8.1 Sintesi, descrizione, interpretazione

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1 8.1 Sntes, descrzone, nterpretazone Molte duse tecnche d anals statstca multvarata consentono d studare smultaneamente un numero elevato d varabl sntetzzandone l azone snergca attraverso un numero rdotto d combnazon lnear ndpendent. Vengono coè ndvduate nuove varabl sottostant all nseme nzale de dat, ottenute come combnazon lnear d quelle d partenza. Se le nuove varabl spegano buona parte della varabltà complessva del sstema orgnaro, dventa estremamente vantaggoso passare dalla dcle e spesso mpossble anals smultanea d molte varabl al pù accessble studo d poche varabl capac d sntetzzare statstcamente (n termn d varabltà) l enomeno studato. Questo genere d anals multvarata s caratterzza qund per due ondamental aspett: a) la descrzone d enomen compless attraverso una necessara rduzone de dat, che corrsponde a una sensble rduzone della dmensone dello spazo geometrco d rermento; b) l nterpretazone del nuovo sstema statstco ottenuto. Il problema dell nterpretazone costtusce la parte operatvamente pù crtca de metod d anals multvarata: l sgncato che vene attrbuto alle nuove varabl ndvduate rentra nella sera delle conoscenze e delle scelte soggettve e come tale è suscettble d varazon n base al tpo d rcerca e a rcercator stess. A proposto del ruolo ondamentale e rrnuncable, n qualsas contesto statstco, dell nterpretazone, Italo Scardov e Paola Monar hanno scrtto [Scardov e Monar 1993]: Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

2 Il calcolo statstco dà soltanto una sntes quanttatva del varare d due o pù grandezze, derv esso da un legame causale dretto o rletta nvece una pù complessa nterazone. Ora, se l anals del come due o pù varabl appaono connesse nvta alla rcerca del perché, non per questo metod [ ] possono tener luogo de contenut e sostturs alla conoscenza proonda della realtà ndagata. Altrment la correlazone è sterle tautologa, l anals statstca bua elaborazone. Ogn rsultato statstco ha valore n quanto aggust un modello, ntegr una teora, controll un potes. Ed è sempre un dea a dare sgncato al dato, ragone al calcolo, contenuto al paradgma teorco, a suo presuppost logco-ormal. Correlazone statstca sgnca soltanto concomtanza d varazon. Tale concomtanza può attestare nluenza unvoca d una varable sull altra, oppure recproca nterazone, o nvece dpendenza comune da un terzo attore: sono qund mplcte e possbl la dpendenza dretta, l nterdpendenza, la co-dpendenza; ma v è pure la ortuta concdenza, prva d tutt quest sgncat: ed essa è tanto pù nsdosa quanto pù l osservazone è crcoscrtta. Ancora, qund, la rlevanza de contenut. Ancora l dstnguo, e l conronto, tra logos ed empera: ancora l dalogo della ragon crtca con la ragon spermentale. Il rcorso all anals statstca non sgnca mettere a tacere l ntellgenza crtca, applcare meccancamente tecnche pù o meno ranate senza la consapevolezza de prncp da cu dscendono, nascondere l assenza d dee detro cortne d smbol: la trappola delle allace logche è sempre pronta a scattare. In tal allace non è dcle cadere quando s assumano le tecnche d calcolo come regole sosttutve del ragonamento, così da are del metodo statstco una sorta d arte dvnatora pù vcna al rtuale oscuro dell aruspce che al ragonare galleano dello scenzato. Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

