativa alla base suddivide il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli congruenti, a cui si può applicare il teorema di Pitagora. l b = + h b h = l b = l h l h Esempio alcola l altezza h di un triangolo isoscele in cui lato e base misurano rispettivamente 0 cm e 6 cm. b h = 6 0 cm = 0 cm = 00 9 cm = 9 cm 9, 5 cm Triangolo equilatero L altezza relativa a uno qualsiasi dei lati suddivide il triangolo equilatero in due triangoli rettangoli congruenti, ciascuno dei quali ha per ipotenusa il lato e per cateti l altezza e metà del lato. Perciò applicando il teorema di Pitagora si ottiene: l l l l l h = l l l = = = = cioè h= l da cui l h = Poiché 0, 866 (valore approssimato ai millesimi) h le due formule precedenti diventano: h 0, 866 l e l 0, 866 l l h Esempio alcola l altezza di un triangolo equilatero il cui lato misura 5 cm. h 0,866 l 0,866 5 cm, cm Quadrato Una diagonale suddivide il quadrato in due triangoli rettangoli isosceli congruenti, per i quali essa rappresenta l ipotenusa. Grazie al teorema di Pitagora: d = l l e d = d l

13 LE FIGURE GEOMETRIE 9. Il teorema di Pitagora nei poligoni 5 Poiché il valore approssimato ai millesimi di è,: d d, l e l, Esempio alcola la diagonale di un quadrato il cui lato misura 5 cm. d =, l, 5 cm 7, 070 cm Rettangolo Una diagonale suddivide il rettangolo in due triangoli rettangoli congruenti, a cui si può applicare il teorema di Pitagora: d = b + h b = d h h = d b h d Esempio alcola la misura della diagonale d di un rettangolo, le cui dimensioni misurano 5 cm e 60 cm. d = b + h = cm = cm = 565 cm = 75 cm b Rombo Le diagonali suddividono il rombo in quattro triangoli rettangoli congruenti, in cui i cateti sono metà delle diagonali d e d. d d l = + d d l = d d l = d d l Esempio alcola la misura del lato di un rombo, le cui diagonali misurano cm e cm. l d d = + = + cm = + 6 cm = 00 cm = 0 cm Parallelogrammo L altezza del parallelogrammo lo scompone in un triangolo rettangolo e in un trapezio rettangolo. pplicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo si ottengono le seguenti formule: l h l = h + h = l = l h

14 5 Unità 9 Il teorema di Pitagora Trapezio rettangolo Un altezza suddivide il trapezio rettangolo in un rettangolo e in un triangolo rettangolo, pertanto: b l = h + ( b b ) b b = l h h = l ( b b ) h b l b b Esempio Le basi di un trapezio rettangolo misurano 5,5 cm e cm; l altezza misura, cm. alcola la misura del lato obliquo. l = h + ( b b ) =, + ( 5, 5 ) cm =, +, 5 cm = =, 69 cm =, 7 cm Trapezio isoscele b Le due altezze scompongono il trapezio isoscele in due triangoli rettangoli congruenti e un rettangolo. In questo caso la differenza delle basi deve essere divisa per due. h b h l b b l b = h + b b h = l b b b = l h Esempio In un trapezio isoscele la base maggiore misura 65 m, la base minore 75 m e l altezza 60 m. alcola la misura del lato obliquo. l b = h + b = 60 + m = m = 565 m = 75 m Osserva che In un trapezio rettangolo e in un trapezio isoscele si possono evidenziare triangoli rettangoli anche in altri modi e a ciascuno applicare il teorema di Pitagora. Trapezio rettangolo Trapezio isoscele Una diagonale lo suddivide in due triangoli di cui uno è sempre rettangolo. L altezza e una diagonale lo suddividono in tre triangoli rettangoli. Una diagonale e un altezza individuano due triangoli rettangoli.

15 LE FIGURE GEOMETRIE 9. Il teorema di Pitagora nei poligoni 55 Poligoni regolari Un poligono regolare può essere scomposto in tanti triangoli isosceli congruenti quanti sono i suoi lati. L altezza di ciascun triangolo relativa al lato del poligono (l apotema) lo scompone a sua volta in due triangoli rettangoli. Per esempio, il pentagono regolare è scomponibile in 0 triangoli rettangoli congruenti. In tutti, un cateto è l apotema, l altro cateto è la metà del lato del pentagono e l ipotenusa è il raggio della circonferenza circoscritta. Perciò è possibile applicare il teorema di Pitagora per calcolare l apotema, il raggio e il lato del poligono regolare. a r l l l r = a + a r r a = = Esempio alcola la misura dell apotema di un esagono regolare il cui lato misura cm. Poiché la misura del lato dell esagono regolare è uguale a quella del raggio della circoferenza circoscritta, il triangolo O è equilatero e la misura dei suoi lati è: O = O = = cm Perciò: = 6 cm O O = O = 6 cm = 08 cm 0, cm pplica alcola la misura del lato di un triangolo isoscele, sapendo che la base è lunga 0 m e l altezza 6 m. [9 m] alcola la misura della diagonale di un quadrato il cui lato è lungo 6 cm. [8,85 cm] alcola la misura del lato di un quadrato la cui diagonale è lunga 00 cm. [70,7 cm] alcola la misura della diagonale di un rettangolo le cui dimensioni sono,5 cm e 8 cm. [,5 cm] 5 alcola la misura del lato di un rombo le cui diagonali misurano 9,6 m e,8 cm. [8 cm] 6 In un terreno a forma di trapezio isoscele la base maggiore misura 660 m, la base minore 00 m e l altezza 0 m. alcola la misura del lato obliquo. [00 m] 7 alcola l apotema di un pentagono regolare, sapendo che il lato misura,76 m e il raggio della circonferenza circoscritta misura m. [0,809 m]

16 56 Unità 9 Il teorema di Pitagora 9.5 IL TEOREM I PITGOR NELL IRONFERENZ Esercizi a p. 88 lcuni problemi che riguardano la circonferenza possono essere risolti applicando il teorema di Pitagora. Triangolo inscritto in una semicirconferenza ome abbiamo visto, qualsiasi triangolo inscritto in una semicirconferenza e con un lato coincidente con il diametro è un triangolo rettangolo. Il diametro della circonferenza è l ipotenusa del triangolo, perciò: O d = c + c c = d c c = d c istanza di una corda dal centro della circonferenza Il triangolo O è un triangolo rettangolo in cui la distanza O della corda dal centro della circonferenza è un cateto, il raggio r della circonferenza è l ipotenusa e la metà della corda è l altro cateto. pplicando il teorema di Pitagora si ricavano le seguenti formule: r O O = r r O r O = + = Esempio alcola la distanza O, dal centro della circonferenza, di una corda lunga cm, sapendo che il raggio della circonferenza misura 0 cm. O = r = 0 cm = 00 cm = 6 cm

