Questo è il secondo di una serie di articoli, di

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1 DENTRO LA SCATOLA Rubrca a cura d Fabo A. Schreber Il Consglo Scentfco della rvsta ha pensato d attuare un nzatva culturalmente utle presentando n ogn numero d Mondo Dgtale un argomento fondante per l Informatca e le sue applcazon; n tal modo, anche l lettore curoso, ma frettoloso, potrà renders conto d che cosa sta dentro la scatola. È nfatt dffusa la sensazone che lo svluppo formdable assunto dal settore e d conseguenza l grande numero d persone d dverse estrazon cultural che - a varo ttolo - s occupano de calcolator elettronc e del loro mondo, abbano nascosto detro una cortna d nebba concett baslar che lo hanno reso possble. La realzzazone degl artcol è affdata ad autor che unscono una grande autorevolezza scentfca e professonale a una notevole capactà dvulgatva. Le operazon artmetche Lug Cmnera. INTRODUZIONE Questo è l secondo d una sere d artcol, d cu l prmo è apparso nello scorso numero [], che sono dedcat ad alcun aspett fondamental d un sstema d elaborazone, vsto come calcolatore, ovvero come macchna per effettuare calcol. L artcolo precedente s è soffermato sulle rappresentazon bnare, concentrandos soprattutto sul modo n cu s rappresentano numer. In questo secondo artcolo della sere c s occuperà d descrvere gl algortm pù comun per l effettuazone delle operazon d somma/sottrazone, moltplcazone e dvsone. L algortmo relatvo a una qualsas delle operazon artmetche non può prescndere dalla rappresentazone nell artcolo precedente, ovvero: Numer bnar senza segno, espress utlzzando n bt come: n X = x 2 = Numer n modulo e segno che, rcordando che l bt x n è quello che esprme l segno negatvo () o postvo (), sono espress come: ( ) x n 2 n X = x 2 = Numer n complemento a 2, espress come: X = x 2 + x 2 n n n 2 = Questo artcolo s lmta, noltre, alla trattazone delle operazon per numer a vrgola fssa, rmandando alla letteratura ctata n bblografa, per le operazon con numer a vrgola moble, molto dverse da quelle qu dscusse, soprattutto a causa del numero molto maggore d grad d lbertà. 2. SOMMA E SOTTRAZIONE L operazone d somma con numer nter postv deve essere effettuata n bnaro nello stesso modo n cu vene effettuata n decmale: s parte dalla colonna a destra e s calcola, per ogn colonna, la somma delle cfre corrspondent degl addend, pù un eventuale rporto generato dalla precedente colonna. Per realzzare questo semplce algortmo, è necessaro però conoscere l valore della cfra d somma e quello del rporto che vengono generate da tutte le possbl combnazon delle cfre nella base prescelta, che per la base 2, sono seguent: + + = con rporto d + + = + + = + + = con rporto d + + = + + = + + = con rporto d + + = con rporto d M O N D O D I G I T A L E n. 2 - g u g n o

2 Gl esemp seguent mostrano come vene effettuata la somma de numer decmal e + 8, utlzzando una rappresentazone su 4 bt. rport rport Nell esempo d destra, s può notare come la somma produca un rporto generato nella colonna de bt pù sgnfcatv, che deborda a snstra dalla nostra rappresentazone d 4 bt. Questo rporto n uscta a snstra è l ndcazone che s è prodotto un overflow, ovvero l rsultato è talmente grande che non può pù essere rappresentato con l numero d bt prescelto; d altra parte, è facle verfcare che 4 bt consentono, n questa rappresentazone, d operare con numer nter da a 5, mentre l rsultato corretto è 8, che rchederebbe almeno 5 bt. Per poter essere scur d non ncorrere n overflow, bsogna garantre che la rappresentazone della somma abba almeno bt n pù rspetto a quella dell operando pù lungo. Nel caso d somma d k numer da n bt, la lunghezza mnma della rappresentazone del rsultato, che garantsca contro gl overflow è n + log 2 k. Per quanto rguarda la sottrazone, le regole sono leggermente dfferent: s procede sempre da destra verso snstra, a ogn colonna bsogna sottrarre