3 8.2 Le orgn della statstca multvarata I prm metod d anals statstca multvarata nacquero tra la ne dell Ottocento e l nzo del Novecento. Il modello d regressone lneare multpla u rpreso da Galton nel 1877 dopo aver mosso prm pass a nzo secolo graze agl stud d Laplace e Gauss, che aveva svluppato l metodo de mnm quadrat. Le bas teorche dell anals delle component prncpal trovano la loro orgne ne tentatv d Galton nel 1889 e d Edgeworth nel 1891 d studare alcune msure antropometrche attraverso strutture statstcamente ndpendent ottenute come combnazon lnear delle varabl rlevate. Le stesse soluzon proposte da Galton ed Edgeworth urono ottenute nel 1901 da Pearson partendo da un problema prettamente geometrco: l obettvo era natt quello d ndvduare l sstema d rette e pan che potesse approssmare n modo ottmale un nseme d punt n un generco spazo p-dmensonale. Le orgn dell anals de attor vanno rcercate nell ambto della rcerca pscologca d nzo Novecento: la prma ormulazone del metodo u quella d Spearman nel Rsalgono, nne, al 1936 sa l anals dscrmnante, ntrodotta da Fsher, che l anals della correlazone canonca, ntrodotta da Hotellng [Mgnan e Montanar 1994]. Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

4 8.3 Le varabl qualtatve e l ACM Tutt metod snora ctat s adattano solamente allo studo d varabl quanttatve, dotate d una propra metrca, coè msurabl n modo unvoco attraverso una coerente scala d msurazone. Nello studo de enomen socal e soco-demograc s ha però spesso a che are con varabl qualtatve, che per la loro stessa natura sono dclmente rconducbl a varabl metrche: è l caso d varabl demograche d base come sesso e stato cvle, delle varabl bnare presenza/assenza e d tutte quelle varabl che rlevano opnon, atteggament e comportament. L assenza d una precsa scala d msurazone rende mpossble, o perlomeno altamente sconsglable (perché rchederebbe strane o assurde trasormazon delle varabl), l rcorso a metod quanttatv. La stessa anals attorale, ampamente utlzzata nella moderna rcerca pscologca e socale, non s adatta alla enomenologa studata se questa è rappresentata operatvamente anche o solo da varabl d natura qualtatva. L anals delle corrspondenze multple [ Lebart, Morneau e Pron 1995; Mannett; Monar 1997], brevemente ndcata con la sgla ACM, rsolve quest problem d metodo n quanto s adatta sa allo studo d nsem d varabl uncamente d natura qualtatva che allo studo d varabl tpologcamente non omogenee. Opera natt su varabl qualtatve a) che erano gà tal nell ambto della rcerca a cu c s rersce (coè gà concettualzzate, operatvzzate e rlevate sotto una veste qualtatva); b) rese tal trasormando varabl quanttatve con opportune aggregazon n class o con una rcodca logca n varabl bnare presenza/assenza. Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

5 I ondament teorc d questa prezosa tecnca d anals multvarata vanno prncpalmente rcercat negl stud d Guttman degl ann Quaranta, ne lavor d Burt e Hayash degl ann Cnquanta e successvamente nelle estenson proposte da Benzecr e da Masson. In termn general, l ACM s propone d descrvere la struttura delle relazon sottese alla matrce de dat oggetto d studo attraverso la collocazone e l anals de punt-modaltà delle varabl n uno spazo geometrco-statstco d dmensone rdotta. Per studare le correlazon tra varabl, metod quanttatv d anals multvarata pù utlzzat rcorrono al coecente d correlazone lneare d Pearson (r). Con l ACM, nvece, camba la struttura matematco-statstca d rermento. S passa alla metrca del 2 (Ch quadro): le relazon tra le varabl qualtatve vengono msurate attraverso la statstca del 2, che valuta l allontanamento delle varabl dalla stuazone d ndpendenza. Fondata su tale metrca, l ACM prescnde sa dalle untà d msura delle varabl n esame che da qualsas assunto rguardante determnate relazon unzonal tra esse, a derenza d altre tecnche d anals attorale [ 1 ]. 1 Soltamente l assunto teorco d base de metod quanttatv rguarda la presenza d relazon lnear (o comunque rconducbl ad esse tramte opportune trasormazon) tra le varabl. Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