17 LE FIGURE GEOMETRIE 9.5 Il teorema di Pitagora nella circonferenza 57 Tangente alla circonferenza da un punto P La tangente forma con il diametro un angolo retto. Si può costruire un triangolo rettangolo in cui il diametro d è un cateto, il segmento di tangente P è l altro cateto e la distanza P del punto P dall altro estremo del diametro è l ipotenusa. pplicando il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo P si possono ricavare le relazioni: P O d = P P P = P d P = P + d Lo stesso ragionamento si può fare considerando il triangolo OP in cui un cateto è il raggio. Si ricavano le seguenti formule: P r = PO P P = PO r PO = P + r r O Esempi alcola la misura del diametro di una circonferenza, sapendo che il segmento P tangente alla circonferenza nell estremo del diametro misura 7 cm e che la distanza di P dall altro estremo misura 5 cm. = P P = 5 7 cm = cm = 96 cm = 6 cm alcola la misura del raggio O di una circonferenza, sapendo che il segmento P tangente alla circonferenza nell estremo del raggio misura, m e che la distanza di P dal centro O misura,5 m. O = PO P = 5,, cm = 09, cm = 07, cm pplica alcola il diametro d di una circonferenza, sapendo che i due lati minori del triangolo inscritto nella semicirconferenza misurano 0 cm e 8 cm. [5 cm] alcola la lunghezza di una corda che ha una distanza O = 5 cm dal centro della circonferenza di raggio r = 65 cm. [0 cm] alcola la lunghezza del segmento P tangente alla circonferenza nell estremo del diametro che misura cm, sapendo che la distanza di P dall altro estremo è di 50 cm. [8 cm] alcola la misura del raggio O di una circonferenza, sapendo che un segmento P tangente in alla circonferenza misura 8 mm e che la distanza di P dal centro O è di 5 mm. [5 mm]

18 58 Unità 9 Il teorema di Pitagora per la VERIFI orale 5 Spiega che cos è una terna pitagorica e fai uno o più esempi. escrivi il metodo per generare terne pitagoriche a partire da una terna nota. Enuncia il teorema di Pitagora e le formule relative con esempi applicativi. escrivi alcune applicazioni del teorema di Pitagora a poligoni diversi dal triangolo rettangolo. escrivi le applicazioni del teorema di Pitagora al triangolo equilatero e ai poligoni regolari in generale. per PREPRRSI all esame In una tavoletta del 800 a.. si legge il seguente quesito: Un bastone lungo 0 unità è appoggiato a un muro (a). Poi scivola di unità (b). i quante unità il piede del bastone si è allontanato dalla base del muro? INVLSI a.s unit unit unit a) a 6 unità b 8 unità c 0 unità d unità b) soluzioni a p. In un trapezio isoscele il rapporto tra la base minore e la base maggiore è : e la loro somma è di 0 dm. L altezza è i della base minore. La misura del perimetro è: 5 a, dm b, dm c 6,8 dm d, dm Nella figura sono disegnati una mensola e il relativo supporto necessario a reggerla. In base ai dati qual è la lunghezza del supporto (che si considera di spessore trascurabile)? cm a 6, dm b 0,9 cm cm c 5 cm cm d 9 cm su orto

19 Il cammino della MTEMTI 59 Il teorema di Pitagora Il teorema porta il suo nome, ma era noto già molti secoli prima di Pitagora. Per esempio, la straordinaria proprietà della terna, e 5 era già conosciuta presso i Sumeri e i abilonesi nel IV millennio a.. Presso gli Egizi, questa terna di numeri venne collegata al triangolo sacro, detto triangolo isiaco, da Iside, forse la più famosa delle divinità egizie. Riferisce Plutarco, storico greco del I secolo d..: oros 5 Iside Osiride nche gli Egizi visualizzano la natura dell universo con la figura del triangolo più bello. Questo triangolo ha l altezza di unità, la base di e l ipotenusa di 5, tale cioè che il suo quadrato è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati. L altezza, dunque, può essere paragonata al maschio, la base alla femmina e l ipotenusa al figlio da entrambi generato. Il triangolo isiaco rappresentava la divina trinità costituita dalla dea Iside, dal dio Osiride e dal loro figlio oros. 5 Il triangolo isiaco, oltre ad avere il significato metafisico che abbiamo visto, serviva materialmente a tracciare gli angoli retti. Questo era un impiego molto utile nella costruzione degli edifici. Grazie all esperienza, i cosiddetti tiratori di corde avevano messo a punto una tecnica molto semplice quanto efficace: congiungevano le estremità di una cordicella suddivisa in parti uguali e formavano un triangolo che avesse i lati di, e 5 parti uguali. L angolo retto era quello opposto al lato più lungo del triangolo. Successivamente, in un libro indiano del IV secolo a.. si spiega come si possono ottenere angoli retti costruendo triangoli, oltre che con lati di,, 5 unità, anche con lati di 5,, oppure 8, 5, 7 oppure, 5, 7 unità. unque i predecessori di Pitagora sapevano dell esistenza di terne di numeri collegate al triangolo rettangolo, ma non conoscevano una regola generale, dimostrabile, che stabilisse la relazione tra tutti gli infiniti triangoli rettangoli e le misure dei loro lati. Il merito di avere scoperto e dimostrato questa relazione è da attribuire a Pitagora. Una leggenda racconta che Pitagora abbia scoperto il suo teorema per caso, osservando un pavimento a piastrelle quadrate. Egli avrebbe osservato che il quadrato costruito sulla diagonale di una piastrella risultava costituito da due piastrelle. In realtà Pitagora non lasciò scritta alcuna dimostrazione ed essa potrebbe essere opera del suo allievo Ippaso di Metaponto. omunque sia, dovettero passare circa 00 anni (dal VI al IV secolo a..) prima della comparsa della dimostrazione scritta. Infatti la prima dimostrazione del teorema di Pitagora si trova negli Elementi di Euclide. a allora a oggi il teorema di Pitagora è stato dimostrato in molti modi diversi e si può dire che è forse il teorema di cui sono state date più dimostrazioni.

20 60 Unità 9 Il teorema di Pitagora mappa interattiva nel SINTESI LE TERNE PITGORIE Tre numeri costituiscono una terna pitagorica quando addizionando i quadrati dei primi due si ottiene il quadrato del terzo. ENUNITO EL TEOREM I PITGOR In ogni triangolo rettangolo il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti. E, viceversa, se il quadrato costruito sull ipotenusa è equivalente alla somma dei quadrati costruiti sui cateti, allora il triangolo è sicuramente un triangolo rettangolo. i = c + c i = c + c 5 + = = 5 5 = 5 c = i c PPLIZIONI EL TEOREM I PITGOR Il teorema di Pitagora si applica solo ed esclusivamente ai triangoli rettangoli e a tutte le figure in cui sia evidenziabile un triangolo rettangolo. Triangolo isoscele b b b l = + h h = l = l h l h l b b Triangolo equilatero h h = l 0, 866 l l = h 0, 866 Quadrato d d d = l, l l =, Rettangolo d = b + h b = d h h = d b b Rombo d d d d d d l = + = l = l

21 Il teorema di Pitagora Unità 9 6 Parallelogrammo l = h + h = l = l h Trapezio rettangolo l = h + ( b b ) h = l ( b b ) b b = l h b h l b b b Trapezio isoscele b l = h + b b b b b h l = = l h b b h l b b Poligoni regolari l l l r = a + a = r = r a a r l Triangolo inscritto in una semicirconferenza Qualsiasi triangolo inscritto in una semicirconferenza è retto. d = c + c c = d c c = d c c O d c istanza di una corda dal centro della circonferenza O = r r = O + = r O r O Tangente alla circonferenza da un punto P d = P P P = P d P = P + d P r = PO P P = PO r PO = P + r O d