al bt del prmo operando quello del secondo operando e anche un eventuale prestto utlzzato nella colonna precedente. = = = con prestto d = = = con prestto d = con prestto d = con prestto d Gl esemp che seguono mostrano come vengono effettuate le sottrazon 9 7 e 5 7, utlzzando le regole precedent. prestt prestt Anche n questo caso, l esempo d destra mostra un anomala segnalata dal fatto che v è un prestto n uscta dalla colonna pù a snstra. In questo caso, l problema consste nel fatto che l rsultato è negatvo ( 2), mentre s sta utlzzando una rappresentazone che consdera solo, per defnzone, numer nter postv. Per poter trattare anche numer nter negatv, bsogna rcorrere a una delle altre due rappresentazon consderate. In partcolare, la rappresentazone n complemento a 2 permette d effettuare le somme utlzzando esattamente lo stesso algortmo precedentemente llustrato per numer senza segno, con l ulterore semplfcazone che anche bt d segno vengono trattat nello stesso modo rspetto a tutt gl altr bt. S può, qund, procedere come mostrano gl esemp rportat d seguto: rport rport Come sempre, l esempo a destra mostra un anomala, che n questo caso non è dovuta al rporto uscente dalla poszone pù a snstra (quella de bt d segno): nfatt, l esempo d snstra mostra anch esso un rporto uscente a snstra, ma s ottene l rsultato corretto gnorando semplcemente questo rporto. Il vero problema, messo n rlevo dall esempo d destra, consste nel fatto che sommando 2 operand negatv s è ottenuto un rsultato postvo. In complemento a 2, questa è la prova che è avvenuto un overflow; andando a controllare s può verfcare che l rsultato corretto è 4, mentre la rappresentazone su 4 bt utlzzata permette d manpolare solo numer nter fra 8 e +7. Analogamente, s ha overflow anche se sommando 2 numer postv s ottene un rsultato negatvo. S not che, nelle rappresentazon d numer con segno, non è necessaro trattare l caso della sottrazone, dal momento che questa vene effettuata sommando l opposto del secondo operando, anzché procedere con la sottrazone dretta. Una possble alternatva al complemento a 2 è data dalla rappresentazone n modulo e segno. Bsogna, nnanztutto, rconoscere che questo tpo d rappresentazone è esattamente la stessa (a parte l cambo d base) che utlzzamo no uman per la base. In bnaro, tutte le cfre hanno 2 valor come pure l segno (+ o ), per cu è venuto naturale rappresentare gl stess segn medante de bt ( per +, per ); 78 M O N D O D I G I T A L E n. 2 - g u g n o 2 4

3 nvece, nel caso de numer decmal, le cfre hanno valor e l segno solo 2 per cu sono stat adottat smbol dvers. Anche le regole per la somma sono quelle che s adottano normalmente ne calcol manual: se segn degl operand sono concord, bsogna sommare modul e l segno del rsultato è quello degl operand, se segn sono dscord, bsogna sottrarre l modulo nferore da quello superore e l segno è determnato dall addendo con modulo superore. L automazone d queste regole fa sorgere, però, un problema: determnare l operando con modulo maggore comporta gà d per sé una sottrazone. Per semplfcare l algortmo nel caso d segn dscord, s adottano le seguent regole: s sottrae l modulo del secondo operando dal prmo; se l prestto uscente a snstra è, l prmo operando aveva effettvamente modulo maggore, altrment è l contraro, e l modulo corretto del rsultato vene ottenuto complementando a 2 l rsultato ottenuto (quest ultma operazone s effettua nvertendo tutt bt e sommando al rsultato nella poszone pù a destra). Stuazon d overflow possono presentars solo nel caso d somma de modul (operand con segn concord) e vengono rvelate dal fatto che questa somma produce un rporto uscente a snstra. Per quanto rguarda la lunghezza mnma della rappresentazone del rsultato che garantsce contro possbl overflow, s applcano le stesse formule valde per numer senza segno. 