6 8.4 La matrce logco-dsguntva e prol La tabella orgnale de dat corrsponde a una matrce untà x varabl, d dmenson n x p, e rappresenta le n untà statstche analzzate su cu sono state rlevate p varabl. A partre da questa tabella, l ACM rchede la costruzone della matrce logco-dsguntva completa d dmenson n x q, dove q è l numero complessvo d tutte le modaltà delle p varabl. Per ogn untà statstca (rga) s assegna una colonna a cascuna modaltà e s attrbusce a) valore 0 se l untà non presenta quella modaltà; b) valore 1 se l untà presenta quella modaltà. Questo metodo d codca è appunto a) dsguntvo perché le dverse modaltà d cascuna varable s escludono a vcenda: ogn rga presenta un solo 1 per ogn varable; b) completo perché per tutte prevede l assegnazone de valor 0 e 1 per tutte le n untà e le q modaltà delle varabl. Le colonne della matrce logco-dsguntva completa ndvduano dunque q varabl ndcatrc, che assumono valore 0 o 1 a seconda dell assenza o della presenza delle rspettve modaltà. In questo modo lo studo delle p varabl qualtatve d partenza è rconducble allo studo delle q varabl ndcatrc rerte alle modaltà, con q > p. Indcato con k l termne generco della matrce logcodsguntva,, s ha che k =1 se l untà -esma possede la modaltà -esma; k =0 altrment. (8.1) con Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

7 = 1,, n = 1,, q. Inoltre è mmedato notare che q 1 k p. (8.2) La matrce logco-dsguntva può essere aclmente trasormata n una tavola d requenze (Fgura 1). Fgura 1 Struttura della tavola d requenze 1,, q 1,, n 1 La requenza della modaltà -esma relatva all -esma untà statstca vene denta come k. (8.3) n p In questo modo l totale complessvo della tavola rsulta untaro: n q 1 1 n q n k p n p 1. (8.4) n p n p n p Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

8 I total margnal d rga corrspondono alle somme per rga delle requenze : n 1. (8.5) Analogamente, total margnal d colonna corrspondono alle somme per colonna delle requenze : q 1. (8.6) Rcordando la (8.4), vale la relazone 1. (8.7) I prol rga sono dent dal rapporto tra le requenze e total margnal d rga. Corrspondono qund, al varare d, a vettor d requenze relatve 1,...,,..., q. (8.8) I prol colonna sono dent dal rapporto tra le requenze e total margnal d colonna. Corrspondono qund, al varare d, a vettor d requenze relatve 1,...,,..., n. (8.9) Essendo l totale della tavola par a 1, l prolo margnale rga corrsponde al vettore de total margnal d colonna [ 2 ]: 2 Dversamente, nvece, total margnal andrebbero rapportat al totale complessvo. Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

9 ,..., 1,..., q. (8.10) Analogamente, l prolo margnale colonna corrsponde al vettore de total margnal d rga: 1,..., n. (8.11),..., Dventa allora possble rappresentare geometrcamente punt-modaltà delle varabl attraverso le coordnate de rspettv prol colonna. Parallelamente, punt-untà sono collocabl nello spazo geometrco-statstco attraverso le coordnate de prol rga. La denzone d prolo, natt, pone n collegamento recproco l nseme delle untà statstche e l nseme delle modaltà delle varabl. La struttura de prol consente appunto d studare la struttura delle relazon sottese a quest due nsem d nteresse. Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

10 8.5 Nuvole d punt, centr d gravtà e nerza La tavola delle requenze permette d ndvduare due nuvole d punt, rspettvamente nello spazo geometrco-statstco n- dmensonale e q-dmensonale: N(I) e N(J). q La nuvola N(I) è costtuta da punt dello spazo che hanno per coordnate gl element de prol rga: x. (8.12) A ogn punto x è assocata la massa, che msura l mportanza relatva dell untà -esma rspetto all nseme delle normazon. Le prossmtà tra punt sono drettamente nterpretabl n termn d smlartà tra prol: due osservazon che hanno prol dentc ndvdueranno due punt sovrappost nella rappresentazone spazale. Il centro d gravtà d N(I) è dato dal punto G avente come coordnate le mede artmetche ponderate, al varare d, delle coordnate de punt della nuvola, con pes par alle rspettve masse : g n 1 x. (8.13) È mmedato notare che l vettore delle coordnate d G così dento vene a corrspondere al prolo margnale rga. Inatt g n n 1 1. (8.14) Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