22 6 ESERIZI UNITÀ 9 Il teorema di Pitagora Teoria a 9. LE TERNE PITGORIE p. 6 Faq nel Per consolidare la comprensione e l uso del linguaggio specifico e la conoscenza del concetto di terna pitagorica Se il quadrato di un numero è uguale alla somma dei quadrati di due altri numeri, come vengono chiamati i tre numeri? inzia ha dato la seguente definizione: Si chiama terna pitagorica un gruppo di tre numeri tali che il prodotto dei quadrati di due di essi è uguale al quadrato del terzo. La definizione è scorretta. orreggila. Indica quale uguaglianza rappresenta una terna pitagorica. x y = z x + y = z x + y = z x + y = z x + y = z (x + y) = z Per applicare la conoscenza del concetto di terna pitagorica Esegui i calcoli e stabilisci quali terne sono pitagoriche. Esempio 5 6 = 6 5 = 5 6 = π 6 non è una terna pitagorica ompleta le frasi. Una terna pitagorica si dice primitiva se è formata da numeri... Quando si moltiplica una terna pitagorica primitiva per uno stesso fattore diverso da zero si ottiene una terna pitagorica... Rispondi alle domande. Quanti triangoli si possono costruire (uno diverso dall altro) con i lati di cm, cm e 5 cm? i che tipo di triangoli si tratta? Qual è l ampiezza dell angolo compreso tra il lato di cm e quello di cm? Le lettere a, b e c indicano tre numeri di una terna pitagorica scritti in ordine crescente. Scrivi la formula che esprime la relazione esistente tra di loro , 0,8 0 0,8 0,5 0,5 6, 5, 6 0,09 0,0 0, 0,5 5,6 5,7 7,5 6,5,98,0 Trova il numero maggiore di 65 che rende la coppia 88 e 65 una terna pitagorica, con questo procedimento:. calcola i quadrati dei due numeri;. esegui l addizione;. estrai la radice quadrata della somma. [87] Trova il numero minore di 7 che rende la coppia 7 e 78 una terna pitagorica, con questo procedimento:. calcola i quadrati dei due numeri;. sottrai il minore dal maggiore;. estrai la radice quadrata della differenza. [0] alla terna pitagorica 7 5 sono state ricavate alcune terne pitagoriche derivate. ompletale scrivendo sui puntini i numeri mancanti (i numeri sono scritti in ordine crescente). Esempio (perché 8 : 7 = 5 = 00) ,5... 0,7,..., ,9... 9,5...,,5,8 8,96... Verifica se la terna di numeri è una terna pitagorica. Ricava da essa altre due terne pitagoriche. Poi verifica che siano effettivamente terne pitagoriche. Esiste un numero che rende la coppia di numeri 6 e 68 una terna pitagorica. Trovalo, sapendo che è maggiore di 68. [70] 9 ggiungi un terzo numero naturale in modo che la coppia 8 e 0 diventi una terna pitagorica. [6]

Parte Seconda. Geometria

Parte Seconda. Geometria Parte Seconda Geometria Geometria piana 99 CAPITOLO I GEOMETRIA PIANA Geometria: scienza che studia le proprietà delle figure geometriche piane e solide, cioè la forma, l estensione e la posizione dei

Dettagli

Anna Montemurro. 2Geometria. e misura

Anna Montemurro. 2Geometria. e misura Anna Montemurro Destinazione Matematica 2Geometria e misura GEOMETRIA E MISURA UNITÀ 11 Le aree dei poligoni apprendo... 11. 1 FIGURE PIANE EQUIVALENTI Consideriamo la figura A. A Le figure B e C

Dettagli

Test di autovalutazione

Test di autovalutazione Test di autovalutazione 0 0 0 0 0 0 0 70 80 90 00 n Il mio punteggio, in centesimi, è n Rispondi a ogni quesito segnando una sola delle alternative. n onfronta le tue risposte con le soluzioni. n olora,

Dettagli

Disegno in quadretti le parti da calcolare; se capisco quanto vale un quadretto è fatta.

Disegno in quadretti le parti da calcolare; se capisco quanto vale un quadretto è fatta. CLASSE III C RECUPERO GEOMETRIA AREA PERIMETRO POLIGONI Disegno in quadretti le parti da calcolare; se capisco quanto vale un quadretto è fatta. ES: se ho fatto questo disegno e so che 1 quadretto vale

Dettagli

Similitudine e omotetia nella didattica della geometria nella scuola secondaria di primo grado di Luciano Porta

Similitudine e omotetia nella didattica della geometria nella scuola secondaria di primo grado di Luciano Porta Similitudine e omotetia nella didattica della geometria nella scuola secondaria di primo grado di Luciano Porta Il concetto di similitudine è innato: riconosciamo lo stesso oggetto se è più o meno distante

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA GEOMETRIA \ GEOMETRIA EUCLIDEA \ GEOMETRIA DEL PIANO (1)

APPUNTI DI MATEMATICA GEOMETRIA \ GEOMETRIA EUCLIDEA \ GEOMETRIA DEL PIANO (1) GEOMETRIA \ GEOMETRIA EUCLIDEA \ GEOMETRIA DEL PIANO (1) Un ente (geometrico) è un oggetto studiato dalla geometria. Per descrivere gli enti vengono utilizzate delle definizioni. Una definizione è una

Dettagli

Vertici opposti. Fig. C6.1 Definizioni relative ai quadrilateri.

Vertici opposti. Fig. C6.1 Definizioni relative ai quadrilateri. 6. Quadrilateri 6.1 efinizioni Un poligono di 4 lati è detto quadrilatero. I lati di un quadrilatero che hanno un vertice in comune sono detti consecutivi. I lati di un quadrilatero non consecutivi tra

Dettagli

Che tipo di linee riconosci in questi quadri? Ripassale con una matita colorata e, con la stessa tinta, colora il pallino corrispondente.

Che tipo di linee riconosci in questi quadri? Ripassale con una matita colorata e, con la stessa tinta, colora il pallino corrispondente. Linee Che tipo di linee riconosci in questi quadri? Ripassale con una matita colorata e, con la stessa tinta, colora il pallino corrispondente. a. curva spezzata retta mista aperta chiusa b. curva spezzata

Dettagli

ALCUNE OSSERVAZIONI SUI TRIANGOLI

ALCUNE OSSERVAZIONI SUI TRIANGOLI LUNE OSSERVZIONI SUI TRINGOLI ataloghiamo i triangoli seondo i lati seondo gli angoli 115 3 67 81 Esiste sempre il triangolo? Selte a aso le misure dei lati, è sempre possibile ostruire il triangolo? Quali

Dettagli

1. Particolari terne numeriche e teorema di PITAGORA. 2. Le terne pitagoriche 3. Applicazioni i idel teorema di Pitagora.

1. Particolari terne numeriche e teorema di PITAGORA. 2. Le terne pitagoriche 3. Applicazioni i idel teorema di Pitagora. TEOREMA DI PITAGORA Contenuti 1. Particolari terne numeriche e teorema di PITAGORA. Le terne pitagoriche 3. Applicazioni i idel teorema di Pitagora Competenze 1. Sapere il significato di terna pitagorica

Dettagli

I TRIANGOLI Un triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli.