3. MOLTIPLICAZIONE Anche per la moltplcazone è possble partre da una rvstazone dell algortmo adottato nelle operazon manual con numer decmal, nzando a consderare l caso de numer senza segno. Il meccansmo d moltplcazone consste nel partre dalla cfra meno sgnfcatva del moltplcatore, moltplcare tutto l moltplcando per quella cfra, ottenendo un prmo rsultato parzale; s passa a moltplcare tutto l moltplcando per la successva cfra del moltplcatore, l rsultato vene sommato a quello parzale spostandolo d una poszone a snstra. S contnua così a moltplcare ogn cfra del moltplcatore per l moltplcando, e a sommare l rsultato spostandos ogn volta d una poszone a snstra. Per poter effettuare la moltplcazone d una cfra del moltplcatore per l moltplcando, è necessaro servrs della famosa tavola ptagorca, che dce qual è l rsultato della moltplcazone per cascuna delle possbl coppe d cfre della rappresentazone. Nel caso della base 2, la tavola ptagorca s rduce alla seguente forma: L overflow è possble anche nella moltplcazone. Per l caso de numer senza segno, la lunghezza mnma del prodotto, che garantsce d poter rappresentare qualsas rsultato, è d m + n bt, dove m e n sono le lunghezze n bt delle rappresentazon de due fattor. La moltplcazone d numer n modulo e segno è sostanzalmente dentca a quella de numer senza segno, poché l modulo del prodotto è l prodotto de modul (che sono numer postv senza segno), mentre l segno del rsultato vene ottenuto dal semplce EXOR de due bt d segno de fattor. L unca varazone da notare è che la moltplcazone d un fattore lungo m bt per uno d lunghezza n bt, produce un prodotto che occupa al massmo m + n bt. Per numer n complemento a 2, bsogna rfars alla formula data all nzo d questo artcolo. La moltplcazone può avvenre come quella de numer senza segno, tenendo però presente la seguente partcolartà della rappresentazone. Il bt pù sgnfcatvo del moltplcatore ha un peso negatvo ( 2 n ), per cu, se questo bt è a, bsogna sottrarre l moltplcando (o sommare l suo complemento a 2), anzché sommarlo. Nel caso d fattor d lunghezza m e n bt rspettvamente, l prodotto occuperà n + m bt al massmo. È bene notare che non s può usare bt n meno, per va d un unca combnazone ne valor de fattor che rchede l massmo d bt; questo unco caso corrsponde alla moltplcazone ( 2 n ) ( 2 m ) = +2 m + n 2, che rchede, appunto, una rappresentazone d almeno n + m bt. L esempo seguente mostra la moltplcazone ( 5 ) ( 3 ), con fattor su 4 bt, che n complemento a 2 sono rappresentat come X = (moltplcando) e Y = (moltplcatore). Poché l moltplcando è negatvo, bsognerà som- M O N D O D I G I T A L E n. 2 - g u g n o

4 mare una sere d addend negatv con una rappresentazone su 8 bt, che è la massma necessara per l prodotto de due operand da 4 bt. In complemento a 2, l allungamento della rappresentazone s effettua rpetendo a snstra l segno del numero (coè l bt pù a snstra), per questo motvo var addend negatv appaono nell esempo seguente n una rappresentazone allungata rspetto a quella orgnale del moltplcando. x Sottrazone del moltplcando W Rsultato= 5 4. DIVISIONE Contraramente alle altre operazon artmetche vste n precedenza, non è sempre possble calcolare esattamente l quozente d una dvsone. Il motvo rsede nel fatto che la dvsone, anche se c s lmta a operand nter, non produce necessaramente un rsultato che ha una rappresentazone con numero fnto d cfre. In questo contesto, verrà esamnata la dvsone ntera, n quanto l algortmo per l caso generale è lo stesso, ma vara solo l momento n cu s decde d nterrompere l calcolo de bt del quozente. Nella dvsone ntera, l dvdendo X, l dvsore D, l quozente Q e l resto W sono legat dalla seguente relazone, dove tutte le quanttà sono ntere: X = QD + W W < D Un ulterore vncolo è rappresentato dal fatto che l resto abba lo stesso segno del dvdendo. Anche n questo caso, l algortmo utlzzato potrebbe essere quello ben noto della base, con gl opportun adattament alla base 2. Questo algortmo vene