11 Qund l prolo margnale rga è anche l prolo medo d rga. La nuvola N(J) è costtuta da punt dello spazo hanno per coordnate gl element de prol rga: n che y. (8.15) A ogn punto y è assocata la massa della modaltà -esma, e l centro d gravtà d N(J) è dato dal punto H avente come coordnate le mede artmetche ponderate, al varare d, delle coordnate de punt della nuvola, con pes par alle rspettve masse : h q 1 y. (8.16) Il vettore delle coordnate d H corrsponde al prolo margnale colonna: h q 1 q 1 1 n. (8.17) Qund l prolo margnale colonna è anche l prolo medo d colonna, par a 1/n (essendo l totale della tavola d requenze par a 1 e l nseme delle untà d numerostà n). La dstrbuzone margnale I = ( = 1,, n) è dunque unorme su tutte le untà statstche. La varabltà complessva d una nuvola d punt è data dalla dspersone de punt stess attorno al centro d gravtà e prende l nome d nerza, msurata attraverso la dstanza secondo la metrca del 2 de prol rga o colonna da corrspondent prol margnal (prol med). Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

12 La dstanza 2 tra due generc prol rga e è denta dalla somma delle dstanze tra loro element al quadrato ponderate con l nverso delle requenze corrspondent del prolo margnale d colonna: d 2 2 ' 1. (8.18) ' Analogamente, per prol colonna s ha: d 2 2 ' 1. (8.19) ' Ponderando n questo modo s rstablsce un equlbro tra le modaltà, n quanto: a) s rvaluta l contrbuto dato dalle modaltà con requenza pù bassa; b) s rdmensona l contrbuto dato dalle modaltà con requenza pù alta. Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

13 8.6 La matrce d Burt Se s costrusce la tabella d contngenza che ncroca tra loro tutte le q modaltà della matrce logco-dsguntva completa s ottene una tabella d requenze, d dmenson q x q, detta matrce d Burt o matrce delle corrspondenze multple. Per ognuno de q x q punt d ncroco bvarat vene nserto l numero d untà statstche che presentano entrambe le modaltà, coè che valgono 1 n entrambe le varabl ndcatrc consderate. La matrce d Burt a) rsulta smmetrca rspetto alla dagonale prncpale. È qund denta e costruta n modo da poter essere letta sa nel senso delle rghe che n quello delle colonne, dando luogo a un anals delle relazon d tpo smmetrco. b) nelle sottomatrc corrspondent alle modaltà d una stessa varable presenta esternamente alla dagonale tutt valor null, per la gà vsta propretà d dsgunzone (nessuna untà statstca può possedere contemporaneamente 2 modaltà della stessa varable). La matrce d Burt non tene conto delle normazon su sngol soggett, ma solo delle requenze delle assocazon (qund gà n orma aggregata); la matrce logco-dsguntva completa nvece contene tutte le normazon della matrce orgnale de dat (la untà x varabl ). S dmostra tuttava che rsultat dell ACM condotta su due tp d tabelle sono equvalent, per cu è convenente eettuare l anals n rermento alla matrce d Burt. Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

14 8.7 La scelta del numero d attor Geometrcamente le q modaltà generano uno spazo a q dmenson n cu vengono rappresentate le n untà statstche. Ogn untà è rappresentata da un punto che ha come coordnate q element del suo prolo rga. Analogamente all anals attorale, lo scopo dell ACM è quello d ndvduare un sottospazo ottmale d dmensone k << q [ 3 ] a) dento da k nuove varabl ottenute come combnazon lnear d quelle d partenza; b) che abba come orgne l centro d gravtà del sstema orgnaro. Attraverso le combnazon lnear ottmal de punt-modaltà delle varabl convolte nell anals, l ACM provvede qund a ndvduare varabl sntetche denomnate semplcemente attor o ass attoral, come nell anals delle component prncpal e nell anals de attor. I attor a) sono determnat n modo da essere ortogonal tra loro, coè ndpendent l uno dall altro; b) ordnat dal 1 al k-esmo spegano n ordne decrescente la varabltà del sstema. Indvduat gl ass attoral, dventa possble rvedere l sstema orgnaro sotto la nuova veste delle coordnate attoral, che rappresentano le nuove poszon de punt-modaltà nello spazo geometrco rdotto k-dmensonale. In parallelo con l anals delle component prncpal e con l anals de attor, s dmostra che la quota d varabltà spegata da cascun attore concde con l autovalore corrspondente 3 k molto mnore d q. Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