I TRIANGOLI Un triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli. I TRIANGOLI Un triangolo è un poligono con tre lati e tre angoli. In ogni triangolo un lato è sempre minore della somma degli altri due e sempre maggiore della loro differenza. Relazione fra i lati di

Dettagli

GEOMETRIA DELLE MASSE

GEOMETRIA DELLE MASSE 1 DISPENSA N 2 GEOMETRIA DELLE MASSE Si prende in considerazione un sistema piano, ossia giacente nel pian x-y. Un insieme di masse posizionato nel piano X-Y, rappresentato da punti individuati dalle loro

Dettagli

I teoremi di Euclide e di Pitagora

I teoremi di Euclide e di Pitagora I teoremi di Euclide e di Pitagora In questa dispensa vengono presentati i due teoremi di Euclide ed il teorema di Pitagora, fondamentali per affrontare diverse questioni sui triangoli rettangoli. I teoremi

Dettagli

Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete.

Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. Antonio Manca da materiali offerti dalla rete. I triangoli e i criteri di congruenza Diapositive riassemblate e rielaborate da prof. ntonio Manca da materiali offerti dalla rete. ontributi di: tlas editore, matematicamente, Prof.ssa. nnamaria Iuppa,

Dettagli

INdAM QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA

INdAM QUESITI A RISPOSTA MULTIPLA INdAM Prova scritta per il concorso a 40 borse di studio, 2 borse aggiuntive e a 40 premi per l iscrizione ai Corsi di Laurea in Matematica, anno accademico 2011/2012. Piano Lauree Scientifiche. La prova

Dettagli

Elementi di Geometria. Lezione 03

Elementi di Geometria. Lezione 03 Elementi di Geometria Lezione 03 I triangoli I triangoli sono i poligoni con tre lati e tre angoli. Nelle rappresentazioni grafiche (Figura 32) i vertici di un triangolo sono normalmente contrassegnati

Dettagli

LEZIONI CON I PAD Docente scuola secondaria IC Moglia Carla Casareggio Classi seconde 2014/2015 Proprietà triangoli e quadrilateri con Sketchometry

LEZIONI CON I PAD Docente scuola secondaria IC Moglia Carla Casareggio Classi seconde 2014/2015 Proprietà triangoli e quadrilateri con Sketchometry LEZIONI CON I PAD Docente scuola secondaria IC Moglia Carla Casareggio Classi seconde 2014/2015 Proprietà triangoli e quadrilateri con Sketchometry La costruzione di figure geometriche al computer con

Dettagli

PRIMA DI SVOLGERE GLI ESERCIZI RIPASSA GLI ARGOMENTI SUL LIBRO E GLI APPUNTI SUL QUADERNO.

PRIMA DI SVOLGERE GLI ESERCIZI RIPASSA GLI ARGOMENTI SUL LIBRO E GLI APPUNTI SUL QUADERNO. Compiti di matematica e scienze a. s. 2014 2015 classe 2 M da fare su un unico quaderno Alcuni esercizi vanno svolti sul quaderno. Il quaderno e la scheda verranno ritirati al ritorno dalle vacanze PRIMA

Dettagli

IL TEOREMA. Lezioni UNITÀ2. Geometria

IL TEOREMA. Lezioni UNITÀ2. Geometria 7_0_TEORI 9_ -0-007 6:8 Pagina 9 UNITÀ IL TEOREM I PITGOR Geometria Le conoscenze che devi avere Lezioni Le proprietà dei poligoni Il concetto di figure equivalenti Le abilità che devi avere Usare i procedimenti

Dettagli

PROVA INVALSI Scuola Secondaria di I grado Classe Prima

PROVA INVALSI Scuola Secondaria di I grado Classe Prima SNV 2010-2011; SNV 2011-2012; SNV 2012-2013 SPAZIO E FIGURE SNV 2011 10 quesiti su 29 (12 item di cui 6 a risposta aperta) SNV 2012 11 quesiti su 30 (13 item di cui 2 a risposta aperta) SNV 2013 9 quesiti

Dettagli

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E).

MATEMATICA 2001. p = 4/6 = 2/3; q = 1-2/3 = 1/3. La risposta corretta è quindi la E). MATEMATICA 2001 66. Quale fra le seguenti affermazioni è sbagliata? A) Tutte le funzioni ammettono la funzione inversa B) Una funzione dispari è simmetrica rispetto all origine C) Una funzione pari è simmetrica

Dettagli

Introduzione. 001_007_pagine_iniziali.indd 7 22/01/14 11.21

Introduzione. 001_007_pagine_iniziali.indd 7 22/01/14 11.21 7 Introduzione Questo volume si propone di riorganizzare i percorsi di aritmetica e di geometria del corso principale adattandoli a studenti con esigenze specifiche. Il progetto grafico originale del corso

Dettagli

Osserva i seguenti poligoni, disegna tutte le possibili diagonali e completa la tabella. Infine rispondi alle domande.

Osserva i seguenti poligoni, disegna tutte le possibili diagonali e completa la tabella. Infine rispondi alle domande. I poligoni Osserva i seguenti poligoni, disegna tutte le possibili diagonali e completa la tabella. Infine rispondi alle domande. 6 7 8 9 Figura Nome Numero Numero Numero lati angoli diagonali triangolo

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t)

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti. 1. Determinare lim M(sinx) (M(t) denota la mantissa di t) CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi proposti 1. Determinare lim M(sin) (M(t) denota la mantissa di t) kπ/ al variare di k in Z. Ove tale limite non esista, discutere l esistenza dei limiti laterali. Identificare

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO SPERIMENTALE P.N.I. 2004 ESAME DI STAT DI LICE SCIENTIFIC CRS SPERIMENTALE P.N.I. 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 0 quesiti in cui si articola il questionario. PRBLEMA Sia la curva d equazione: ke ove k e

Dettagli

Con carta e forbici alla scoperta del paese Geometria

Con carta e forbici alla scoperta del paese Geometria Con carta e forbici alla scoperta del paese Geometria Anna Asti Enrica Ventura La parola non serve a nulla, il disegno non basta, è necessaria l azione perché il bambino giunga a combinare delle operazioni

Dettagli

LA GRAFICA E LA GEOMETRIA OPERATIVA

LA GRAFICA E LA GEOMETRIA OPERATIVA LA GRAFICA E LA GEOMETRIA OPERATIVA La geometria operativa, contrariamente a quella descrittiva basata sulle regole per la rappresentazione delle forme geometriche, prende in considerazione lo spazio racchiuso

Dettagli

Appunti di Geometria

Appunti di Geometria ISTITUTO COMPRENSIVO N.7 - VIA VIVALDI - IMOLA Via Vivaldi, 76-40026 Imola (BOLOGNA) Centro Territoriale Permanente: Istruzione Degli Adulti - IDA Appunti di Geometria Scuola Secondaria di I Grado - Ex

Dettagli

Punti notevoli di un triangolo

Punti notevoli di un triangolo Punti notevoli dei triangoli (UbiLearning). - 1 Punti notevoli di un triangolo Particolarmente importanti in un triangolo sono i punti dove s intersecano specifici segmenti, rette o semirette (Encyclopedia