detto d tpo restorng, n quanto bsogna rprstnare l valore del resto parzale, qualora questo assuma valore negatvo a seguto d una delle sottrazon che vengono effettuate. La veloctà d esecuzone può essere mglorata se s permette d ottenere un rsultato negatvo dopo qualsas sottrazone; ovvamente, al passo successvo bsognerà tenere conto d questo fatto. Il nuovo algortmo che s ottene è detto d tpo non-restorng, n quanto non s dsfa ma l operazone d sottrazone/somma appena fatta. La dvsone non-restorng per numer postv può essere descrtta nel modo seguente, dove W è l -esmo valore assunto dal resto parzale e q è l -esmo bt del quozente; s not, noltre, che vale l potes che l dvdendo sa rappresentato su 2n bt e l dvsore su n bt. W = X W = 2 W D 2 n for j =.n f W j then q n j = ; W j+ = 2 W j D 2 n ; else q n j = ; W j+ =2 W j + D 2 n ; endfor f W n then q = ; else q = ; W n = W n + D 2 n ; [correzone del segno del resto] Nell algortmo sopra descrtto l resto parzale vene scalato d una poszone a snstra (moltplcazone per 2) a ogn passo, anzché far scalare d una poszone a destra la quanttà da sottrarre, come avvene quando la dvsone vene effettuata manualmente. Il numero d bt nter del quozente può essere dervato dalla sottrazone del numero de bt della rappresentazone del dvdendo meno quell della rappresentazone del dvsore, come avvene anche n decmale; l numero ottenuto rappresenta un valore massmo. Nell esempo seguente, vene mostrato l funzonamento dell algortmo non-restorng per la dvsone d = 2 (dvdendo) per 2 = 2 (dvsore); s not che vene effettuata una dvsone d un numero da 8 bt per un altro da 4 bt, d conseguenza la parte ntera del quozente non rchederà pù d 4 bt. Nella colonna pù a snstra vene anche mostrato l valore del rporto uscente a snstra, che ndca l segno del rsultato delle vare operazon, s not anche che le sottrazon vengono effettuate sommando l complemento a 2 del dvsore. 8 M O N D O D I G I T A L E n. 2 - g u g n o 2 4

5 W = 2 W 2 = 2 W = D 2 4 = D 2 4 = W 3 = q = W = q 3 = 2 W 3 = 2 W = +D 2 4 = +D 2 4 = W 4 = q = W 2 = q 2 = resto = Il quozente è dato da 2 = 5 mentre l resto fnsce nella parte superore d W ed è par a. Bblografa [] Dadda L. : Fondament dell artmetca dgtale: codc numerc. Mondo Dgtale, Anno III, n. 9, marzo 24, p [2] Ercegovac M.D., Lang T.: Dgtal Arthmetc. Morgan Kaufmann, 24. [3] Koren I.: Computer Arthmetc Algorthms. Prentce-Hall, 993. LUIGI CIMINIERA s è laureato n Ingegnera Elettronca nel 977 presso l Poltecnco d Torno. Dal 979 ha nzato a collaborare alle attvtà del Dpartmento d Automatca e Informatca, presso l quale ha rcoperto vare poszon. Attualmente è professore ordnaro d Sstem d Elaborazone dell Informazone. Dal 989, è membro del Comtato d Programma d IEEE Symposum on Computer Arthmetc, d cu è anche stato Program Co-Charman nell edzone del 2. Oltre all artmetca per elaborator, suo nteress scentfc comprendono anche sstem peer-to-peer e le grgle computazonal. È stato co-autore d 2 lbr a dffusone nternazonale e d otre contrbut pubblcat n rvste e conferenze scentfche. Egl rcopre attualmente la carca d Presde della II Facoltà d Ingenera del Poltecnco d Torno. lug.cmnera@polto.t ERRATA CORRIGE Sul numero 7 d marzo 23 d Mondo Dgtale, nell artcolo Aspettando Robot sono state pubblcate, a pagna 5, due mmagn con ddascale errate. Rportamo, qu sotto le due ddascale corrette e complete d fonte. Fgura 9 (sopra) La cella robotca sottomarna realzzata dal CNR-IAN-Reparto Robotca, Unge-Dst e Ansaldo, nell ambto del Progetto Europeo 996/998 EC MAS3 CT9524 AMADEUS (Advanced Manpulaton for DEep Underwater Samplng) (foto G. Veruggo). Fgura 9 (sotto) Il robot sottomarno Romeo realzzato dal Reparto Robotca del CNR-IAN, durante le prove fnal del Progetto Europeo 997/2 EC MAS3 CT9783 ARAMIS (Advanced Rov package for Automatc Moble Investgaton of Sedments) (foto G. Veruggo). M O N D O D I G I T A L E n. 2 - g u g n o 2 4 8