15 relatvo alla matrce delle dstanze de punt-modaltà dal barcentro del sstema [ 4 ]. La somma d tutt q autovalor concde con l nerza totale e corrsponde alla tracca della matrce, par a q p p vale a dre q p 1. (8.20) Qund l rapporto tra l autovalore del attore -esmo e la somma d tutt gl autovalor ndvdua la proporzone d nerza spegata dal attore stesso: q 1. (8.21) Il prmo attore dà la mglore sntes della matrce de dat d partenza. L autovalore ad esso assocato è quello pù alto e spega la quota pù elevata dell nerza totale. Tale quota dmnusce po progressvamente proseguendo con attor successv al prmo. Aggungere attor porta dunque a un guadagno d precsone e aumenta la quota d nerza cumulatva spegata, ma nello stesso tempo aumenta l numero d dmenson da nterpretare. Anche se non esstono regole rgde per l ndvduazone del numero d attor da consderare, soltamente l crtero seguto consste nell ndvduare l attore oltre l quale l nerza cumulatva spegata cumulatva nza ad aumentare molto lentamente, per esempo al d sotto del 10% per ogn successvo attore aggunto. 4 Questo escludendo l 1 autovalore, detto banale, par a 1. Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

16 L ACM porta a un rapdo decremento dell mportanza de attor, e l sotware SPAD ornsce un stogramma che rappresenta gracamente gl autovalor tramte segment d lunghezza proporzonale a cascuno d ess. Dventa così possble dare una valutazone a colpo d occho dell andamento decrescente degl autovalor, n analoga con lo scree-test dell anals delle component prncpal. Un autovalore gracamente ben separato da quello che lo precede e da quello che lo segue ndvdua un asse attorale ben caratterzzato, che è produttvo nterpretare. Secondo Benzecr, gl autovalor ornt dall ACM danno una valutazone rduttva dell nerza spegata dagl ass attoral estratt, perché soltamente l numero d modaltà delle varabl su cu s opera è molto alto e porta a tenere conto d tant attor d mportanza nntesma. L autore propone allora una ormula ottmsta per attrbure pù mportanza a prm attor. Il metodo tene conto solamente degl autovalor maggor d 1/p e nuov autovalor vengono calcolat n questo modo: = 2 p p (8.22) p La quota d nerza spegata da ogn attore vene così rvalutata sulla base de, coè attraverso l rapporto ' '. (8.23) Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

17 8.8 Le varabl attve e le varabl llustratve Le varabl convolte nell ACM possono assumere due derent ruol strategc : a) Le p varabl che entrano drettamente nell anals e concorrono alla ormazone della matrce logco-dsguntva completa, della matrce d Burt e degl ass attoral sono le varabl attve. b) Le varabl llustratve, o supplementar, sono nvece escluse dalla ase d estrazone de attor e vengono utlzzate solo successvamente, consderando la loro poszone sugl ass attoral come auslo nterpretatvo all anals e per studare eventual legam d nterdpendenza con attor stess. Soltamente, qund, le varabl attve corrspondono alle varabl d nteresse della rcerca e quelle llustratve alle varabl demograche d base o soco-demograche aggunte. Eettuata una prma ACM esploratva, l rcercatore può decdere d cambare l ruolo d alcune varabl attve rducendole a llustratve (e dmnuendo qund p). Questo avvene ne cas n cu una varable attva dà scarso contrbuto alla ormazone degl ass attoral, a causa a) d partcolar specctà che la rendono ndpendente da tutte le altre varabl; b) d una dstrbuzone d requenza molto sblancata ra le sue modaltà. Cambato l ruolo delle varabl consderate crtche, s reettua l ACM andando a vedere come punt-modaltà delle varabl stesse rdotte a llustratve s collocano rspetto agl ass attoral. Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