Dettagli

PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI

PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 DISCIPLINA : MATEMATICA DOCENTI : CECILIA SAMPIERI, TAMARA CECCONI PROGRAMMA SVOLTO NELLA CLASSE I E A.S. 2012/2013 LIBRO DI TESTO:L. Sasso Nuova Matematica a colori Algebra e Geometria 1 edizione Azzurra ed. Petrini TEMA A I numeri e linguaggio della Matemati Unità 1

Dettagli

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004

ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 2004 ESAME DI STATO DI LICEO SCIENTIFICO CORSO DI ORDINAMENTO 004 Il candidato risolva uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti in cui si articola il questionario. PROBLEMA 1 Sia f la funzione definita da: f

Dettagli

La trigonometria prima della trigonometria. Maurizio Berni

La trigonometria prima della trigonometria. Maurizio Berni La trigonometria prima della trigonometria Maurizio Berni 9 maggio 2010 Negli istituti tecnici agrari la trigonometria viene affrontata: nella seconda classe in Disegno e Topografia (risoluzione di triangoli

Dettagli

matematica classe quinta GLI ANGOLI SCHEDA N. 49 1. Misura l ampiezza di ogni angolo e scrivila sui puntini.

matematica classe quinta GLI ANGOLI SCHEDA N. 49 1. Misura l ampiezza di ogni angolo e scrivila sui puntini. SE N. 49 GLI NGOLI 1. Misura l ampiezza di ogni angolo e scrivila sui puntini. a b c L angolo a misura.... L angolo b misura.... L angolo c misura.... 2. isegna un angolo di 25, un angolo di 35, un angolo

Dettagli

2. Un teorema geniale e divertente anche per la scuola elementare

2. Un teorema geniale e divertente anche per la scuola elementare 051-056 BDM 56 Maurizi imp 21.5.2008 11:49 Pagina 51 II. Didattica 2. Un teorema geniale e divertente anche per la scuola elementare Lorella Maurizi 1 51 Ho proposto ai bambini di una classe quinta della

Dettagli

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero

Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero Giacomo Pagina Giovanna Patri Percorsi di matematica per il ripasso e il recupero 2 per la Scuola secondaria di secondo grado UNITÀ CAMPIONE Edizioni del Quadrifoglio à t i n U 1 Sistemi di primo grado

Dettagli

geometriche. Parte Sesta Trasformazioni isometriche

geometriche. Parte Sesta Trasformazioni isometriche Parte Sesta Trasformazioni isometriche In questa sezione di programma di matematica parliamo della geometria delle trasformazioni che studia le figure geometriche soggette a movimenti. Tali movimenti,

Dettagli

TRAGUARDI PER LO SVILUPPO DELLE COMPETENZE AL TERMINE DELLA SCUOLA PRIMARIA

TRAGUARDI PER LO SVILUPPO DELLE COMPETENZE AL TERMINE DELLA SCUOLA PRIMARIA SCUOLA PRIMARIA DI CORTE FRANCA MATEMATICA CLASSE QUINTA TRAGUARDI PER LO SVILUPPO DELLE COMPETENZE AL TERMINE DELLA SCUOLA PRIMARIA L ALUNNO SVILUPPA UN ATTEGGIAMENTO POSITIVO RISPETTO ALLA MATEMATICA,

Dettagli

Forze come grandezze vettoriali

Forze come grandezze vettoriali Forze come grandezze vettoriali L. Paolucci 23 novembre 2010 Sommario Esercizi e problemi risolti. Per la classe prima. Anno Scolastico 2010/11 Parte 1 / versione 2 Si ricordi che la risultante di due

Dettagli

Geogebra. Numero lati: Numero angoli: Numero diagonali:

Geogebra. Numero lati: Numero angoli: Numero diagonali: TRIANGOLI Geogebra IL TRIANGOLO 1. Fai clic sull icona Ic2 e nel menu a discesa scegli Nuovo punto : fai clic all interno della zona geometria e individua il punto A. Fai di nuovo clic per individuare

Dettagli

Relazione attività in classe sul Teorema di Pitagora

Relazione attività in classe sul Teorema di Pitagora Relazione attività in classe sul Teorema di Pitagora Lez. 2/04. Prima Lezione A.S. 2011/2012 Insegnante: Siamo nel VI secolo a.c. in Grecia. In questo periodo visse Pitagora che nacque a Samo e vi restò

Dettagli

MODULO DI MATEMATICA. di accesso al triennio. Potenze. Proporzioni. Figure piane. Calcolo di aree

MODULO DI MATEMATICA. di accesso al triennio. Potenze. Proporzioni. Figure piane. Calcolo di aree MODULO DI MATEMATICA di accesso al triennio Abilità interessate Utilizzare terminologia specifica. Essere consapevoli della necessità di un linguaggio condiviso. Utilizzare il disegno geometrico, per assimilare

Dettagli

Sui concetti di definizione, teorema e dimostrazione in didattica della matematica

Sui concetti di definizione, teorema e dimostrazione in didattica della matematica Liceo Scientifico Statale P. Paleocapa, Rovigo XX Settimana della Cultura Scientifica e Tecnologica 19 marzo 2010 Sui concetti di definizione, teorema e dimostrazione in didattica della matematica Prof.

Dettagli

Mete e coerenze formative. Dalla scuola dell infanzia al biennio della scuola secondaria di II grado

Mete e coerenze formative. Dalla scuola dell infanzia al biennio della scuola secondaria di II grado Mete e coerenze formative Dalla scuola dell infanzia al biennio della scuola secondaria di II grado Area disciplinare: Area Matematica Finalità Educativa Acquisire gli alfabeti di base della cultura Disciplina

Dettagli

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE

RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE RETTE, PIANI, SFERE, CIRCONFERENZE 1. Esercizi Esercizio 1. Dati i punti A(1, 0, 1) e B(, 1, 1) trovare (1) la loro distanza; () il punto medio del segmento AB; (3) la retta AB sia in forma parametrica,

Dettagli

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26

Teoria in sintesi 10. Attività di sportello 1, 24 - Attività di sportello 2, 24 - Verifica conclusiva, 25. Teoria in sintesi 26 Indice L attività di recupero 6 Funzioni Teoria in sintesi 0 Obiettivo Ricerca del dominio e del codominio di funzioni note Obiettivo Ricerca del dominio di funzioni algebriche; scrittura del dominio Obiettivo

Dettagli

Liceo G.B. Vico Corsico

Liceo G.B. Vico Corsico Liceo G.B. Vico Corsico Classe: 3A Materia: MATEMATICA Insegnante: Nicola Moriello Testo utilizzato: Bergamini Trifone Barozzi: Manuale blu.0 di Matematica Moduli S, L, O, Q, Beta ed. Zanichelli 1) Programma

Dettagli

Il calcolo letterale per risolvere problemi e per dimostrare

Il calcolo letterale per risolvere problemi e per dimostrare Il calcolo letterale per risolvere problemi e per dimostrare (si prevedono circa 25 ore di lavoro in classe) Nome e cognome dei componenti del gruppo che svolge le attività di gruppo di questa lezione