18 8.9 L nterpretazone degl ass attoral Stablto l numero k d attor s passa alla ase ocale e nello stesso tempo pù crtca dell anals, e coè all nterpretazone delle sngole dmenson attoral. Per nterpretare l sgncato degl ass attoral s utlzzano a) le coordnate attoral, che ndcano la proezone de q punt-modaltà orgnal sugl ass dello spazo geometrco rdotto k-dmensonale ed esprmono le relazon tra modaltà e attor; b) alcun mportant ndcator che permettono d valutare l mportanza che ogn varable attva, con le relatve modaltà, rveste nella ormazone degl ass attoral. Le coordnate attoral stablscono la poszone delle modaltà sugl ass, sa n termn d dstanza dal barcentro del sstema (coè dal punto le cu coordnate corrspondono al vettore nullo k-dmensonale), sa n termn d versante postvo o negatvo dell asse consderato, n base al segno + (la modaltà è proettata sul semasse postvo) o - (la modaltà è proettata sul semasse negatvo). Le modaltà che presentano valor pù alt sono d solto quelle che contrbuscono maggormente alla ormazone dell asse attorale. Tuttava, valore della coordnata e mportanza della modaltà non sono necessaramente proporzonal. S può natt vercare l cosddetto eetto delle modaltà rare per cu, a causa delle ponderazon della metrca del 2, un punto può essere tanto pù dstante dal barcentro quanto pù bassa è la requenza margnale della relatva modaltà. È allora mportante rerrs agl altr ndcator, tutt ornt da SPAD: Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

19 a) La massa, o peso relatvo, d cascuna modaltà è denta come rapporto tra la requenza relatva della modaltà e p. b) La dstorsone, o dstanza dall orgne, d cascuna modaltà dà ndcazon sul suo carattere pererco : soltamente a valor alt corrsponde una massa debole e qund una scarsa rlevanza della modaltà stessa; vceversa nel caso d valor bass. c) Il contrbuto assoluto d cascuna varable e delle sngole modaltà corrsponde alla percentuale d nerza del attore spegata dalla modaltà o dalla varable a cu s rersce rspetto all nseme complessvo delle modaltà o delle varabl. d) Il coseno quadrato dell angolo compreso tra l asse attorale e l segmento corrspondente alla dstanza del punto-modaltà dal barcentro è detto anche contrbuto relatvo o qualtà della rappresentazone e consente d ndvduare quale asse attorale spega meglo la poszone del punto rspetto al barcentro, coè quale attore descrve meglo la varabltà della modaltà. Per ogn puntomodaltà, l asse attorale geometrcamente pù vcno corrsponde al valore pù alto del coseno quadrato, che raggunge l valore 1 se l punto è stuato esattamente sull asse. Nell applcazone dell ACM a dat n esame, llustrata nel prossmo Captolo, s adottano seguent crter nterpretatv: 1 a ase: pre-selezone delle modaltà Vengono escluse a pror dall anals le modaltà che all nterno della varable presentano una requenza assoluta nerore o par al 2% della requenza assoluta massma, coè del numero d untà statstche. In SPAD l valore del 2% è consglato per deault. Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