Dettagli

IGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 22 novembre 2006

IGiochidiArchimede-SoluzioniBiennio 22 novembre 2006 PROGETTO OLIMPII I MTEMTI U.M.I. UNIONE MTEMTI ITLIN SUOL NORMLE SUPERIORE IGiochidirchimede-Soluzioniiennio novembre 006 Griglia delle risposte corrette Problema Risposta corretta E 4 5 6 7 8 9 E 0 Problema

Dettagli

/H]LRQH,OFRQIURQWRGHOOHVXSHUILFL,O SUREOHPD GHO FRQIURQWR GL VXSHUILFL H OD WUDVIRUPD]LRQH GL SROLJRQLHTXLYDOHQWL

/H]LRQH,OFRQIURQWRGHOOHVXSHUILFL,O SUREOHPD GHO FRQIURQWR GL VXSHUILFL H OD WUDVIRUPD]LRQH GL SROLJRQLHTXLYDOHQWL /H]LRQH,OFRQIURQWRGHOOHVXSHUILFL,O SUREOHPD GHO FRQIURQWR GL VXSHUILFL H OD WUDVIRUPD]LRQH GL SROLJRQLHTXLYDOHQWL Il confronto della lunghezza tra due segmenti è un problema molto semplice. Infatti tutti

Dettagli

LE FUNZIONI MATEMATICHE

LE FUNZIONI MATEMATICHE ALGEBRA LE FUNZIONI MATEMATICHE E IL PIANO CARTESIANO PREREQUISITI l l l l l conoscere il concetto di insieme conoscere il concetto di relazione disporre i dati in una tabella rappresentare i dati mediante

Dettagli

SIMULAZIONE QUARTA PROVA: MATEMATICA

SIMULAZIONE QUARTA PROVA: MATEMATICA SIMULAZIONE QUARTA PROVA: MATEMATICA COGNOME: NOME: TEMPO IMPIEGATO: VOTO: TEMPO DELLA PROVA = 44 (a fianco di ogni quesito si trova il tempo consigliato per lo svolgimento dell esercizio). PUNTEGGIO TOTALE

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2004 2005 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di I grado. Classe Prima. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2004 2005 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di I grado. Classe Prima. Codici. Scuola:... Ministero dell Istruzione dell Università e della Ricerca Istituto Nazionale per la valutazione del sistema educativo di istruzione e di formazione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2004

Dettagli

Parte Seconda La Misura

Parte Seconda La Misura Il procedimento di misura è uno dei procedimenti fondamentali della conoscenza scientifica in quanto consente di descrivere quantitativamente una proprietà di un oggetto o una caratteristica di un fenomeno.

Dettagli

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011

Trasformazioni Geometriche 1 Roberto Petroni, 2011 1 Trasformazioni Geometriche 1 Roberto etroni, 2011 Trasformazioni Geometriche sul piano euclideo 1) Introduzione Def: si dice trasformazione geometrica una corrispondenza biunivoca che associa ad ogni

Dettagli

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π

a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio x, l arco di circonferenza di π π PROBLEMA Il triangolo rettangolo ABC ha l ipotenusa AB = a e l angolo CAB =. a) Si descriva, internamente al triangolo, con centro in B e raggio, l arco di circonferenza di estremi P e Q rispettivamente

Dettagli

Si sa che la via più breve tra due punti è la linea retta. Ma vi siete mai chiesti, Qual è la via più breve tra tre punti? o tra quattro punti?

Si sa che la via più breve tra due punti è la linea retta. Ma vi siete mai chiesti, Qual è la via più breve tra tre punti? o tra quattro punti? Dov'è Moriart? Cerchiamo la via più breve con Mathcad Potete determinare la distanza più breve da tre punti e trovare Moriart? Si sa che la via più breve tra due punti è la linea retta. Ma vi siete mai

Dettagli

DA GIOCHI D AUTUNNO 2006 SOLUZIONI E COMMENTI

DA GIOCHI D AUTUNNO 2006 SOLUZIONI E COMMENTI DA GIOCHI D AUTUNNO 2006 SOLUZIONI E COMMENTI 1. GIOCO DI CUBI L altezza della piramide di Luca è 95 cm. = (14 + 13 + 12 + + 7 + 6 + 5) 2. LA PARTENZA Anna saluterà le amiche nel seguente ordine: S-I-G-C

Dettagli

Raccomandazione del Parlamento europeo 18/12/2006 CLASSE PRIMA COMPETENZE ABILITÀ CONOSCENZE. Operare con i numeri

Raccomandazione del Parlamento europeo 18/12/2006 CLASSE PRIMA COMPETENZE ABILITÀ CONOSCENZE. Operare con i numeri COMPETENZA CHIAVE MATEMATICA Fonte di legittimazione Raccomandazione del Parlamento europeo 18/12/2006 CLASSE PRIMA COMPETENZE ABILITÀ CONOSCENZE L alunno utilizza il calcolo scritto e mentale con i numeri

Dettagli

Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria Università di Genova MATEMATICA Il

Corso di Laurea in Scienze della Formazione Primaria Università di Genova MATEMATICA Il Lezione 5:10 Marzo 2003 SPAZIO E GEOMETRIA VERBALE (a cura di Elisabetta Contardo e Elisabetta Pronsati) Esercitazione su F5.1 P: sarebbe ottimale a livello di scuola dell obbligo, fornire dei concetti

Dettagli

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA.

ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. ELEMENTI DI GEOMETRIA ANALITICA: LA RETTA. Prerequisiti I radicali Risoluzione di sistemi di equazioni di primo e secondo grado. Classificazione e dominio delle funzioni algebriche Obiettivi minimi Saper

Dettagli

15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA...

15 febbraio 2010 - Soluzione esame di geometria - 12 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 2009-2010 COGNOME... NOME... N. MATRICOLA... 15 febbraio 010 - Soluzione esame di geometria - 1 crediti Ingegneria gestionale - a.a. 009-010 COGNOME.......................... NOME.......................... N. MATRICOLA............. La prova dura

Dettagli

LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE FRA CULTURA, STORIA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA. Dario Palladino (Università di Genova)

LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE FRA CULTURA, STORIA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA. Dario Palladino (Università di Genova) LE GEOMETRIE NON EUCLIDEE FRA CULTURA, STORIA E DIDATTICA DELLA MATEMATICA Dario Palladino (Università di Genova) Seconda parte Momenti della storia dei tentativi di dimostrazione del V postulato di Euclide

Dettagli

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI

LE FUNZIONI A DUE VARIABILI Capitolo I LE FUNZIONI A DUE VARIABILI In questo primo capitolo introduciamo alcune definizioni di base delle funzioni reali a due variabili reali. Nel seguito R denoterà l insieme dei numeri reali mentre

Dettagli

CURRICOLO MATEMATICA - CLASSE QUINTA -

CURRICOLO MATEMATICA - CLASSE QUINTA - CURRICOLO MATEMATICA - CLASSE QUINTA - COMPETENZA NUCLEO FONDANTE OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO CONTENUTI TRAGUARDI NUMERI 1.a) Indicare il valore posizionale delle cifre nei numeri decimali b) comporre e

Dettagli

UNIONE MATEMATICA ITALIANA. C. I. I. M. Commissione Italiana per l'insegnamento della Matematica