20 2 a ase: scelta del numero d attor La scelta del numero d attor da ncludere nell anals vene eettuata tramte a) l osservazone vsva dell andamento degl autovalor nell stogramma e l ndvduazone del punto d gomto; b) la renterpretazone ottmstca d Benzecr; c) lo studo dell andamento degl ncrement percentual dell nerza cumulatva calcolat sulla base de nuov autovalor ottenut. 3 a ase: anals de contrbut assolut delle varabl Una volta stablto l numero k d ass attoral, l rermento prortaro va a contrbut assolut delle varabl, coè alla percentuale d nerza spegata n corrspondenza d cascuno de k attor scelt rspetto al sstema complessvo d varabl. In questo modo a) vene valutato l contrbuto d ogn sngola varable all nerza complessva del sstema; b) per ogn varable vengono ndvduat l attore o attor corrspondent a contrbut pù rlevant. 4 a ase: anals de contrbut assolut delle modaltà Nel contesto d cascuna varable s passa po all anals delle modaltà lmtatamente al attore o a attor pù mportant, andando a vedere come l contrbuto assoluto s dstrbusce all nterno della varable, dando luogo a sngol contrbut assolut delle modaltà. Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

21 5 a ase: anals de contrbut relatv Per l anals delle modaltà un ulterore rermento va al coseno quadrato, che dà una valutazone rgorosamente geometrca delle dstanze de punt dagl ass attoral e ore qund normazon sulla qualtà della loro rappresentazone, consentendo tra l altro, se necessaro, d ndvduare n modo unvoco l asse attorale pù vcno ad ogn punto-modaltà consderato. 6 a ase: scelta nale delle modaltà pù rappresentatve L anals congunta de contrbut assolut e de cosen quadrat guda la scelta delle modaltà da rtenere pù sgncatve a n della sntes. 7 a ase: anals delle coordnate delle modaltà scelte Indvduate le modaltà pù mportant, s procede a una loro rlettura secondo le coordnate del nuovo sstema attorale d rermento, mettendo n evdenza: a) le combnazon lnear, corrspondent a comportament dello stesso segno n rermento agl ass attoral; b) contrast lnear, corrspondent a comportament d segno opposto. Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

22 8.10 I valor-test per le modaltà llustratve Una modaltà llustratva non rsulta caratterzzare un dato attore se la sua dstanza sull asse attorale dal barcentro del sstema non è statstcamente sgncatva. In termn nerenzal, parlare d dstanza dal barcentro statstcamente non sgncatva equvale a potzzare che le untà statstche che presentano la modaltà n esame sano estratte casualmente dall nseme complessvo delle untà. Per ogn m- esma modaltà llustratva, qund, l potes nulla H 0 da controllare è l potes d estrazone casuale senza rentroduzone d nm untà tra le n della popolazone d rermento. La dstanza dal barcentro del sstema dell m-esma modaltà sul -esmo asse attorale è data drettamente dalla sua coordnata sull asse stesso: x m. Dento l ndce m=1,,nm, x m è ndvduata dalla meda artmetca delle coordnate x m delle untà che presentano la modaltà moltplcate per un coecente dpendente dall autovalore k: x m 1 k m x m n m. (8.24) La dstanza x m vene a corrspondere a una varable aleatora X che sotto l potes H 0 segue una legge d probabltà normale da parametr not e aclmente rconducble a una dstrbuzone normale standardzzata: E(X H 0 ) = 0 (8.25) V(X H 0 ) = n nm 1 n 1 n m. (8.26) Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl

23 I valor-test sono qund tratt dalla normale standardzzata e ndvduano le probabltà crtche p m = Prob {X x m H 0 }. (8.27) Com è noto dalla statstca nerenzale, la probabltà crtca corrsponde alla probabltà d sbaglare nel rutare H 0, coè n questo caso alla probabltà d consderare sgncatva una modaltà n realtà non mportante. All aumentare del valore-test dmnusce la probabltà crtca e dventa sempre pù nverosmle l potes nulla: pù è alto l valoretest, pù la modaltà concorre sgncatvamente alla caratterzzazone del attore. Nel prossmo Captolo saranno consderate sgncatve le modaltà llustratve che portano a valor-test maggor d +2 o mnor d 2, corrspondent a una probabltà crtca nerore a crca l 5% [ 5 ]. 5 È l mpostazone d deault d SPAD. In corrspondenza del 5% esatto l valore n ordnata della dstrbuzone normale standard sarebbe par a 1,96. Sessualtà e stl d vta: opnon e comportament emmnl