UNIONE MATEMATICA ITALIANA. C. I. I. M. Commissione Italiana per l'insegnamento della Matematica UNIONE MATEMATICA ITALIANA C. I. I. M. Commissione Italiana per l'insegnamento della Matematica ESEMPI DI TERZE PROVE per il NUOVO ESAME DI STATO LA COMPONENTE MATEMATICA ISTITUTO MAGISTRALE Tipologia

Dettagli

Il concetto di valore medio in generale

Il concetto di valore medio in generale Il concetto di valore medio in generale Nella statistica descrittiva si distinguono solitamente due tipi di medie: - le medie analitiche, che soddisfano ad una condizione di invarianza e si calcolano tenendo

Dettagli

SCUOLA PRIMARIA I.C. di CRESPELLANO PROGRAMMAZIONE ANNUALE MATEMATICA

SCUOLA PRIMARIA I.C. di CRESPELLANO PROGRAMMAZIONE ANNUALE MATEMATICA SCUOLA PRIMARIA I.C. di CRESPELLANO PROGRAMMAZIONE ANNUALE MATEMATICA ANNO SCOLASTICO 2013/2014 INSEGNANTI Gabellone, Silvagni,Damiano TRAGUARDI DELLE COMPETENZE AL TERMINE della CLASSE QUARTA Sviluppa

Dettagli

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO. Parte 1

TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO. Parte 1 TRASFORMAZIONI GEOMETRICHE NEL PIANO Parte 1 La geometria è la scienza che studia la forma e l estensione dei corpi e le trasformazioni che questi possono subire. In generale per trasformazione geometrica

Dettagli

Formule trigonometriche

Formule trigonometriche Formule trigonometriche C. Enrico F. Bonaldi 1 Formule trigonometriche In trigonometria esistono delle formule fondamentali che permettono di calcolare le funzioni goniometriche della somma di due angoli

Dettagli

I NUMERI DECIMALI. che cosa sono, come si rappresentano

I NUMERI DECIMALI. che cosa sono, come si rappresentano I NUMERI DECIMALI che cosa sono, come si rappresentano NUMERI NATURALI per contare bastano i numeri naturali N i numeri naturali cominciano con il numero uno e vanno avanti con la regola del +1 fino all

Dettagli

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI

APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI APPUNTI DI MATEMATICA LE FRAZIONI ALGEBRICHE ALESSANDRO BOCCONI Indice 1 Le frazioni algebriche 1.1 Il minimo comune multiplo e il Massimo Comun Divisore fra polinomi........ 1. Le frazioni algebriche....................................

Dettagli

ISTITUTO COMPRENSIVO MONTEGROTTO TERME SCUOLA PRIMARIA DISCIPLINA: MATEMATICA - CLASSE PRIMA OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO

ISTITUTO COMPRENSIVO MONTEGROTTO TERME SCUOLA PRIMARIA DISCIPLINA: MATEMATICA - CLASSE PRIMA OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO PRIMA DELLA DISCIPLINA: MATEMATICA - CLASSE PRIMA L alunno si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali. Legge e comprende testi che coinvolgono aspetti logici e matematici.

Dettagli

Alla ricerca del rettangolo più bello

Alla ricerca del rettangolo più bello Alla ricerca del rettangolo più bello Livello scolare: biennio Abilità interessate Individuare nel mondo reale situazioni riconducibili alla similitudine e descrivere le figure con la terminologia specifica.

Dettagli

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti

CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti CONTINUITÀ E DERIVABILITÀ Esercizi risolti. Determinare kπ/ [cos] al variare di k in Z. Ove tale ite non esista, discutere l esistenza dei iti laterali. Identificare i punti di discontinuità della funzione

Dettagli

IGiochidiArchimede--Soluzionibiennio

IGiochidiArchimede--Soluzionibiennio PROGETTO OLIMPIADI DI MATEMATICA U.M.I. UNIONE MATEMATICA ITALIANA MINISTERO DELLA PUBBLICA ISTRUZIONE SCUOLA NORMALE SUPERIORE IGiochidiArchimede--Soluzionibiennio 17 novembre 2010 Griglia delle risposte

Dettagli

Soluzioni del Certamen Mathematicum

Soluzioni del Certamen Mathematicum Soluzioni del Certamen Mathematicum dicembre 2004 1. Notiamo che un qualsiasi quadrato modulo 4 è sempre congruo o a 0 o a 1. Infatti, se tale numero è pari possiamo scriverlo come 2k, seè dispari invece

Dettagli

CURRICOLO MATEMATICA ABILITA COMPETENZE

CURRICOLO MATEMATICA ABILITA COMPETENZE CURRICOLO MATEMATICA 1) Operare con i numeri nel calcolo aritmetico e algebrico, scritto e mentale, anche con riferimento a contesti reali. Per riconoscere e risolvere problemi di vario genere, individuando

Dettagli

CURRICULUM SCUOLA PRIMARIA MATEMATICA

CURRICULUM SCUOLA PRIMARIA MATEMATICA Ministero dell istruzione, dell università e della ricerca Istituto Comprensivo Giulio Bevilacqua Via Cardinale Giulio Bevilacqua n 8 25046 Cazzago San Martino (Bs) telefono 030 / 72.50.53 - fax 030 /

Dettagli

PROGRAMMI PER GLI ESAMI I PATENTE DE MAESTRI E DELLE MAESTRE DELLE SCUOLE PRIMARIE

PROGRAMMI PER GLI ESAMI I PATENTE DE MAESTRI E DELLE MAESTRE DELLE SCUOLE PRIMARIE Programmi per le Scuole normali e magistrali, e per gli esami di Patente de Maestri e delle Maestre delle Scuole primarie approvati con regio decreto 9 novembre 1861 n. 315 (Raccolta ufficiale delle leggi

Dettagli

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito.

INTEGRALI DEFINITI. Tale superficie viene detta trapezoide e la misura della sua area si ottiene utilizzando il calcolo di un integrale definito. INTEGRALI DEFINITI Sia nel campo scientifico che in quello tecnico si presentano spesso situazioni per affrontare le quali è necessario ricorrere al calcolo dell integrale definito. Vi sono infatti svariati

Dettagli

PROGRAMMAZIONE di MATEMATICA CLASSE PRIMA

PROGRAMMAZIONE di MATEMATICA CLASSE PRIMA PROGRAMMAZIONE di MATEMATICA 1.NUMERI CLASSE PRIMA Comprende il significato Comprendere il significato Insiemi numerici NQZ Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico e algebrico rappresentandole

Dettagli

B. Vogliamo determinare l equazione della retta

B. Vogliamo determinare l equazione della retta Risoluzione quesiti ordinamento Quesito N.1 Indicata con α la misura dell angolo CAB, si ha che: 1 Area ( ABC ) = AC AB sinα = 3 sinα π 3 sinα = 3 sinα = 1 α = Il triangolo è quindi retto in A. La misura

Dettagli

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1

Le funzioni continue. A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. 2002-03. A. Pisani, appunti di Matematica 1 Le funzioni continue A. Pisani Liceo Classico Dante Alighieri A.S. -3 A. Pisani, appunti di Matematica 1 Nota bene Questi appunti sono da intendere come guida allo studio e come riassunto di quanto illustrato

Dettagli

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d.

a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori a. 10-5 b. 10 +5 c. 10 +15 d. 1) Il valore di 5 10 20 è: a. 10 4 b. 10-15 c. 10 25 d. 10-4 2) Il valore del rapporto (2,8 10-4 ) / (6,4 10 2 ) è: a. 4,375 10-7 b. 3,625 10-6 c. 4,375 10 2 d. nessuno dei precedenti valori 3) La quantità

Dettagli

CONTENUTI METODOLOGIA STRUMENTI METODO DI STUDIO VALUTAZIONE ANNO COMPETENZE OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO

CONTENUTI METODOLOGIA STRUMENTI METODO DI STUDIO VALUTAZIONE ANNO COMPETENZE OBIETTIVI DI APPRENDIMENTO NNO COMPETENZE OBIETTIVI DI PPRENDIMENTO CONTENUTI METODOLOGI STRUMENTI METODO DI STUDIO VLUTZIONE 4^ M T E M T I C L alunno si muove con sicurezza nel calcolo scritto e mentale con i numeri naturali e

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti

Rilevazione degli apprendimenti Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 00-0 PROVA DI MATEMATIA Scuola secondaria di II grado lasse... Studente... Simulazioni di prove costruite secondo il Quadro di riferimento Invalsi pubblicato

Dettagli

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:...

Rilevazione degli apprendimenti. Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA. Scuola Secondaria di II grado. Classe Terza Tipo A. Codici. Scuola:... Ministero della Pubblica Istruzione Rilevazione degli apprendimenti Anno Scolastico 2006 2007 PROVA DI MATEMATICA Scuola Secondaria di II grado Classe Terza Tipo A Codici Scuola:..... Classe:.. Studente:.

Dettagli

Rette e piani con le matrici e i determinanti

Rette e piani con le matrici e i determinanti CAPITOLO Rette e piani con le matrici e i determinanti Esercizio.. Stabilire se i punti A(, ), B(, ) e C(, ) sono allineati. Esercizio.. Stabilire se i punti A(,,), B(,,), C(,, ) e D(4,,0) sono complanari.

Dettagli

ESAME DI QUALIFICA TRIENNALE (II LIVELLO EUROPEO)

ESAME DI QUALIFICA TRIENNALE (II LIVELLO EUROPEO) Nome e ognome Id Azione Data.. Tipo prova MATEMATIA - III anno - sessione 1 a.f. 008/009 ESAME DI QUALIFIA TRIENNALE (II LIVELLO EUROPEO) 1 M0 Data l equazione x + 3 = 3x + b quale valore si deve dare

Dettagli

ABCD è un parallelogrammo 90. Dimostrazione

ABCD è un parallelogrammo 90. Dimostrazione EQUISCOMPONIBILITÀ Problema G2.360.1 È dato il parallelogrammo ABCD: dai vertici A e B si conducano le perpendicolari alla retta del lato CD e siano rispettivamente E e F i piedi di tali perpendicolari

Dettagli

GEOMETRIA CLASSE TERZA

GEOMETRIA CLASSE TERZA GEOMETRIA CLASSE TERZA Le principali figure geometriche del piano e dello spazio. Rette incidenti, perpendicolari e parallele. Introduzione del concetto di angolo a partire da contesti concreti. Introduzione

Dettagli

DISORGANIZZAZIONE DISLESSIA CONCENTRAZIONE DISGRAFIA DSA DISORTOGRAFIA LENTEZZA MEMORIA DISCALCULIA DISPRASSIA DISNOMIA.

DISORGANIZZAZIONE DISLESSIA CONCENTRAZIONE DISGRAFIA DSA DISORTOGRAFIA LENTEZZA MEMORIA DISCALCULIA DISPRASSIA DISNOMIA. Rita e Marco DISORGANIZZAZIONE DISLESSIA CONCENTRAZIONE DISGRAFIA LENTEZZA DSA DISORTOGRAFIA MEMORIA DISCALCULIA DISPRASSIA DISNOMIA Rita e Marco 3 DISLESSIA difficoltà Studio della teoria sul libro. Comprensione

Dettagli

Categoria Student Per studenti degli ultimi due anni della scuola secondaria di secondo grado

Categoria Student Per studenti degli ultimi due anni della scuola secondaria di secondo grado Categoria Student Per studenti degli ultimi due anni della scuola secondaria di secondo grado. Risposta A). Il triangolo ABC ha la stessa altezza del triangolo AOB ma base di lunghezza doppia (il diametro

Dettagli

1. 2. 3. 4. 1. E F G 1. 2. 3. 2. 1. H I 2. 3. 1. 2.

1. 2. 3. 4. 1. E F G 1. 2. 3. 2. 1. H I 2. 3. 1. 2. ISTITUTO COMPRENSIVO DI AGORDO Scuola Primaria PIANO ANNUALE DI MATEMATICA CLASSE 5^ UNITA DI APPRENDIMENTO (U.A.) OBIETTIVI FORMATIVI OBIETTIVI SPECIFICI DI APPRENDIMENTO ( O.S.A. ) 1 2 3 4 I NUMERI A

Dettagli

CURRICOLO DISCIPLINARE DI MATEMATICA

CURRICOLO DISCIPLINARE DI MATEMATICA A.S. 2014/2015 MINISTERO DELL ISTRUZIONE DELL UNIVERSITÀ E DELLA RICERCA Istituto Comprensivo Palena-Torricella Peligna Scuola dell Infanzia, Primaria e Secondaria di 1 grado Palena (CH) SCUOLA SECONDARIA

Dettagli

Unità Didattica N 28 Punti notevoli di un triangolo

Unità Didattica N 28 Punti notevoli di un triangolo 68 Unità Didattica N 8 Punti notevoli di un triangolo Unità Didattica N 8 Punti notevoli di un triangolo 0) ircocentro 0) Incentro 03) Baricentro 04) Ortocentro Pagina 68 di 73 Unità Didattica N 8 Punti

Dettagli

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y

Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : = y Funzioni inverse Simmetrie rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari. Consideriamo la trasformazione descritta dalle equazioni : ' = y y' = Consideriamo il punto P(,5) se eseguiamo tra trasformazione

Dettagli

FIGURE GEOMETRICHE SIMILI

FIGURE GEOMETRICHE SIMILI FIGUE GEOMETICHE SIMILI Nel linguaggio comune si dice che due oggetti sono simili quando si «assomigliano». Così si dicono simili due cani della stessa razza, i fiori della stessa pianta, gli abiti dello

Dettagli

MATEMATICA: COMPETENZA 1 TERMINE DEL PRIMO BIENNIO ( classe seconda scuola primaria) COMPETENZE ABILITA CONOSCENZE

MATEMATICA: COMPETENZA 1 TERMINE DEL PRIMO BIENNIO ( classe seconda scuola primaria) COMPETENZE ABILITA CONOSCENZE MATEMATICA: COMPETENZA 1 TERMINE DEL PRIMO BIENNIO ( classe seconda scuola primaria) Utilizzare le tecniche e le procedure del calcolo aritmetico scritto e mentale partendo da contesti reali Rappresentare

Dettagli

II.f. Altre attività sull euro

II.f. Altre attività sull euro Altre attività sull euro II.f È consigliabile costruire modelli in carta o cartoncino di monete e banconote, e farli usare ai bambini in varie attività di classe fin dal primo o al più dal secondo anno.

Dettagli